fale sprężyste / 1

FALE MECHANICZNE

Falami nazywamy rozprzestrzeniające się w ośrodku
materialnym lub polu zaburzenia pewnej wielkości
fizycznej charakteryzującej stan tego ośrodka lub pola.

Właściwości ośrodka - bezwładność i sprężystość

•

Elementy drgają wokół położenia równowagi

•

zaburzenie przekazywane jest elementom sąsiednim

•

nie jest to związane z przenoszeniem substancji

•

energia może być przenoszona na duże odległości

Rodzaje fal

Ze względu na kierunek ruchu

•

fale poprzeczne - sprężystość postaci, czyli kształtu

•

fale podłużne - sprężystość objętościowa

Ze względu na ilość wymiarów 1D, 2D, 3D

Ze względu na zachowanie się cząstek materii

•

pojedyncze fale

•

ciągi falowe

fale sprężyste / 2

FALE JEDNOWYMIAROWE

y(x,0) = f(x) dla t = 0

odkształcenie przesuwa się wzdłuż struny lub
sznura nie zmieniając swego kształtu.

Po czasie t y(x,t) = f(x-vt)

taki sam kształt w punkcie x = vt w chwili t jaki w
punkcie x = 0 w chwili t = 0.

Równanie falowe

Funkcja f(x-vt) jest rozwiązaniem równania

2

2

2

2

2

1

t

f

v

x

f

∂

∂

=

∂

∂

fale sprężyste / 3

RÓWNANIE FALOWE

2

2

2

2

2

1

t

f

v

x

f

∂

∂

=

∂

∂

Rozwiązaniem jest dowolna, dwukrotnie
różniczkowalna funkcja

f(x

±

vt)

ϕ

= x

±

vt faza drgań

Sprawdzenie

f

x

f

f

v

t

f

′′

=

∂

∂

′′

=

∂

∂

2

2

2

2

2

W trzech wymiarach

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

t

f

v

z

f

y

f

x

f

∂

∂

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

fale sprężyste / 4

FALE HARMONICZNE

y(0, t) = A cos

ω

t

t` = t – x/v

zatem:

y(x, t) = y(0, t`) = A cos

ω

(t –x/v)

y(x, t) = A cos(

ω

t –

ω

x / v)

y = A cos(

ω

t - k x)

k =

ω

/v - liczba falowa [k] =1/m

ω

- częstość kołowa

v - prędkość fazowa

fale sprężyste / 5

FALE HARMONICZNE

y(x, t) = A cos(

ω

t – kx )

•

Długość fali

λ

t = const.

ϕ

1

(x) -

ϕ

2

(x +

λ

) = 2

π

[

ω

t - k x] – [

ω

t - k (x +

λ

)] = 2

π

t = const.

k

λ

= 2

π

λ

=

k

π

2

•

Okres fali T x = const.

ϕ

(t + T) -

ϕ

(t) = 2

π

[

ω

(t + T) - k x] - [

ω

t – k x] = 2

π

ω

T = 2

π

T =

ω

π

2

λ

=

k

π

2

=

ω

π

v

2

= vT

λ

= vT

fale sprężyste / 6

ZASADA SUPERPOZYCJI

W tym samym obszarze w przestrzeni może rozchodzić
się jednocześnie wiele różnych fal. Wychylenie
badanego elementu ośrodka w danej chwili jest sumą
wychyleń jakich doznawałby ten element pod
działaniem każdej fali z osobna.

•

SUPERPOZYCJA 2 FAL BIEGNĄCYCH

ω

ω

ω

ω

1

≠

ω

ω

ω

ω

2

generator

ψ

(0, t

)=A cos

ω

1

t + A cos

ω

2

t

fala biegnąca

ψ

(x, t) =

ψ

1

(x, t) +

ψ

2

(x, t)

ψ

(x, t) = Acos(

ω

1

t - k

1

x)+Acos(

ω

2

t – k

2

x)

ψ

(x, t) = A

mod

(x, t)cos(

ω

ś

r

t - k

ś

r

x)

gdzie: A

mod

(x, t) = 2Acos(

ω

mod

t - k

mod

x)

1

2

1

2

1

2

1

2

2 cos

cos

2

2

2

2

k

k

k

k

A

t

x

t

x

ω ω

ω ω

−

−

+

+









=

−

−

















fale sprężyste / 7

PRĘDKOŚĆ GRUPOWA

Prędkość rozchodzenia się modulacji

ϕ

m

= (

ω

mod

t – k

mod

x) = const.

2

1

2

1

mod

mod

mod

k

k

k

dt

dx

v

−

−

=

=

=

ω

ω

ω

ω

= v

f

k

Prędkość grupowa v

g

= v

mod

dk

d

v

g

ω

=

•

Dla prędkości fazowej niezależnej od

ω

i od k

v

f

= const.

( )

f

f

g

v

dk

k

v

d

dk

d

v

=

=

=

ω

prędkość grupowa jest równa prędkości fazowej.

