MATEMATYKA

KROK PO KROKU

Poradnik metodyczny

Klasa II gimnazjum

Jacek M. Jędrzejewski

Kinga Gałązka

Edward Lesiak

Projekt okładki

Barbara Zawadzka

Redaktor  merytoryczny

Joanna Gonciarz

Redaktor techniczny

Małgorzata Niedziałomska

Grafika komputerowa i rysunki

Mieczysław Potocki

Poradnik  jest  częścią  obudowy  programu  nauczania  matematyki  w  kla-
sach  I–III  gimnazjum  pod  tytułem  MATEMATYKA  KROK  PO  KROKU,
dopuszczonego do użytku szkolnego przez MEN.
Nr dopuszczenia: DKW-4014-91/99.
Został przygotowany do podręcznika MATEMATYKA KROK PO KROKU,
dopuszczonego do użytku szkolnego przez MEN.
Nr dopus

zczenia: 219/00.

Wydanie I

© Copyright by Wydawnictwo Edukacyjne

RES POLONA Sp. z o.o.

ISBN 83-7071-253-3

WYDAWCA:
Wydawnictwo Edukacyjne RES POLONA Sp. z o.o.
90-613 Łódź, ul. Gdańska 80, tel. (0-42) 636-36-34, fax 637-30-10
Internet: www.res-polona.com.pl; e-mail: info@res-polona.com.pl

Spis treści

Wstęp / 5

Komentarz do podręcznika / 7

Pole figury geometrycznej płaskiej / 7
Liczby rzeczywiste / 10
Wyrażenia algebraiczne / 11
Funkcje / 12
Równania i nierówności / 17
Relacje między figurami geometrycznymi / 20

Lekcja po nowemu / 23

Budowa lekcji / 27
Nasze pomysły na Twoje lekcje / 31
Scenariusz zajęć / 33

Odpowiedzi do zadań / 43

Odpowiedzi do zadań wyróżnionych w podręczniku

ramką z ,,!” / 43

Odpowiedzi do zadań wyróżnionych w zbiorze zadań

ramką z ,,?” / 51

Odpowiedzi do zadań w ćwiczeniach sprawdzających

oznaczonych 

  / 58

5

Otrzymujecie Państwo poradnik będący jedną z części kompletu ma-

teriałów  do  nauczania  matematyki  w  klasie  drugiej  gimnazjum  MATE-
MATYKA KROK PO KROKU

. W poradniku są zawarte materiały ułatwia-

jące organizację procesu nauczania–uczenia się, przykładowy scenariusz
zajęć,  odpowiedzi  do  zadań  wyróżnionych  w  podręczniku  ramką  z  ,,!”,

zbiorze zadań ramką z ,,?” oraz zadań oznaczonych 

 w ćwiczeniach

sprawdzających.

Komplet do nauczania matematyki w klasie drugiej gimnazjum zawie-

ra: program nauczania, podręcznik, zbiór zadań, ćwiczenia sprawdzające,
rozkład materiału oraz poradnik metodyczny.

Program nauczania.

 Opracowany został zgodnie z Podstawą progra-

mową kształcenia ogólnego dla sześcioletnich szkół podstawowych i gim-
nazjów

.  Zawiera:  założenia  ogólne,  szczegółowe  cele  kształcenia  mate-

matycznego, założenia szczegółowe programu, propozycje metod oceny
osiągnięć  uczniów,  ogólny  układ  materiału  w  gimnazjum,  orientacyjny
przydział  godzin  oraz  materiał  nauczania  z  podziałem  na  poszczególne
klasy.  W  programie  uwzględniono  tygodniowo  4  godziny  matematyki
i założono, że systematyczna realizacja programu nauczania jest możliwa
w ciągu 33 tygodni.

Podręcznik.

  Zawiera  wiele  różnych  elementów,  których  celem  jest

wzbudzenie  zainteresowania  uczniów.  Układ  podręcznika  Matematyka
krok po kroku

 umożliwia rytmiczną realizację programu oraz sprzyja sto-

sowaniu aktywnych metod nauczania.

Zbiór  zadań.

