Treść wykładu
Iloczyn skalarny.
Bazy ortogonalne.
Macierze ortogonalne.
Treść wykładu
Iloczyn skalarny.
Bazy ortogonalne.
Macierze ortogonalne.
Iloczyn skalarny: definicja
Definicja
W przestrzeni rzeczywistej V określony jest
iloczyn skalarny
,
jeśli każdej parze wektorów v, w ∈ V przyporządkowana jest
liczba rzeczywista, oznaczona przez hv, wi, przy czym
przyporządkowanie to ma następujące własności:
1
hv, wi = hw, vi (symetria),
2
hαv, wi = αhv, wi dla α ∈ R (jednorodność),
3
hv
1
+ v
2
, wi = hv
1
, wi + hv
2
, wi (addytywność),
4
dla dowolnego v ∈ V jest hv, vi 0, przy czym hv, vi = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.
Iloczyn skalarny: definicja
Definicja
W przestrzeni rzeczywistej V określony jest
iloczyn skalarny
,
jeśli każdej parze wektorów v, w ∈ V przyporządkowana jest
liczba rzeczywista, oznaczona przez hv, wi, przy czym
przyporządkowanie to ma następujące własności:
1
hv, wi = hw, vi (symetria),
2
hαv, wi = αhv, wi dla α ∈ R (jednorodność),
3
hv
1
+ v
2
, wi = hv
1
, wi + hv
2
, wi (addytywność),
4
dla dowolnego v ∈ V jest hv, vi 0, przy czym hv, vi = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.
Iloczyn skalarny: definicja
Definicja
W przestrzeni rzeczywistej V określony jest
iloczyn skalarny
,
jeśli każdej parze wektorów v, w ∈ V przyporządkowana jest
liczba rzeczywista, oznaczona przez hv, wi, przy czym
przyporządkowanie to ma następujące własności:
1
hv, wi = hw, vi (symetria),
2
hαv, wi = αhv, wi dla α ∈ R (jednorodność),
3
hv
1
+ v
2
, wi = hv
1
, wi + hv
2
, wi (addytywność),
4
dla dowolnego v ∈ V jest hv, vi 0, przy czym hv, vi = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.
Iloczyn skalarny: definicja
Definicja
W przestrzeni rzeczywistej V określony jest
iloczyn skalarny
,
jeśli każdej parze wektorów v, w ∈ V przyporządkowana jest
liczba rzeczywista, oznaczona przez hv, wi, przy czym
przyporządkowanie to ma następujące własności:
1
hv, wi = hw, vi (symetria),
2
hαv, wi = αhv, wi dla α ∈ R (jednorodność),
3
hv
1
+ v
2
, wi = hv
1
, wi + hv
2
, wi (addytywność),
4
dla dowolnego v ∈ V jest hv, vi 0, przy czym hv, vi = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.
Iloczyn skalarny: definicja
Definicja
W przestrzeni rzeczywistej V określony jest
iloczyn skalarny
,
jeśli każdej parze wektorów v, w ∈ V przyporządkowana jest
liczba rzeczywista, oznaczona przez hv, wi, przy czym
przyporządkowanie to ma następujące własności:
1
hv, wi = hw, vi (symetria),
2
hαv, wi = αhv, wi dla α ∈ R (jednorodność),
3
hv
1
+ v
2
, wi = hv
1
, wi + hv
2
, wi (addytywność),
4
dla dowolnego v ∈ V jest hv, vi 0, przy czym hv, vi = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.
Iloczyn skalarny: definicja
Wprawdzie zakładamy tylko addytywność i jednorodność ze
względu na pierwszą zmienną, ale aksjomat 1 pozwala
wywnioskować to samo dla drugiej zmiennej.
Przestrzeń, w której jest określony iloczyn skalarny nazywamy
przestrzenią euklidesową
.
Iloczyn skalarny: definicja
Wprawdzie zakładamy tylko addytywność i jednorodność ze
względu na pierwszą zmienną, ale aksjomat 1 pozwala
wywnioskować to samo dla drugiej zmiennej.
Przestrzeń, w której jest określony iloczyn skalarny nazywamy
przestrzenią euklidesową
.
Iloczyn skalarny: przykłady
1. Odwzorowanie h·, ·i : R
3
× R
3
→ R określone wzorem:
hv, wi = α
1
β
1
+α
2
β
2
+α
3
β
3
,
gdzie v = (α
1
, α
2
, α
3
), w = (β
1
, β
2
, β
3
)
jest iloczynem skalarnym w R
3
. Jest to zwykły, znany z kursu
geometrii, iloczyn skalarny.
Zamiast hv, wi = h(α
1
, α
2
, α
3
), (β
1
, β
2
, β
3
)i można w tym
przypadku pisać (α
1
, α
2
, α
3
) · (β
1
, β
2
, β
3
).
