MATEMATYKA

KROK PO KROKU

Poradnik metodyczny

Klasa I gimnazjum

Jacek M. Jędrzejewski

Kinga Gałązka

Edward Lesiak

Projekt okładki

Barbara Zawadzka

Redaktor  merytoryczny

Daniela Sasiak

Redaktor techniczny

Małgorzata Niedziałomska

Grafika komputerowa i rysunki

Mieczysław Potocki

Poradnik  jest  częścią  obudowy  programu  nauczania  matematyki  w  kla-
sach  I–III  gimnazjum  pod  tytułem  MATEMATYKA  KROK  PO  KROKU,
dopuszczonego do użytku szkolnego przez MEN.
Nr dopuszczenia: DKW-4014-91/99.
Został przygotowany do podręcznika MATEMATYKA KROK PO KROKU,
dopuszczonego do użytku szkolnego przez MEN.
Nr dopus

zczenia: 180/99.

Wydanie I

© Copyright by Wydawnictwo Edukacyjne

RES POLONA Sp. z o.o.

ISBN 83-7071-238-X

WYDAWCA:
Wydawnictwo Edukacyjne RES POLONA Sp. z o.o.
90-613 Łódź, ul. Gdańska 80, tel. (0-42) 636-36-34, fax 637-30-10
Internet: www.res-polona.com.pl; e-mail: info@res-polona.com.pl

Spis treści

Wstęp/ 5

Komentarz do podręcznika / 7

Figury geometryczne na płaszczyźnie / 7
Liczby rzeczywiste / 10
Wyrażenia algebraiczne / 15
Równania i nierówności / 16
Związki miarowe w trójkącie / 17

Odpowiedzi do zadań wymagających nietypowego rozwiązania / 19

Ćwiczenia sprawdzające

. Rozwiązania zadań / 25

Ocenianie / 37

Funkcje i rodzaje oceny / 37
Gromadzenie informacji, ich przetwarzanie i komunikowanie
wyników / 38
Planowanie procesu dydaktycznego / 43
Diagnozowanie rozwoju ucznia / 44
Budzenie motywacji uczniów do uczenia się / 44
Ewaluacja procesu nauczania–uczenia się / 45

Lekcja po lekcji / 47

Mieszkańcy i inwestorzy. Gra dydaktyczna / 50

Nasze pomysły na Twoje lekcje / 55

Zasady pracy w grupie / 57
Zasady dobrego porozumiewania się w grupie / 58
Na Zielonej Planecie. Scenariusz zajęć / 59
Mnożenie wielomianu przez jednomian. Scenariusz zajęć / 71

Matematyczne impresje / 79

Dlaczego impresje? / 79
Tematyka impresji / 80
Etapy pracy / 81
Ocena Matematycznych impresji / 81

5

Poradnik jest częścią kompletu materiałów do nauczania matematyki

w  klasie  pierwszej  gimnazjum  MATEMATYKA  KROK  PO  KROKU,
w  którego  skład  wchodzą:  program  nauczania,  rozkład  materiału,  pod-
ręcznik, ćwiczenia sprawdzające (kartkówki), zbiór zadań. W poradniku
są  zawarte  między  innymi  materiały  ułatwiające  organizację  procesu
nauczania–uczenia się, przykładowe scenariusze zajęć oraz dodatkowo –
arkusze pomocnicze, które można wykorzystać do pracy w grupie lub na
innych zajęciach z uczniami.

Program nauczania.

 Został opracowany zgodnie z Podstawą progra-

mową kształcenia ogólnego dla sześcioletnich szkół podstawowych i gim-
nazjów

.  Zawiera:  założenia  ogólne,  szczegółowe  cele  kształcenia  mate-

matycznego,  założenia  szczegółowe  programu,  propozycje  metod  oceny
osiągnięć  uczniów,  ogólny  układ  materiału  w  gimnazjum,  orientacyjny
przydział  godzin  oraz  materiał  nauczania  z  podziałem  na  poszczególne
klasy.  W  programie  uwzględniono  tygodniowo  4  godziny  matematyki
i założono, że systematyczna realizacja programu nauczania jest możliwa
w ciągu 33 tygodni.

Rozkład materiału.

 Został opracowany tak, że może być podstawą pla-

nowania pracy przez nauczyciela. Zawiera dokładny plan realizacji zajęć
z uwzględnieniem tematyki i celów określonych w sposób zoperacjonali-
zowany oraz oczekiwane efekty pracy z uczniem. W rozkładzie materiału
są zaplanowane krótkie sprawdziany – kartkówki (Teraz Ty) i prace klaso-
we (Godzina szczerości), umożliwiające bieżącą kontrolę przebiegu pro-
cesu nauczania–uczenia się i jego ewaluację oraz prace łączące zagadnie-
nia z różnych dziedzin nauki (Impresje matematyczne), tzw. projekty.

Podręcznik.

  Zawiera  wiele  różnych  elementów,  których  celem  jest

wzbudzenie  zainteresowania  uczniów.  Układ  podręcznika  Matematyka
krok po kroku

 umożliwia jego rytmiczną realizację.

WSTĘP

6

Ćwiczenia  sprawdzające.

  Są  propozycją  krótkich  sprawdzianów,

które  mogą  być  użyte  do  samodzielnych  prac  uczniów  w  klasie  czy  też
w  domu.  Sposoby  ich  wykorzystania  mogą  być  różne  –  w  zależności  od
inwencji nauczyciela.

Zbiór  zadań.

  Jest  uzupełnieniem  i  rozszerzeniem  zagadnień  zawar-

tych w podręczniku. Znajdują się w nim zadania o różnym stopniu trudno-
ści, zadania z treścią łączącą matematykę z innymi dziedzinami wiedzy
i życiem codziennym, a także zadania otwarte oraz takie, które mogą być
motywem  prac  semestralnych  (Impresji  matematycznych).  Rozwiązując
zaproponowane zadania, uczniowie mają szansę na utrwalenie umiejętno-
ści i rozwinięcie swoich zdolności.

7

KOMENTARZ
DO PODRĘCZNIKA

Spróbujemy wyjaśnić, dlaczego zaczęliśmy podręcznik od geometrii.
Po pierwsze, wzięliśmy pod uwagę, że nasza kultura jest oparta w znacz-

nej  mierze  na  osiągnięciach  egipskich,  babilońskich  czy  też  greckich.
Geometria zajmowała wówczas szczególną pozycję wśród różnych dzie-
dzin  wiedzy,  zwłaszcza  w  starożytnej  Grecji.  Liczba  była  traktowana
przez uczonych greckich jako pewna wielkość lub stosunek dwóch wiel-
kości  geometrycznych.  Geometria  była  więc  tą  dziedziną  matematyki,
która rozwinęła się najwcześniej, osiągając w dziele Elementy Euklidesa
wielką, jak na owe czasy, doskonałość.

Po  drugie,  w  geometrii  najłatwiej  jest  pokazać  piękno  budowy  teorii

aksjomatycznej. Językiem geometrii możemy opisać świat, w którym wi-
dzimy modele podstawowych pojęć geometrycznych i doskonale je sobie
wyobrażamy jako twory abstrakcyjne.

Po trzecie, język geometrii jest lepiej przyswajalny przez uczniów niż

język symboli arytmetyki i algebry. Ułatwia komunikację z uczniem, przez
co początek kształcenia w nowym typie szkoły będzie mniej stresujący.

Figury geometryczne na p³aszczyŸnie

Wprowadzając pojęcia geometryczne i definicje, poprzedzamy je cza-

sami  pewnymi  informacjami.  Są  to  twierdzenia  lub  aksjomaty,  które
umożliwiają sformułowanie odpowiedniej definicji. Taką definicję poda-
jemy na przykład w podręczniku na stronie 13.

8

Prosta  p  rozcina  płaszczyznę  na  dwa  obszary.  Każdy  z  tych
obszarów łącznie z tą prostą nazywamy półpłaszczyzną.

Pierwsze z tych zdań jest informacją (aksjomatem, twierdzeniem), drugie
– definicją półpłaszczyzny. Samo drugie zdanie nie mogłoby funkcjono-
wać jako definicja. W ten sposób w jednym miejscu znajduje się opis od-
powiedniej sytuacji i definicja nowego pojęcia.

Definiując  odcinek,  celowo  unikamy  pełnej  precyzji,  gdyż  możliwa

byłaby  ona  tylko  wtedy,  gdybyśmy  rozszerzyli  znacznie  teorię.  W  tym
przypadku, aby podać precyzyjną definicję, najpierw powinniśmy okre-
ślić porządek na prostej. Uporządkowanie prostej nie jest sprawą łatwą,
a uczniowie intuicyjnie wiedzą, które punkty leżą między dwoma punkta-
mi prostej.

W geometrii równie ważnym pojęciem jest kąt. Definiujemy go jako

figurę  geometryczną,  zatem  jest  to  pewien  zbiór  punktów.  Wyróżniamy
wprawdzie ramiona kąta, nie traktujemy jednak kąta jako trójki uporząd-
kowanej  –  dwa  ramiona  i  obszar  kąta.  Ramiona  kąta  są  więc  częściami
figury, zwanej kątem. Definicja ta jest bardzo przystępna i łatwa do przy-
swojenia przez uczniów. Ma jednak pewną wadę. W ten sposób nie można
zdefiniować kąta zerowego ani kąta pełnego. Kąt zerowy i kąt pełny poja-
wią się jako kąty skierowane. Wtedy jednak kąt skierowany jest pewną
trójką uporządkowaną. Zagadnienia te nie są uwzględnione w obowiązu-
jącej podstawie programowej.

Kątów  naprzemianległych  i  odpowiadających  nie  definiujemy,  lecz

wskazujemy je na odpowiednich rysunkach. Warto zwrócić uwagę na to,
że dla uproszczenia oznaczeń kąty i ich miary oznaczamy czasami tymi
samymi symbolami, używając liter greckich.

Również  z  pewnym  uproszczeniem  jest  zdefiniowana  łamana.  Cho-

ciaż odcinek ma dwa końce (bez wskazywania, który jest pierwszy, a któ-
ry drugi), to jednak w definicji łamanej posługujemy się terminami począ-
tek i koniec odcinka w celu łatwiejszego jej sformułowania. Uważamy, że
takie uproszczenie nie powoduje nieporozumień, a unikamy operowania
pojęciem sumy ciągu odcinków spełniających odpowiednie warunki.

Omawiając  wielokąty,  mówimy  o  kątach  wewnętrznych,  kątach  ze-

wnętrznych i o przekątnych. Przekątnymi nazywamy odpowiednie odcinki,
niezależnie od tego, czy są one zawarte w danym wielokącie, czy nie. Za-

tem każdy n-kąt, wklęsły czy wypukły, ma tyle samo przekątnych 

(

)

n n

−











3

2

.

9

Koło

  i  okrąg  są  następnymi  zagadnieniami,  w  których  stosujemy

uproszczenia – promieniem koła (okręgu) nazywamy zarówno liczbę, jak
i  odpowiedni  odcinek.  W  tych  przypadkach  stosunkowo  łatwo  ustalić,
kiedy  chodzi  o  liczbę  określającą  długość  odcinka,  a  kiedy  o  odcinek.
Zwracamy uwagę na to, że koło wyznacza okrąg i odwrotnie. Nie tłuma-
cząc  pojęcia  wnętrza  i  brzegu  figury,  mówimy,  że  okrąg  jest  brzegiem
odpowiedniego koła, zaś koło bez okręgu jest jego wnętrzem.

Warto  trochę  miejsca  przeznaczyć  na  omówienie  położenia  prostej

i okręgu

. Łatwo stwierdzić, że możliwe są trzy położenia:

1° prosta jest rozłączna z okręgiem,
2° prosta ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem,
3° prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem.

Przypadki te się wykluczają, również analityczne opisy tych przypadków
też  się  wykluczają.  Możemy  zatem  powiedzieć,  że  mamy  do  czynienia
z  zamkniętym  układem  twierdzeń.  Założenia  są  wykluczające  się  i  wy-
czerpują  wszystkie  możliwości.  Również  tezy  się  wykluczają  i  wyczer-
pują  wszystkie  możliwości.  W  takim  przypadku  wystarczy  udowodnić
jedną  serię  twierdzeń,  gdyż  twierdzenia  odwrotne  są  też  prawdziwe
i nie wymagają dowodu. Nie namawiamy, aby twierdzenia te dowodzić
w  klasie.  Sygnalizujemy  tylko,  że  nie  są  potrzebne  dowody  twierdzeń
odwrotnych.

Mówiąc o prostej stycznej do okręgu, z pre-

medytacją nie definiujemy stycznej do krzywej.
Definicja  ta  jest  bardzo  skomplikowana  i  wy-
maga  używania  pojęć  z  matematyki  wyższej
(pojęcie granicy ciągu, granicy ciągu punktów
płaszczyzny – topologia przestrzeni R

n

) i lepiej

nic  na  ten  temat  nie  mówić,  aby  nie  wprowa-
dzać w błąd określeniem stycznej jako prostej
mającej dokładnie jeden punkt wspólny z krzy-
wą.  W  przypadku  paraboli  takie  wyjaśnienie
styczności jest fałszem (patrz rysunek obok).

Realizując zagadnienia związane z położeniem dwóch okręgów (kół),

również  omawiamy  zamknięty  (zupełny)  układ  twierdzeń.  W  sformuło-
waniach dotyczących tego zagadnienia celowo używamy terminów okrę-
gi i koła

 w tych miejscach, w których jest to wygodne. Mówiąc o okrę-

gach  stycznych

,  lepiej  stosować  termin:  okręgi.  Gdy  koła  są  rozłączne,

10

Warto dodać, co zresztą jest widoczne, że twierdzenia podajemy w więk-

szości  bez  dowodów  i  nie  odróżniamy  ich  od  aksjomatów.  Nie  chcemy
bowiem,  aby  uczniowie  czuli  się  niewolnikami  aksjomatycznej  teorii;
pragniemy, aby poznali te fakty, które są łatwo zauważalne i naturalne.

Liczby rzeczywiste

Posługując się na co dzień liczbami (rzeczywistymi w teorii, a w prak-

tyce – liczbami wymiernymi), często nie zdajemy sobie sprawy z trudno-
ści w zrozumieniu tych pojęć.

W  szkole  podstawowej  nie  można  było  przedstawić  ani  aksjomatyki

liczb  wymiernych  (rzeczywistych),  ani  żadnego  modelu  liczb  wymier-
nych (rzeczywistych). Nawet w gimnazjum nie można się pokusić o za-
ksjomatyzowanie teorii liczb wymiernych (rzeczywistych). W podręczni-
ku do pierwszej klasy  gimnazjum przypominamy podstawowe aksjomaty
teorii liczb rzeczywistych, traktując je jako ogólnie znane własności. Po-
mijamy  aksjomat  istnienia  kresów,  gdyż  kresy  nie  są  treścią  nauczania
w gimnazjum z uwagi na dużą trudność w zrozumieniu tego pojęcia.

W zbiorze R są określone dwa działania (wewnętrzne) – dodawanie (+)

i mnożenie (·). Spełnione są przy tym następujące warunki:

A. 1

a,b R

a

b

b

a

∈

∧

+ = +

A. 2

a,b,c R

a

b

c

a

b

c

∈

∧

+

+

=

+

+

(

)

(

)

A. 3

0

∈

∈

∨ ∧

+ = = +

R a R

a

a

a

0

0

A. 4

a R a R

a

a

a

a

∈

∈

∧ ∨

+ = = +

0

to  takie  sformułowanie  jest  bardziej  czytelne  niż
stwierdzenie,  że  okręgi  leżą  jeden  poza  drugim.
Okręgi  przedstawione  na  rysunku  obok  też  leżą
jeden poza drugim.

11

Element  a  spełniający A. 4 dla elementu a nazywamy elementem (licz-
bą) przeciwnym do a i oznaczamy – a. Wówczas a + (– a) = 0 = (– a) + a.

