1.
Zapisanie nierównoÊci w postaci:
x
x
2
5
3
2
-
-
-
G
.
1
Rozwiàzanie nierównoÊci w zbiorze liczb rzeczywistych:
,
x
4
3
3
4
1
!
c
m
.
1
Zapisanie wszystkich liczb ca∏kowitych spe∏niajàcych podanà nierównoÊç:
1
, ,
x
1 2 3
! #
-
.
2.
Zapisanie wielomianu w postaci
W x
a x
x
1
3
2
=
+
-
_
_
_
i
i
i
.
1
Wykorzystanie informacji
W 0
9
=
_ i
do podania wartoÊci wspó∏czynnika
d
1
i obliczenia wartoÊci wspó∏czynnika
a
:
,
d
a
9
1
=
=
.
Przekszta∏cenie wielomianu
W x
x
x
1
3
2
=
+
-
_
_
_
i
i
i
do postaci umo˝liwiajàcej
1
odczytanie wartoÊci pozosta∏ych wspó∏czynników i zapisanie:
,
b
c
5
3
= -
=
.
3.
Narysowanie wykresu funkcji w zbiorze liczb rzeczywistych:
3
Zapisanie rozwiàzania nierównoÊci
f x
2
H
_ i
:
,
x
1
4
,
3
!
+
i
# -
.
1
Narysowanie wykresu funkcji
g
: np. przesuni´cie wykresu funkcji o
2
jednostki
2
w prawo
y
f x
2
=
-
_
i
i przekszta∏cenie otrzymanego wykresu w symetrii
wzgl´dem osi
OX g x
f x
2
= -
-
_
_
i
i
.
(po 1 pkt
za
narysowanie
wykresu
w ka˝dym
z przedzia-
∏ów)
X
Y
1
1
0
f
(po 1 pkt
za ka˝de
przekszta∏-
cenie)
1
w w w. o p e r o n . p l
Modele odpowiedzi do przyk∏adowego arkusza egzaminacyjnego
Matematyka
Poziom rozszerzony
Numer
Modelowe etapy rozwiàzywania zadania
Liczba
zadania
punktów
4.
Przedstawienie liczb
m
i
n
w postaci np.
m
k
r
7
=
+
,
n
l
r
7
=
+
, 1
gdzie
k
,
l
,
r
N
!
i
<
r
7
.
Wyznaczenie
(
)
m
n
k
l
kr
lr
7 7
7
2
2
2
2
2
2
-
=
-
+
-
.
1
Stwierdzenie, ˝e iloczyn liczb ca∏kowitych, w którym jednym z czynników jest
1
liczbà
7
jest podzielny przez
7
.
5.
Zapisanie za∏o˝eƒ:
sin
x
x
tg
i
0
0
!
!
lub
cos
sin
x
x
i
0
0
!
!
.
1
Zastosowanie wzoru
cos
sin
tg =
a
a
a
i przekszta∏cenie równania do postaci:
1
cos
cos sin
sin
x
x
x
x
2
2
1
-
=
-
.
Przekszta∏cenie równania do postaci iloczynowej:
cos
sin
x
x
2
1 1
0
-
-
=
_
_
i
i
.
1
Rozwiàzanie równania
sin x
1
=
dla
,
x
0 2
!
r
_
i
,
x
2
= r
i zapisanie, ˝e to
1
rozwiàzanie nie spe∏nia za∏o˝eƒ.
Rozwiàzanie równania
cos x
2
1
=
dla
,
x
0 2
!
r
_
i
i zapisanie rozwiàzania
1
równania
cos
sin
sin
x
x
x
x
tg
1
2
1
-
=
-
:
x
x
lub
3
3
5
=
=
r
r
.
6.
Wyznaczenie ró˝nicy ciàgu
(
)
a
n
:
r
2
=
.
1
Wyznaczenie pierwszego wyrazu ciàgu
(
)
a
n
:
a
11
1
= -
.
1
Wyznaczenie jedenastego wyrazu ciàgu
(
)
a
n
:
a
9
11
=
,
a
27
20
=
.
1
Zapisanie za pomocà równania warunku, ˝e ciàg
,
,
a a
a
8
11
20
_
i
jest ciàgiem
1
geometrycznym i podanie wniosku: np.
a
a a
11
2
8
20
$
=
, ciàg
,
,
a a
a
8
11
20
_
i
jest
geometryczny.