Iloczyn skalarny: przykłady
1. Odwzorowanie h·, ·i : R
3
× R
3
→ R określone wzorem:
hv, wi = α
1
β
1
+α
2
β
2
+α
3
β
3
,
gdzie v = (α
1
, α
2
, α
3
), w = (β
1
, β
2
, β
3
)
jest iloczynem skalarnym w R
3
. Jest to zwykły, znany z kursu
geometrii, iloczyn skalarny.
Zamiast hv, wi = h(α
1
, α
2
, α
3
), (β
1
, β
2
, β
3
)i można w tym
przypadku pisać (α
1
, α
2
, α
3
) · (β
1
, β
2
, β
3
).
Iloczyn skalarny: przykłady
2. Ogólniej, wzór:
hv, wi = α
1
β
1
+ α
2
β
2
+ · · · α
n
β
n
=
n
X
i =1
α
i
β
i
dla v = (α
1
, α
2
, · · · α
n
), w = (β
1
, β
2
, · · · β
n
) określa iloczyn
skalarny w R
n
.
Iloczyn skalarny: przykłady
3. W przestrzeni funkcji ciągłych C (a, b) iloczyn skalarny można
wprowadzić wzorem:
hf , g i =
Z
b
a
f (x )g (x ) dx .
Np. w przestrzeni C (0, 2π):
hcos x, sin xi =
Z
2π
0
cos x sin x dx = 0,
hcos x, cos xi =
Z
2π
0
cos
2
x dx = π.
Iloczyn skalarny: przykłady
3. W przestrzeni funkcji ciągłych C (a, b) iloczyn skalarny można
wprowadzić wzorem:
hf , g i =
Z
b
a
f (x )g (x ) dx .
Np. w przestrzeni C (0, 2π):
hcos x, sin xi =
Z
2π
0
cos x sin x dx = 0,
hcos x, cos xi =
Z
2π
0
cos
2
x dx = π.
Iloczyn skalarny: przykłady
3. W przestrzeni funkcji ciągłych C (a, b) iloczyn skalarny można
wprowadzić wzorem:
hf , g i =
Z
b
a
f (x )g (x ) dx .
Np. w przestrzeni C (0, 2π):
hcos x, sin xi =
Z
2π
0
cos x sin x dx = 0,
hcos x, cos xi =
Z
2π
0
cos
2
x dx = π.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Definicja
W przestrzeni zespolonej V iloczyn skalarny to funkcja
V × V → C której wartość na parze wektorów (v, w) oznaczymy
przez hv, wi, przy czym spełnione są następujące własności:
1
hv, wi = hw, vi (skośna symetria),
2
hαv, wi = αhv, wi dla α ∈ C (jednorodność),
3
hv
1
+ v
2
, wi = hv
1
, wi + hv
2
, wi (addytywność),
4
dla dowolnego v ∈ V jest hv, vi 0, przy czym hv, vi = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Definicja
W przestrzeni zespolonej V iloczyn skalarny to funkcja
V × V → C której wartość na parze wektorów (v, w) oznaczymy
przez hv, wi, przy czym spełnione są następujące własności:
1
hv, wi = hw, vi (skośna symetria),
2
hαv, wi = αhv, wi dla α ∈ C (jednorodność),
3
hv
1
+ v
2
, wi = hv
1
, wi + hv
2
, wi (addytywność),
4
dla dowolnego v ∈ V jest hv, vi 0, przy czym hv, vi = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Definicja
W przestrzeni zespolonej V iloczyn skalarny to funkcja
V × V → C której wartość na parze wektorów (v, w) oznaczymy
przez hv, wi, przy czym spełnione są następujące własności:
1
hv, wi = hw, vi (skośna symetria),
2
hαv, wi = αhv, wi dla α ∈ C (jednorodność),
3
hv
1
+ v
2
, wi = hv
1
, wi + hv
2
, wi (addytywność),
4
dla dowolnego v ∈ V jest hv, vi 0, przy czym hv, vi = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Definicja
W przestrzeni zespolonej V iloczyn skalarny to funkcja
V × V → C której wartość na parze wektorów (v, w) oznaczymy
przez hv, wi, przy czym spełnione są następujące własności:
1
hv, wi = hw, vi (skośna symetria),
2
hαv, wi = αhv, wi dla α ∈ C (jednorodność),
3
hv
1
+ v
2
, wi = hv
1
, wi + hv
2
, wi (addytywność),
4
dla dowolnego v ∈ V jest hv, vi 0, przy czym hv, vi = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Definicja
W przestrzeni zespolonej V iloczyn skalarny to funkcja
V × V → C której wartość na parze wektorów (v, w) oznaczymy
przez hv, wi, przy czym spełnione są następujące własności:
1
hv, wi = hw, vi (skośna symetria),
2
hαv, wi = αhv, wi dla α ∈ C (jednorodność),
3
hv
1
+ v
2
, wi = hv
1
, wi + hv
2
, wi (addytywność),
4
dla dowolnego v ∈ V jest hv, vi 0, przy czym hv, vi = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej nie jest już jednorodny (a
więc nie jest także liniowy) ze względu na drugą zmienną.