A. 5

a,b R

a b

b a

∈

∧

⋅ = ⋅

A. 6

a,b,c R

a

bc

ab

c

∈

∧

⋅

=

⋅

(

)

(

)

A. 7

1

∈

∈

∨ ∧

⋅ = = ⋅

R a R

a

a

a

1

1

A. 8

{ }

a R

a

R

a a

a

a

∈

′∈

∧ ∨

⋅ ′ = = ′ ⋅

0

1

Element 

′

a

, spełniający A. 8  dla elementu a różnego od 0, nazywamy ele-

mentem (liczbą) odwrotnym i oznaczamy 

a

−

1

 lub 

1

a

. Wówczas 

a a

⋅

=

−

1

1

lub 

a

a

⋅ =

1

1

 dla liczby a różnej od 0.

A. 9

a,b,c R

a

b

c

ac

bc

∈

∧

+

⋅ =

+

(

)

(

)

(

)

Własność tę zapisujemy w skrócie (a + b) · c = ac + bc.

Podane własności uzupełniamy aksjomatami porządku:

A. 10

(

)

(

)

[

]

a,b R

a

b

b

a

∈

∨

<

⇒

~

<

A. 11

(

)

[

]

a,b,c R

a

b  b

c

a

c

∈

∧

<

<

⇒ <

i 

A. 12

a,b R

a

b

a

b

b

a

∈

∧

<

=

<

(

lub

lub

)

A. 13

(

)

a,b,c R

a

b

a

c

b

c

∈

∧

< ⇒ + < +

A. 14

a

b

ab

>

>

∧ ∧

<

0

0

0

Zauważmy, że ten układ aksjomatów nie określa zbioru liczb rzeczywi-

stych; zbiór liczb wymiernych też spełnia ten układ warunków. Brakuje tu
aksjomatu zwanego aksjomatem ciągłości zbioru R.

\

12

W trakcie realizacji materiału przypominamy kolejno zbiory N, C, W;

wyróżniamy wśród nich liczby dodatnie, ujemne i stosujemy (w ograniczo-
nym zakresie) zapis mnogościowy. Zero zaliczamy do zbioru liczb natural-
nych. Czasami nie jest to wygodne, ale z uwagi na utożsamianie liczb natu-
ralnych z liczebnością zbiorów skończonych należy zero traktować jako
liczbę naturalną oznaczającą moc zbioru pustego. W procesie lekcyjnym
nie musimy dokładnie omawiać zagadnień dotyczących zbioru pustego.

Trochę  uwagi  warto  poświęcić  sposobom  zapisywania  liczb  w  dzie-

siątkowym  układzie  pozycyjnym  czy  też  w  innych  systemach  pozycyj-
nych oraz w systemie rzymskim.

Istotną sprawą w teorii liczb wymiernych (i rzeczywistych) jest przed-

stawianie liczby na osi liczbowej oraz odwrotnie – określanie liczby od-
powiadającej  punktowi  na  osi  liczbowej.  Rozpatrujemy  te  zagadnienia
tylko  dla  liczb  wymiernych.  Możliwości  zaznaczania  na  osi  liczbowej
punktów  odpowiadających  liczbom  niewymiernym  pojawią  się  dopiero
po opracowaniu twierdzenia Pitagorasa.

Przypominamy w tej części algorytm dzielenia liczb naturalnych. Sto-

sujemy go, przedstawiając liczbę wymierną w postaci rozwinięcia dzie-
siętnego  (ułamka  dziesiętnego).  Omawiamy  przy  tej  okazji  okresowość
takiego rozwinięcia i stwierdzamy, że każda liczba wymierna ma rozwi-
nięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe oraz odwrotnie.
Przedstawienia liczby o nieskończonym, ale okresowym rozwinięciu dzie-
siętnym w postaci ułamka nieskracalnego jest skomplikowane (wymaga
rozwinięcia teorii szeregów zbieżnych) i nie zmuszamy uczniów do opa-
nowania tej metody. Tu jednak przemycamy aksjomat kresu górnego. Treś-
cią tego aksjomatu jest, że każdy niepusty podzbiór zbioru liczb rzeczywi-
stych ograniczony z góry ma kres górny. Jest to aksjomat bardzo istotny,
gdyż  gwarantuje  istnienie  liczb  mających  nieskończone  i  nieokresowe
rozwinięcie dziesiętne. Uczniom o liczbach takich mówimy, nie wprowa-
dzamy jednak ani pojęcia kresu górnego, ani aksjomatu istnienia kresu.

Nie posługując się teorią zbieżności szeregów, możemy uczniom za-

proponować zamianę ułamków okresowych na ułamki zwykłe, korzysta-
jąc z umiejętności rozwiązywania równań. Zamieńmy na przykład na uła-
mek  nieskracalny  0,(48).  Wprowadzamy  oznaczenie  x  =  0,48484848...,
następnie obie strony równania mnożymy przez 100. Otrzymamy wów-
czas 100x = 48,484848..., skąd po odjęciu stronami obu równań mamy:

99x = 48, czyli  x

=

48
99

, a w wyniku 

16

33

, czyli 

0, (48)

16

33

=

.

13

Dodawanie  i  mnożenie

  są  podstawowymi  działaniami  w  zbiorze  R.

Odejmowania i dzielenia

 nie traktujemy jako podstawowych działań, gdyż:

1° odejmowanie można zastąpić dodawaniem (liczby przeciwnej),
2° dzielenie  można  zastąpić  mnożeniem  przez  liczbę  odwrotną  (dla

liczby  różnej  od  zera);    poza  tym  dzielenie  nie  jest  działaniem
w zbiorze R (nie można dzielić przez zero).

Zauważmy, że

a

 – b = a + (–b)

oraz

a b

a

b

b

:

dla

1

= ⋅

≠

0

W podręczniku podajemy definicję wartości bezwzględnej, natomiast

pojęcie odległości wykorzystujemy do jej interpretacji na osi liczbowej –
nie może ona stanowić podstawy definicji rozważanego pojęcia.

Potęgę  o  wykładniku  naturalnym

  określamy  w  standardowy  sposób.

Niektóre własności mają uzasadnienie. Podajemy w podręczniku dowody
dla  wykładników  naturalnych  większych  od  1,  natomiast  dla  wykładni-
ków 0 lub 1 sprawdzamy poprawność wzorów bezpośrednio z definicji.
Próbujemy w ten sposób pokazać uczniom, że reguły matematyczne nale-
ży uzasadniać. Nie zawsze jest to łatwe i dlatego na tym poziomie naucza-
nia  z  wielu  dowodów  należy  zrezygnować.  W  czasie  realizacji  tych  za-
gadnień wyraźnie zaznaczamy, że nie definiuje się (z różnych powodów)
potęgi 0

0

. Nie rozważając teorii granic, nie jesteśmy w stanie dokładnie

wyjaśnić,  z  jakiego  powodu  jest  to  niewskazane.  Podkreślamy,  że  ten
symbol nic nie oznacza. Cały temat jest trudny i wymaga dużej uwagi tak
ze strony nauczyciela, jak i uczniów.

Pierwiastki

 to kolejny bardzo trudny temat. Ponieważ kwadrat każdej

liczby  rzeczywistej  jest  liczbą  nieujemną,  więc  w  naturalny  sposób  po-
jawia  się  ograniczenie  dziedziny  pierwiastka  kwadratowego  do  zbioru
liczb nieujemnych (analogicznie dla pierwiastków stopni parzystych). Nie
ma  powodu,  aby  ograniczać  w  sztuczny  sposób  dziedzinę  pierwiastka
trzeciego  stopnia  i  ogólnie  –  stopnia  nieparzystego.  Uczniowie  łatwiej

zrozumieją, że skoro  ( 2)

8

3

−

= −

, to 

− = −

8

2

3

, niż ograniczenie dzie-

dziny wszystkich pierwiastków do liczb nieujemnych. Korzystając z nie-
których kalkulatorów, a także programów komputerowych, można obli-

czyć  na  przykład 

−

64

3

  czy  też 

−

243

5

.  Powstaje  pytanie:  dlaczego

14

więc nie można ich zdefiniować? Otóż zdefiniowanie pierwiastka stopnia
trzeciego dla liczb ujemnych jest możliwe. Zysk z takiego podejścia jest
większy  niż  niewygoda  spowodowana  koniecznością  sprawdzania,  czy
pierwiastek jest stopnia parzystego, czy nieparzystego.

Omawiając  liczby  niewymierne,  proponujemy  sprawdzić  kilka  razy

przy  użyciu  różnych  kalkulatorów,  jaka  wartość 

2   wyświetlana  jest

w „okienku” kalkulatora. Kalkulatory o różnej dokładności obliczeń będą
przedstawiały różne liczby. Im dokładniejszy kalkulator, tym więcej cyfr
po przecinku się pojawi. Trudniej jest przekonać uczniów, że rozwinięcie
to jest nieskończone i nieokresowe. Ostatni przykład na stronie 109 pod-
ręcznika pokazuje, że można udowodnić, że istnieją liczby o rozwinięciu
dziesiętnym nieskończonym nieokresowym. Liczby takie nie są wymier-

ne. Nieco później będzie można uzasadnić, że również  2  nie jest liczbą
wymierną. Robimy to jednak tylko w tych klasach, które będą tym zagad-
nieniem zainteresowane.

Istotną sprawą jest ustalenie zasad dotyczących kolejności wykonywa-

nia działań. Działania wewnętrzne (a takie rozważamy w przypadkach ,,+”,
,,·”, ,,–”, ,,:”) w odpowiednich zbiorach definiujemy jako operację dwuar-
gumentową (funkcję dwóch zmiennych). Zapis a · b · c jest więc skrótem,
który możemy przyjąć bez nieporozumień; z A. 6 wynika, że niezależnie
od tego, w którym miejscu postawimy nawias, otrzymamy taki sam wynik.
Nie wolno nie stosować

 nawiasów w zapisie 6 : 3 · 2, gdyż (6 : 3) · 2 = 4,

natomiast 6 : (3 · 2) = 1. Matematyka wymaga precyzji i nie można stoso-
wać niestandardowych metod obliczeń. Opuszczanie nawiasów w takich
przypadkach jest szkodliwe dla rozumienia matematyki i wprowadza spo-

re zamieszanie, na przykład w wielu przypadkach zapis  4 :

2

1
2

 trakto-

wany jest jako  4 2 , dlaczego jednak nie może to być 8 2 ? Przestrzega-
my przed takim postępowaniem.

Procenty

  były  rozważane  w  szkole  podstawowej,  w  pierwszej  klasie

gimnazjum  przypominamy  ich  podstawowe  własności.  Przy  tej  okazji
omawiamy graficzne sposoby przedstawiania danych wielkości. Diagra-
my kołowe, słupkowe i punktowe stanowią ilustrację pewnych zdarzeń.
Zaczynamy rozważać średnią arytmetyczną kilku liczb oraz częstość zda-
rzenia i częstość względną zdarzenia.

15

Wyra¿enia algebraiczne

Bardzo  trudne  pojęcie  wyrażenia  algebraicznego  pojawia  się  w  pod-

ręczniku  bez  dokładnej  definicji.  Proponujemy  podać  kilka  przykładów
i ocenić, które zapisy stanowią wyrażenia algebraiczne, a które nie są taki-
mi wyrażeniami. Ogólność pojęcia wyrażenia algebraicznego uniemożli-
wia  na  tym  etapie  kształcenia  podanie  ogólnej  i  precyzyjnej  definicji.
Napisaliśmy tylko, jak się tworzy takie wyrażenia.

Ważnym  pojęciem  jest  zmienna  (zmienne)  wyrażenia  algebraicznego

oraz  wartość  liczbowa  wyrażenia  algebraicznego.  Istotną  sprawą  jest
umiejętność doprowadzania wyrażeń algebraicznych do prostszej postaci
lub  do  postaci  wygodniejszej  w  danym  przypadku,  a  także  umiejętność
podstawiania i obliczania wartości liczbowej.

Nie wprowadzamy pojęcia dziedziny naturalnej wyrażenia algebraicz-

nego, gdyż w przypadku wyrażeń z wieloma zmiennymi jest to niezmier-
nie trudne. Proponujemy jednak zawsze wskazanie i zapisanie, dla jakich
wartości zmiennych dane wyrażenie nie jest określone; robimy to w for-
mie zastrzeżeń.

Ważnym zagadnieniem jest symboliczne zapisywanie wyrażenia opi-

sanego  słowami,  jak  również  odczytywanie  wyrażenia  zapisanego  sym-
bolicznie.

Jednomiany

  jako  najprostsze  z  wyrażeń  algebraicznych  stanowią

pierwszą  grupę  wyrażeń  algebraicznych,  którymi  się  zajmujemy  bliżej.
Staramy się przedstawiać jednomiany w postaci uporządkowanej, wtedy
łatwiejsze  się  staje  tworzenie  jednomianu  przeciwnego  do  danego  oraz
wyszukiwanie jednomianów podobnych.

Unikamy i konsekwentnie nie stosujemy nazwy suma algebraiczna.

Sumując jednomiany, otrzymujemy wielomiany, w przypadku sumy wy-
rażeń innego typu nie mamy klasycznej sumy, więc i nazwa jest – według
nas  –  zbędna.  Możemy  jednak  zawsze  mówić  o  składnikach  wyrażenia
algebraicznego.

Omawiając wielomiany, koncentrujemy się na wielomianach przeciw-

nych,  dodawaniu  oraz  odejmowaniu  i  mnożeniu  wielomianów.  Dodając
wielomiany  jednej  zmiennej,  wskazujemy  na  analogie  z  dodawaniem
liczb. Warto zwrócić uwagę na zadanie ze strony 152 wyróżnione ramką
z wykrzyknikiem.

16

Realizując mnożenie wielomianów, w pierwszym kroku mnożymy wie-

lomian przez jednomian, a następnie dopiero mnożymy wielomian przez
wielomian. Staramy się wyrobić w uczniach nawyk porządkowania otrzy-
manego wyniku, tzn. wykonywania redukcji wyrazów podobnych.

Równania i nierównoœci

Uczniowie  poznali  równania  już  w  szkole  podstawowej.  Usiłujemy

podać  jakąś  wersję  definicji  równania,  nie  chcemy  jednak  kłaść  na  nią
nacisku. Zależy nam na tym, aby uczniowie umieli odróżniać równanie od
wyrażenia  algebraicznego,  aby  potrafili  wskazać  niewiadomą  (lub  nie-
wiadome) równania oraz jego prawą i lewą stronę.

Ważnym  pojęciem  jest  rozwiązanie  równania  (czasem  zwane  pier-

wiastkiem równania

). Zagadnienie to jest łatwe w odniesieniu do równań

z jedną niewiadomą. Gdy rozważamy równanie z dwiema niewiadomymi,
musimy  zwrócić  uwagę  na  to,  że  nie  dwie  liczby  są  rozwiązaniami,  ale
para liczb stanowi jedno rozwiązanie. Na przykład dla równania x – 2y = 0
para  (2,  1)  jest  jego  rozwiązaniem  (w  miejsce  x  wstawiamy  liczbę  2,
w miejsce y liczbę 1). Również pary (4, 2) i (–2, –1) są rozwiązaniami tego
równania.  W  tym  przypadku  trudność  w  zrozumieniu  tego  zagadnienia
spotęgowana jest tym, że równanie to nie ma jednego rozwiązania, ale nie-
skończenie wiele; możemy więc podać tylko kilka takich rozwiązań.

W  czasie  pierwszych  lekcji  dotyczących  równań  proponujemy  odga-

dywanie rozwiązań i sprawdzenie, czy lewa strona jest równa prawej stro-
nie.  Mówiąc  o  rozwiązaniu  równania,  nie  możemy  pominąć  problemu
znalezienia nie tylko jednego rozwiązania, ale wszystkich rozwiązań da-
nego równania. Tworzymy w ten sposób zbiór rozwiązań równania.

Najogólniejszą metodą rozwiązywania równań jest metoda analizy sta-

rożytnych

. Zakładając, że liczba x

0  

jest rozwiązaniem równania, korzysta-

jąc z własności działań, wyznaczamy jej postać, a następnie sprawdzamy,
czy  istotnie  ta  liczba  jest  rozwiązaniem  równania  (czyli  wykonujemy
sprawdzenie). W ten sposób dowodzimy dwa twierdzenia. Na przykład:

Jeżeli liczba x

0 

 jest rozwiązaniem równania

2(x – 7) + 3 – 3(x – 2) = –2x + 5, to x

0

 = 10.

oraz

Jeżeli x

0

 = 

10, to x

0

  jest rozwiązaniem równania

2(x – 7) + 3 – 3(x – 2) = –2x + 5.