Podanie wzoru na wyraz ogólny ciàgu
(
)
a
n
:
a
n
2
13
n
=
-
.
1
Zapisanie wzoru na sum´ cz´Êciowà:
S
n
n
12
n
2
=
-
.
1
Wyznaczenie wartoÊci
n
, dla której
S
n
osiàga wartoÊç najmniejszà:
n
6
=
.
1
7.
Zapisanie logarytmów o podstawach
8
i
4
1
za pomocà logarytmu o podstawie 2:
1
2
log
log
log
3
3
1
27
2
1
9
2
2
2
-
-
.
Zastosowanie w∏asnoÊci logarytmów do zapisania wyra˝enia w postaci:
2
log 3
2
-
.
1
Obliczenie wartoÊci wyra˝enia
2
log
log
log
3
27
9
2
8
4
1
-
+
:
3
1
.
1
Zapisanie wniosku:
> ,
2
3
1
0 33
log
log
log
3
27
9
2
8
4
1
=
-
+
.
1
8.
Zapisanie mocy zbioru wszystkich zdarzeƒ elementarnych
X
:
n
2
=
X
e o
,
n
5
H
.
1
2
w w w. o p e r o n . p l
Matematyka. Poziom rozszerzony
Numer
Modelowe etapy rozwiàzywania zadania
Liczba
zadania
punktów
Zapisanie mocy zbioru zdarzeƒ elementarnych sprzyjajàcych zdarzeniu
A
: 1
A
5
2
= e o
.
Zapisanie równania wynikajàcego z treÊci zadania:
1
n
2
5
2
21
2
=
e
e
o
o
.
Przekszta∏cenie równania do postaci równania kwadratowego, np.:
1
n
n
210
0
2
-
-
=
.
Rozwiàzanie równania kwadratowego z uwzgl´dnieniem za∏o˝enia:
n
15
=
. 1
9.
Wyznaczenie równania prostej
AC
:
y
x
2
1
2
1
=
-
.
1
Wyznaczenie wspó∏rz´dnych punktu
S
, b´dàcego Êrodkiem odcinka
AC
: 1
,
S
1 0
=
_
i
.
Wyznaczenie równania prostej
BD
:
y
x
2
2
= -
+
.
1
Zapisanie zale˝noÊci pozwalajàcej wyznaczyç wspó∏rz´dne pozosta∏ych
1
wierzcho∏ków rombu: np.
x
x
3
2
4
5
2
2
+
+ -
+
=
_
_
i
i
.
Zapisanie wspó∏rz´dnych wierzcho∏ków
B
i
D
:
,
B
2
2
=
-
_
i
i
,
D
0 2
=
_
i
.
1
10.
Wyznaczenie wysokoÊci
h
trapezu:
h
6
=
.
1
Obliczenie d∏ugoÊci ramion
c
i
d
trapezu:
c
4 3
=
,
d
12
=
.
1
Wykorzystanie warunku opisywalnoÊci czworokàta na okr´gu do obliczenia
1
sumy d∏ugoÊci podstaw
a
i
b
trapezu:
a
b
4 3
12
+
=
+
.
Obliczenie pola trapezu:
P
12
3
3
=
+
`
j
.
1
11.
Wykonanie rysunku pomocniczego i zaznaczenie na nim przekroju p∏aszczyznà
1
równoleg∏à do p∏aszczyzny podstawy.
Obliczenie promienia przekroju sto˝ka p∏aszczyznà równoleg∏à do p∏aszczyzny
1
podstawy:
r
3
=
.
Obliczenie wysokoÊci sto˝ka, którego przekrój osiowy jest trójkàtem
1
równobocznym o boku d∏ugoÊci
6
:
h
3 3
=
.
Obliczenie obj´toÊci sto˝ka, którego przekrój osiowy jest trójkàtem
1
równobocznym o boku d∏ugoÊci
6
:
V
9
3
=
r
.
Zapisanie, ˝e obj´toÊç sto˝ka jest nie mniejsza od obj´toÊci sto˝ka, którego
1
przekrój osiowy jest trójkàtem równobocznym o boku d∏ugoÊci
6
, czyli jest
wi´ksza od
48
, bo
<
48
9
3
r
.
3
w w w. o p e r o n . p l
Matematyka. Poziom rozszerzony
Numer
Modelowe etapy rozwiàzywania zadania
Liczba
zadania
punktów