Mamy
bowiem
hv, βwi = hβw, vi = βhw, vi = ¯
β · hw, vi = ¯
βhv, wi.
Przestrzeń zespoloną, w której jest określony iloczyn skalarny,
nazywamy
przestrzenią unitarną
.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej nie jest już jednorodny (a
więc nie jest także liniowy) ze względu na drugą zmienną. Mamy
bowiem
hv, βwi =
hβw, vi = βhw, vi = ¯
β · hw, vi = ¯
βhv, wi.
Przestrzeń zespoloną, w której jest określony iloczyn skalarny,
nazywamy
przestrzenią unitarną
.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej nie jest już jednorodny (a
więc nie jest także liniowy) ze względu na drugą zmienną. Mamy
bowiem
hv, βwi = hβw, vi =
βhw, vi = ¯
β · hw, vi = ¯
βhv, wi.
Przestrzeń zespoloną, w której jest określony iloczyn skalarny,
nazywamy
przestrzenią unitarną
.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej nie jest już jednorodny (a
więc nie jest także liniowy) ze względu na drugą zmienną. Mamy
bowiem
hv, βwi = hβw, vi = βhw, vi =
¯
β · hw, vi = ¯
βhv, wi.
Przestrzeń zespoloną, w której jest określony iloczyn skalarny,
nazywamy
przestrzenią unitarną
.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej nie jest już jednorodny (a
więc nie jest także liniowy) ze względu na drugą zmienną. Mamy
bowiem
hv, βwi = hβw, vi = βhw, vi = ¯
β · hw, vi =
¯
βhv, wi.
Przestrzeń zespoloną, w której jest określony iloczyn skalarny,
nazywamy
przestrzenią unitarną
.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej nie jest już jednorodny (a
więc nie jest także liniowy) ze względu na drugą zmienną. Mamy
bowiem
hv, βwi = hβw, vi = βhw, vi = ¯
β · hw, vi = ¯
βhv, wi.
Przestrzeń zespoloną, w której jest określony iloczyn skalarny,
nazywamy
przestrzenią unitarną
.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej nie jest już jednorodny (a
więc nie jest także liniowy) ze względu na drugą zmienną. Mamy
bowiem
hv, βwi = hβw, vi = βhw, vi = ¯
β · hw, vi = ¯
βhv, wi.
Przestrzeń zespoloną, w której jest określony iloczyn skalarny,
nazywamy
przestrzenią unitarną
.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Wzór:
hv, wi = α
1
β
1
+ α
2
β
2
+ · · · α
n
β
n
=
n
X
i =1
α
i
β
i
dla v = (α
1
, α
2
, · · · α
n
), w = (β
1
, β
2
, · · · β
n
) określa iloczyn
skalarny w C
n
.
Długość wektora
Wiadomo, że na płaszczyźnie, tj. w R
2
długość wektora v = (α, β)
się wzorem:
kvk =
q
α
2
+ β
2
Ale hv, vi = α
2
+ β
2
, więc inaczej:
kvk =
q
hv, vi
Norma wektora. Wektory ortogonalne.
Definicja
Niech V będzie przestrzenią euklidesową lub unitarną.
Normę
(długość) wektora
określamy wzorem
k v k=
q
hv, vi.
Wektory v, w nazywamy
ortogonalnymi (prostopadłymi)
gdy
hv, wi = 0.
Piszemy: v ⊥ w.
Norma wektora. Wektory ortogonalne.
Definicja
Niech V będzie przestrzenią euklidesową lub unitarną.
Normę
(długość) wektora
określamy wzorem
k v k=
q
hv, vi.
Wektory v, w nazywamy
ortogonalnymi (prostopadłymi)
gdy
hv, wi = 0.
Piszemy: v ⊥ w.
Własności normy
Twierdzenie
Dla dowolnego skalara α i dowolnych wektorów v, w mamy:
1
kαvk = |α|kvk,
2
kvk > 0 dla v 6= 0,
3
|hv, wi| ¬ kvk · kwk (nierówność Schwarza)
4
kv + wk ¬ kvk + kwk (nierówność trójkąta).
Własności normy
Twierdzenie
Dla dowolnego skalara α i dowolnych wektorów v, w mamy:
1
kαvk = |α|kvk,
2
kvk > 0 dla v 6= 0,
3
|hv, wi| ¬ kvk · kwk (nierówność Schwarza)
4
kv + wk ¬ kvk + kwk (nierówność trójkąta).
Własności normy
Twierdzenie
Dla dowolnego skalara α i dowolnych wektorów v, w mamy:
1
kαvk = |α|kvk,
2
kvk > 0 dla v 6= 0,
3
|hv, wi| ¬ kvk · kwk (nierówność Schwarza)
4
kv + wk ¬ kvk + kwk (nierówność trójkąta).
Własności normy
Twierdzenie
Dla dowolnego skalara α i dowolnych wektorów v, w mamy:
1
kαvk = |α|kvk,
2
kvk > 0 dla v 6= 0,
3
|hv, wi| ¬ kvk · kwk (nierówność Schwarza)
4
kv + wk ¬ kvk + kwk (nierówność trójkąta).