17

W przypadku tej metody sprawdzenie jest integralną częścią rozwiązania
równania.

Metoda  analizy  starożytnych  pozwala  na  uzasadnienie  prawdziwości

operacji stosowanych w rozwiązywaniu równań metodą równań równo-
ważnych

. W przypadku tej metody sprawdzenie nie jest integralną częścią

rozwiązania  równania,  może  jedynie  służyć  do  upewnienia  się,  czy  nie
został popełniony błąd. Nie wolno zatem wymagać sprawdzenia przy roz-
wiązywaniu równań, gdy stosujemy metodę równań równoważnych.

Uczniom  proponujemy  metodę  równań  równoważnych.  Nie  wymaga

ona sprawdzania, ale nie pozwala na inne niż omawiane w podręczniku
operacje. W związku z tym nie wolno na przykład podnosić do kwadratu
obu stron równania.

W czasie omawiania równań podaliśmy sposób ich tworzenia. Nie de-

finiowaliśmy równania i również mówiąc o nierówności, też nie proponu-
jemy  definicji.  Koncentrujemy  się  na  pojęciu  rozwiązania  nierówności
i na operacjach nie zmieniających zbioru rozwiązań danej nierówności.

W klasie pierwszej gimnazjum zajmujemy się nierównościami z jedną

niewiadomą.  Zbiory  rozwiązań  są  więc  zawarte  w  zbiorze  R.  Często  są
one  przedziałami  (niekoniecznie  ograniczonymi),  wprowadzamy  zatem,
przy okazji nierówności z wartością bezwzględną, pojęcie przedziału, aby
w zwartej formie można było przedstawić zbiór rozwiązań nierówności.

Zwi¹zki miarowe w trójk¹cie

Własności trójkąta stanowią treść całego rozdziału. Są one bazą reali-

zacji tematów geometrycznych w klasach następnych.

Bardzo ważną własnością jest nierówność trójkąta stwierdzająca, kie-

dy odcinki o danych długościach mogą stanowić boki trójkąta. Jest ona
konsekwencją  zależności  związanych  ze  współliniowością  trzech  punk-
tów. Zauważmy, że najdłuższy bok trójkąta musi mieć długość mniejszą
od sumy długości pozostałych boków.

Ponieważ suma miar kątów trójkąta jest równa 180°, więc dość istotne

jest  zagadnienie  klasyfikacji  trójkątów  ze  względu  na  miary  ich  kątów.
W czasie realizacji tematów związanych z kątami w trójkącie warto pod-
kreślić  własność  (zwykle  traktowaną  jako  mało  istotną,  ale  ważną  dla
ogólnego  spojrzenia  na  teorię  trójkąta),  że  naprzeciwko  najdłuższego
boku trójkąta leży kąt o największej mierze.

18

W czasie lekcji dotyczących wysokości trójkąta warto zwrócić uwagę na

fakt, że wysokości nie muszą się przecinać (są one odcinkami), ale proste
je zawierające mają jeden punkt wspólny. Warto narysować różne trójkąty
i  zaobserwować,  jak  zmienia  się  położenie  punktu  wspólnego  prostych
zawierających wysokości trójkąta w zależności od narysowanego trójkąta.

Omawiając  środkowe,  wskazane  jest  wycięcie  trójkąta,  wyznaczenie

punktu przecięcia środkowych oraz doświadczalne sprawdzenie, że punkt
ten jest środkiem ciężkości trójkąta.

Dwusieczne kątów trójkąta

 też się przecinają w jednym punkcie. Leży

on  zawsze  wewnątrz  trójkąta  i  jego  odległość  od  każdego  z  boków  jest
taka sama. W tym przypadku nie mówimy o okręgu wpisanym w trójkąt,
ponieważ zagadnienie to będzie występowało w toku dalszej nauki. Jed-
nak  w  klasach  o  wyższym  poziomie  zainteresowań  matematycznych
można to zagadnienie omówić.

Symetralne boków trójkąta

 również się przecinają w jednym punkcie;

nie musi on leżeć wewnątrz danego trójkąta. Także w tym przypadku nie
mówimy o okręgu opisanym na trójkącie, tylko o odległości punktu prze-
cięcia od wierzchołków trójkąta. Zagadnienia dotyczące figur opisanych
na wielokątach będą występowały w toku dalszej nauki. W klasach uzdol-
nionych  matematycznie  można  jednak  powiązać  te  zagadnienia  z  okrę-
giem opisanym na trójkącie.

Jednym  z  najważniejszych  twierdzeń  geometrii  euklidesowej  jest

twierdzenie  Pitagorasa

.  Twierdzenie  to  nie  jest  łatwe  do  odkrycia  i  nie

każdemu uczniowi jawi się jako oczywiste. Dlatego warto podać uzasad-
nienie tego twierdzenia. Nie mówimy o pełnym dowodzie, gdyż nasz do-
wód jest oparty na własnościach pola figur, ale rysunek taki, jak przedsta-
wiony w podręczniku, jest dość przejrzysty i uczniowie będą przekonani
o słuszności twierdzenia Pitagorasa.

Historyjka  o  Egipcjanach  (strona  203  w  podręczniku),  wyznaczają-

cych kąt prosty, powinna zwrócić uwagę na twierdzenie odwrotne do twier-
dzenia Pitagorasa.

Tematy  dotyczące  twierdzenia  Pitagorasa  możemy  zakończyć,  kon-

struując odcinki mające długości wyrażające się liczbami niewymiernymi

2 , 

3

 itd.

19

ODPOWIEDZI DO ZADAŃ
WYMAGAJĄCYCH
NIETYPOWEGO ROZWIĄZANIA

Przygotowaliśmy odpowiedzi do zadań zawartych w podręczniku, które
wymagają poszukiwania rozwiązań nietypowych (sprytnych). Zadania te
są przeznaczone dla uczniów szczególnie zainteresowanych matematyką.
Zostały one wyróżnione ramką z wykrzyknikiem.

s. 12. B

 = (– 4a, 2a).

s. 15.

Wskazówka: Należy rozpatrzyć różne możliwości.

s. 18.

Nie, żaden z odcinków łączących dwa jej punkty nie jest zawarty w tej
figurze.

s. 21.

Czworokąt ABDC jest trapezem równoramiennym. Punkt P należy, jako
punkt przecięcia przekątnych, do osi symetrii tego czworokąta.

s. 23. x

 = 80°.

s. 26. p   r.

s. 32.

Trzy różne łamane zamknięte takie, jak przedstawiają rysunki.

20

s. 34.

Długość łamanej MPRSTKLUWYZH  jest równa 27.

s. 36.

Trójkąt  AEF  jest  równoramienny.  Oznaczamy 

FAE

  = 

AFE

  = 

=,

wówczas 

FEA

 = 180° – 2

=, czyli  AEW  = 2=. Również trójkąt  AWK

jest  równoramienny.  Oznaczając 

WAK

  = 

WKA

  = 

>, otrzymujemy

AWK

  =  180°  –  2

>,  stąd  AWE = 2>.  Z  własności  trójkąta  mamy

2

= + 2> + 90° = 180°, czyli 2= + 2> = 90°, co oznacza, że= + > = 45°.

Ponieważ 

FAK

 = 

= + 90° + >, więc  FAK  = 135°.

s. 41.

Obwód figury obliczymy, korzystając ze wzoru L = 10 + 4(n –1), gdzie n
oznacza liczbę elementów zużytych do zbudowania figury według zasady
pokazanej na rysunku.

s. 43.

6 cięciw; sześciokąt foremny.

s. 47.

Punkty te leżą na okręgu o(Z, r), gdzie Z jest
środkiem koła, na którego planie zbudowano
mury obronne, r – odległością punktu A od Z.

s. 50.

8 punktów.

s. 52.

Oznaczmy

= =  RPS ,> =  O

1

PR

, 

C =  O

2

PS

. Wtedy 

O

2

SP

 = 

C,

O

1

RP

 = 

> oraz 180° – (> + C) = 180° – (90° – >) – (90° – C). Obliczając,

otrzymamy 

> + C = 90°, czyli= = 90°.

s. 57.

s. 61.

Tak.

s. 63.

4
9

.

s. 67.

0.

s. 69.

83
58

.

21

s. 70.

11
70

.

s. 72.

122 221.

s. 76.

99.

s. 80.

1 234 321.

s. 83. a

= 0, b = 0.

s. 85. a

= b.

s. 91.

9 999 800 001.

s. 96.

Tysiąc dwoma zerami.

s. 97.

874.

s. 100.

Zauważmy,  że  (10n + k)

2

= 100n

2

+ 20nk + k

2

.  Zatem  kwadrat  liczby

całkowitej  ma  liczbę  jedności  będącą  liczbą  jedności  kwadratu  jednej
z liczb: 0, 1, 2 ... 9. Ponieważ żadna z liczb: 3, 13 ... 93 nie jest kwadra-
tem liczby naturalnej, więc i rozważana liczba też nie może być kwadra-
tem żadnej liczby całkowitej.

s. 101.

1.

s. 105.

2.

s. 112. a

5

.

s. 116.

Nieprawdą jest, że 

1
4

m

2

 to 25 cm

2

.

s. 123.

750 złotych.

s. 126.

0,011875.

s. 130.

1,2 g napoju.

s. 140. S

10

= (1 + 2 ... + 9 + 10)

2

= 55

2

= 3025.

s. 141.

a) x · a + y · b;

b) (x + 2) · c;

c) (n – 1) · d;

d) y · (10s) + 4s.

s. 143.

( )

1

2

2

2

a











.

s. 147.

Błąd tkwi w drugiej równości, gdyż  x y

xy

2 2

≠

, bo x < 0.

s. 150.

5

n

–1

 razy.

s. 152.

–8x

2

– 2x.

22

s. 155.

n n

(

1)

2

+

.

s. 158.

Każda osoba wita się z n – 1 osób, czyli n · (n – 1), ale liczba uścisków

jest liczona podwójnie. Zatem liczba uścisków jest równa 

n

n

⋅

−

(

1)

2

.

2x

4

+ x

3

+ x

2

+ 5x – 4.

s. 161. S

3

≤

S

2

≤

S

1

, gdyż

ab

(a – b)

2

≥

0

a

3

b

– 2a

2

b

2

+ ab

3

≥

0

a

3

b

+ 2a

2

b

2

+ ab

3

≥

4a

2

b

2

(

)

ab

a b

a

b

≥

+

4

2 2

2

Skąd wynika, że

ab

ab

a

b

≥

+

2

; ponadto

( )

ab

ab

a

b

a

b

≤

+

+

=

+

2

2

2

4

4

2

, czyli

ab

a

b

≤

+

2

.

s. 164.

Nie istnieje, bo x

≠

0.

s. 165.

Bezpośrednie sprawdzenie wskazuje, że liczby: 1, 2 i 3 są rozwiązania-
mi równania. 0 i 4 nie są rozwiązaniami; dla x > 4  3

x

(4 – x) < 0, nato-

miast 9x > 0.

s. 167.

Nie są to równania równoważne, gdyż –1 jest rozwiązaniem równania
drugiego, a nie jest rozwiązaniem równania pierwszego.

s. 171.

Rozwiązaniem rozważanego równania jest liczba nieparzysta, gdyż

(

)

3

5

1

9

1999

1999

x

=

+ +

, czyli 

(

)

x

=

+ + ⋅

1
3

5

1

3 9

1999

1998

.

Pierwszy składnik jest liczbą parzystą, natomiast drugi – nieparzystą.

s. 172.

Błąd tkwi w operacji dzielenia przez x – 4.

s. 175.

Siostra ma 8 lat, brat – 12 lat.

s. 183.

Rozwiązaniem nierówności są liczby  x

>

18
11

. Wśród nich najmniejszą

liczbą naturalną jest 2.

s. 184.

Nie, gdyż x = 4.

23

s. 187.

Rozwiązanie:
Zauważmy, że dla dowolnych liczb a, b różnych od zera

(a – b)

2

≥ 

0

a

2

– 2ab + b

2

≥

0

a

2

+ b

2

≥

2ab.

Dla liczb dodatnich a, b mamy zatem

a

b

ab

2

2

2

+

≥

,

czyli

a
b

b
a

+

≥

2 .

Analogicznie, zauważamy, że

b
c

c
b

a
c

c
a

+

≥

+

≥

2

i

2 .

Z nierówności tych wynika, że

a
b

b
a

b
c

c
b

a
c

c
a

+

+

+

+

+

≥

6

a

b

c

a

c

b

b

c

a

+

+

+

+

+

≥

6 .

Ponieważ a + b = 1 – c, a + c = 1 – b oraz b + c = 1 – a, więc

1

1

1

6

−

−

−

+

+

≥

c

c

b

b

a

a

1

1

1

1

1

1

6

c

b

a

− +

− +

− ≥

,

skąd wynika, że

1

1

1

9

a

b

c

+

+ ≥

.

s. 192.

Tak, na przykład trójkąt wyznaczony przez biegun północny, dwa połu-
dniki różniące się o 90° i równoleżnik.

s. 196.

Obie środkowe wychodzące z wierzchołków kątów ostrych mają tę wła-
sność.

s. 211.

W  obu  przypadkach  tak.  Położenie  desek  przedstawia  pierwszy  rysu-
nek, a rysunek drugi ilustruje możliwość manewru kajakiem.

2 2

2

2

− <

d

2

 = 4

2

 + 4

2

 = 32,  d

=

>

4 2

5

d

25

ĆWICZENIA SPRAWDZAJĄCE
ROZWIĄZANIA ZADAŃ

Przygotowaliśmy rozwiązania zadań przeznaczonych dla uczniów szcze-
gólnie zainteresowanych matematyką, które w Ćwiczeniach sprawdzają-

cych dla klasy pierwszej gimnazjum

 są oznaczone symbolem 

.

Zadania te wymagają rozwiązań odbiegających od schematów i ich anali-
za  oraz  rozwiązania  na  pewno  ułatwią  pracę  nauczycielom.  Spełniamy
w ten sposób oczekiwania wielu nauczycieli. Pomijamy zadania przygo-
towne  dla  grupy  B,  jeżeli  ich  rozwiązania  nie  różnią  się  od  rozwiązań
zadań z grupy A.

Podstawowe figury geometryczne. K¹ty

Grupa A

Długość odcinka XY jest równa:

1

1
3

, jeżeli jednostką jest odcinek AB,

4, jeżeli jednostką jest odcinek MN,

2
3

, jeżeli jednostką jest odcinek KL.

Zaznacz,  który  odcinek  na  rysunku  to
odcinek XY.

5

Odpowiedź: Na rysunku oznaczyliś-

my odpowiednie odcinki.

26

Grupa B

Długość odcinka XY jest równa:

1

1
2

, jeżeli jednostką jest odcinek AB,

3
4

, jeżeli jednostką jest odcinek MN,

3, jeżeli jednostką jest odcinek KL.
Zaznacz,  który  odcinek  na  rysunku  to
odcinek XY.

5

Odpowiedź:  Na  rysunku  oznaczy-

liśmy odpowiednie odcinki.

Dwusieczna. K¹ty. Po³o¿enie prostych

Grupa A

Podziel na połowy odcinek AB, posługu-
jąc się tylko linijką.

5

Wybieramy punkt K tak, aby proste

KA

 i KB przecięły prostą b odpowiednio

w  punktach  E  i  L.  Prowadzimy  proste
LA

 i EB, które przecinają się w punkcie

G

. Prosta poprowadzona przez punkty K

i G dzieli odcinek AB na połowy.

£amana. Wielok¹t

Grupa A

Przez Małe Miasteczko przepływa rzeka, w której rozwidleniu znajdują się dwie
wyspy. Zbudowano na niej mosty tak, jak na rysunku. Czy można przejść kolej-
no przez wszystkie mosty w ten sposób, żeby każdy przekroczyć tylko raz i wró-
cić w to samo miejsce? Jeśli tak, to narysuj drogę, jaką należałoby pokonać.

a b

27

5

Nie można przejść po każdym z mostów jeden raz i wrócić w to samo miej-

sce. Aby  znaleźć  się  po  tej  samej  stronie  rzeki,  musiałaby  być  parzysta  liczba
mostów łączących wyspy z lądem stałym.

