J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 10 • KMBiM WILiŚ PG
1
Pasmo tarczowe – kontynuacja
Ćwiczenie 10
Repetytorium z tarcz
Przypadek szczególny
z zakresu zagadnień pasm tarczowych –
tarcza bardzo wysoka
b
→ ∞
, tzn.
Zbadamy graniczne wartości stałych
n
c i
n
d przy b
→ ∞.
Przywołajmy wzory na naprężenia
11
σ
:
(
)
(
)
2
11
1
1
1
1
1
1
cos
cos
cos
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x b
n
n
n
a
x
a
a
c
x
a
a
d
x
σ
α
α
α
∞
∞
∞
=
=
=
=
=
⋅
−
+
⋅ ⋅
+
−
⋅ ⋅
∑
∑
∑
oraz:
(
)
(
)
2
11
1
1
1
1
1
1
cos
cos
cos
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
b
n
n
n
a
x
a
a
c
x
a
a
d
x
σ
α
α
α
∞
∞
∞
=−
=
=
=
=
⋅
−
+
⋅ ⋅
−
−
⋅ ⋅
∑
∑
∑
gdzie:
2
2
n
n
n
n
b
c
sh 2
b
b
α
α
α
=
+
oraz
2
2
n
n
n
n
b
d
sh 2
b
b
α
α
α
=
−
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 10 • KMBiM WILiŚ PG
2
Wzory na
n
c
i
n
d
mają więc następującą strukturę:
1
,
lim
1
n
n
x
c d
sh x
x
→∞
=
±
Z twierdzenia de l’Hôspitala mamy:
lim
2
x
x
x
e
e
x
−
→∞
−
lim
2
x
x
H
x
e
e
−
→∞
+
→
= ∞
Zatem, przy b
→ ∞ mamy
0
n
c
→ oraz
0
n
d
→
Mamy stąd bardzo interesujący wynik:
(
)
( )
11
2
1
0
1
2
x
b
p x
a
σ
= − =
−
Często, dla obciążeń samorównoważących się:
0
0
a
=
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 10 • KMBiM WILiŚ PG
3
Przykład numeryczny b l
=
:
,
5
l
c
=
→
'
1
4
q
q
=
(
)
q
const
=
kN
m
/ 5
l
/ 5
l
4q
4q
q
g
×
l
1
x
2
x
l
b
l
=
b
l
=
2c
2c
A
A
B
B
0, 088
0,156
1, 002
0, 088
0,186
2
q kN
g m
×
4, 002
B
B
−
11
σ
A
A
−
porównanie ze wzorem
dla:
b
l
= = ∞
→ bardzo dobre przybliżenie
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 10 • KMBiM WILiŚ PG
4
Porównanie z
teorią belek:
Wskaźnik wytrzymałości:
( )
2
2
2
2
6
3
g
l
W
gl
⋅
=
= ⋅
Naprężenia w przęśle:
2
,
2
3
0, 25
6 2
g d
ql
q
gl
g
σ
⋅
=
=
⋅
⋅
Naprężenia w podporze:
2
,
2
3
0,50
3 2
g d
ql
q
gl
g
σ
⋅
=
=
⋅
⋅
Wniosek:
b
l
=
Stosowanie teorii belek w przypadku tarcz o proporcjach
wymiarów jak powyżej (
) nie ma sensu!
2l
2l
2l
∞
q
( )
2
2
2
24
6
q
l
ql
⋅
=
( )
2
2
2
12
3
q
l
ql
⋅
=
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 10 • KMBiM WILiŚ PG
5
q
Uwagi:
1)
Przyłożenie obciążenia
kN
m
na górnym lub na dolnym brzegu
(ewentualnie między górnym, a dolnym brzegiem tarczy)
nie
wpływa na rozkład naprężeń
11
σ
i
12
σ
, a
wpływa jedynie
na
naprężenia
22
σ
.
Wynika to z następującego rozumowania:
22
σ
q
g
l
q
1
x
2
x
g
×
l
q
g
22
σ
q
q
l
1
x
2
x
g
×
l
22
σ
q
g
11
0
σ
=
12
0
σ
=
→ bo są to kier. główne
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 10 • KMBiM WILiŚ PG
6
2)
Podobnie rozwiązuje się tarcze zakrzywione w planie
→ zbiorniki i silosy
:
Rozwini
ęcie
:
Konstrukcja
2c
2c
2
2
R
l
n
π
=
R
n podpór
(
)
6
tutaj n
=
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 10 • KMBiM WILiŚ PG
7
3)
Przykład „bezwładności” myślenia inżynierskiego:
→ Inżynierowie nie znający teorii tarcz projektowali belki jakoby
dźwigające ścianę żelbetową. W rzeczywistości mamy tu do
czynienia z tarczą zginaną o wymiarach
2
2
b
l
×
!
2c
2c
2l
2b
zbędna (błędna)
belka żelbetowa
ściana betonowa
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 10 • KMBiM WILiŚ PG
8
REPETYTORIUM Z TARCZ
Zadanie 1:
Przeanalizować stan naprężenia w tarczy.