Dowód nierówności Schwarza
Jeśli w = 0, to nierówność jest prawdziwa. Załóżmy więc, że
w 6= 0.
Dla dowolnego z ∈ C mamy
hv − zw, v − zwi 0,
czyli
hv, vi − ¯
zhv, wi − zhw, vi + z ¯
zhw, wi 0.
Przyjmijmy z =
hv,wi
hw,wi
.
Dowód nierówności Schwarza
Jeśli w = 0, to nierówność jest prawdziwa. Załóżmy więc, że
w 6= 0. Dla dowolnego z ∈ C mamy
hv − zw, v − zwi 0,
czyli
hv, vi − ¯
zhv, wi − zhw, vi + z ¯
zhw, wi 0.
Przyjmijmy z =
hv,wi
hw,wi
.
Dowód nierówności Schwarza
Jeśli w = 0, to nierówność jest prawdziwa. Załóżmy więc, że
w 6= 0. Dla dowolnego z ∈ C mamy
hv − zw, v − zwi 0,
czyli
hv, vi − ¯
zhv, wi − zhw, vi + z ¯
zhw, wi 0.
Przyjmijmy z =
hv,wi
hw,wi
.
Dowód nierówności Schwarza
Jeśli w = 0, to nierówność jest prawdziwa. Załóżmy więc, że
w 6= 0. Dla dowolnego z ∈ C mamy
hv − zw, v − zwi 0,
czyli
hv, vi − ¯
zhv, wi − zhw, vi + z ¯
zhw, wi 0.
Przyjmijmy z =
hv,wi
hw,wi
.
Dowód nierówności Schwarza
hv, vi −
hv, wi
hw, wi
hv, wi −
hv, wi
hw, wi
hw, vi +
hv, wi
hw, wi
hv, wi
hw, wi
hw, wi 0,
czyli
kvk
2
−
|hv, wi|
2
kwk
2
0,
więc |hv, wi| ¬ kvk · kwk.
Dowód nierówności Schwarza
hv, vi −
hv, wi
hw, wi
hv, wi −
hv, wi
hw, wi
hw, vi +
hv, wi
hw, wi
hv, wi
hw, wi
hw, wi 0,
czyli
kvk
2
−
|hv, wi|
2
kwk
2
0,
więc |hv, wi| ¬ kvk · kwk.
Dowód nierówności Schwarza
hv, vi −
hv, wi
hw, wi
hv, wi −
hv, wi
hw, wi
hw, vi +
hv, wi
hw, wi
hv, wi
hw, wi
hw, wi 0,
czyli
kvk
2
−
|hv, wi|
2
kwk
2
0,
więc |hv, wi| ¬ kvk · kwk.
Dowód nierówności trójkąta
kv + wk
2
= hv + w, v + wi
= kvk
2
+ 2re hv, wi + kwk
2
,
ale
2re hv, wi ¬ 2|hv, wi| ¬ 2kvk · kwk.
Stąd kv + wk
2
¬ (kvk + kwk)
2
.
Dowód nierówności trójkąta
kv + wk
2
= hv + w, v + wi = kvk
2
+ 2re hv, wi + kwk
2
,
ale
2re hv, wi ¬ 2|hv, wi| ¬ 2kvk · kwk.
Stąd kv + wk
2
¬ (kvk + kwk)
2
.
Dowód nierówności trójkąta
kv + wk
2
= hv + w, v + wi = kvk
2
+ 2re hv, wi + kwk
2
,
ale
2re hv, wi ¬ 2|hv, wi| ¬ 2kvk · kwk.
Stąd kv + wk
2
¬ (kvk + kwk)
2
.
Dowód nierówności trójkąta
kv + wk
2
= hv + w, v + wi = kvk
2
+ 2re hv, wi + kwk
2
,
ale
2re hv, wi ¬ 2|hv, wi| ¬ 2kvk · kwk.
Stąd kv + wk
2
¬ (kvk + kwk)
2
.
Ortogonalny zbiór wektorów
Definicja
Dwa wektory v i w nazywają się
ortogonalnymi
, gdy
hv, wi = 0.
Zbiór {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} nazywa się
ortogonalnym
zbiorem wektorów
, gdy:
1
wszystkie wektory v
i
, i = 1, 2, . . . , n są niezerowe,
2
hv
i
, v
j
i = 0 dla i 6= j.
Ortogonalny zbiór wektorów, w którym wszystkie wektory mają
długość jeden, nazywa się zbiorem
ortonormalnym
.
Ortogonalny zbiór wektorów
Definicja
Dwa wektory v i w nazywają się
ortogonalnymi
, gdy
hv, wi = 0. Zbiór {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} nazywa się
ortogonalnym
zbiorem wektorów
, gdy:
1
wszystkie wektory v
i
, i = 1, 2, . . . , n są niezerowe,
2
hv
i
, v
j
i = 0 dla i 6= j.