•

Ogólnie

g

f

v

v

≠

Energia fali rozchodzi się z prędkością grupową

fale sprężyste / 8

PRĘDKOŚĆ GRUPOWA

fale sprężyste / 9

FALE ZŁOŻONE

ω

1

: ω

2

= 1 : 3

złożenie trzech fal

a)

suma dwóch fal o dużej różnicy częstości

b)

suma dwóch fal o podobnych częstościach

fale sprężyste / 10

INTERFERENCJA FAL

różnica faz stała w czasie:







−

=

−

−

=

)

cos(

)

cos(

2

1

kx

t

y

y

kx

t

y

y

m

m

ω

ϕ

ω

[

]

)

2

1

cos(

2

1

cos

2

2

1

cos

)

2

1

cos(

2

)

cos(

)

cos(

2

1

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ϕ

ω

ω

ϕ

ω

−

−













=

−

−

=

−

+

−

−

=

+

=

kx

t

y

y

kx

t

y

y

kx

t

kx

t

y

y

y

y

m

m

m

ϕ

2

1

cos

2

m

y

A

=

A

∈

( 0 , 2y

m

)

fale sprężyste / 11

FALE STOJĄCE







+

=

−

=

)

cos(

)

cos(

2

1

kx

t

y

y

kx

t

y

y

m

m

ω

ω

y = y

1

+y

2

= y

m

cos(

ω

t - kx) + y

m

cos(

ω

t + kx)

y = [2y

m

cos(kx)] cos(

ω

t)

amplituda drgań A=2y

m

cos(kx)

wszystkie
punkty są w
tej samej
fazie

dla

,...

2

5

,

2

3

,

2

1

π

π

π

=

kx

węzły

dla

kx =

π

, 2

π

....

strzałki

•

Energia nie jest przenoszona

•

Energia jest zmagazynowana w strunie

Zbiór oscylatorów o różnych amplitudach

Warunki odbicia fal od końców struny narzucają
ograniczenia - tak zwane warunki brzegowe.

fale sprężyste / 12

REZONANS

warunki brzegowe 1

całkowita ilość połówek fali -

L = n

λ

n

/

2

n

L

n

2

=

λ

L

v

n

v

f

n

n

2

=

=

λ

siła wymuszająca

F = F

0

cos(

ω

t)

rezonans przy wielu

ω

n

,

fale sprężyste / 13

REZONANS

warunki brzegowe 2

1

+

=

n

n

λ

λ

4

n

2

1

L

,

n

n

L

λ

4

1

)

1

2

(

+

=

1

2

4

+

=

n

L

n

λ

L

v

n

v

n

n

2

)

1

2

(

2

π

λ

π

ω

+

=

=

fale sprężyste / 14

ROZKŁAD SPEKTRALNY

Dowolny ruch o okresie T można przedstawić jako

szereg Fouriera

∑

∑

+

+

=

n

n

n

n

t

n

b

t

n

a

a

t

f

)

sin(

)

cos(

2

1

)

(

0

ω

ω

gdzie

T

π

ω

2

=













=

=

∫

∫

T

n

T

n

dt

t

n

t

F

T

b

dt

t

n

t

F

T

a

0

0

)

sin(

)

(

2

)

cos(

)

(

2

ω

ω

Jeżeli ruch jest nieperiodyczny to szereg zastępuje

całka Fouriera :

∫

∫

∞

∞

+

=

0

0

)

sin(

)

(

)

cos(

)

(

)

(

ω

ω

ω

ω

ω

ω

d

t

b

d

t

a

t

f













=

=

∫

∫

∞

∞

0

0

)

sin(

)

(

2

)

(

)

cos(

)

(

2

)

(

dt

t

t

F

b

dt

t

t

F

a

ω

π

ω

ω

π

ω

fale sprężyste / 15

ROZKŁAD SPEKTRALNY

Dowolne fale można rozpatrywać jako kombinacje fal
harmonicznych:

∫

∫

∞

∞

−

+

−

=

0

0

)

cos(

)

(

)

sin(

)

(

)

,

(

ω

ω

ω

ω

ω

ω

d

kx

t

b

d

kx

t

a

t

x

f

Z

ależności a(

ω

) oraz b(

ω

) - rozkład spektralny

PRZEPŁYW ENERGII W RUCHU

FALOWYM

Moc przenoszona przez falę:

)

(

sin

2

2

kx

t

k

y

F

P

m

−

⋅

⋅

⋅

⋅

=

ω

ω

fale sprężyste / 16

ENERGIA W OŚRODKU

TRÓJWYMIAROWYM

1)

Jeżeli nie ma absorpcji całkowita energia przenoszona
przez fale w ciągu sekundy pozostaje stała i równa
mocy wysyłanej ze źródła.

const.

E

P

t

= =

Natężenie fali

I(r)

jest to ilość energii przepływającej

w jednostce czasu przez jednostkową powierzchnię
prostopadłą do kierunku propagacji

( )

dP

I r

dS

=

Dla punktu odległego o r od źródła fali kulistej
całkowita powierzchnia przez którą przechodzi fala jest
równa S = 4

π

r

2

, a całkowita moc:

2

4

)

(

r

r

I

P

⋅

⋅

=

π

Natężenie fali kulistej

2

4

)

(

r

P

r

I

z

⋅

=

π

2

~ A

I

A

∼

1/r