Funkcja naprężeń Airy’ego dana jest wzorem:
( )
2
2
,
sin
F r
C r
ϕ
ϕ
= ⋅ ⋅
, gdzie:
C
const
=
,
0
C
>
Rozwiązanie zadania 1:
Składowe stanu naprężenia obliczamy ze wzorów:
2
2
2
1
1
rr
F
F
r
r
r
σ
ϕ
∂
∂
= ⋅
+
⋅
∂
∂
,
2
2
F
r
ϕϕ
σ
∂
=
∂
,
1
r
F
r r
ϕ
σ
ϕ
∂
∂
= −
⋅
∂
∂
Obliczamy pomocnicze pochodne funkcji
( )
,
F r
ϕ
:
(
)
2
2
2
( , )
sin
2
sin
F r
C r
r C
r
r
ϕ
ϕ
ϕ
∂
∂
→
=
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
∂
∂
(
)
2
2
2
2
( , )
2
sin
2
sin
F r
r C
C
r
r
ϕ
ϕ
ϕ
∂
∂
→
=
⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
∂
∂
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 10 • KMBiM WILiŚ PG
9
(
)
2
2
2
2
( , )
sin
2
sin
cos
sin 2
F r
C r
C r
C r
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
∂
∂
→
=
⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
⋅
= ⋅ ⋅
∂
∂
(
)
2
2
2
2
( , )
sin 2
2
cos 2
F r
C r
C r
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
∂
∂
→
=
⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
∂
∂
(
)
2
1
( , )
1
sin 2
sin 2
sin 2
F r
C r
C r
C
r r
r r
r
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
∂
∂
∂
∂
→ −
⋅
= −
⋅ ⋅ ⋅
= −
⋅ ⋅
= − ⋅
∂
∂
∂
∂
Składowe stanu naprężenia:
2
2
2
1
1
rr
F
F
r
r
r
σ
ϕ
∂
∂
= ⋅
+
⋅
∂
∂
(
)
(
)
2
2
2
1
1
2
sin
2
cos 2
r C
C r
r
r
ϕ
ϕ
= ⋅
⋅ ⋅
+
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2
2
sin
2
cos 2
rr
C
C
σ
ϕ
ϕ
= ⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅
→
2
2
cos
rr
C
σ
ϕ
= ⋅ ⋅
2
2
F
r
ϕϕ
σ
∂
=
∂
→
2
2
sin
C
ϕϕ
σ
ϕ
= ⋅ ⋅
1
r
F
r r
ϕ
σ
ϕ
∂
∂
= −
⋅
→
∂
∂
sin 2
r
C
ϕ
σ
ϕ
= − ⋅
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 10 • KMBiM WILiŚ PG
10
Zatem:
2
2
cos
rr
C
σ
ϕ
= ⋅ ⋅
,
2
2
sin
C
ϕϕ
σ
ϕ
= ⋅ ⋅
,
sin 2
r
C
ϕ
σ
ϕ
= − ⋅
tak więc:
→ dla
0
ϕ
= ° zachodzi:
2
rr
C
σ
=
,
0
ϕϕ
σ
=
,
0
r
ϕ
σ
=
→ dla
90
ϕ
= ° zachodzi:
0
rr
σ
= ,
2C
ϕϕ
σ
=
,
0
r
ϕ
σ
=
Odpowiedź:
Jest to więc równomierne rozciąganie naprężeniem
o
wartości równej
σ
=2C w kierunku
ϕ
=0° !
2C
2C
2C
2C
90
ϕ
= °
0
ϕ
= °
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 10 • KMBiM WILiŚ PG
11
Zadanie 2:
kN
m
Wyznaczyć stan naprężeń w blasze z otworem,
poddanej działaniu ciśnienia wewnętrznego p
(gdzie: p –
obciążenie ciągłe na jednostkę długości brzegu otworu)
Rozwiązanie zadania 2:
Rozwiązanie ogólne, w przypadku obrotowej symetrii:
(
)
(
)
2
3
4
2
2
3
4
2
2
1 2ln
2
3 2ln
rr
C
C
C
r
r
C
C
C
r
r
ϕϕ
σ
σ
=
+
+
⋅ +
= −
+
+
⋅ +
r
g
×
p
a
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 10 • KMBiM WILiŚ PG
12
Zauważmy, że gdy współrzędna
r
→ ∞
, to naprężenia dążą do zera:
(
)
(
)
3
4
3
4
0
2
1 2ln
0
0
2
3 2ln
0
rr r
r
C
C
r
C
C
r
ϕϕ
σ
σ
→∞
→∞
= +
+
⋅ +
=
= +
+
⋅ +
=
→ stąd:
3
4
,
0
C C
=
Pozostałą w obliczeniach stałą
2
C
C
≡ wyznaczamy z warunku
brzegowego:
rr r a
p
g
σ
=
= −
2
2
rr r a
C
p
a
g
σ
=
→
=
= −
2
2
p
C
a
g
= − ⋅
Stąd:
2
2
2
2
rr
a
p
r
g
a
p
r
g
ϕϕ
σ
σ
= −
⋅
=
⋅
a
a
a
a
ϕϕ
σ
rr
σ
p
g
4
p
g
4
p
g
p
g
Document Outline