Ortogonalny zbiór wektorów, w którym wszystkie wektory mają
długość jeden, nazywa się zbiorem
ortonormalnym
.
Ortogonalny zbiór wektorów
Definicja
Dwa wektory v i w nazywają się
ortogonalnymi
, gdy
hv, wi = 0. Zbiór {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} nazywa się
ortogonalnym
zbiorem wektorów
, gdy:
1
wszystkie wektory v
i
, i = 1, 2, . . . , n są niezerowe,
2
hv
i
, v
j
i = 0 dla i 6= j.
Ortogonalny zbiór wektorów, w którym wszystkie wektory mają
długość jeden, nazywa się zbiorem
ortonormalnym
.
Ortogonalny zbiór wektorów
Definicja
Dwa wektory v i w nazywają się
ortogonalnymi
, gdy
hv, wi = 0. Zbiór {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} nazywa się
ortogonalnym
zbiorem wektorów
, gdy:
1
wszystkie wektory v
i
, i = 1, 2, . . . , n są niezerowe,
2
hv
i
, v
j
i = 0 dla i 6= j.
Ortogonalny zbiór wektorów, w którym wszystkie wektory mają
długość jeden, nazywa się zbiorem
ortonormalnym
.
Ortogonalny zbiór wektorów
Wykazać, że w R
4
zbiór wektorów (2, −1, 4, 5), (0, −1, 1, −1),
(0, 3, 2, −1) jest ortogonalny.
Jak zwykle, gdy iloczyn nie jest wyraźnie określony, przyjmujemy,
że chodzi o standardowy iloczyn skalarny. Obliczamy iloczyny:
(2, −1, 4, 5) · (0, −1, 1, −1) = 2 · 0 + (−1) · (−1) + 4 · 1 + 5 · (−1) = 0,
(2, −1, 4, 5) · (0, 3, 2, −1) = 2 · 0 + (−1) · 3 + 4 · 2 + 5 · (−1) = 0,
(0, −1, 1, −1) · (0, 3, 2, −1) = 0 · 0 + (−1) · 3 + 1 · 2 + (−1) · (−1) = 0.
Ortogonalny zbiór wektorów
Wykazać, że w R
4
zbiór wektorów (2, −1, 4, 5), (0, −1, 1, −1),
(0, 3, 2, −1) jest ortogonalny.
Jak zwykle, gdy iloczyn nie jest wyraźnie określony, przyjmujemy,
że chodzi o standardowy iloczyn skalarny. Obliczamy iloczyny:
(2, −1, 4, 5) · (0, −1, 1, −1) = 2 · 0 + (−1) · (−1) + 4 · 1 + 5 · (−1) = 0,
(2, −1, 4, 5) · (0, 3, 2, −1) = 2 · 0 + (−1) · 3 + 4 · 2 + 5 · (−1) = 0,
(0, −1, 1, −1) · (0, 3, 2, −1) = 0 · 0 + (−1) · 3 + 1 · 2 + (−1) · (−1) = 0.
Ortogonalny zbiór wektorów
Wykazać, że w R
4
zbiór wektorów (2, −1, 4, 5), (0, −1, 1, −1),
(0, 3, 2, −1) jest ortogonalny.
Jak zwykle, gdy iloczyn nie jest wyraźnie określony, przyjmujemy,
że chodzi o standardowy iloczyn skalarny. Obliczamy iloczyny:
(2, −1, 4, 5) · (0, −1, 1, −1) = 2 · 0 + (−1) · (−1) + 4 · 1 + 5 · (−1) = 0,
(2, −1, 4, 5) · (0, 3, 2, −1) = 2 · 0 + (−1) · 3 + 4 · 2 + 5 · (−1) = 0,
(0, −1, 1, −1) · (0, 3, 2, −1) = 0 · 0 + (−1) · 3 + 1 · 2 + (−1) · (−1) = 0.
Ortogonalny zbiór wektorów
Wykazać, że w R
4
zbiór wektorów (2, −1, 4, 5), (0, −1, 1, −1),
(0, 3, 2, −1) jest ortogonalny.
Jak zwykle, gdy iloczyn nie jest wyraźnie określony, przyjmujemy,
że chodzi o standardowy iloczyn skalarny. Obliczamy iloczyny:
(2, −1, 4, 5) · (0, −1, 1, −1) = 2 · 0 + (−1) · (−1) + 4 · 1 + 5 · (−1) = 0,
(2, −1, 4, 5) · (0, 3, 2, −1) = 2 · 0 + (−1) · 3 + 4 · 2 + 5 · (−1) = 0,
(0, −1, 1, −1) · (0, 3, 2, −1) = 0 · 0 + (−1) · 3 + 1 · 2 + (−1) · (−1) = 0.
Ortogonalny zbiór wektorów
Twierdzenie
Niech {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} będzie ortogonalnym zbiorem wektorów.