  Jest  uzupełnieniem  i  rozszerzeniem  zagadnień  zawar-

tych w podręczniku. Znajdują się w nim zadania o różnym stopniu trud-
ności, które umożliwiają utrwalenie zdobytych umiejętności i rozwijanie
zainteresowań  uczniów.  W  zbiorze  zawarte  są  zadania  z  treścią  łączącą
matematykę z innymi dziedzinami wiedzy oraz takie, które wskazują na

WSTÊP

6

praktyczne zastosowania matematyki. Ustalając tematykę Impresji mate-
matycznych

,  można  bazować  na  znajdujących  się  w  zbiorze  zadaniach

otwartych.

Ćwiczenia  sprawdzające.

  Są  propozycją  krótkich  sprawdzianów,

które  mogą  być  użyte  do  samodzielnych  prac  uczniów  w  klasie  czy  też
w domu. Sposoby ich wykorzystania zależą od inwencji nauczyciela.

Rozkład materiału.

 Został opracowany tak, że może być podstawą pla-

nowania pracy przez nauczyciela. W wielu placówkach dyrektorzy zezwo-
lili nauczycielom na bezpośrednie korzystanie z rozkładu bez konieczności
przepisywania  go.  Rozkład  materiału  zawiera  dokładny  plan  realizacji
zajęć z uwzględnieniem tematyki i celów określonych w sposób zopera-
cjonalizowany oraz oczekiwane efekty pracy z uczniem. W rozkładzie ma-
teriału jest zaplanowana bieżąca kontrola procesu nauczania–uczenia się
(kartkówki  Teraz  Ty,  prace  klasowe  Godzina  szczerości)  umożliwiająca
dokonanie ewaluacji procesu dydaktycznego. Proponowane Impresje ma-
tematyczne

 wskazują na miejsca, gdzie możliwe jest realizowanie ścieżek

międzyprzedmiotowych.

7

KOMENTARZ

DO PODRÊCZNIKA

W podręczniku dla klasy drugiej poruszamy między innymi trudne za-

gadnienia  dotyczące  pól  figur  geometrycznych,  czyli  teorii  miary  Jor-
dana  oraz  zagadnienia  związane  z  funkcją.  W  toku  realizacji  tych  za-
gadnień  wiele  poważnych  niedociągnięć  dotyczy  głównie  stosowania
oznaczeń funkcji, jej wartości, a także równania wykresu funkcji. Z tego
względu  w  poradniku  są  analizowane  zagadnienia  teoretyczne,  które
umożliwią ujednolicenie stosowanej terminologii oraz pewniejsze działa-
nia nauczycieli.

Pole figury geometrycznej płaskiej

Ustalmy  pewien  kwadrat  i  nazwijmy  go  kwadratem  jednostkowym.

Wprowadźmy  na  płaszczyźnie  układ  współrzędnych,  którego  jednostką
długości jest długość boku ustalonego kwadratu jednostkowego.
Rozważmy figurę F na płaszczyźnie z danym układem współrzędnych.

Proste o równaniach x = k i y = l,
gdzie k, l przebiegają zbiór liczb
całkowitych,  wyznaczają  sieć
kwadratową

. Boki kwadratów tej

sieci  mają  długości  równe  jed-
nostce.  Obliczamy  liczbę  kwa-
dratów  jednostkowych  tej  sieci,
które są zawarte w figurze F; ich
liczbę oznaczmy p

1

.

y

F

0

x

1

1

8

P

P

P

F

F

F

F

1

2

1

2

∪

=

+

Własność ta to addytywność miary.

Obliczamy  następnie  liczbę  kwadratów  jednostkowych  tej  sieci,  które
mają przynajmniej jeden punkt wspólny z daną figurą; ich liczbę oznacz-
my P

1

. Oczywiście

p

1

≤

P

1

Jeśli p

1

= P

1

, to wspólną wartość p

1

 i P

1

 nazywamy polem figury F.

Dla figury F nie będącej wielokątem zazwyczaj p

1

< P

1

. Proste o rów-

naniach 

x

k

=

10

, 

y

l

=

10

,  gdzie  k,  l  przebiegają  zbiór  liczb  całkowitych,

wyznaczają  sieć  kwadratową  będącą  zagęszczeniem  pierwszej  sieci.
Niech  p

2

  będzie  liczbą  kwadratów  jednostkowych  tej  sieci  zawartych

w  figurze  F,  a  P

2

  liczbą  kwadratów  jednostkowych  mających  przynaj-

mniej jeden punkt wspólny z figurą F. Wtedy

p

1

≤

p

2

≤

P

2

≤

P

1

Zagęszczając  podobnie  sieć,  otrzymujemy  ciągi  liczb 

( )

p

n n

=

1

∞

  i 

( )

P

n n

=

1

∞

takie, że

p

n

≤

p

n

+1

≤

P

n

+1

≤

P

n

dla n

∈

N

Liczbą kwadratów jednostkowych sieci  n-tego kroku zawartych w figu-
rze F jest p

n

· 10

n

, natomiast P

n

· 10

n

 jest liczbą kwadratów jednostkowych

sieci n-tego kroku mających przynajmniej jeden punkt wspólny z figurą F.