Okr¹g i ko³o. K¹ty w kole

Grupa A

Okrąg  podzielono  promieniami  na  cztery
części w stosunku 2 : 8 : 3 : 5. Punkty po-
działu okręgu połączono kolejno cięciwami.
Oblicz miary kątów tak powstałego czworo-
kąta.

5

Okrąg  dzielimy  na  2  +  8  +  3  +  5  =  18

równych  części.  Obliczamy  miary  kątów
środkowych  opartych  na  odpowiednich  łu-
kach, a następnie miary kątów przy podsta-
wie  w  trójkątach  równoramiennych.  Kąty
czworokąta  mają  więc  następujące  miary:
110°, 80°, 70° i 100°.

Liczby wymierne

Czy liczba 0,(9) jest liczbą pierwszą, czy złożoną?

5

Liczba 0,(9) = 1 i nie jest to ani liczba pierwsza, ani złożona.

Dzia³ania w zbiorze liczb wymiernych

Grupa A

Czy to możliwe, aby y · x = 0 i y : x = 1?

5

Z  równości  y : x = 1  wynika,  że x

≠

0  i  y = x.  Wtedy  również  y

≠

0.  Zatem

y

· x 

≠

0, nie może więc być spełniony warunek y · x = 0.

Grupa B

Czy to możliwe, aby 2y · 2x = 0 i 3y : 3x = 1?

5

Z równości 3y : 3x = 1 wynika warunek x 

≠ 

0 i y = x. Wtedy również y 

≠ 

0.

Zatem y · x 

≠ 

0, nie może więc być spełniony warunek 2y · 2x = 0.

28

Potêga. Mno¿enie i dzielenie potêg o tych samych podstawach

Grupa A

Dorosłe ufoalki, żyjące na planecie Fikcja, rodzą w ciągu jednej godziny 10 ufo-
alkiątek. Każdy ufoalek żyje tylko 5 godzin, a zaczyna się rozmnażać w drugiej
godzinie życia. Oblicz, ilu potomków miał ufoalek, który żyje już 4 godziny.

5

Ufoalek, który żyje już 4 godziny, miał 1330 potomków.

Grupa B

Dorosłe  ufoalki,  żyjące  na  planecie  Bujna  Wyobraźnia,  rodzą  w  ciągu  jednej
godziny 10 ufoalkiątek. Każdy ufoalek żyje tylko 7 godzin, a zaczyna się roz-
mnażać w drugiej godzinie życia. Oblicz, ilu potomków miał ufoalek, który żyje
już 5 godzin.

5

Ufoalek, który żyje już 5 godzin, miał 3640 potomków.

Potêga iloczynu, ilorazu i potêgi

Grupa A

Wykładnikiem potęgi może być liczba ujemna. Wówczas na przykład  2

2

1

2

2

−

=

.

Dla potęg o wykładnikach całkowitych prawdziwe są wszystkie poznane włas-
ności potęg. Oblicz

(

)

(

)

4

4

:

: 8 .

2

2

20

2

1
2

4

−

⋅

−











Korzystając z definicji potęgi o wykładniku ujemnym i własności potęg, otrzy-
mujemy:

(

)

(

)

( ) (

)

4

4

:

: 8

4

: 2 : 2

1 2

2

2

20

2

0

20

4

3

2

1
2

:

1
4

4

−

⋅

=

=

=

−











2

.

Grupa B

Wykładnikiem potęgi może być liczba ujemna. Wówczas na przykład 

2

2

1

2

2

−

=

.

Dla potęg o wykładnikach całkowitych prawdziwe są wszystkie poznane włas-
ności potęg. Oblicz:

29

(

)

(

)

9

9

:

: 27 .

2

2

20

2

1
3

4

−

⋅

−











5

Korzystając  z  definicji  potęgi  o  wykładniku  ujemnym  i  własności  potęg,

otrzymujemy:

(

)

(

)

( ) (

)

9

9

:

: 27

9

: 3 : 3

1 3

2

2

20

2

0

20

4

3

2

1
3

:

1
9

4

−

⋅

=

=

=

−











2

.

Pierwiastki. Przybli¿enia

Grupa A

Pierwiastek  możemy  zapisać  w  postaci  potęgi  o  wykładniku  wymiernym,  na

przykład  4

4

8

8

1
2

1
3

,

3

=

=

. Zapisz dane wyrażenie w postaci jednej potęgi:

( )

( )

3 27

81

1
3

3

3

1
3

4

1

0

3

⋅

⋅

⋅

⋅

−

−

.

5

Potęgi i pierwiastki zapisujemy w postaci potęg o podstawie 3 i korzystamy

z własności potęgowania.

Grupa B

Pierwiastek  możemy  zapisać  w  postaci  potęgi  o  wykładniku  wymiernym,  na

przykład  4

4

8

8

1
2

1
3

,

3

=

=

. Zapisz dane wyrażenie w postaci jednej potęgi:

( )

( )

2 8

16

1
2

2

2

1
3

4

1

0

3

⋅

⋅

⋅

⋅

−

−

.

5

Potęgi i pierwiastki zapisujemy w postaci potęg o podstawie 2 i korzystamy

z własności potęgowania.

( )

( )

3 27

81

1
3

3

3

  

3

3

3

3 3

3

3

3

3

3

1
3

4

1

0

3

1
2

1

1

0

3
2

1
2

1 1

1 0

3
2

1
2

5
2

3

3

1
2

5
2

2

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

−

−

−

− +

+ +

=

=

=

=

=

−

−

( )

( )

2 8

16

1
2

2

2

  

2

2

2

2 2

2

2

2

2

2

1
3

4

1

0

3

1
2

1

1

0

3
2

1
2

1 1

1 0

3
2

1
2

5
2

2

2

1
2

5
2

2

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

−

−

−

− +

+ +

=

=

=

=

=

−

−

30

Procenty

Grupa A

Sprzedawca podwyższył cenę pewnego artykułu o 10%, a następnie jeszcze o 5%.
O ile procent powinien obniżyć cenę tego artykułu, aby była ona równa cenie
sprzed podwyżek?

5

x

 – cena artykułu przed podwyżką

x

 + 10% · x = 1,1x – cena artykułu po pierwszej podwyżce

1,1x + 5% · 1,1x = 1,155x – cena artykułu po drugiej podwyżce
y

 – różnica cen

Aby obliczyć różnicę cen, układamy równanie:
1,155x – y · 1,155x = x
1,155x(1 – y) = x

1

1

1,155

− =

y

y

= −

1

1000
1155

y

=

⋅

≈

155

1155

  

155

1155

100%

13,4%

Sprzedawca powinien obniżyć cenę o około 13,4%.

Grupa B

Sprzedawca podwyższył cenę pewnego artykułu o 5%, a następnie jeszcze o 10%.
O ile procent powinien obniżyć cenę tego artykułu, aby była ona równa cenie
sprzed podwyżek?

5

x

 – cena artykułu przed podwyżką

x

 + 5% · x = 1,05x – cena artykułu po pierwszej podwyżce

1,05x + 10% · 1,05x = 1,155x – cena artykułu po drugiej podwyżce
y

 – różnica cen

Aby obliczyć różnicę cen, układamy równanie:
1,155x – y · 1,155x = x
1,155x(1 – y) = x

1

1

1,155

− =

y

y

= −

1

1000
1155

y

=

⋅

≈

155

1155

  

155

1155

100%

13,4%

Sprzedawca powinien obniżyć cenę o około 13,4%.

31

Wyra¿enia algebraiczne

Grupa A

Czy wyrażenie 

x

x

x

2

−

 jest równe wyrażeniu x – 1? Odpowiedź uzasadnij.

5

Wyrażenia  te  nie  są  równe,  gdyż  dziedziną  wyrażenia 

x

x

x

2

−

  jest  zbiór

R \

{0}, natomiast dziedziną wyrażenia x – 1 jest zbiór R.

Grupa B

Czy wyrażenie 

x

x

x

3

2

2

−

 jest równe wyrażeniu x – 1? Odpowiedź uzasadnij.

5

Wyrażenia  te  nie  są  równe,  gdyż  dziedziną  wyrażenia 

x

x

x

3

2

2

−

  jest  zbiór

R \

{0}, natomiast dziedziną wyrażenia x – 1 jest zbiór R.

Wielomiany

Grupa A

Dla jakich wartości x i y wartość wielomianu x + y – 2 jest większa od 4?

5

Układamy nierówność x + y – 2 > 4, a następnie określamy warunek, jaki

powinna spełniać zmienna y w zależności od x. Otrzymujemy y > –x + 6. Dla
każdej pary (x, y), gdy y > –x + 6 wartość wielomianu x + y – 2 jest większa od 4.
Na przykład (8, –1), bo –1 > –8 + 6.

Grupa B

Dla jakich wartości x i y wartość wielomianu x + y – 2 jest mniejsza od 5?

5

Układamy nierówność x + y – 2 < 5, a następnie określamy warunek, jaki

powinna spełniać zmienna y w zależności od x. Otrzymujemy y < –x + 7. Dla
każdej pary (x, y), gdy y < –x + 7, wartość wielomianu x + y – 2 jest większa od 5.
Na przykład (7, –2), bo –2 < –7 + 7.

32

Mno¿enie wielomianów

Grupa A

Zaproponuj  interpretację  geometryczną
iloczynu (a + b) (b + c) (a + c).

5

Należy narysować prostopadłościan,

którego długości krawędzi są równe a + b,
b

 + c i a + c, następnie dokonać podziału

na odpowiednie prostopadłościany.

Grupa B

Zaproponuj interpretację geometryczną iloczynu (a + b) (a + c) (a + d).
Postępujemy analogicznie jak w rozwiązaniu zadania w grupie A.

Równania równowa¿ne

Grupa A

Podaj przykład równania, którego rozwiązaniami są liczby – 4 i 2.

5

W rozwiązaniu zadania możemy wykorzystać własność iloczynu, wówczas

równanie (x + 4) (x – 2) = 0 jest przykładem równania, którego rozwiązaniami są
liczby – 4 i 2. Możemy również wykorzystać własności wartości bezwzględnej,
wówczas równanie  x + 1 = 3 jest przykładem równania, którego rozwiązaniami
są liczby – 4 i 2.

Grupa B

Podaj przykład równania, którego rozwiązaniami są liczby 2 i –3.

5

W rozwiązaniu zadania możemy wykorzystać własność iloczynu, wówczas

równanie (x – 2) (x + 3) = 0 jest przykładem równania, którego rozwiązaniami są
liczby 2 i –3. Możemy również wykorzystać własności wartości bezwzględnej,

wówczas równanie  x

+

=

1
2

2,5  jest przykładem równania, którego rozwiąza-

niami są liczby 2 i –3.

33

Rozwi¹zywanie równañ

Grupa A

Znajdź wszystkie liczby naturalne będące rozwiązaniem danego równania.

( )( )

3

0

1
2

1
3

x x

x

−

+

=

5

Korzystając z własności iloczynu, otrzymujemy:

3x = 0

lub

x

− =

1
2

0

lub

x

+ =

1
3

0

skąd  x = 0

lub

x

=

1
2

lub

x

= −

1
3

Spośród liczb będących rozwiązaniami równania tylko liczba x = 0 jest liczbą
naturalną, tak więc równanie spełnia tylko jedna liczba naturalna i jest nią 0.

Grupa B

Znajdź wszystkie liczby naturalne będące rozwiązaniem danego równania.

(

)

( )( )

4

1

0

1
2

1
3

x

x

x

−

+

−

=

5

Korzystając z własności iloczynu, otrzymujemy:

x

 – 1 = 0

lub

x

+ =

1
2

0

lub

x

− =

1
3

0

skąd  x = 1

lub

x

= −

1
2

lub

x

=

1
3

Spośród liczb będących rozwiązaniami równania tylko liczba x = 1 jest liczbą
naturalną, tak więc równanie spełnia tylko jedna liczba naturalna i jest nią 1.

Rozwi¹zywanie równañ – zadania tekstowe

Grupa A

Znajdź liczby całkowite spełniające dane równanie  3x – 2  = 5.

5

Korzystając z własności wartości bezwzględnej, równanie  3x – 2  = 5 mo-

żemy zapisać:

3x – 2 = 5, gdy  x

≥

2
3

lub

–(3x – 2) = 5, gdy  x

<

2
3

3x = 7

lub

–3x = 3

x

=

7
3

lub

x

= –1

34

Spośród otrzymanych rozwiązań liczbą całkowitą jest –1 i jest to jedyna liczba
całkowita będąca rozwiązaniem równania  3x – 2  = 5.

Grupa B

Znajdź liczby całkowite spełniające równanie  7x + 2   = 9.

5

Korzystając z własności wartości bezwzględnej, równanie  7x + 2  = 9 mo-

żemy zapisać:

7x + 2 = 9, gdy  x

≥ −

2
7

lub

–(7x + 2) = 9, gdy  x

< −

2
7

7x = 7

lub

–7x = 11

x

= 1

lub

x

= −

11

7

Spośród otrzymanych rozwiązań liczbą całkowitą jest 1 i jest to jedyna liczba
całkowita będąca rozwiązaniem równania  7x + 2  = 9.

Nierównoœci

Grupa A

Podaj przykład nierówności, do której zbioru rozwiązań należy liczba 1, nato-
miast liczby 0 i 3 nie należą do zbioru rozwiązań tej nierówności.

5

Przykładem nierówności, do której zbioru rozwiązań należy liczba 1, a nie

należą liczby 0 i 3, jest nierówność x(x – 3) < 0.

Grupa B

Podaj przykład nierówności, do której zbioru rozwiązań należą liczby 3 i 6, nato-
miast liczba 4 nie należy do zbioru rozwiązań tej nierówności.

5

Przykładem  nierówności,  do  której  zbioru  rozwiązań  należą  liczby  3  i  6,

a nie należy liczba 4, jest nierówność (x – 3,5)(x – 5,5) > 0.

Rozwi¹zywanie nierównoœci

Grupa A

Znajdź  taką  liczbę  a,  dla  której  zbiór  rozwiązań  nierówności  5x – 7

≤

ax 

jest

zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych.

5

Przekształcamy nierówność 5x – 7

≤

ax

. Otrzymujemy wówczas kolejno:

5x – ax

≤ 7 

(5 – a)x

≤ 7

35

Aby zbiorem rozwiązań nierówności 5x – 7

≤

ax 

był zbiór wszystkich liczb rze-

czywistych,  również  zbiorem  rozwiązań  nierówności  (5 – a)x

≤ 7

  musi  być

zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, a to oznacza, że a = 5.

Grupa B

Znajdź taką liczbę a, dla której zbiór rozwiązań nierówności ax

≤

4x – 1 nie ma

żadnego elementu.

5

Przekształcamy nierówność ax

≤

4x – 1. Otrzymujemy wówczas kolejno:

ax

– 4x

≤

–1 

(a – 4)x

≤

–1

Aby  do  zbioru  rozwiązań  nierówności  ax

≤

4x – 1  nie  należał  żaden  element,

również zbiór rozwiązań nierówności (a – 4)x

≤

–1 musi być zbiorem pustym,

a to oznacza, że a = 4. Otrzymujemy wówczas 0

≤

–1.

W³asnoœci trójk¹ta. Rodzaje trójk¹tów

Grupa A

W trójkącie równobocznym, którego bok ma długość 4, wybrano pięć punktów.
Wykaż, że wśród tych punktów istnieją dwa, których odległość jest nie większa
niż 2.

5

Rysujemy  trójkąt  równoboczny  i  przez  środki  boków

prowadzimy odpowiednio równoległe. Otrzymaliśmy cztery
trójkąty  równoboczne,  których  długość  boku  jest  rów-
na 2, natomiast wysokość ma długość mniejszą niż 2. Trzy
punkty możemy umieścić tak, że odległość pomiędzy każ-
dymi dwoma z nich jest równa 4. Jakkolwiek wybierzemy
teraz dwa pozostałe punkty, to zawsze wskażemy takie dwa
punkty, których odległość jest nie większa od 2.

Grupa B

W trójkącie równobocznym, którego bok ma długość 6, wybrano pięć punktów.
Wykaż, że wśród tych punktów istnieją dwa, których odległość jest nie większa
niż 3.

5

Rozwiązanie zadania analogiczne jak dla grupy A. Zadanie to można uogól-

nić: W trójkącie równobocznym, którego bok ma długość a, wybrano pięć punk-
tów.  Wykaż,  że  wśród  tych  punktów  istnieją  dwa,  których  odległość  jest  nie

większa niż 

a
2

.