Wtedy
1
zbiór {λ
1
v
1
, λ
2
v
2
, . . . , λ
n
v
n
} jest także ortogonalny dla
dowolnych skalarów λ
i
6= 0,
2
zbiór {
1
kv
1
k
v
1
,
1
kv
2
k
v
2
, . . . ,
1
kv
n
k
v
n
} jest ortonormalny.
Ortogonalność a liniowa niezależność
Twierdzenie
Każdy ortogonalny zbiór wektorów jest liniowo niezależny.
D o w ó d. Niech {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} będzie ortogonalny i przypuśćmy,
że
v = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
= 0.
Obliczamy iloczyn skalarny wektorów v, v
1
:
0
=
h0, v
1
i = hλ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
, v
1
i =
=
λ
1
hv
1
, v
1
i + λ
2
hv
2
, v
1
i + · · · + λ
n
hv
n
, v
1
i =
=
λ
1
kv
1
k
2
+ 0 + · · · + 0 = λ
1
kv
1
k
2
.
Stąd λ
1
= 0 i podobnie λ
2
= λ
3
= . . . = λ
n
= 0.
Ortogonalność a liniowa niezależność
Twierdzenie
Każdy ortogonalny zbiór wektorów jest liniowo niezależny.
D o w ó d. Niech {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} będzie ortogonalny i przypuśćmy,
że
v = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
= 0.
Obliczamy iloczyn skalarny wektorów v, v
1
:
0
=
h0, v
1
i = hλ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
, v
1
i =
=
λ
1
hv
1
, v
1
i + λ
2
hv
2
, v
1
i + · · · + λ
n
hv
n
, v
1
i =
=
λ
1
kv
1
k
2
+ 0 + · · · + 0 = λ
1
kv
1
k
2
.
Stąd λ
1
= 0 i podobnie λ
2
= λ
3
= . . . = λ
n
= 0.
Ortogonalność a liniowa niezależność
Twierdzenie
Każdy ortogonalny zbiór wektorów jest liniowo niezależny.
D o w ó d. Niech {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} będzie ortogonalny i przypuśćmy,
że
v = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
= 0.
Obliczamy iloczyn skalarny wektorów v, v
1
:
0
=
h0, v
1
i = hλ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
, v
1
i =
=
λ
1
hv
1
, v
1
i + λ
2
hv
2
, v
1
i + · · · + λ
n
hv
n
, v
1
i =
=
λ
1
kv
1
k
2
+ 0 + · · · + 0 = λ
1
kv
1
k
2
.
Stąd λ
1
= 0 i podobnie λ
2
= λ
3
= . . . = λ
n
= 0.
Ortogonalność a liniowa niezależność
Twierdzenie
Każdy ortogonalny zbiór wektorów jest liniowo niezależny.
D o w ó d. Niech {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} będzie ortogonalny i przypuśćmy,
że
v = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
= 0.
Obliczamy iloczyn skalarny wektorów v, v
1
:
0
=
h0, v
1
i = hλ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
, v
1
i =
=
λ
1
hv
1
, v
1
i + λ
2
hv
2
, v
1
i + · · · + λ
n
hv
n
, v
1
i =
=
λ
1
kv
1
k
2
+ 0 + · · · + 0 = λ
1
kv
1
k
2
.
Stąd λ
1
= 0 i podobnie λ
2
= λ
3
= . . . = λ
n
= 0.
Ortogonalność a liniowa niezależność
Twierdzenie
Każdy ortogonalny zbiór wektorów jest liniowo niezależny.
D o w ó d. Niech {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} będzie ortogonalny i przypuśćmy,
że
v = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
= 0.
Obliczamy iloczyn skalarny wektorów v, v
1
:
0
=
h0, v
1
i = hλ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
, v
1
i =
=
λ
1
hv
1
, v
1
i + λ
2
hv
2
, v
1
i + · · · + λ
n
hv
n
, v
1
i =
=
λ
1
kv
1
k
2
+ 0 + · · · + 0 = λ
1
kv
1
k
2
.
Stąd λ
1
= 0 i podobnie λ
2
= λ
3
= . . . = λ
n
= 0.
Ortogonalność a liniowa niezależność
Twierdzenie
Każdy ortogonalny zbiór wektorów jest liniowo niezależny.
D o w ó d. Niech {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} będzie ortogonalny i przypuśćmy,
że
v = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
= 0.
Obliczamy iloczyn skalarny wektorów v, v
1
:
0
=
h0, v
1
i = hλ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
, v
1
i =
=
λ
1
hv
1
, v
1
i + λ
2
hv
2
, v
1
i + · · · + λ
n
hv
n
, v
1
i =
=
λ
1
kv
1
k
2
+ 0 + · · · + 0 = λ
1
kv
1
k
2
.
Stąd λ
1
= 0 i podobnie λ
2
= λ
3
= . . . = λ
n
= 0.
Baza ortogonalna
Definicja
Bazę przestrzeni V składającą się z wektorów ortogonalnych
nazywamy
bazą ortogonalną
.
