MATEMATYKA - WYKŁAD Z 11.10.2010r., CZ 1. – ZBIORY

K@di Company®

All Rights Reserved

Podstawowe zbiory liczbowe:

= {1, 2, 3, …}

= {0, 1, 2, …}

- liczby całkowite

- liczby wymierne

- liczby rzeczywiste

- symbol zarezerwowany dla liczb zespolonych

Kwantyfikatory:

ogólny

czyta się jako: dla każdego x należącego do zbioru A (…)

szczegółowy

czyta się jako: istnieje takie x należące do zbioru A, że (…)

Podstawowe pojęcia logiki matematycznej:

definicja wypowiedź służąca do wyjaśnienia nowego pojęcia.

twierdzenie zdanie orzekające, najczęściej mające postać implikacji, posiadające dwa człony: założenie i

tezę. Rozumowanie wykazujące prawdziwość twierdzenia, nazywamy dowodem.
Twierdzenie, które powstało z danego przez zamianę założenia z tezą, nazywamy odwrotnym
względem danego. Nie każde twierdzenie odwrotne jest prawdziwe.

aksjomat pewnik; zdanie systemu dedukcyjnego, przyjęte bez dowodu jako wyjściowe twierdzenie tego

systemu. Z aksjomatów wyprowadza się dalsze twierdzenia, stosując określone w systemie
reguły.

(nie są to dosłowne definicje tych pojęć podane na wykładzie)

Równoważność:

symbol:

czyta się jako: (…) wtedy i tylko wtedy, gdy (…) skrót: wkw (warunek konieczny i wystarczający)

Definicje:

•

Mówimy, że zbiór

jest ograniczony od góry wtedy i tylko wtedy, gdy

.

•

Mówimy, że zbiór

jest ograniczony od dołu wtedy i tylko wtedy, gdy

.

•

Mówimy, że zbiór

jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony od góry i od dołu.

Dla powyższych definicji:

•

M jest majorantą zbioru A,

•

m jest minorantą zbioru B.

Twierdzenie:

Zbiór

jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy

.

Symbole związane ze zbiorami:

suma zbiorów A i B

iloczyn zbiorów A i B (część wspólna)

zbiór A zawarty w zbiorze B

element a należy do zbioru A

element a nie należy do zbioru A

zbiór pusty

Funkcja signum:

zwraca znak argumentu, jest zdefiniowana
następująco:

Wartość bezwzględna (moduł):
funkcja zdefiniowana następująco:

Po rozpisaniu:

Z powyższych definicji wynika zatem wzór:

.

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej:

wartość bezwzględna liczby jest równa jej odległości od
zera na osi liczbowej.

Twierdzenie:

Niech

i

. Wtedy:

1)

,

2)

.

Własności wartości bezwzględnej:

Definicje:

Kresem górnym (łac. supremum) zbioru

nazywamy najmniejszą majorantę zbioru A.
Kresem dolnym (łac. infimum) zbioru

nazywamy największą minorantę zbioru B.

Symbole:

kres górny zbioru A:

kres dolny zbioru B:

Przykłady:

•

zbiór liczb naturalnych nie posiada majoranty, a
zatem nie posiada kresu górnego i nie jest
ograniczony od góry;

•

zbiór

posiada majoranty: 2, 3, 1, 5, itd.,

ale kresem górnym jest 1, co zapisujemy:

,

•

zbiór

posiada minoranty: -5, -1, 0, itp.,

ale kresem dolnym jest 0, co zapisujemy:

.

Aksjomat ciągłości zbioru liczb rzeczywistych:

Każdy zbiór ograniczony od góry posiada kres górny.

Jeżeli powyższe zdanie przyjmiemy za aksjomat, to twierdzeniem na nim opartym będzie zdanie:

Każdy zbiór ograniczony od dołu posiada kres dolny.

Otoczenie punktu:

otoczenie punktu

:

często oznacza się, jako:

otoczenie

:

zbiór

otoczenie

:

zbiór

Sąsiedztwo punktu:

, gdzie V oznacza otoczenie punktu x

0

.