1. Dla układu automatycznej regulacji o schemacie blokowym pokazanym na rysunku wyznaczyć
transmitancję zastępczą.
a)

b)

c)

2. Posługując się kryterium Nyquista zbadać stabilność układu automatycznej regulacji pokazanego
na rysunku / o danej transmitancji układu otwartego. Wyznaczyć zakres wartości parametru (jeśli
występuje) zapewniający stabilność układu zamkniętego.
a)

G

s=

10

0.5s1

s1 0.25s10.1s1

(1)

b)

Dane: T1=0.05, T2=0.1, T3=0.2, T4=1, k1=2, k2=2, k3=1
c)

d)

G

s=

90

0.2s1

s

0.05s10.02s10.1s1

(2)

e)

G

s=

30

 s1

s

2

s2s8

(3)

f)

G

s=

K

10.1s0.1s

2



1s1ss

2



(4)

g)

G

s=

10

 s1

0.001s

4

0.05s

3

0.3s

2

−s1

(5)

h)

G

s=G

1

 s e

−sT

o

=

2.2619

s

1

e

−sT

o

(6)

3. Dla układu o podanym schemacie blokowym wyznaczyć wypadkowy opis w przestrzeni stanów.

S

1

S

2

u

2

y

2

y

1

y=y

1

u

1

u

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

x

C

y

u

B

x

A

x

x

C

y

u

B

x

A

x













˙

˙

4. Korzystając z kryterium Nyquista ocenić stabilność układu zamkniętego i obiektem o
transmitancji:

G

 s=

1

s

s1

(7)

poprzedzonym ekstrapolatorem zerowego rzędu. Okres próbkowania T

i

=1s. Transmitancja

regulatora: K. Skorzystać z przekształcenia biliniowego:

z

=

2

T

w

2

T

w

 =

2

T

arctan





w

⋅T

2



(8)

5. Dla układu regulacji z obiektem o transmitancji:

G

s=

6

5s1e

−T

d

⋅s

 s12s13s14s1

(9)

wyznaczyć:

– zapas fazy i amplitudy dla T

d

=0

– zakres pulsacji zakłóceń dla T

d

=0, które będą:

– wzmacniane,
– tłumione,

– pulsację zakłóceń maksymalnie wzmacnianych dla T

d

=0,

– maksymalne opóźnienie T

d

, dla którego układ zamknięty będzie stabilny.

Uwaga. Aby w matlabie zdefiniować transmitancję z opóźnieniem należy utworzyć transmitancję
korzystając z sys = tf() a następnie zmienić opóźnienie, np.: sys.OutputDelay = 0.1

6. Dla układu inercyjnego pierwszego rzędu o stałej czasowej T=0.5 i wzmocnieniu 2 wyznaczyć
odpowiedź na sygnał narastający o nachyleniu 1/sek. przy warunku początkowym y(0)=3.

L

{

y

n

}

=s

n

[

Y

s−

∑

k

=0

n

−1

s

−k −1

f

k 

0

]

(10)

Uwaga. Obliczanie rozkładu na ułamki proste dla funkcji:

G

 s=

L

 s

 s−s

1

 s−s

2

 s−s

3



r

(11)

gdzie r to krotności bieguna s

3

:

G

 s=

A

1

 s−s

1





A

2

 s−s

2





B

1

 s−s

3



1

...

B

r

 s−s

3



r

(12)

Współczynniki z licznika dane są jako:

A

1

=G s⋅ s−s

1



∣

s

=s

1

A

2

=G s⋅ s−s

2



∣

s

=s

2

B

r

=

[

s−s

3



r

G

s

]

∣

s

= s

3

B

r

−1

=

d

ds

[

s−s

3



r

G

s

]

∣

s

=s

3

B

r

− 2

=

1

2!

d

2

ds

2

[

 s−s

3



r

G

s

]

∣

s

=s

3

...

B

1

=

1

r−1!

d

r

−1

ds

r

−1

[

 s−s

3



r

G

 s

]

∣

s

=s

3

(13)

7. Dla obiektu o transmitancji:

G

o

s=

K

a

s

 s10.1s1

(14)

dobrać wzmocnienie Ka tak, by uchyb prędkościowy (uchyb w stanie ustalonym w odpowiedzi na
sygnał narastający liniowo) był poniżej 0.01 Dobrać korektor opóźniający fazę, tak by układ
zamknięty był stabilny, zapas wzmocnienia powyżej 20dB i fazy powyżej 40stop.