Współrzędne w bazie ortogonalnej
Twierdzenie (o rozwinięciu)
Niech {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} będzie bazą ortogonalną przestrzeni V z
iloczynem skalarnym h·, ·i. Jeśli v jest dowolnym wektorem
przestrzeni V , to:
v =
hv, v
1
i
kv
1
k
2
v
1
+
hv, v
2
i
kv
2
k
2
v
2
+ · · · +
hv, v
n
i
kv
n
k
2
v
n
jest przedstawieniem v jako kombinacji liniowej wektorów bazy.
Współrzędne w bazie ortogonalnej
Twierdzenie (o rozwinięciu)
Niech {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} będzie bazą ortogonalną przestrzeni V z
iloczynem skalarnym h·, ·i. Jeśli v jest dowolnym wektorem
przestrzeni V , to:
v =
hv, v
1
i
kv
1
k
2
v
1
+
hv, v
2
i
kv
2
k
2
v
2
+ · · · +
hv, v
n
i
kv
n
k
2
v
n
jest przedstawieniem v jako kombinacji liniowej wektorów bazy.
Współrzędne w bazie ortogonalnej
D o w ó d. Wektory v
i
stanowią bazę, więc
v = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
dla pewnych skalarów λ
i
.
Wtedy
hv, v
i
i = λ
i
kv
i
k
2
, więc λ
i
=
hv,v
i
i
kv
i
k
2
.
Współrzędne w bazie ortogonalnej
D o w ó d. Wektory v
i
stanowią bazę, więc
v = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
dla pewnych skalarów λ
i
. Wtedy
hv, v
i
i = λ
i
kv
i
k
2
, więc λ
i
=
hv,v
i
i
kv
i
k
2
.
Wykazać, że B = {(1, −1, 3), (−2, 1, 1), (4, 7, 1)} jest bazą
ortogonalną przestrzeni R
3
i przedstawić wektor x = (ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) w
tej bazie.
Obliczamy:
(1, −1, 3)·(−2, 1, 1) = 0, (1, −1, 3)·(4, 7, 1) = 0, (−2, 1, 1)·(4, 7, 1) = 0.
Zatem wektory są parami ortogonalne, więc tworzą bazę.
Obliczamy iloczyny skalarne:
(ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) · (1, −1, 3) = ξ
1
− ξ
2
+ 3ξ
3
,
(ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) · (−2, 1, 1) = −2ξ
1
+ ξ
2
+ ξ
3
,
(ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) · (4, 7, 1) = 4ξ
1
+ 7ξ
2
+ ξ
3
,
Wykazać, że B = {(1, −1, 3), (−2, 1, 1), (4, 7, 1)} jest bazą
ortogonalną przestrzeni R
3
i przedstawić wektor x = (ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) w
tej bazie.
Obliczamy:
(1, −1, 3)·(−2, 1, 1) = 0, (1, −1, 3)·(4, 7, 1) = 0, (−2, 1, 1)·(4, 7, 1) = 0.
Zatem wektory są parami ortogonalne, więc tworzą bazę.
Obliczamy iloczyny skalarne:
(ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) · (1, −1, 3) = ξ
1
− ξ
2
+ 3ξ
3
,
(ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) · (−2, 1, 1) = −2ξ
1
+ ξ
2
+ ξ
3
,
(ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) · (4, 7, 1) = 4ξ
1
+ 7ξ
2
+ ξ
3
,
Wykazać, że B = {(1, −1, 3), (−2, 1, 1), (4, 7, 1)} jest bazą
ortogonalną przestrzeni R
3
i przedstawić wektor x = (ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) w
tej bazie.
Obliczamy:
(1, −1, 3)·(−2, 1, 1) = 0, (1, −1, 3)·(4, 7, 1) = 0, (−2, 1, 1)·(4, 7, 1) = 0.
Zatem wektory są parami ortogonalne, więc tworzą bazę.
Obliczamy iloczyny skalarne:
(ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) · (1, −1, 3) = ξ
1
− ξ
2
+ 3ξ
3
,
(ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) · (−2, 1, 1) = −2ξ
1
+ ξ
2
+ ξ
3
,
(ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) · (4, 7, 1) = 4ξ
1
+ 7ξ
2
+ ξ
3
,
Współrzędne w bazie ortogonalnej
a następnie normy wektorów bazy. Są to kolejno
√
11,
√
6,
√
66.
Zatem
x =
ξ
1
− ξ
2
+ 3ξ
3
11
,
−2ξ
1
+ ξ
2
+ ξ
3
6
,
4ξ
1
+ 7ξ
2
+ ξ
3
66
.
Współrzędne w bazie ortogonalnej
a następnie normy wektorów bazy. Są to kolejno
√
11,
√
6,
√
66.
Zatem
x =
ξ
1
− ξ
2
+ 3ξ
3
11
,
−2ξ
1
+ ξ
2
+ ξ
3
6
,
4ξ
1
+ 7ξ
2
+ ξ
3
66
.
