fale sprężyste / 1
FALE MECHANICZNE
Falami nazywamy rozprzestrzeniające się w ośrodku
materialnym lub polu zaburzenia pewnej wielkości
fizycznej charakteryzującej stan tego ośrodka lub pola.
Właściwości ośrodka - bezwładność i sprężystość
•
Elementy drgają wokół położenia równowagi
•
zaburzenie przekazywane jest elementom sąsiednim
•
nie jest to związane z przenoszeniem substancji
•
energia może być przenoszona na duże odległości
Rodzaje fal
Ze względu na kierunek ruchu
•
fale poprzeczne - sprężystość postaci, czyli kształtu
•
fale podłużne - sprężystość objętościowa
Ze względu na ilość wymiarów 1D, 2D, 3D
Ze względu na zachowanie się cząstek materii
•
pojedyncze fale
•
ciągi falowe
fale sprężyste / 2
FALE JEDNOWYMIAROWE
y(x,0) = f(x) dla t = 0
odkształcenie przesuwa się wzdłuż struny lub
sznura nie zmieniając swego kształtu.
Po czasie t y(x,t) = f(x-vt)
taki sam kształt w punkcie x = vt w chwili t jaki w
punkcie x = 0 w chwili t = 0.
Równanie falowe
Funkcja f(x-vt) jest rozwiązaniem równania
2
2
2
2
2
1
t
f
v
x
f
∂
∂
=
∂
∂
fale sprężyste / 3
RÓWNANIE FALOWE
2
2
2
2
2
1
t
f
v
x
f
∂
∂
=
∂
∂
Rozwiązaniem jest dowolna, dwukrotnie
różniczkowalna funkcja
f(x
±
vt)
ϕ
= x
±
vt faza drgań
Sprawdzenie
f
x
f
f
v
t
f
′′
=
∂
∂
′′
=
∂
∂
2
2
2
2
2
W trzech wymiarach
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
t
f
v
z
f
y
f
x
f
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
fale sprężyste / 4
FALE HARMONICZNE
y(0, t) = A cos
ω
t
t` = t – x/v
zatem:
y(x, t) = y(0, t`) = A cos
ω
(t –x/v)
y(x, t) = A cos(
ω
t –
ω
x / v)
y = A cos(
ω
t - k x)
k =
ω
/v - liczba falowa [k] =1/m
ω
- częstość kołowa
v - prędkość fazowa
fale sprężyste / 6
ZASADA SUPERPOZYCJI
W tym samym obszarze w przestrzeni może rozchodzić
się jednocześnie wiele różnych fal. Wychylenie
badanego elementu ośrodka w danej chwili jest sumą
wychyleń jakich doznawałby ten element pod
działaniem każdej fali z osobna.
•
SUPERPOZYCJA 2 FAL BIEGNĄCYCH
ω
ω
ω
ω
1
≠
ω
ω
ω
ω
2
generator
ψ
(0, t
)=A cos
ω
1
t + A cos
ω
2
t
fala biegnąca
ψ
(x, t) =
ψ
1
(x, t) +
ψ
2
(x, t)
ψ
(x, t) = Acos(
ω
1
t - k
1
x)+Acos(
ω
2
t – k
2
x)
ψ
(x, t) = A
mod
(x, t)cos(
ω
ś
r
t - k
ś
r
x)
gdzie: A
mod
(x, t) = 2Acos(
ω
mod
t - k
mod
x)
1
2
1
2
1
2
1
2
2 cos
cos
2
2
2
2
k
k
k
k
A
t
x
t
x
ω ω
ω ω
−
−
+
+
=
−
−
fale sprężyste / 7
PRĘDKOŚĆ GRUPOWA
Prędkość rozchodzenia się modulacji
ϕ
m
= (
ω
mod
t – k
mod
x) = const.
2
1
2
1
mod
mod
mod
k
k
k
dt
dx
v
−
−
=
=
=
ω
ω
ω
ω
= v
f
k
Prędkość grupowa v
g
= v
mod
dk
d
v
g
ω
=
•
Dla prędkości fazowej niezależnej od
ω
i od k
v
f
= const.
( )
f
f
g
v
dk
k
v
d
dk
d
v
=
=
=
ω
prędkość grupowa jest równa prędkości fazowej.