Ciąg 

( )

p

n n

=

1

∞

 jest niemalejący i ograniczony z góry, ma więc granicę, któ-

rą  oznaczmy  p .  Ciąg 

( )

P

n n

=

1

∞

  jest  nierosnący  i  ograniczony  z  dołu,  ma

więc granicę, oznaczmy ją  P . Oczywiście

p

≤

P

Jeśli  p = P , to figurę F nazywamy figurą geometryczną mierzalną (w sen-

sie Jordana), a wspólną wartość  p  i  P  nazywamy polem (miarą) figury F.

Często pole to (miarę) oznaczamy P lub P

F

.

Możemy dowieść, że jeśli figury F

1

 i F

2

 są mierzalne i nie zachodzą na

siebie,  tzn.  nie  mają  wspólnych  punktów  wewnętrznych,  to  suma  figur
F

1

∪

F

2

 też jest mierzalna oraz

9

Teorię tę przypominamy, aby w razie potrzeby rozwinąć pierwszy temat
Pojęcie pola figury. Jednostki pola

.

Wiedząc, że dana figura F jest mierzalna, każdą liczbę p

n

 (n = 1, 2, 3, ...)

nazywamy  przybliżeniem  z  niedomiarem  pola  figury  F,  a  liczbę
P

n

 (n = 1, 2, 3, ...) nazywamy przybliżeniem z nadmiarem pola figury F.

Mamy bowiem

p

n

≤

P

≤

P

n

Nie wszystkie figury geometryczne są mierzalne. Na przykład figurą

niemierzalną jest kwadrat o wierzchołkach w punktach (0, 0), (0, 1), (1, 1),
(1,  0),  z  którego  ,,wyrzucamy”  wszystkie  punkty  o  obu  współrzędnych
wymiernych. Nie istnieje żaden kwadrat zawarty w tym ,,kwadracie–sicie”.
Najmniejszym  kwadratem,  zawierającym  ów  ,,kwadrat–sito”,  jest  kwa-
drat o wierzchołkach: (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0).

Łatwo zauważamy, że odcinek możemy zawrzeć w sumie kwadratów,

których suma pól jest dowolnie mała. Wynika stąd, że pole odcinka jest
równe 0. W podręczniku omawiamy konstrukcję dywanu Sierpińskiego.
W  tym  przypadku  również  możemy  dowieść,  że  jest  to  figura  geome-
tryczna mierzalna i jej miara jest równa 0.

Korzystając z addytywności funk-

cji pola, dowodzimy wzór określają-
cy pole równoległoboku, co poglądo-
wo  możemy  przedstawić,  używając
talii  kart.  Prostokąt  odpowiadający
bokowi równo ułożonej talii kart ma
takie  samo  pole,  jak  równoległobok
utworzony przez bok talii kart prze-
suniętej wzdłuż jednej krawędzi.

Wprowadzenie wzoru na pole trójkąta poprzedzamy obliczeniem pola

trójkąta prostokątnego. Do dowolnego trójkąta prostokątnego dorysowu-
jemy trójkąt przystający tak, aby powstał prostokąt. Pole prostokąta umie-
my  obliczyć,  zatem  pole  rozważanego  trójkąta  jest  równe  połowie  pola
tego prostokąta.
Przestrzegamy przed metodą dzielenia prostokąta wzdłuż jego przekątnej.
Rozcięcie prostokąta może służyć jedynie do zaobserwowania zależności
pomiędzy polem trójkąta prostokątnego a polem prostokąta. Uzasadnienie
powinniśmy jednak poprowadzić w opisany powyżej sposób.

10

Wzór na pole trapezu tłumaczymy uczniom za pomocą podziału trape-

zu na dwa trójkąty mające tę samą wysokość.