Twierdzenie
Dla dowolnej macierzy A stopnia n następujące warunki są
równoważne:
1) A jest odwracalna i A
−1
= A
T
,
2) wiersze macierzy A są ortonormalne,
3) kolumny macierzy A są ortonormalne.
D o w ó d. Pierwszy warunek jest równoważny równości
AA
T
= A
T
A = I.
Niech v
1
, v
2
, . . ., v
n
oznaczają wiersze macierzy
A. Wtedy v
T
j
jest j -tą kolumną macierzy A
T
, więc elementem
(i , j ) macierzy AA
T
jest hv
i
, v
j
i. Zatem warunek AA
T
= I znaczy,
że hv
i
, v
j
i = 0, gdy i 6= j i hv
i
, v
j
i = 1, gdy i = j, więc (1) ⇔ (2).
Podobnie dowodzi się, że (1) ⇔ (3).
D o w ó d. Pierwszy warunek jest równoważny równości
AA
T
= A
T
A = I. Niech v
1
, v
2
, . . ., v
n
oznaczają wiersze macierzy
A. Wtedy v
T
j
jest j -tą kolumną macierzy A
T
,
więc elementem
(i , j ) macierzy AA
T
jest hv
i
, v
j
i. Zatem warunek AA
T
= I znaczy,
że hv
i
, v
j
i = 0, gdy i 6= j i hv
i
, v
j
i = 1, gdy i = j, więc (1) ⇔ (2).
Podobnie dowodzi się, że (1) ⇔ (3).
D o w ó d. Pierwszy warunek jest równoważny równości
AA
T
= A
T
A = I. Niech v
1
, v
2
, . . ., v
n
oznaczają wiersze macierzy
A. Wtedy v
T
j
jest j -tą kolumną macierzy A
T
, więc elementem
(i , j ) macierzy AA
T
jest hv
i
, v
j
i.
Zatem warunek AA
T
= I znaczy,
że hv
i
, v
j
i = 0, gdy i 6= j i hv
i
, v
j
i = 1, gdy i = j, więc (1) ⇔ (2).
Podobnie dowodzi się, że (1) ⇔ (3).
D o w ó d. Pierwszy warunek jest równoważny równości
AA
T
= A
T
A = I. Niech v
1
, v
2
, . . ., v
n
oznaczają wiersze macierzy
A. Wtedy v
T
j
jest j -tą kolumną macierzy A
T
, więc elementem
(i , j ) macierzy AA
T
jest hv
i
, v
j
i. Zatem warunek AA
T
= I znaczy,
że hv
i
, v
j
i = 0, gdy i 6= j
i hv
i
, v
j
i = 1, gdy i = j, więc (1) ⇔ (2).
Podobnie dowodzi się, że (1) ⇔ (3).
D o w ó d. Pierwszy warunek jest równoważny równości
AA
T
= A
T
A = I. Niech v
1
, v
2
, . . ., v
n
oznaczają wiersze macierzy
A. Wtedy v
T
j
jest j -tą kolumną macierzy A
T
, więc elementem
(i , j ) macierzy AA
T
jest hv
i
, v
j
i. Zatem warunek AA
T
= I znaczy,
że hv
i
, v
j
i = 0, gdy i 6= j i hv
i
, v
j
i = 1, gdy i = j, więc (1) ⇔ (2).
Podobnie dowodzi się, że (1) ⇔ (3).
Macierz ortogonalna: definicja
Macierz stopnia n nazywamy
ortogonalną
, jeśli spełnia jeden (a
więc i wszystkie) z powyższych warunków.
Macierz
A =
"
1
2
√
3
2
−
√
3
2
1
2
#
jest ortogonalna, bo kv
1
k = kv
2
k = 1 i hv
1
, v
2
i = 0. Zatem
A
−1
= A
T
=
"
1
2
−
√
3
2
√
3
2
1
2
#
.
Macierz ortogonalna: definicja
Macierz stopnia n nazywamy
ortogonalną
, jeśli spełnia jeden (a
więc i wszystkie) z powyższych warunków. Macierz
A =
"
1
2
√
3
2
−
√
3
2
1
2
#
jest ortogonalna, bo kv
1
k = kv
2
k = 1 i hv
1
, v
2
i = 0.
Zatem
A
−1
= A
T
=
"
1
2
−
√
3
2
√
3
2
1
2
#
.
Macierz ortogonalna: definicja
Macierz stopnia n nazywamy
ortogonalną
, jeśli spełnia jeden (a
więc i wszystkie) z powyższych warunków. Macierz
A =
"
1
2
√
3
2
−
√
3
2
1
2
#
jest ortogonalna, bo kv
1
k = kv
2
k = 1 i hv
1
, v
2
i = 0. Zatem
A
−1
= A
T
=
"
1
2
−
√
3
2
√
3
2
1
2
#
.
Macierz ortogonalna: przykład
Macierz
B =
"
1
2
√
3
2
√
3
2
1
2
#
nie jest ortogonalna, bo hv
1
, v
2
i =
√
3
2
6= 0.