•
Ogólnie
g
f
v
v
≠
Energia fali rozchodzi się z prędkością grupową
fale sprężyste / 9
FALE ZŁOŻONE
ω
1
: ω
2
= 1 : 3
złożenie trzech fal
a)
suma dwóch fal o dużej różnicy częstości
b)
suma dwóch fal o podobnych częstościach
fale sprężyste / 10
INTERFERENCJA FAL
różnica faz stała w czasie:
−
=
−
−
=
)
cos(
)
cos(
2
1
kx
t
y
y
kx
t
y
y
m
m
ω
ϕ
ω
[
]
)
2
1
cos(
2
1
cos
2
2
1
cos
)
2
1
cos(
2
)
cos(
)
cos(
2
1
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
−
−
=
−
−
=
−
+
−
−
=
+
=
kx
t
y
y
kx
t
y
y
kx
t
kx
t
y
y
y
y
m
m
m
ϕ
2
1
cos
2
m
y
A
=
A
∈
( 0 , 2y
m
)
fale sprężyste / 11
FALE STOJĄCE
+
=
−
=
)
cos(
)
cos(
2
1
kx
t
y
y
kx
t
y
y
m
m
ω
ω
y = y
1
+y
2
= y
m
cos(
ω
t - kx) + y
m
cos(
ω
t + kx)
y = [2y
m
cos(kx)] cos(
ω
t)
amplituda drgań A=2y
m
cos(kx)
wszystkie
punkty są w
tej samej
fazie
dla
,...
2
5
,
2
3
,
2
1
π
π
π
=
kx
węzły
dla
kx =
π
, 2
π
....
strzałki
•
Energia nie jest przenoszona
•
Energia jest zmagazynowana w strunie
Zbiór oscylatorów o różnych amplitudach
Warunki odbicia fal od końców struny narzucają
ograniczenia - tak zwane warunki brzegowe.
fale sprężyste / 12
REZONANS
warunki brzegowe 1
całkowita ilość połówek fali -
L = n
λ
n
/
2
n
L
n
2
=
λ
L
v
n
v
f
n
n
2
=
=
λ
siła wymuszająca
F = F
0
cos(
ω
t)
rezonans przy wielu
ω
n
,
fale sprężyste / 14
ROZKŁAD SPEKTRALNY
Dowolny ruch o okresie T można przedstawić jako
szereg Fouriera
∑
∑
+
+
=
n
n
n
n
t
n
b
t
n
a
a
t
f
)
sin(
)
cos(
2
1
)
(
0
ω
ω
gdzie
T
π
ω
2
=
=
=
∫
∫
T
n
T
n
dt
t
n
t
F
T
b
dt
t
n
t
F
T
a
0
0
)
sin(
)
(
2
)
cos(
)
(
2
ω
ω
Jeżeli ruch jest nieperiodyczny to szereg zastępuje
całka Fouriera :
∫
∫
∞
∞
+
=
0
0
)
sin(
)
(
)
cos(
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
d
t
b
d
t
a
t
f
=
=
∫
∫
∞
∞
0
0
)
sin(
)
(
2
)
(
)
cos(
)
(
2
)
(
dt
t
t
F
b
dt
t
t
F
a
ω
π
ω
ω
π
ω
fale sprężyste / 15
ROZKŁAD SPEKTRALNY
Dowolne fale można rozpatrywać jako kombinacje fal
harmonicznych:
∫
∫
∞
∞
−
+
−
=
0
0
)
cos(
)
(
)
sin(
)
(
)
,
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
d
kx
t
b
d
kx
t
a
t
x
f
Z
ależności a(
ω
) oraz b(
ω
) - rozkład spektralny
PRZEPŁYW ENERGII W RUCHU
FALOWYM
Moc przenoszona przez falę:
)
(
sin
2
2
kx
t
k
y
F
P
m
−
⋅
⋅
⋅
⋅
=
ω
ω
fale sprężyste / 16
ENERGIA W OŚRODKU
TRÓJWYMIAROWYM
1)
Jeżeli nie ma absorpcji całkowita energia przenoszona
przez fale w ciągu sekundy pozostaje stała i równa
mocy wysyłanej ze źródła.
const.
E
P
t
= =
Natężenie fali
I(r)
jest to ilość energii przepływającej
w jednostce czasu przez jednostkową powierzchnię
prostopadłą do kierunku propagacji
( )
dP
I r
dS
=
Dla punktu odległego o r od źródła fali kulistej
całkowita powierzchnia przez którą przechodzi fala jest
równa S = 4
π
r
2
, a całkowita moc:
2
4
)
(
r
r
I
P
⋅
⋅
=
π
Natężenie fali kulistej
2
4
)
(
r
P
r
I
z
⋅
=
π
2
~ A
I
A
∼
1/r