36

Odcinki w trójk¹cie

Grupa A

Czy wysokość trójkąta, którego boki mają długości 3 dm, 7 dm i 5 dm, może
mieć długość 13 dm?

5

Wysokość trójkąta nie może mieć długości 13 dm, gdyż musi być ona mniej-

sza od sumy długości każdych dwóch boków trójkąta.

Grupa B

Czy wysokość trójkąta, którego boki mają długości 8 dm, 10 dm i 5 dm, może
mieć długość 13 dm?

5

Wysokość trójkąta nie może mieć długości 13 dm, gdyż musi być ona mniej-

sza od sumy długości każdych dwóch boków trójkąta.

Twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie do niego odwrotne

Podaj długość odcinka OD.

5

Długości odcinków OK, OA, OD, OC są wyrażone liczbami odpowiadający-

mi kolejnym potęgom liczby 2, a więc odpowiednio są one równe: 2, 4, 8, 16.
Rozwiązanie zadania dla grupy B jest analogiczne.

37

OCENIANIE

Funkcje i rodzaje oceny

Ocena  –  s¹d  wartoœciuj¹cy,  ka¿da  wypowiedŸ  maj¹ca

posta栄to jest wartoœciowe” lub „to nie jest wartoœciowe”,

która wyra¿a dodatnie lub ujemne ustosunkowanie siê do

przedmiotu  ocenianego  (stanu  rzeczy,  zdarzenia,  innej

osoby itp.).

W procesie nauczania–uczenia się bardzo ważną rolę odgrywa ocenia-

nie. Ocena w praktyce szkolnej to nie tylko wystawianie stopnia według
ustalonej skali ocen, ale także każde wyrażenie opinii przez nauczyciela,
kolegów lub też ucznia o wykonanym zadaniu.

W praktyce szkolnej możemy wyróżnić dwie główne funkcje oceny:

• klasyfikacyjną, która umożliwia:

– określenie poziomu opanowanej wiedzy i zdobytych umiejętności

w dłuższym okresie,

– zróżnicowanie  i  selekcję  uczniów  w  związku  z  wyborem  dalszej

drogi kształcenia,

– porównanie  efektywności  programów  nauczania  realizowanych

w różnych klasach,

– porównanie osiągnięć uczniów (także z określonymi standardami),

• diagnostyczną, która jest pomocna przy:

– opisie rozwoju umiejętności ucznia,
– określaniu indywidualnych uzdolnień i zainteresowań ucznia,
– określaniu efektywności stosowanych metod nauczania,

Nowa encyklopedia powszechna PWN,  1996 r.

38

– przekazywaniu  informacji  zwrotnej  o  przebiegu  procesu  naucza-

nia–uczenia się zarówno dla ucznia, jak i dla rodziców,

– uświadomieniu rodzicom i uczniom, że są współodpowiedzialni za

proces uczenia się.

Mając na uwadze funkcje oceny, możemy mówić o ocenianiu sumują-

cym

 i ocenianiu wspomagającym. Celem oceniania sumującego jest doko-

nanie selekcji uczniów oraz śledzenie ilościowych i jakościowych zmian
w funkcjonowaniu systemu szkolnego. Ma ono charakter okresowy, a do-
minującymi metodami są sprawdziany pisemne opracowane na bazie obo-
wiązujących  standardów.  Ocenianie  wspomagające  jest  nakierowane  na
badanie rozwoju ucznia i ma charakter ciągły. Stosujemy w tym przypad-
ku różnorodne metody, na przykład różne formy prac pisemnych, rozmo-
wę, obserwację.

Na podstawie omówionych funkcji oceny i rodzajów oceny możemy

określić, że we współczesnej szkole ocenianie powinno:

– być procesem gromadzenia informacji,
– wpływać  na  ustalenie  sposobów  zbierania  informacji,  ich  przetwa-

rzania i komunikowania wyników,

– być integralnym składnikiem procesu nauczania–uczenia się uwzględ-

nionym przy planowaniu procesu dydaktycznego,

– diagnozować rozwój ucznia na poszczególnych etapach kształcenia,
– podnosić motywację uczniów do uczenia się,
– ułatwić ewaluację procesu nauczania–uczenia się.

Gromadzenie informacji, ich przetwarzanie

i komunikowanie wyników

Gromadzenie informacji jest uzależnione od funkcji, jaką ma spełniać

ocena. Inne informacje są potrzebne, gdy ocena ma spełniać funkcję kla-
syfikacyjną, a inne, gdy ocena ma spełniać funkcję diagnostyczną. Przy
funkcji klasyfikacyjnej zebrane informacje powinny ułatwić wystawienie
oceny  semestralnej  oraz  oceny  rocznej.  Kryteria  wystawiania  ocen  po-
winny  być  więc  ściśle  powiązane  z  określonymi  standardami.  Powinny
być  również  dostosowane  do  szkolnego  systemu  oceniania.  Dążąc  do
zobiektywizowania  oceny,  należałoby  ustalić  na  podstawie  standardów
zakresy  wymagań  dla  poszczególnych  ocen.  Wymagania  te  powinny
uwzględniać  jakość  wykonanej  pracy,  a  nie  ilość.  Duża  grupa  uczniów

39

na  podstawie  nabytej  wiedzy  i  umiejętności  rozwiązuje  zadania  podob-
nych typów do omówionych lub rozwiązanych w czasie zajęć, natomiast
nie potrafi korzystać ze zdobytej wiedzy w nowych sytuacjach. Kryteria
oceny powinny być więc tak skonstruowane, aby uczeń, który umie ko-
rzystać ze swojej wiedzy w nowych sytuacjach, był wyżej oceniany niż
uczeń, który potrafi działać tylko w sytuacjach typowych lub opiera się na
wypracowanych algorytmach. Jednym z najbardziej rozpowszechnionych
w tej chwili sposobów wystawiania stopnia za wykonaną pracę pisemną
jest procentowe uzależnienie stopnia od uzyskanego wyniku. W tym przy-
padku o ocenie decyduje ilość wykonanej pracy, a w mniejszym zakresie
jej jakość.

Ocena  klasyfikacyjna  określa  poziom  wiedzy  i  umiejętności  ucznia,

natomiast niewiele można na jej podstawie powiedzieć o rozwoju ucznia
w  różnych  obszarach  aktywności  szkolnej.  Aby  zdefiniować  rozwój
ucznia, należy w większym zakresie wykorzystać funkcję diagnostyczną
oceny. Wymaga to stosowania innych narzędzi gromadzenia informacji.
Jedną z takich form jest arkusz obserwacji ucznia. Szczególnie przydatny
jest przy dokonywaniu oceny umiejętności kluczowych.

Umiejętności  kluczowe,  opracowane  przez  uczestników  programu

Kreator, uwzględniają umiejętności, które są wymagane od osób poszu-
kujących  pracy.  W  dotychczasowej  praktyce  szkolnej  umiejętności  te
były oceniane w niewielkim zakresie, ale nie dokonywano analizy, jak się
one rozwijały w odniesieniu do poszczególnych uczniów w procesie dy-
daktycznym.

W  programie  Kreator  sformułowano  następujące  umiejętności  klu-

czowe:

– planowanie, organizowanie i ocenianie własnego uczenia się,
– skuteczne komunikowanie się w różnych sytuacjach,
– efektywne współdziałanie w zespole,
– rozwiązywanie problemów w twórczy sposób,
– sprawne posługiwanie się komputerem.
Na przykładzie umiejętności kluczowej efektywne współdziałanie w ze-

spole

  pokażemy  sposób  gromadzenia  informacji  na  arkuszu  obserwacji

ucznia i ich interpretację.

Konstruując arkusz obserwacji ucznia, określamy obszary aktywności,

które  będą  podlegały  ocenie.  Wybieramy  kilka  takich  obszarów,  które
naszym zdaniem są najistotniejsze. W arkuszu obserwacji pozostawiamy
miejsce na ewentualne dopisanie tych obszarów, które umożliwią dokład-

40

niejsze  zdiagnozowanie  umiejętności  ucznia.  Przewidujemy  też  miejsce
na dodatkowe uwagi. Należy dokładnie przemyśleć, jaki rodzaj skali zo-
stanie zastosowany do prowadzenia obserwacji oraz w jakim okresie i jak
często będziemy notować nasze spostrzeżenia. Proponujemy zastosowa-
nie  skali  ciągłej,  która  umożliwi  zarówno  porównywanie  umiejętności
poszczególnych  uczniów,  jak  również  określenie  postępów  w  zakresie
obszarów  przypisanych  danej  umiejętności.  Przewidujemy,  że  propono-
wany  arkusz  obserwacji  ucznia  będzie  obowiązywał  przez  cały  cykl
kształcenia,  a  więc  w  klasach  I–III.  Pierwsze  spostrzeżenia  nauczyciel
wpisuje przy okazji zorganizowania pracy w grupie, następne spostrzeże-
nia, stosując różnorodne symbole, przed końcem każdego semestru.

Arkusz obserwacji ucznia

.........................................................................................
(Imię i nazwisko

klasa)

Spełnianie różnych funkcji
w zespole

Współdziałanie w zespole w celu
osiągnięcia zaplanowanego efektu

Komunikowanie się w zespole

Prezentacja wyników pracy zespołu

Efekt końcowy pracy zespołu

Uwagi

41

Stosując skalę ciągłą, nasze spostrzeżenia notujemy w ten sposób, że

większa swoboda działania w określonym obszarze odpowiada symbolo-
wi umieszczonemu bliżej prawego końca skali. Na przykładach pokaże-
my interpretację naszych spostrzeżeń.

Na podstawie dokonanej obserwacji nauczyciel może w przedstawio-

nym przypadku stwierdzić, że najlepiej zaprezentował się uczeń B, nato-
miast najsłabiej uczeń C.
Widzimy więc, że taka konstrukcja arkusza obserwacji nie musi być po-
wiązana ze stopniem szkolnym. Umożliwia to porównanie umiejętności
poszczególnych uczniów, bez konieczności stawiania konkretnego stop-
nia. Mamy takie sytuacje, że uczniowie o różniących się umiejętnościach
spełniają  kryterium  tej  samej  oceny.  Często  zdarza  się,  że  nauczyciele
stwierdzają  na  przykład:  Zbyszek  umie  na  słabą  czwórkę,  a  natomiast
Ewa – na mocną.

Prowadzona  obserwacja  w  całym  cyklu  kształcenia  umożliwia  scha-

rakteryzowanie ucznia w różnych obszarach aktywności. I znów na przy-
kładzie przedstawimy sposób zinterpretowania zapisanych spostrzeżeń.

Na podstawie poczynionych spostrzeżeń możemy stwierdzić, że uczeń A

rozwijał się równomierne. Pomimo słabszej oceny umiejętności na począt-
ku cyklu kształcenia, w porównaniu z uczniem B, jego ocena końcowa jest

j

@ ;

m

?

f

?

@

f

m

j

;

j

?

@

f

m

;

A

B

C

j

A

j

B

j

C

42

wyższa. Najniższą ocenę na początku cyklu kształcenia otrzymał uczeń C,
którego rozwój przebiegał nierównomiernie. Znaczne przyśpieszenie roz-
woju nastąpiło po dokonaniu czwartej oceny, a więc na przełomie klasy II
i III. W efekcie jego ocena na zakończenie cyklu kształcenia jest wyższa
niż  ocena  ucznia  B,  który  pomimo  najlepszej  oceny  na  początku  cyklu
kształcenia,  na  jego  zakończenie  został  oceniony  najniżej.  Obserwujemy
systematyczne  postępy  tego  ucznia,  ale  przebiegające  w  sposób  bardzo
powolny.

Proponowany arkusz obserwacji możemy wykorzystać do oceny pracy

zespołu w czasie lekcji, jak również do oceny poszczególnych członków
grupy. Wówczas jednak należy zastosować inną zasadę notowania obser-
wacji. Najczęściej korzystamy wtedy ze skali dyskretnej.

Jedną z możliwych do zastosowania jest skala następująca:
W

– Uczeń  potrafi  samodzielnie  działać  w  zakresie  przydzielonych  za-

dań, potrafi również wspomóc innych uczestników zespołu.

D

– Uczeń wykonuje pracę samodzielnie w prostszych sytuacjach, w trud-

niejszych potrafi wykonać zadanie po uzyskaniu wsparcia od uczest-
ników zespołu.

Arkusz obserwacji pracy w grupie

.........................................................................................
Grupa (uczeń)                                                     

                   klasa

Spełnianie różnych funkcji w zespole

Współdziałanie w zespole w celu osiągnięcia
zaplanowanego efektu

Komunikowanie się w zespole

Prezentacja wyników pracy zespołu

43

P

– Uczeń wymaga ciągłego wspierania w działaniu przez innych uczest-

ników zespołu, w małym zakresie działa samodzielnie.

Uczeń, w którego ocenie przeważa W i nie występuje ocena P, może

otrzymać ocenę bardzo dobrą. Gdy uczeń ten wykaże się ciekawymi i ory-
ginalnymi rozwiązaniami, może otrzymać ocenę celującą. Uczeń, w któ-
rego ocenie przeważa D, może otrzymać ocenę dobrą. Natomiast uczeń,
w którego ocenie przeważa P, może otrzymać ocenę dostateczną. W oce-
nianiu  istotną  sprawę  odgrywa  znajomość  kryteriów  oceniania.  Należy
więc przed przystąpieniem do pracy szczegółowo je omówić.

Zastrzeżenia  może  budzić  zastosowanie  ,,krótkiej”  skali  oceniania.

Większość  nauczycieli  ma  przekonanie,  że  dłuższa  skala  ocen  jest  bar-
dziej  obiektywna.  Przekonanie  takie  jest  błędne,  albowiem  długa  skala
ocen lepiej różnicuje uczniów, ale nie prowadzi do zwiększenia obiekty-
wizmu oceny.

Planowanie procesu dydaktycznego

Planując proces dydaktyczny, należy pamiętać o roli, jaką spełnia oce-

na pracy ucznia. Powinniśmy więc dokładnie zaplanować sposób, w jaki
będziemy dokonywali oceny uczniów, jak często będziemy to robić oraz
jaki zakres materiału będzie oceniany. Dla każdego sprawdzianu powinny
być określone cele i do nich dostosowane odpowiednie zadania. Planując
sprawdzian, powinniśmy ustalić kryteria oceny, które powinny wynikać
ze szkolnego systemu oceniania. Planując pracę, powinniśmy uwzględnić
różne sposoby zbierania informacji. Sprawdziany okresowe pozwalają na
dokonanie oceny, w jakiej korelacji są umiejętności uczniów z określony-
mi  wymaganiami  w  standardach.  Ocena  taka  daje  nam  mało  informacji
o samodzielnym działaniu ucznia w różnych sytuacjach. O wiele więcej
informacji uzyskamy, obserwując ucznia w czasie pracy na lekcji. Planu-
jąc  więc  swoją  pracę,  należy  uwzględnić  uzyskiwanie  informacji  z  róż-
nych źródeł i zadbać o ich zrównoważenie.

Zebrane w procesie oceniania informacje umożliwiają:

– określenie potrzeb klasy,
– określenie indywidualnych potrzeb uczniów,
– ocenę stosowanych metod i form pracy,
– porównanie osiągnięć uczniów ze standardami,
– ocenę realizowanego programu nauczania.

44

Diagnozowanie rozwoju ucznia

Diagnozowanie  rozwoju  ucznia  w  procesie  dydaktycznym  wiąże  się

nierozerwalnie z procesem oceniania. Chcąc w sposób prawidłowy zdiag-
nozować rozwój ucznia, powinniśmy pamiętać, aby w czasie przeprowa-
dzanych obserwacji zwrócić uwagę na:

– sposób,  w  jaki  uczniowie  rozumieją  pojęcia,  stosowane  procedury

i algorytmy,

– jakie treści nie sprawiają uczniom trudności, a które są szczególnie

dla nich trudne,

– jakie  trudności  występują  przy  rozwiązywaniu  zadań,  problemów

i różnych ćwiczeń,

– co przeszkadza w przyswajaniu nowych pojęć,
– co powoduje trudności w stosowaniu zdobytej wiedzy w nowych sy-

tuacjach.

