Kolokwium 1 – podejście 2

 {odpowiedzi} 

grupa III

 

Zadanie 1: Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb: 

1.          

 

          

  

 

       

  

 

  

 

      

 

    

   

 

       

   

 

  

   

   

           

 
 

                

 
 

       

 

 

   

        

 
 

           

 
 

  

       

  

 

 

  

 

             

       ,           

2. 

   

 

      

  

 

       

  

 

 

  

Trzy pierwiastki (     ): 

1.:    

  

 

      

 

       

  

 

      

 

     

 

 

       

 

 

      

      ,          

2.:    

  

 

      

 

       

  

 

      

 

     

  

 

       

  

 

   

  

 

 

 

 

  

      

  

 

,         

 
 

 

3.:    

  

 

      

 

       

  

 

      

 

     

   

 

       

   

 

 

  

 

 

 

 

  

    

  

 

,         

 
 

 

3. 

     

     

 

     

 

 

    

 

   

Zadanie 2: Narysować na płaszczyźnie liczb zespolonych: 

1.                    

Niech            .  
                                                
       

2.                        

                            

  

 

       

  

 

    

  

 

 

 

             

  

 

 

 

oraz udowodnić 

3.                   

Niech            .  
                                             

Zadanie 3: W zbiorze  

 

 par liczb rzeczywistych określone jest działanie: 

                              

Sprawdzić, czy    

 

     jest grupą. 

Rozwiązanie:  

1. łączność ( 

 

 

  

 

  

 

  

 

   

 

   

 

     

 

   

 

    

 

   

 

 ) 

Niech  

 

    

 

   

 

 ,  

 

    

 

   

 

 ,  

 

    

 

   

 

   

  

 

   

 

     

 

     

 

   

 

      

 

   

 

       

 

   

 

      

 

 

 

   

 

   

 

      

 

   

 

      

 

 

 

 

 

   

 

   

 

   

 

  

 

 

    

 

   

 

      

 

   

 

       

 

   

 

      

 

   

 

       

 

   

 

      

 

 

 

   

 

   

 

      

 

 

 

 

 

   

 

   

 

   

 

  

Zatem   

 

   

 

     

 

   

 

    

 

   

 

 , czyli    

 

     jest łączna. 

 

2. element neutralny 

Niech               

 

. Szukamy       

 

   

 

 , które należałoby do  

 

 i spełniało równość: 

          

           

 

   

 

       

 

       

 

           

 

  

 

   

     

 

   

  

 

 

 

   

 

 

   

  

Zatem element neutralny istnieje i jest to          . 

 

3. element odwrotny 

Niech               

 

  Dla każdego   szukamy       

 

   

 

 , które należałoby do  

 

 i 

spełniało równość: 

          

           

 

   

 

       

 

       

 

          

 

  

 

   

     

 

   

  

   

 

 

 

 

 

 

    

  

Zatem       

 

   

 

  istnieje:      

 
 

     . 

Z 1., 2. i 3. wnioskujemy, że    

 

     jest grupą. 

Zadanie 4: Uzasadnić, że zbiór W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej V:  

                  

 

                   

 

 

Rozwiązanie: Niech  

 

,  

 

   . Trzeba sprawdzić, czy ich kombinacja liniowa również należy do  . 

Niech   będzie tą kombinacją liniową. Wystarczy pokazać, że współrzędne   spełniają własność 
podaną w definicji zbioru  . 
Niech      

 

 

 

   

 

 

 

, gdzie  

 

,  

 

   , czyli według definicji zbioru   są postaci:  

 

 

  

 

   

 

   

 

  oraz  

 

    

 

   

 

   

 

 . 

Znajdujemy współrzędne   (nazwijmy je   

 

   

 

   

 

 ): 

     

 

 

 

   

 

 

 

   

 

  

 

   

 

   

 

     

 

  

 

   

 

   

 

      

 

 

 

   

 

 

 

    

 

 

 

   

 

 

 

    

 

 

 

   

 

 

 

  

Zatem   

 

   

 

   

 

      

 

 

 

   

 

 

 

    

 

 

 

   

 

 

 

    

 

 

 

   

 

 

 

 . 

Sprawdzamy, czy współrzędne spełniają własność podaną w definicji zbioru  : 

 

 

   

 

    

 

 

 

   

 

 

 

      

 

 

 

   

 

 

 

     

 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 

   

 

  

 

   

 

     

 

  

 

   

 

     

 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

Zadanie 5: Zbadać liniową niezależność wektorów          ,        ,         w  

 

. 

Rozwiązanie: Jeśli są liniowo niezależne, to  

 

             

 

           

 

              tylko dla 

 

 

   

 

   

 

   . Sprawdzamy: 

  

 

     

 

    

 

       

 

       

 

         

 

   

 

            

  

 

    

 

     

 

    

 

    

 

    

 

   

 

            

 

 

 

    

 

   

   

 

    

 

   

  

 

    

 

   

 

   

  

 

 

 

    

 

   

 

 

    

 

  

 

    

 

   

 

   

  

 

 

    

 

 wstawiamy do równania trzeciego. Otrzymujemy: 

 

 

 

    

 

   

 

 

   

 

   

  

Układ sprzeczny, spełniony tylko gdy  

 

   

 

   

 

   , czyli układ wektorów jest liniowo 

niezależny.