Zanim zajmiemy się rozważaniami dotyczącymi pola koła, proponuje-

my omówienie zagadnienia długości okręgu. W okrąg wpisujemy n-kąty
foremne.  Obliczamy  obwody  wielokątów,  ciąg  tych  obwodów  tworzy
ciąg  przybliżeń  z  niedomiarem  długości  okręgu.  Metoda  ta  jest  opisana
w podręczniku na stronie 31 i 32.
W sposób zrozumiały dla wszystkich uczniów tłumaczymy także wzór na
pole koła. Bardziej zainteresowanym uczniom możemy przedstawić kilka
kroków  tej  metody,  tworząc  ciąg  przybliżeń  pola  koła  i  tłumacząc,  iż
w granicy otrzymamy odpowiedni wzór.

Liczby rzeczywiste

Rozdział Liczby rzeczywiste jest w znacznej mierze przypomnieniem

i  powtórzeniem  wiadomości  z  klasy  pierwszej,  a  rozszerzenie  teorii
ma  umożliwić  uczniom  uzyskanie  większej  wprawy  w  wykonywaniu
obliczeń.

Zaczynamy od przypomnienia definicji potęgi o wykładniku natural-

nym

, własności tych potęg oraz określenia potęgi o wykładniku całkowi-

tym

. Własności potęg o wykładnikach całkowitych są analogiczne do włas-

ności potęg o wykładnikach naturalnych. Wskazane byłoby, aby własności
te  były  uzasadnione  przez  uczniów.  W  podręczniku  podaliśmy  dowody
tylko dla niektórych własności i to z pewnymi ograniczeniami.
Na przykład własność

a

k

· a

p

= a

k +p

została uzasadniona dla przypadku, gdy k < 0 i p < 0.
Pozostałe  możliwe  przypadki  nauczyciel  może  sam  uzasadnić,  oczywi-
ście  w  klasie,  która  jest  tym  problemem  zainteresowana.  Zwracamy  tu
tylko uwagę na niepełne uzasadnienie tej własności. Temat dotyczący po-
tęg o wykładnikach całkowitych pozwala na wskazanie zastosowania po-
tęg do tworzenia bardzo małych i bardzo dużych jednostek pochodnych.

Temat Pierwiastki rozpoczynamy od przypomnienia wiadomości o pier-

wiastkach  drugiego  i  trzeciego  stopnia.  Podobnie  określamy  pierwiastki
stopnia większego od 3. Zwracamy uwagę, iż, tak jak w przypadku pier-
wiastków stopnia trzeciego, pierwiastki stopnia nieparzystego definiujemy

11

dla każdej liczby rzeczywistej, natomiast pierwiastki stopnia parzystego,
z oczywistych powodów, mogą być określone tylko dla liczb nieujemnych.
Rozwiązując zadania związane z problemami życia codziennego, w któ-
rych mają zastosowanie pierwiastki, zwracamy uwagę na stosowanie od-
powiednich przybliżeń.

W wielu zastosowaniach (teoretycznych) ważne jest, aby liczba w swo-

im zapisie nie miała pierwiastków w mianowniku. W tym celu zajmujemy
się problemem usuwania niewymierności z mianownika. Omawiamy naj-
prostsze  sposoby  usuwania  niewymierności  z  mianownika,  bowiem
uczniowie nie znają jeszcze wzorów skróconego mnożenia. Przy tej oka-
zji konieczne jest przekształcanie pewnych wyrażeń zawierających pier-
wiastki. Postępujemy tu w sposób analogiczny do rozszerzania ułamków,
mnożąc licznik i mianownik przez odpowiedni pierwiastek. Staramy się
wpoić  uczniom  zasadę,  iż  dobrze  jest  przedstawiać  dane  liczby  w  naj-
prostszej postaci. Należy zatem dokonać mnożeń i redukcji wyrazów po-
dobnych (pierwiastki traktujemy jako zmienne w wyrażeniach algebraicz-
nych i tak z nimi postępujemy). Staramy się, aby własności te omawiać,
rozwiązując różnorodne zadania zawierające treści z życia codziennego.

Wyrażenia algebraiczne

Rozdział Wyrażenia algebraiczne zaczynamy od wprowadzenia wzo-

rów  skróconego  mnożenia.  Omawiamy  odpowiednie  wzory  na  kwadrat
sumy

, kwadrat różnicy i różnicę kwadratów. Formułujemy wzory w posta-

ci tradycyjnej oraz stosujemy zapis schematyczny.