Interesujące  nas  informacje  uzyskamy  przez  obserwację,  rozmowy

z uczniami, w których będą wyjaśniać stosowane przez siebie procedury
oraz określą występujące trudności, prace pisemne skoncentrowane wo-
kół określonego zagadnienia, sprawdziany uwzględniające niewielki za-
kres materiału.

Dokładna  analiza  zebranych  informacji  pozwoli  na  określenie  tempa

rozwoju  uczniów,  ich  zainteresowań  oraz  umożliwi  ukierunkowanie
uczniów przed wyborem dalszej nauki na nowym etapie kształcenia.

Budzenie motywacji uczniów do uczenia siê

W  procesie  dydaktycznym  istotne  jest  skorzystanie  z  motywacyjnej

roli oceny. Należy eksponować to, co uczeń już umie, a nie ograniczać się
do stwierdzenia, czego uczeń nie potrafi.

Tworzenie pozytywnego obrazu ucznia sprzyja podejmowaniu nowych

wyzwań.  Uczniowie  łatwiej  radzą  sobie  wówczas  z  niepowodzeniami,
starając się przez zwiększenie wysiłku je pokonać. Pozytywny obraz po-
winien powstawać nie tylko w wyniku oceny dokonywanej przez nauczy-
ciela, ale w większym stopniu przez samoocenę ucznia.

Uczniowie, zresztą podobnie jak i dorośli, bardzo często – dokonując

samooceny – zaniżają swoje oceny. Równie niebezpieczne jest zawyżanie
oceny, dlatego też należy uczniów wdrażać do dokonywania samooceny

45

Ewaluacja procesu nauczania–uczenia siê

Z definicji słowa ,,ewaluacja” wynika konieczność powiązania ewalu-

acji  z  procesem  zbierania,  analizą,  interpretacją,  wartościowaniem  da-
nych  dotyczących  określonej  działalności.  Prof.  B.  Niemierko  zdefinio-
wał pojęcie ewaluacji dydaktycznej jako systematyczne zbieranie infor-
macji o warunkach, przebiegu i wynikach działań dydaktycznych w celu
ulepszenia tych działań lub podjęcie decyzji o ich prowadzeniu.

Jednym  z  elementów  umożliwiających  ewaluację  jest  proces  ocenia-

nia, w którym nauczyciel uzyska informacje pozwalające ocenić efektyw-
ność pracy, uwzględniając: program nauczania, standardy, możliwości kla-
sy, stosowane metody i formy pracy oraz wykorzystywane środki dydak-
tyczne. W procesie oceniania powinniśmy uzyskać informację, jakie ele-
menty są efektywne, a które należy zmienić, planując kolejne etapy pracy.

Analizę taką możemy przeprowadzić po dokonaniu oceny sumującej.

Bogactwo  informacji  pozwala  wtedy  na  porównanie  stosowanego  stylu
uczenia i osiągnięć uczniów ze standardami oraz efektami pracy innych
nauczycieli.

w procesie nauczania–uczenia się. Porównywanie oceny nauczyciela i sa-
mooceny ucznia umożliwi obiektywizowanie jej w miarę upływu czasu.

Pragnąc wykorzystać ocenę jako element motywowania ucznia do pra-

cy, powinniśmy pamiętać, aby wskazać to, co jest zrobione dobrze, a co
źle. W tym drugim przypadku powinniśmy podać sposoby usunięcia bra-
ków tak, aby efekty pracy były lepsze.

Ewaluacja (fr. évaluation)

– okreœlenie wartoœci.

S³ownik wyrazów obcych PWN, 1995 r.

47

LEKCJA PO LEKCJI

Lekcje  matematyki  nie  muszą  być  nudne.  Przynajmniej  od  czasu  do

czasu  można  je  urozmaicić.  Czasem  trzeba  pozwolić  działać  uczniom.
Można zorganizować na przykład zajęcia w parach (można wykorzystać
jako karty pracy Ćwiczenia sprawdzające) lub w większych grupach.

Doskonałą okazją do pracy w grupach są lekcje powtórzeniowe, któ-

rych celem jest utrwalenie i usystematyzowanie przerobionego materiału.

Praca  w  grupach  umożliwia  kształtowanie  umiejętności  kluczowych

uczniów, uwzględnionych w podstawie programowej takich, jak:

– efektywne współdziałanie w grupie,
– skuteczne komunikowanie się w różnych sytuacjach,
– rozwiązywanie problemów w twórczy sposób,
– organizowanie, planowanie i ocenianie procesu uczenia się.
Dostosowując  przygotowany  przez  nas  rozkład  materiału  do  potrzeb

swojej klasy, nauczyciel może zasygnalizować w rubryce Uwagi o reali-
zacji

, że na danej lekcji uczniowie będą pracowali w grupach i wpisać na

przykład ,,Na Zielonej Planecie” (temat zajęć), praca w grupach: 45 min.
Jeśli nauczyciel przygotowuje konspekt zajęć, może umieścić w nim do-
datkowo  cele  i  umiejętności  związane  z  pracą  w  grupie.  W  rozkładzie

n

W czasie zajêæ uczniowie mog¹ pracowaæ stale w tych samych

grupach.

n

Mo¿na uczniów dobieraæ w sposób losowy, na przyk³ad uczniowie

losuj¹ numer grupy, w której bêd¹ pracowaæ.

n

Mo¿na cz³onków grupy dobieraæ wed³ug okreœlonego klucza:

wed³ug wzrostu,  koloru oczu czy daty urodzenia.

n

Uczniowie mog¹ równie¿ sami

proponowaæ sk³ad grup.

48

Praca w grupach to nie jedyny sposób na urozmaicenie zajęć. W klasie

pierwszej gimnazjum realizację materiału rozpoczynamy od geometrii. Są
to z reguły zagadnienia dobrze uczniom znane, powtórzeniowe. Są więc
warunki do przygotowania niebanalnych lekcji.

Na  lekcji  poświęconej  na  przykład  wielokątom  można  wykorzystać

karty dydaktyczne (rozpoznawanie wielokątów). Omawiając zagadnienia
związane z okręgiem i kołem, warto zorganizować wycieczkę do muzeum
sztuki ludowej i poszukać motywów okręgów i kół w twórczości ludowej
(ścieżka edukacyjna – edukacja regionalna). Następnie uczniowie mogą
samodzielnie  zaprojektować  takie  motywy  zdobnicze.  Jeśli  nie  mamy
możliwości pójścia do muzeum, poprośmy uczniów o przyniesienie wy-
tworów sztuki ludowej na zajęcia.

Na  lekcjach  związanych  z  obliczaniem  długości  odcinka  (skala)  lub

poświęconych  położeniu  prostych  na  płaszczyźnie  możemy  korzystać
z planu i mapy. Film poświęcony różnym stylom w architekturze (lub kie-
runkom w malarstwie) da uczniom pogląd na stosowanie motywów geo-
metrycznych w sztuce i zmianę ich roli na przestrzeni wieków.

Z kolei tematyka związana z liczbami rzeczywistymi zachęca do ćwi-

czenia umiejętności czytania tekstów matematycznych, prezentowania sa-
modzielnie zdobytych wiadomości (referat), wykorzystania takich pomocy
jak termometr (liczby ujemne), domino liczbowe (zapisywanie liczb na róż-
ne sposoby), integracji wiedzy z różnych dziedzin (czy można porówny-
wać wielkości zapisane w km/h z wielkościami zapisanymi na przykład
w  N).  Można  też  zastosować  na  lekcjach  dramę  (Alicja  w  Krainie  Cza-
rów

), burzę mózgów (świat bez liczb ujemnych), linię czasu (najsłynniej-

sze wynalazki naszych czasów – porównywanie liczb) i inne metody akty-
wizujące proces nauczania.

materiału  nie  podaliśmy  propozycji  dotyczących  sposobu  pracy  na  lek-
cjach, nie chcąc ograniczać inwencji nauczyciela. Aby jednak zachęcić do
organizowania pracy w grupie, w dalszej części poradnika proponujemy
dwa  scenariusze  takich  zajęć.  Scenariusze  te  można  wykorzystać  bez
zmian lub zmodyfikować, w zależności do potrzeb i poziomu klasy.

Urozmaiceniem lekcji z punktu widzenia

ucznia nie jest na pewno

niespodziewany sprawdzian!

49

Potęgi to wdzięczne pole do włączenia zagadnień ekologicznych (edu-

kacja ekologiczna) i astronomicznych do pracy (zapisywanie liczb z uży-
ciem potęg liczby 10, mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podsta-
wach).  Dajmy  też  możliwość  naszym  uczniom  zdobywania  informacji
z różnych źródeł (encyklopedie, prasa codzienna, Internet). Nauka o licz-
bach  to  niemal  cała  historia  matematyki  –  opowiedzmy  o  niej,  ukażmy
piękno i niezwykłość odkryć matematycznych.

Wykonując obliczenia z żądaną dokładnością, nie zapomnijmy o tym,

aby uczniowie samodzielnie projektowali działania, korzystając z nowych
technologii informacji i przetwarzania danych (kalkulator, komputer).

Przy  okazji  przybliżeń  pokażmy  uczniom  pułapki  związane  ze  zbyt

małym  lub  zbyt  dużym  rzędem  przybliżeń  (gra  ,,Czy  rakieta  doleci  na
Księżyc”).

Procenty to zagadnienia trudne i ...nudne. Postarajmy się, by uczniowie

je polubili. Można w tym celu zorganizować na przykład grę dydaktyczną
,,Mieszkańcy i inwestorzy”.

Jeœli uczniowie zaczynaj¹ siê nudziæ lub za oknem

pada deszcz i lada chwila ktoœ zaœnie, opowiedz

anegdotê albo matematyczny dowcip.

Warto mieæ tak¹ niespodziankê

w zanadrzu!

Nie bój siê stosowaæ na lekcjach

aktywizuj¹cych metod nauczania.

Nawet jeœli bêdzie trochê gwaru i Adam rozsypie piasek, chc¹c

policzyæ, ile¿ to ziarenek piasku siê mieœci w cm

3

, to i tak

uczenie przez prze¿ywanie i doœwiadczenie

da lepsze efekty ni¿ bierne

s³uchanie.

50

Mieszkañcy i inwestorzy

Gra dydaktyczna

Dzielimy uczniów na dwie grupy – jedni to inwestorzy,

drudzy mieszkañcy. W pewnym mieœcie (dzielnicy, osie-

dlu) inwestorzy chc¹ wybudowaæ na przyk³ad fabrykê kwa-

su siarkowego. Przedstawiaj¹ korzyœci dla mieszkañców,

natomiast mieszkañcy usi³uj¹ udowodniæ, ¿e inwestycja ta

przyniesie wiêcej szkód dla miasteczka (na przyk³ad eko-

logicznych) ni¿ korzyœci.

Niezale¿ny  ekspert  (nauczyciel  lub  wybrana  grupa

uczniów) ma rozstrzygn¹æ, kto: mieszkañcy czy inwesto-

rzy  w  bardziej  przekonuj¹cy  sposób  przedstawili  swoje

argumenty i ma zadecydowaæ, czy fabryka zostanie wybu-

dowana w tym mieœcie (dzielnicy, osiedlu).

Obie  grupy  –  inwestorzy  i  mieszkañcy  powinny  naj-

pierw zebraæ odpowiednie dane (na przyk³ad przez roz-

mowy z autentycznymi mieszkañcami miasta, informacje

zamieszczone w prasie, pomiary i obliczenia w terenie),

opracowaæ je i przedstawiæ w jak najatrakcyjniejszej for-

mie. Na debatê mo¿na zaprosiæ ekspertów z urzêdu mia-

sta, w³adz gminnych, ochrony œrodowiska itp.

51

Rozpoczynając realizację zagadnień związanych z wyrażeniami alge-

braicznymi, równaniami i nierównościami, warto pokazać kilka przykła-
dów (m.in. z fizyki) na to, że czasami obliczanie wartości wyrażeń przy
niewłaściwych  danych  może  prowadzić  do  absurdu  (na  przykład  gdy
otrzymamy,  że  prędkość  ciała  wyraża  się  liczbą  ujemną).  Kształcimy
w ten sposób nawyk sprawdzania i weryfikowania wyników.

Możemy doskonalić też umiejętności związane z niewerbalnym sposo-

bem  porozumiewania  się  (lekcje  bez  słów)  i  rozwiązywaniem  nietypo-
wych problemów w określonym czasie (konkursy, rozwiązywanie zadań
tekstowych i konkursowych).

Rozwiązywanie zadań tekstowych z zastosowaniem równań i nierów-

ności to możliwość wykorzystania wiedzy i umiejętności matematycznych
do opisu konkretnych zagadnień z otaczającej nas rzeczywistości. Jest to
też dobra okazja do kształcenia umiejętności planowania i organizowania
własnej pracy (na przykład rozwiązywanie zadań wielopoziomowych).

Związki miarowe w trójkącie to dział, który można rozpocząć od cie-

kawostek związanych z trójkątem bermudzkim. Zainteresuje to szczegól-
nie chłopców, a więc im można powierzyć przygotowanie pierwszej lekcji
(przy okazji będą oni mieli możliwość ćwiczenia umiejętności korzysta-
nia z nietypowych źródeł informacji). W niektórych miastach odbywają
się  festiwale  i  sesje  poświęcone  zjawiskom  niezwykłym  i  paranormal-
nym. Istnieją też stowarzyszenia skupiające ludzi o takich zainteresowa-
niach. Może warto kogoś z nich zaprosić na lekcję.
Jedna z lekcji rozpoczynających lub podsumowujących może być oparta
na  motywach  Trójkątnej  bajki  Danuty  Wawiłow.  Ten  wiersz  może  być
podstawą lekcji zwłaszcza w klasach, w których uczniowie lubią rysować
i mają wyobraźnię geometryczną.

Zadania wielopoziomowe i otwarte to nie pu³apka na nauczy-

ciela, ale mo¿liwoœæ porozmawiania z uczniami, dania im

okazji do zaprezentowania swojej wiedzy i zaintere-

sowañ. Jeœli nie zawsze w porê wiemy,

czy uczeñ ma racjê, nie bójmy siê
do tego przyznaæ.

52

Razem  z  nauczycielem  historii  można  zorganizować  ,,Dzień  z  życia

pitagorejczyka”.  Uczniowie  mogą  się  przebrać  w  stroje  z  epoki,  a  my
spróbujmy tak nauczać, jak się to działo za czasów Pitagorasa. Jeśli się
nam uda namówić do udziału w zabawie wszystkich nauczycieli uczących
w tym dniu w danej klasie, tym lepiej, uczniowie mogą wtedy się poczuć
naprawdę miłośnikami wiedzy z innej epoki.

Jako podsumowanie wiadomości i umiejętności związanych z trójką-

tem proponujemy rozwiązywanie zadań w grupach (na przykład w formie
turnieju). Zadania wcześniej przygotowuje grupa dla grupy (treści zadań
powinny  grupy  w  zasadzie  wcześniej  skonsultować  z  nauczycielem).
Można w sposób szczególny  nagrodzić grupę, która przygotowała najcie-
kawsze  zadania.  Jeśli  treść  zadań  nie  była  wcześniej  uzgodniona  z  na-
uczycielem, grupa, która ułoży niezrozumiałe bądź zbyt trudne zadanie,
otrzymuje punkty karne.

Uczniowie lubi¹ byæ nagradzani. Nagrod¹ nie zawsze musi byæ

stopieñ (ocena cyfrowa) – mo¿e to byæ informacja w szkolnych

mediach (gazetce, pochwa³a og³oszona przez radiowêze³ itd.).

Mo¿na te¿ ufundowaæ dla najlepszego ucznia b¹dŸ grupy

torebkê cukierków lub zdobyæ jakiœ reklamowany

produkt – szko³y czêsto otrzymuj¹
tego typu wyroby.

Jeœli w okolicy szko³y wyl¹duje

UFO, nie przegap okazji.
Zielony stworek bêdzie znakomit¹

atrakcj¹ dla uczniów, choæby

by³ to przebrany Tomek
Malinowski z Ia.

Jednym słowem, lekcje matematyki mogą być bardzo interesujące i dla

nas, i dla uczniów. A jeśli już nie mamy pomysłu, jak zaciekawić ucznia,
wykorzystajmy historyjki zamieszczone w podręczniku. Można je rozwi-
nąć  i  odpowiednio  obudować.  Pomocny  w  tworzeniu  nieszablonowych
zajęć  będzie  też  przygotowany  do  programu  i  podręcznika  zbiór  zadań.

