1

Odpowiedzi i schematy oceniania

Arkusz 15

Zadania zamknięte

Numer

zadania

Poprawna

odpowiedź

Wskazówki do rozwiązania zadania

1.

A.

(

)(

)

⇒

−

+

−

+

−

+

=













+

−

+

=

7

4

7

4

7

4

2

7

4

7

4

7

4

2

a

2

6

8

7

16

2

8

=

−

=

−

−

=

⇒ a

2.

B.













=













50

48

,

50

46

25

24

,

25

23

3.

B.

15

30

log

5

log

15

6

log

3

3

3

=

+

=

a

4.

B.

Skorzystaj z interpretacji graficznej wartości bezwzględnej.

5.

C.

x

– cena kurtki przed obniżkami,

600

408

85

,

0

8

,

0

=

⇒

=

⋅

x

x

.

6.

B.

(

)

(

)(

)

4

6

3

2

2

2

3

2

−

+

=

+

−

+

=

x

x

x

x

x

W

7.

A.

7

3

2

6

1

2

2

3

+

=

−

=

−

+

y

x

y

x

8.

B.

Jedynym rozwiązaniem równania jest liczba

1

−

=

x

(równanie

0

25

2

=

+

x

jest sprzeczne).

9.

C.

Tata ma

48

32

16

=

+

lat, zatem 3 razy więcej od Jacka.

10.

D.

7

7

3

0

7

0

3

≥

⇒

≥

∧

−

≥

⇒

≥

−

∧

≥

+

x

x

x

x

x

11.

C.

Dziedziną funkcji jest zbiór

{

}

2

,

2

\

−

R

, zatem miejscami zerowymi są

liczby

( )

1

−

i

1.

12.

D.

Parabola ma ramiona skierowane do góry, więc funkcja jest rosnąca w

przedziale

(

)

∞

+

,

W

x

,

2

2

4

=

=

W

x

.

13.

D.

Miejscem zerowym pierwszej funkcji jest liczba













−

3

5

, zaś miejscem

zerowym drugiej funkcji jest liczba

a

1

. Otrzymujemy więc równanie

2

5

3

1

3

5

−

=

⇒

=

−

a

a

.

14.

A.

Skorzystaj z zasady przesuwania wykresów funkcji.

15.

D.

Wartości funkcji wykładniczej są dodatnie.

16.

C.

Liczba logarytmowana musi być dodatnia, zatem dziedziną funkcji

jest zbiór

(

) (

)

∞

+

∪

−

∞

−

,

3

3

,

.

17.

B.

224

160

64

160

,

64

5

4

5

4

=

+

=

−

⇒

−

=

=

a

a

a

a

18.

C.

8

2

1

16

2

4

2

1

3

1

2

1

−

=

⇒









−

=

=

⇒









−

=

=

a

q

a

q

a

q

a

19.

D.

Ciąg z przykładu D jest arytmetyczny, gdyż wyrazy różnią się o 2 .

20.

A.

30

30

sin

sin

2

1

6

1

<

⇒

<

⇒

<

α

α

21.

C.

(

)

⇒

=

+

=

+

+

=

+

7

9

7

2

1

cos

cos

sin

2

sin

cos

sin

2

2

2

α

α

α

α

α

α

7

7

3

7

9

cos

sin

=

=

+

⇒

α

α

22.

C.

76

38

142

180

=

∠

⇒

=

−

=

∠

AOC

ADC

.

23.

C.

8

12

6

9

4

6

=

=

24.

B.

5

2

6

4

=

⇒

+

=

m

m

25.

C.

19

,

52

=

=

Ω

=

=

A

, gdyż suma zbioru asów, dam i trefli jest zbiorem

dziewiętnastoelementowym.

Zadania otwarte

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Liczba

punktów

Zapisanie równania:

1230

20

2

19

5

5

=

⋅

⋅

+

−

−

r

1

26.

Rozwiązanie równania:

7

=

r

.

1

3

Wyznaczenie miary kąta

20

:

=

∠

AOD

AOD

.

1

27.

Wyznaczenie miary kąta DAO i wykazanie tezy zadania:

20

80

2

180

80

=

⋅

−

=

∠

⇒

=

∠

ACB

DAO

.

1

Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:

5

1

,

4

1

2

1

=

−

=

x

x

.

1

28.

Rozwiązanie nierówności:













−

∈

5

1

,

4

1

x

.

1

Zapisanie sumy kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych i

wykorzystanie wzorów skróconego

mnożenia:

(

) (

)

5

6

3

2

1

2

2

2

2

+

+

=

⇒

+

+

+

+

=

n

n

s

n

n

n

s

,

N

n

∈

.

1

29.

Wykazanie tezy zadania:

(

)

2

1

2

3

2

+

+

+

=

n

n

s

– zapis liczby, która

przy dzieleniu przez

3

daje resztę 2 .

1

Zapisanie układu równań:







=

−

=

+

5

19

r

R

r

R

.

1

30.

Rozwiązanie układu równań:







=

=

7

12

r

R

.

1

Zapisanie równania:

0

36

3

3

4

3

2

3

=

+

−

⋅

−

m

.

1

Rozwiązanie równania:

9

=

m

.

1

Pogrupowanie wyrazów wielomianu:

(

)

4

)

9

(

)

(

2

−

−

=

x

x

x

W

.

1

31.

Wyznaczenie pierwiastków wielomianu:

3

1

=

x

(dany pierwiastek),

4

,

3

3

2

=

−

=

x

x

.

1

Zapisanie współrzędnych środka okręgu za pomocą jednej

zmiennej:

(

)

2

,

−

=

x

x

S

.

1

Zapisanie równania:

(

)

(

) (

)

2

2

2

2

7

4

5

−

+

−

=

−

+

x

x

x

x

.

1

Rozwiązanie równania i zapisanie współrzędnych środka okręgu:













=

3

4

,

3

10

S

.

1

32.

Wyznaczenie długości promienia okręgu:

9

125

=

r

.

1

4

Zapisanie równania okręgu:

9

125

3

4

3

10

2

2

=













−

+













−

y

x

.

1

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych

oznaczeń:

a

– krawędź podstawy,

h – wysokość podstawy,

H

– wysokość ostrosłupa,

α

– kąt nachylenia krawędzi SA do płaszczyzny podstawy

ostrosłupa.

1

Wyznaczenie wysokości podstawy:

10

=

h

.

1

Wyznaczenie krawędzi podstawy:

3

3

20

=

a

.

1

Wyznaczenie wysokości ostrosłupa:

10

=

H

.

1

Wyznaczenie objętości ostrosłupa:

9

3

1000

=

V

.

1

33.

Wyznaczenie kąta nachylenia krawędzi SA do płaszczyzny

podstawy ostrosłupa:

60

3

2

1

=

⇒

=

⇒

=

α

α

α

tg

a

H

tg

.

1