Kolokwium 1 – podejście 2

 {odpowiedzi} 

grupa II

 

Zadanie 1: Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb: 

1.       

    

 

    

 

    

  

 

       

  

 

  

 

         

   

 

       

   

 

  

               

  

 

               

  

 

            

  

 

       

  

 

                 

        ,             

2. 

   

 

                

 

  

Trzy pierwiastki (     ): 

1.:    

       

 

       

       

 

     

 

 

       

 

 

 

 
 

 

   

 

   

    

 
 

,       

  

 

 

2.:    

       

 

       

       

 

                      

       ,          

3.:    

       

 

       

       

 

     

  

 

       

  

 

 

 
 

 

   

 

  

    

 
 

,         

  

 

 

3. 

   

    

 

   

    

   

 

  

 

  
  

  

Zadanie 2: Narysować na płaszczyźnie liczb zespolonych: 

1.             
Niech            . Wtedy              
                             
       

 

 

 

2.               

 

 

 

Niech            . Wtedy              
         

 

 

         (tą zależność można wyczytać, rysując wykres i 

zaznaczając na nim liczby   oraz    lub wyjść z postaci trygonometrycznej: 
                                                               
             

 

 

              

 

 

       

 

 

     

 

 

        ) 

Wtedy              

 

 

      

 

 

          

 

 

   

 

 

            . 

 

oraz udowodnić 

1.                  

Niech            .  
                                           

Zadanie 3: W zbiorze             określamy działanie 

                       

Zbadać, czy        jest grupą. 

Rozwiązanie:  

1. łączność ( 

 

 

  

 

  

 

  

   

 

   

 

     

 

   

 

    

 

   

 

 ) 

  

 

   

 

     

 

    

 

 

 

   

 

   

 

        

 

    

 

 

 

   

 

   

 

     

 

    

 

 

 

   

 

   

 

        

 

   

   

 

 

 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 

   

 

   

 

   

 

 

 

 

    

 

   

 

     

 

    

 

 

 

   

 

   

 

    

   

 

  

 

 

 

   

 

   

 

        

 

    

 

 

 

   

 

   

 

        

   

 

 

 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 

   

 

   

 

   

 

 

Zatem   

 

   

 

     

 

   

 

    

 

   

 

 , czyli         jest łączna. 

 

2. element neutralny 

Niech      . Szukamy  , które należałoby do   i spełniało równość: 

          

                           

      

Zatem element neutralny istnieje i jest to  . 

 

3. element odwrotny 

Niech        Dla każdego   szukamy  , które należałoby do   i spełniało równość: 

          

                           

   

 

     

 

Zatem element odwrotny istnieje:    

 

   

. 

Z 1., 2. i 3. wnioskujemy, że         jest grupą. 

Zadanie 4: Uzasadnić, że zbiór W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej  :  

          

 

                                     ,      

 

    

Rozwiązanie: Niech  

 

,  

 

   . Trzeba sprawdzić, czy ich kombinacja liniowa również należy do  . 

Niech      będzie tą kombinacją liniową. Wystarczy pokazać, że      spełnia własność podaną w 
definicji zbioru  . 

        

 

 

 

       

 

 

 

       

 

   

 

         

 

   

 

           

 

 

 

        

 

 

 

     

         

Zadanie 5: Zbadać liniową niezależność wektorów          ,        ,         w  

 

. 

Rozwiązanie: Jeśli są liniowo niezależne, to  

 

             

 

           

 

                tylko dla 

 

 

   

 

   

 

   . Sprawdzamy: 

  

 

     

 

    

 

      

 

      

 

           

 

   

 

            

  

 

   

 

     

 

    

 

    

 

   

 

   

 

            

 

 

 

   

 

   

   

 

    

 

   

  

 

   

 

   

 

   

  

 

 

 

    

 

 

 

   

 

   

  

 

   

 

   

 

   

  

 

 

    

 

 wstawiamy do równania trzeciego. Otrzymujemy: 

 

 

 

   

 

   

  

 

   

 

   

  

Układ sprzeczny, spełniony tylko gdy  

 

   

 

   

 

   , czyli układ wektorów jest liniowo 

niezależny.