53

Znajduje się w nim bowiem wiele interesujących zadań o różnym stopniu
trudności.  Jeśli  uczniowie  będą  rozwiązywać  zadanie  wielopoziomowe,
to  z  pewnością  45  minut  minie  błyskawicznie.  W  ten  sposób  na  każdą
lekcję jest pewien pomysł.

Do szybkiego powtórzenia można wykorzystać Ćwiczenia sprawdza-

jące

, organizując na przykład pracę parami – jeden uczeń sprawdza dru-

giemu poprawność rozwiązań. Kartkówki te będą też dobrym pomysłem
na pracę domową lub lekcję podsumowującą.

Typowe  sprawdziany,  które  przeprowadzimy,  nie  będą  udręką  dla

ucznia,  bowiem  zadania  są  ciekawe  i  uczniowie  chętnie  je  rozwiązują.
Fragmenty lekcji, w czasie których uczniowie korzystają z kart zawartych
w Ćwiczeniach sprawdzających, nazwaliśmy Teraz Ty, aby zaznaczyć, że
to czas na samodzielną pracę ucznia, że teraz on będzie mógł sprawdzić
sam siebie i w ten sposób się uczyć odpowiedzialności za proces własnego
uczenia się.

Staraj siê, aby Twoje lekcje by³y lekcjami dla ucznia, a nie dla

dyrektora, który akurat mo¿e przechodziæ korytarzem i us³yszy

gwar w klasie (a u pana X to zawsze panuje idealny

spokój!). Dyrektor to nie potwór, który

chce Ciê po¿reæ. On te¿ by³
kiedyœ uczniem.

55

NASZE POMYSŁY
NA TWOJE LEKCJE

Zajęcia w pierwszej klasie gimnazjum umożliwiają poznanie uczniów,

zintegrowanie grupy, wyrobienie w uczniach nawyku samodzielnej pracy.
Stwarzają też warunki do pokazania zalet pracy zespołowej, szczególnie
w  czasie  rozwiązywania  nietypowych  problemów.  W  klasie  pierwszej
sporo realizowanych zagadnień to tematy powtórzeniowe, znane uczniom
ze szkoły podstawowej. Dlatego warto lekcje powtórzeniowe wzbogacać
problemami  nietypowymi,  wymagającymi  poszukiwania  różnych  dróg
rozwiązania,  rozwijającymi  wyobraźnię  matematyczną.  Dobrym  pomy-
słem jest praca w grupach – wspólne dążenie do celu spaja zespół, wyra-
bia umiejętność właściwego komunikowania się, planowania i organizo-
wania pracy.

Przygotowanie  takiej  lekcji  jest,  niestety,  pracochłonne,  wymaga  też

doświadczenia  w  rozplanowaniu  czasu  pracy  uczniów.  Wysiłek  jednak
jest opłacalny, efekty są niemal od razu widoczne. Jeśli jednak taka lekcja
nie  bardzo  się  uda,  nie  należy  się  zrażać,  gdyż  nawet  mały  kamyczek
z czasem może wywołać lawinę.

Przedstawione scenariusze zajęć: Na Zielonej Planecie oraz Mnożenie

wielomianu  przez  jednomian

  są  dostosowane  do  tematyki  wynikającej

z rozkładu materiału dla klasy I gimnazjum, przygotowanego do progra-
mu Matematyka krok po kroku. Tworząc zasady pracy w grupie, częścio-
wo oparliśmy się na przemyśleniach zawartych w programie Kreator, któ-
rego uczestnicy pracują pod kierunkiem ekspertów Unii Europejskiej.

56

Jak zacząć?

Krok 1.

Zapoznaj uczniów z Zasadami pracy w grupie

i z Zasadami dobrego porozumiewania się w grupie.
Możesz poprosić też o to wychowawcę klasy.

Krok 2.

Ustal z uczniami, w jak licznych grupach

będą zwykle pracować i czy będą to grupy stałe,
czy zmienne. Najefektywniej pracują grupy
4–5-osobowe. Liczba grup nie może jednak być
zbyt duża, bo utrudnia prezentację wyników
(prezentacja trwa zbyt długo, co jest męczące
dla uczniów). Zwracaj uwagę, aby uczniowie
na kolejnych lekcjach pełnili różne role w grupie
i aby każdy przynajmniej raz był liderem grupy.

Krok 3.

Zaplanuj pracę w grupach tak, aby

stanowiła ona fragment lekcji. Podsumowując
lekcję, nie zapomnij się podzielić wrażeniami
na temat pracy grup. Daj też szansę
wypowiedzenia się uczniom.

Krok 4.

Skorzystaj z gotowego

scenariusza.

Krok 5.

Teraz już możesz

samodzielnie tworzyć lekcje,
na których uczniowie będą

pracować w grupach.

Pamiętaj o refleksji

i ewaluacji.

57

Zasady pracy w grupie

Lider kieruje prac¹ grupy, organizuje j¹. Dba o to, aby

wszyscy pracowali i aby ka¿dy mia³ udzia³ w rozwi¹zywaniu

zadania. Lider pilnuje, aby grupa pracowa³a nad tematem,

a  nie  poœwiêca³a  uwagê  sprawom  ubocznym,  nieistotnym

dla osi¹gniêcia celu. Lider nie narzuca swoich pogl¹dów,

ale dba o to, aby wszyscy mogli siê wypowiedzie栖 ustala,

kto w danej chwili mówi. Upewnia siê, czy wszyscy zrozu-
mieli postawione przed grup¹ zadanie.

Po wykonanej pracy dokonajcie samooceny i porozma-
wiajcie o przyczynach sukcesów b¹dŸ niepowodzeñ.

Sprawozdawca wy³awia w trakcie

pracy wa¿ne ustalenia, uzgadnia

z grup¹ rezultaty pracy i przedstawia
publicznie wynik pracy zespo³u.

Wybierzcie spoœród siebie

LIDERA, SEKRETARZA
i SPRAWOZDAWCÊ.

Sekretarz pilnuje, aby

nie umknê³y ciekawe

pomys³y zg³aszane

w czasie pracy nad

zadaniem. Zapisuje
koñcowe rozwi¹zanie.

Przed przyst¹pieniem

do pracy uzgodnijcie

plan dzia³ania.

3

2

4

5

6

7

Musicie wspólnie d¹¿yæ do celu.

Ka¿dy niech siê stara pracowaæ

intensywnie, na miarê swoich

mo¿liwoœci – musi jednak mieæ
na uwadze interesy grupy.

1

58

Pamiêtaj, ¿e to lider

kieruje prac¹ grupy.

Powstrzymaj siê

od dobrych rad.

Nie uogólniaj –

zajmij siê konkretami.

Zasady dobrego porozumiewania siê

w grupie

Ka¿dy ma prawo siê wypowiedzieæ.

Mów do cz³onków grupy.

Pytaj, aby wyjaœniæ

w¹tpliwoœci.

Mów na temat.

Oddzielaj sprawy wa¿ne

od nieistotnych.

Ka¿dy ma prawo

mieæ swoje zdanie.

Nie oceniaj

wypowiedzi

innych.

Nie przeszkadzaj.

S³uchaj aktywnie.

Wys³uchaj tego, co ma

do powiedzenia ka¿dy

z cz³onków Twojej grupy.

W dyskusji maj¹ prawo braæ

udzia³ wszyscy, decyzje

podejmuje grupa wspólnie.

Odpowiedz na pytanie

– wyt³umacz, wysuñ

argumenty, przekonaj.

NA ZIELONEJ PLANECIE

Program MATEMATYKA

KROK PO KROKU

DKW-4014-91/99

Dzia³:

Figury geometryczne

na p³aszczyŸnie

Numer i temat zajêæ

(wed³ug rozk³adu materia³u):

8. £amana. D³ugoœæ odcinka,

d³ugoœæ ³amanej

SCENARIUSZ ZAJÊÆ

DLA KLASY I GIMNAZJUM

MATEMATYKA

60

Czas:

 45 minut.

Cele.

 W czasie zajęć uczeń:

n

przypomni sobie wiadomości dotyczące łamanej i jej rodzajów,

n

będzie doskonalił umiejętność obliczania długości odcinka i długo-
ści łamanej (w tym zamiany jednostek i posługiwania się skalą),

n

będzie doskonalił umiejętność pracy w grupie, komunikowania się
i rozwiązywania nietypowych problemów w twórczy sposób,

n

dokona samooceny i oceny pracy grupy.

Sposoby pracy:

n

praca w grupach,

n

dyskusja i refleksja.

Materiały do zajęć:

n

instrukcja do pracy grupy,

n

artykuły papiernicze,

n

kartoniki z numerami grup,

n

kapelusz z losami,

n

plansza.

Uwagi:

n

Przed lekcją należy przygotować miejsce pracy tak, aby uczniowie
mogli pracować w pięciu grupach – na stolikach trzeba ustawić kar-
toniki z numerami grup.

n

Trzeba przygotować losy z numerami grup i kapelusz do losowania.

n

Do  tablicy  należy  przymocować  magnesami  planszę,  którą  grupy
będą wypełniały.

n

Materiały  papiernicze  można  położyć  na  oddzielnym  stoliku  –
uczniowie będą z nich korzystali w miarę potrzeby.

n

Stopień trudności zadań należy dostosować do możliwości klasy.

n

Jeśli  uczniowie  pierwszy  raz  pracują  w  grupach,  należy  omówić
z nimi zasady pracy w grupie.

n

Po  lekcji  Kąty  naprzemianległe  i  odpowiadające  nauczyciel  zadaje
jako  pracę  domową  proponowaną  w  rozkładzie  materiału  pracę
Teraz Ty

. Nauczyciel może kartki z rozwiązaniami zebrać po prze-

prowadzonej lekcji (lub przed lekcją) i sprawdzić poprawność roz-
wiązań w domu.

61

Przebieg zajęć:

1. Każdy uczeń losuje karteczkę z numerem grupy i siada przy odpo-

wiednim stoliku.

2. Grupy organizują swoją pracę: wybierają lidera, sekretarza i prezen-

tera.

3. Aby  zainteresować  uczniów  zajęciami,  nauczyciel  wygłasza  tekst

Nauczyciel mówi

.

4. Uczniowie otrzymują Instrukcję do pracy grupy i pracują nad zada-

niami.

5. Uczniowie wspólnie ustalają hasło.
6. Dyskusja nad tym, które zadania sprawiały kłopot i dlaczego, w jaki

sposób  grupa  pracowała  nad  problemami,  jak  komunikowali  się
członkowie grupy itp.). Samoocena, ocena pracy grup i refleksja.

7. Jako pracę domową można zadać jedno z zadań w podręczniku lub

zbiorze zadań. Jeśli nauczyciel uzna, że uczniowie wykazali się dobrą
znajomością zagadnień związanych z tematem lekcji, można Zada-
nie dla prawdziwego turysty

 zaproponować tylko chętnym uczniom.

Uwaga!

Wszystkie grupy mają do rozwiązania takie same zadania, nato-

miast ze swoich diagramów odczytują inne litery. W ten sposób cała klasa
uzyskuje hasło: TO BARDZO ŁADNA PLANETA. Nauczyciel przygo-
towuje przed lekcją diagramy dla każdej grupy, wpisując odpowiednie li-
tery. Podajemy wypełnione diagramy dla wszystkich grup.

Grupa I

Zadanie 1

Zadanie 3

Zadanie 4

120

58

38

A

T

K

Zadanie 2

7

O

15

W

4

A

200

300

600

L

B

M

NIE

TAK

G

A

62

7

D

15

N

4

O

Grupa II

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

120

58

38

G

R

A

200

300

600

S

Z

A

7

A

15

L

4

A

Grupa III

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

120

58

38

T

Ł

O

200

300

600

O

D

A

NIE

TAK

Ł

O

NIE

TAK

O

N

63

7

P

15

A

4

W

Grupa IV

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

120

58

38

D

A

R

200

300

600

I

L

E

7

E

15

L

4

A

Grupa V

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

200

300

600

E

T

A

120

58

38

I

N

O

NIE

TAK

W

A

NIE

TAK

L

A

64

Nauczyciel mówi

Wyobraźcie sobie, że jesteście przybyszami

z Uranusa. Wylądowaliście na nieznanej Zielo-
nej Planecie. Spotykają was na niej różne przy-
gody – poznacie tubylców, zwiedzicie labiryn-
ty,  może  uda  się  wam  znaleźć  skarb.  Żebyście
mogli  powrócić  na  Uranusa,  musicie  poznać
hasło, które uruchomi wasz kosmiczny pojazd.

Hasło otrzymacie, wpisując do pól na plan-

szy umieszczonej na tablicy odpowiednie litery.

Otrzymacie teraz Instrukcję do pracy grupy.

Postępujcie zgodnie z instrukcją.
Czas pracy 30 minut.

65

Instrukcja do pracy grupy

Rozwiążcie zadania. Otrzymanym liczbom odpowiadają litery. Wpiszcie
te litery do odpowiednich pól na planszy, umieszczonej na tablicy.

Zadanie 1

Oto plan dobrze strzeżonego labiryntu.
Musicie wejść do labiryntu w miejscu zaznaczonym na rysunku strzałką,
przejść przez wszystkie pomieszczenia (omijając pomieszczenia, w któ-
rych siedzą strażnicy) i wyjść z labiryntu w miejscu oznaczonym na pla-
nie gwiazdką. Przez każde pomieszczenie można przejść tylko raz. Moż-
na się poruszać po liniach oznaczonych na rysunku cienką kreską.
Zaznaczcie drogę, jaką musicie przebyć. Jaką długość ma ta droga?

120

58

38

tu siedzą strażnicy

1

66

Zadanie 2

W labiryncie znaleźliście bardzo starą księgę, napisaną przez niejakiego
Marcina Króla. W księdze tej zapisano, jakie jednostki długości stosowa-
no dawniej na Zielonej Planecie. Przeczytajcie zapis widniejący w księ-
dze i obliczcie, jaką przybliżoną długość miała mila zwyczajna (w km).

Zadanie 3

W  czasie  swojej  wędrówki  odwiedziliście  czarownika,  mieszkającego
w chacie stojącej na skraju lasu. Teraz chcecie się udać do Wioski Kroko-
dyli. Spotykacie tubylca i rozmawiacie z nim. Korzystając z wypowiedzi
tubylca, obliczcie, jak daleko jest (w metrach) do Wioski Krokodyli.

1 piędź to około 23,16 cm.

Z czterech cali piędź się składa,
Piędź potrójna daje stopę,
Krok powstaje ze stóp pięciu,
Na stadium kroków sto i ćwierć setki,
Ośmioro stadiów rzymską da milę,
Dwa razy większa mila zwyczajna.

200

300

600

4

7

15

67

Zadanie 4

W Wiosce Krokodyli zainteresowaliście się dziwnymi rysunkami widnie-
jącymi na skałach.

W ten sposób mieszkańcy przedstawiają gwiazdozbiory widniejące na tu-
tejszym niebie. Który z tych gwiazdozbiorów jest narysowany za pomocą
łamanej otwartej zwyczajnej składającej się z 6 odcinków? Jeśli 1 lub 2,
to rozwiążcie zadanie a, jeśli 3 lub 4, to rozwiążcie zadanie b.

Zadanie a

Ulubionym zajęciem mieszkańców Zielonej Planety jest rysowanie figur
jednobieżnych,  tzn.  takich,  które  można  narysować  jednym  pociągnię-
ciem ołówka, nie odrywając go od kartki i nie prowadząc go nigdy po linii
już wcześniej nakreślonej. Takie figury przedstawia rysunek.
Czy figura oznaczona numerem 3  jest łamaną?

2

1

3

4

1

2

3

NIE

TAK

R

K

68

Zadanie b

Poznany na planecie czarownik podarował wam mapę, na której zazna-
czono,  gdzie  jest  ukryty  skarb.  Tym  skarbem  jest  ponadczasowa  płyta,
na  której  jest  zapisana  historia  Zielonej  Planety.  Chcecie  zdobyć  skarb,

ale  naczelnik  wioski,  w  pobliżu
której  jest  ukryta  płyta,  pozwolił
wam  się  oddalić  od  starej  chaty,
w  której  mieszkacie,  nie  więcej
niż o 3 muzu.
Czy zdobędziecie płytę?