– dla układu bez korektora wyznaczyć Ka na podstawie uchybu w stanie ustalonym
– sprawdzić stabilność układu zamkniętego dla wyznaczonego wzmocnienia

– o ile należy obniżyć amplitudę dla częstotliwości odcięcia by zapewnić żądany zapas

amplitudy?

– wyznaczyć parametry T i  dla korektora opóźniającego fazę, K=1:

G

k

s=K

Ts

1

T

 s1

(15)

Obliczenia 2c:

G

 jw =

10.0jw

20.0

−1.0jw

3

−4.0w

2

3.0jw0.0

=

=

20.0

10.0jw

−4.0w

2

−1.0jw

3

3.0jw

⋅−

4.0w

2

1.0jw

3

−3.0jw

−4.0w

2

1.0jw

3

−3.0jw

=

=

−10.0w

4

−50.0w

2

−20.0jw

3

−60.0jw

1.0w

6

10.0w

4

9.0w

2

P

w=

−10.0w

4

−50.0w

2

1.0w

6

10.0w

4

9.0w

2

Q

w=

−20.0w

3

−60.0w

1.0w

6

10.0w

4

9.0w

2

(16)

Obliczenia 2d:

G

 jw=

18.0jw

90.0

0.0001w

4

−0.008jw

3

−0.17w

2

1.0jw0.0

=

=

90.0

18.0jw

0.0001w

4

−0.17w

2

−0.008jw

3

1.0jw

⋅

0.0001w

4

−0.17w

2

0.008jw

3

−1.0jw

0.0001w

4

−0.17w

2

0.008jw

3

−1.0jw

=

=

−0.135w

4

2.7w

2

0.0018jw

5

−2.34jw

3

−90.0jw

1.00e-08 w

8

3.00e-05 w

6

0.0129w

4

1.0w

2

P

w=

−0.135w

4

2.7w

2

1.00e-08 w

8

3.00e-05 w

6

0.0129w

4

1.0w

2

Q

w =

0.0018w

5

−2.34w

3

−90.0w

1.00e-08 w

8

3.00e-05 w

6

0.0129w

4

1.0w

2

(17)

Obliczenia 2e:

G

 jw=

30.0jw

30.0

1.0w

4

−10.0jw

3

−16.0w

2

0.0jw0.0

=

=

30.0

30.0jw

1.0w

4

−16.0w

2

−10.0jw

3

⋅

1.0w

4

−16.0w

2

10.0jw

3

1.0w

4

−16.0w

2

10.0jw

3

=

=

−270w

4

−480w

2

30.0jw

5

−180jw

3

1.0w

8

68.0w

6

256w

4

P

 w=

−270w

4

−480w

2

1.0w

8

68.0w

6

256w

4

Q

 w=

30.0w

5

−180w

3

1.0w

8

68.0w

6

256w

4

(18)

Obliczenia 2f, dla K=1:

G

 jw =

−0.1w

2

0.1jw1.0

−1.0jw

3

−2.0w

2

2.0jw1.0

=

=

−0.1w

2

1.00.1jw

−2.0w

2

1.0−1.0jw

3

2.0jw

⋅

−2.0w

2

1.01.0jw

3

−2.0jw

−2.0w

2

1.01.0jw

3

−2.0jw

=

=

0.1w

4

−1.9w

2

1.0−0.1jw

5

1.0jw

3

−1.9jw

1.0w

6

1.0

P

w=

0.1w

4

−1.9w

2

1.0

1.0w

6

1.0

Q

w=

−0.1w

5

1.0w

3

−1.9w

1.0w

6

1.0

(19)

Obliczenia 2g:

G

 j  =

10j

 10

0.05



4

10.01j 

5

−0.3j

3

−1j

=

=

10

10j

0.05



4

10.01j 

5

−0.3j

3

−1j

⋅

0.05



4

1−0.01j 

5

0.3j

3

1j

0.05



4

1−0.01j 

5

0.3j

3

1j

=

=

0.1



6

−2.5

4

−10 

2

100.4j

5

3j

3

20j 

0.0001



10

−0.0035

8

0.07 

6

0.7 

4

1

2

1

P

 =

0.1



6

−2.5 

4

−10 

2

10

0.0001



10

−0.0035 

8

0.07 

6

0.7 

4

1 

2

1

Q

 =

0.4



5

3 

3

20 

0.0001



10

−0.0035

8

0.07 

6

0.7 

4

1

2

1

(20)