NIE

TAK

69

Zadanie dla prawdziwego turysty

W czasie podróży po Zielonej Planecie znaleźliście się na

pustyni. Chcecie dojechać na wielbłądzie z Oazy Czerwonej
do Oazy Pomarańczowej. Oazy te znajdują się w odległości
230 km od siebie. Kłopot w tym, że woda jest tylko w oazach
i nigdzie indziej na pustyni jej nie ma. Wielbłąd może unieść
tylko  bukłak  wody,  która  wystarczy  na  przebycie  150  km.
Postanawiacie więc po drodze założyć stacje, w których bę-
dziecie gromadzić wodę. Jaka jest minimalna liczba bukła-
ków wody, której potrzeba na przebycie pustyni?
Zakładamy,  że  wody  na  stacjach  nie  ubywa  na  przykład
wskutek parowania.

70

Plansza

Nr 

grupy

Nr 

zadania

Litera

I

II

12

341234

III

IV

V

12341

2341234

Program MATEMATYKA

KROK PO KROKU

DKW-4014-91/99

Dzia³:

Wyra¿enia algebraiczne

Numer i temat zajêæ

(wed³ug rozk³adu materia³u):
69. Mno¿enie wielomianu
przez jednomian

SCENARIUSZ ZAJÊÆ

DLA KLASY I GIMNAZJUM

MATEMATYKA

MNO¯ENIE WIELOMIANU

PRZEZ JEDNOMIAN

72

Czas:

 45 minut.

Cele.

 W czasie zajęć uczeń:

n

sprawdza stopień opanowania umiejętności dotyczących dodawania
i odejmowania wielomianów,

n

ocenia efektywność stosowanych przez siebie metod pracy,

n

poznaje  sposób  mnożenia  wielomianu  przez  jednomian;  ćwiczy
umiejętność  stosowania  prawa  rozdzielności  mnożenia  względem
dodawania,

n

czyta ze zrozumieniem tekst matematyczny,

n

doskonali umiejętność komunikowania się – stawiania właściwych
pytań i formułowania precyzyjnych odpowiedzi.

Sposoby pracy:

n

praca w parach,

n

praca całą klasą,

n

dyskusja i refleksja.

Materiały do zajęć:

n

Matematyka krok po kroku. Podręcznik dla klasy pierwszej gimna-
zjum

,

n

Matematyka krok po kroku. Ćwiczenia sprawdzające

,

n

kostki domina matematycznego i karty poprawnego ustawienia ko-
stek domina.

Uwagi:

n

W czasie lekcji uczniowie będą pracowali w parach. Należy dopil-
nować, aby każda para dysponowała co najmniej jednym podręczni-
kiem.

n

Przed  lekcją  trzeba  przygotować  odpowiednie  karty  z  Ćwiczeń
sprawdzających

. Warto też przed lekcją na zamykanej tablicy zapi-

sać rozwiązania wszystkich zadań z kartkówki Wielomiany. Tablicę
trzeba  zamknąć  przed  wejściem  uczniów  do  klasy.  Jeśli  w  pomie-
szczeniu  nie  ma  odpowiedniej  tablicy,  rozwiązania  zadań  można
umieścić na planszy i w odpowiednim momencie przyczepić do ta-
blicy lub zapisać je na folii i skorzystać z grafoskopu.

73

n

Trzeba przygotować tyle kompletów domina matematycznego i kart
poprawnego ustawienia, aby każda para uczniów dysponowała jed-
nym kompletem.

n

Nauczyciel może ocenić parę uczniów stopniem bądź w inny, wy-
brany przez siebie, sposób.

n

Jeśli uczniowie wykonają pracę szybciej niż zaproponowano w kon-
spekcie,  można  dodatkowo  poprosić  ich  o  rozwiązanie  odpowied-
nich zadań ze zbioru, zamieszczonych na stronach 107 i 108.

Przebieg zajęć:

1. Czynności organizacyjne – 3 minuty (uczniowie siedzą parami).
2. Nauczyciel mówi, że uczniowie będą pracowali w parach i para, któ-

ra  uzyska  największą  liczbę  punktów,  w  nagrodę  poprowadzi  na-
stępną lekcję matematyki. Jeśli kilka par uczniów uzyska taką samą
liczbę  punktów,  para,  która  poprowadzi  następną  lekcję,  zostanie
wylosowana (jeśli par tych będzie niewiele, mogą one przygotowy-
wać kolejne lekcje).

3. Nauczyciel  rozdaje  karty  Wielomiany  z  Ćwiczeń  sprawdzających,

uczniowie  piszą  kartkówkę  –  10  minut.  Zadania  rozwiązują  w  pa-
rach. Teraz uczniowie, korzystając z rozwiązań zapisanych na tabli-
cy i ewentualnie – z pomocy nauczyciela, sprawdzają poprawność
odpowiedzi.  Za  każde  poprawnie  rozwiązane  zadanie  przyznają
sobie 1 punkt, za złe rozwiązanie lub błąd w rozwiązaniu – 0 punk-
tów. Wspólnie omawiają rozwiązania – zastanawiają się nad popeł-
nionymi błędami, korygują błędy – 5 minut.

4. Nauczyciel mówi, że na lekcji uczniowie powinni samodzielnie zdo-

być  umiejętność  mnożenia  wielomianu  przez  jednomian.  W  tym
celu mogą przeczytać tekst w podręczniku (strony: 154 i 155), po-
rozmawiać w parach o tym, co przeczytali, przeanalizować podane
przykłady,  ewentualnie  rozwiązać  któreś  z  zadań  znajdujących  się
w podręczniku – 10 minut.

5. Nauczyciel  rozdaje  kostki  domina  matematycznego  (każda  para

uczniów  otrzymuje  jeden  komplet).  Należy  ułożyć  kostki  tak,  jak
gdyby były to kostki znanego wszystkim domina, rozpoczynając od
zacienionej kostki. Uczniowie mogą zaglądać do podręcznika, wy-
konywać obliczenia itp. Nie mogą korzystać z pomocy nauczyciela
– 10 minut.

74

To są dwie pary poprawnie ułożonych kostek domina.

7. Uczniowie podsumowują liczbę punktów zdobytych w czasie lekcji,

następuje  wybór  pary,  która  zdobyła  najwięcej  punktów.  Pytania,
dyskusja i refleksja – 5 minut.

8. Można ewentualnie jako pracę domową zadać któreś z zadań z pod-

ręcznika, na przykład zadania 2 i 3, strona 156.

6. Każda para uczniów otrzymuje kartę z poprawnym ustawieniem ko-

stek domina. Uczniowie sprawdzają poprawność ułożenia. Za każde
poprawne połączenie kostek przyznają sobie 1 punkt – 2 minuty.

75

Poprawne u³o¿enie kostek domina

4(x – 1) +
+ [–2(2x – 2)]

3(x –2y –1)

3x – 6y – 3

x

2

y

– xy

2

xy

(x – y)

3(1 + 2y)

6y + 3

(x + 1)xy

x

2

y

+ xy

( )

−

1
2

2

x xy

−

1
2

2 2

x y

iloczyn
liczby 2
i x – 3y

(

)

−

−

6

1
3

y

x

y

(x – 1) + y

3x

2

y

2

·

· (x

4

+ x

2

y

)

yx

sumę jedno-
mianów xy
oraz 2x po-
mnóż przez
0,5

2x(3x

2

+

+ x – 2)

(

)

3 2

2 3

x

−

(

)

3

3 2

x

− ⋅

0

x

xy

+

1
2

w wyrażeniu
2x

2

– 4x + 6x

3

wyłącz wspól-
ny czynnik
poza nawias

iloczyn
jednomianu
3x

3

y

i wielomianu
x

3

y

+ xy

2

76

Domino matematyczne

4(x – 1) +
+ [–2(2x – 2)]

3(x –2y –1)

3x – 6y – 3

x

2

y

– xy

2

xy

(x – y

)

3(1 + 2y

)

6y + 3

(x + 1)xy

y

(x – 1) + y

3x

2

y

2 

(x

4

+ x

2

y

)

x

xy

+

1
2

w wyrażeniu
2x

2

– 4x + 6x

3

wyłącz wspól-
ny czynnik
poza nawias

77

( )

−

−

6

1
3

y

x

iloczyn
jednomianu
3x

3

y

i wielomianu
x

3

y

+ xy

2

2x (3x

2

+ x – 2)

(

)

3 2

2 3

x

−

−

1
2

2 2

x y

iloczyn
liczby 2
i x – 3y

x

2

y

+ xy

( )

−

1
2

2

x xy

0

(

)

3

3

2

x

− ⋅

yx

sumę jedno-
mianów xy
oraz 2x po-
mnóż przez 0,5

79

MATEMATYCZNE IMPRESJE

Dlaczego impresje?

Ucząc  w  szkole  nowego  typu,  chcemy  uczyć  inaczej.  Nie  zawsze  to

nam  się  udaje,  gdyż  trudno  z  dnia  na  dzień  zmienić  metody  nauczania.
Jedną z propozycji, która może pomóc w tworzeniu współodpowiedzial-
ności uczniów za proces uczenia, są prace, zwane kursowymi, semestral-
nymi albo projektami. Nazwaliśmy je impresjami matematycznymi – mają
to być zatem prace zawierające nie tylko suchą wiedzę, ale i komentarze
uczniów. Prace, które będą odzwierciedlały ich zainteresowania, umiejęt-
ności i ... marzenia.

Chcemy, aby te prace wskazały na możliwości wykorzystania matema-

tyki w różnych gałęziach wiedzy, aby przybliżyły uczniom postacie znane
z historii matematyki, aby umożliwiły tworzenie ścieżek edukacyjnych na
różnych poziomach wiedzy i umiejętności.

Pragniemy też, aby uczniowie rozwiązywali problemy matematyczne,

korzystając z wiadomości zdobytych na innych lekcjach (przedmiotach).
Dążymy do tego, aby w sposobie przygotowania i prezentacji pracy odbi-
jała  się  osobowość  ucznia,  aby  od  wyszukiwania  i  katalogowania  pew-
nych faktów przechodził do prac badawczych, do stawiania i weryfikowa-
nia hipotez.

Metoda projektów od niedawna jest stosowana w naszych szkołach, ale

już teraz ma wielu entuzjastów. Podobnie jak dziewiętnastowieczny impre-
sjonizm, stawia na subiektywizm i przeciwstawia się tradycjonalizmowi.

Impresja (³ac. impressio – wgniecenie) –

przelotne wra¿enie, subiektywne odczucie,

prze¿ycie; utwór artystyczny o charakterze

nastrojowo-subiektywnym; fragment opisu.

S³ownik wyrazów obcych PWN, 1995 r.

80

Tematyka impresji

Tworząc  Matematyczne  impresje,  uczniowie  będą  pracowali  samo-

dzielnie bądź w grupach przez dłuższy okres. Będą samodzielnie poszuki-
wać rozwiązań, wykorzystując wiedzę i umiejętności z różnych dziedzin.
Prace  te  mogą  być  realizowane  przez  kilka  tygodni,  miesięcy,  a  nawet
przez cały rok. W klasie pierwszej gimnazjum proponujemy, aby ucznio-
wie wykonali od dwóch do czterech prac w ciągu roku. Tematy prac nie
mogą być zbyt trudne, aby uczniów nie zniechęcić. Dlatego najlepiej za-
cząć  od  znanych  już  uczniom  sposobów  realizacji  takich  prac  (choćby
z  lekcji  przyrody),  podając  zagadnienia,  które  można  opracować  bez
większego wysiłku. Dobrym pomysłem będzie rozwijanie motywów za-
proponowanych w podręczniku (historyjki, ciekawostki) bądź bezpośred-
nio w tematach lekcji. W klasie drugiej będzie można przejść do bardziej
skomplikowanych zadań.

Zagadnienia, które proponujemy naszym uczniom, muszą być tak zre-

dagowane,  aby  nawet  uczeń  niezbyt  zainteresowany  matematyką  mógł
nad  nimi  popracować.  Unikajmy  jednak  typowej  formy  referatu,  czyli
przepisanych z różnych książek mniej lub bardziej dobranych sformuło-
wań. Niech uczeń na przykład napisze opowiadanie, przygotuje komiks,
poda  przykłady  z  życia  (tematy  1–4).  Oczywiście  uczeń  ambitniejszy
może  się  odwołać  do  przykładów  naukowych  i  popracować  głębiej  nad

Proponowane zagadnienia
1. Elementy Euklidesa – dzie³o, które wyznaczy³o

kierunki rozwoju geometrii

2. Odleg³oœæ na p³aszczyŸnie

3. Byæ albo nie byæ, czyli czy mo¿na ¿yæ bez liczb

niewymiernych

4. Mo¿e kiedyœ stosowano wygodniejsze jednostki

d³ugoœci?

5. Mam 10 000 z³, a po roku chcê mieæ wiêcej – czy

wp³aciæ gotówkê do banku, czy kupiæ akcje, a mo¿e ...

6. Kto i dlaczego jada w naszej szkole czekoladê?

81

Etapy pracy

1. Najpierw  nauczyciel  podaje  wytypowane  do  realizacji  zagadnienia,

sposób oceny prac, terminarz prac, a uczeń (bądź grupa uczniów) wy-
biera któreś z zagadnień i samodzielnie formułuje temat pracy.

2. Uczeń się zastanawia nad formą realizacji pracy; ustala, czy to będzie

praca  teoretyczna,  czy  na  przykład  wykonanie  modelu.  Powinien  też
przemyśleć sposób przyszłej prezentacji pracy: dokument pisemny, ilu-
strowany zdjęciami, filmem, programem komputerowym itp.

3. Następuje  faza  planowania  i  zbierania  danych.  Na  tym  etapie  uczeń

może  korzystać  z  rad  nauczyciela,  który  pomaga  w  wyszukaniu  od-
powiedniej literatury, w kontaktach z fachowcami z różnych dziedzin
(w przypadku prac interdyscyplinarnych), doradza i krytycznie śledzi
poszczególne etapy pracy.

4. Uczeń  (bądź  grupa  uczniów)  prezentuje  pracę  (oprócz  dokumentacji

pisemnej można przedstawić inscenizację, model, wywiad nagrany na
taśmę, folder itp.), a nauczyciel i pozostali uczniowie oceniają ją. Moż-
na też poprosić ucznia o samoocenę.

Uwaga! 

Często uczniowie w trakcie opracowywania tematu natrafiają  na

zagadnienie, które ich szczególnie zainteresuje – może ono być wtedy te-
matem następnego projektu.

zagadnieniem.  Tematy  5–6  to  już  tematy  badawcze,  przeznaczone  dla
uczniów bardziej dociekliwych, którzy będą mieli ochotę przeprowadzać
wywiady, analizować diagramy itp.

Ocena Matematycznych impresji

Sposób oceniania powinien być przedstawiony uczniom przed rozpo-

częciem pracy. Warto opracować pisemnie kryteria oceny lub arkusz oce-
ny.  W  ocenianiu  powinni  uczestniczyć  też  uczniowie,  w  szczególnych
wypadkach nauczyciele innych przedmiotów (na przykład nauczyciel pla-
styki w przypadku wykonania przez ucznia plakatu), rodzice itp. Samo-
ocena  pracy  powinna  być  dokonywana  na  każdym  etapie  jej  realizacji.

82

Jeżeli pracę wykonywała grupa uczniów, można do arkusza oceny do-

dać  ocenę  umiejętności  pracy  w  grupie  (sposób  pracy,  zaangażowanie
członków grupy, wykorzystanie umiejętności każdego z członków grupy).

Oceniając planowanie, można zwrócić uwagę na dwa ważne aspekty:

umiejętność planowania i realizację planu.

Pamiêtajmy, ¿e zagadnienia przeznaczone

do realizacji nie mog¹ byæ zbyt trudne

i pracoch³onne – mo¿emy byæ wtedy

rozczarowani efektami prac.

Matematyczne impresje

Arkusz oceny

.........................................................................................
(Imię i nazwisko

klasa)

.........................................................................................
(Temat)

Sformułowanie tematu

Planowanie

Sposoby zbierania informacji

Umiejętność wykorzystania informacji

Atrakcyjność formy pracy

Terminowość

Sposób i atrakcyjność prezentacji

Samoocena