+

2

=

2

+

2

+ 2

·

·






–

2

=

2

+

2

– 2

·

·






+

=

2

–

2






–

·





















Taka forma zapisu schematycznego jest według nas przydatna dla uczniów.
Użycie  symboli  graficznych,  w  przeciwieństwie  do  liter,  powoduje,  że
uczniowie mają mniej wewnętrznych oporów przy zastępowaniu ich bar-
dziej skomplikowanymi wyrażeniami algebraicznymi.

12

Oprócz zapisów symbolicznych wzorów skróconego mnożenia podajemy
zawsze  ich  słowne  sformułowania.  Jest  to  ważne  dla  uczniów,  bowiem
uczą się w ten sposób formułowania myśli i wypowiadania ich w popraw-
nej  formie.  Szczególną  uwagę  należy  zwrócić  na  różnicę  kwadratów,
gdyż wzór ten jest przydatny do usuwania niewymierności z mianownika.

Proponujemy też, aby w trakcie nauki stosować wersje wzorów sprzy-

jające uogólnieniom:

Istotnymi  zagadnieniami  w  rozdziale  Wyrażenia  algebraiczne  są  za-

gadnienia dotyczące wyłączania wspólnego czynnika poza nawias i meto-
dy grupowania wyrazów

. Wykorzystujemy je do rozwiązywania równań

i nierówności. Dlatego tematy te, z pozoru występujące bez istotnego po-
wodu, są ważne dla dalszego kształcenia uczniów.

Jak zawsze staramy się, aby zadania proponowane przez nas były róż-

norodne, urozmaicone i łączyły wiele różnych umiejętności.

Funkcje

Znając teorię mnogości i rozumiejąc pojęcie pary uporządkowanej, mo-

żemy zdefiniować iloczyn kartezjański zbiorów A i B jako zbiór wszystkich
par uporządkowanych, których pierwszym elementem pary jest element
zbioru A, a drugim elementem pary jest element zbioru B. Mamy więc

Ponieważ para (a, b) jest równa parze (c, d) wtedy i tylko wtedy, gdy a = c
i b = d, więc

( )

{

}

A

B

a, b

a

A

b

B

×

=

 :

∈ ∧ ∈

A

B

B

A

A

B

×

≠

×

≠

, gdy

(

)

a

ab

b

a

b

2

2

2

2

+

+

=

+

(

)

a

ab

b

a

b

2

2

2

2

−

+

=

−

(

) (

)

a

b

a

b

a

b

2

2

−

=

−

⋅

+

(

)

a

b

a

b

ab

+

=

+

+

2

2

2

2

(

)

a

b

a

b

ab

−

=

+

−

2

2

2

2

Wzory  skróconego  mnożenia  podajemy  w  wersji  tradycyjnej  jak  i  ,,od-
wróconej”:

13

Relacją  między  elementami  zbioru  A  i  elementami  zbioru  B  nazywamy
każdy podzbiór iloczynu kartezjańskiego A × B. W szczególności relacją
jest zbiór pusty. Zbiór A × B jest też relacją, jest to relacja pełna – każdy
element zbioru A jest w relacji z każdym elementem zbioru B.
Ważnymi typami relacji są relacje: równoważności, równości i porządku,
o których wspominamy w klasie trzeciej.

Teraz  przypomnijmy  podstawowe  wiadomości  o  relacji 

ℜ

  zawartej

w zbiorze A × B. Dla każdej relacji 

ℜ

 zawartej w zbiorze A × B można

utworzyć zbiór 

ℜ

−

1

 określony następująco:

Zbiór ten jest relacją między elementami zbioru B a elementami zbioru A,
jest zatem relacją w zbiorze B × A. Relację tę nazywamy relacją odwrotną
do relacji 

ℜ

. Wiadomości te wystarczą do zrozumienia dalszych rozwa-

żań dotyczących funkcji.

Relację f

⊂

X × Y

, gdzie X i Y są niepustymi zbiorami, nazywamy funk-

cją

 określoną w zbiorze X o wartościach w zbiorze Y, jeśli dla każdego

elementu x zbioru X istnieje dokładnie jeden element y zbioru Y taki, że

(x, y)

∈

f

Zapisując tę definicję, stwierdzamy, że:

Relację  f

⊂

X × Y

, gdzie X i Y są pewnymi niepustymi zbiorami, nazy-

wamy funkcją określoną w zbiorze X o wartościach w zbiorze Y, jeśli:

( ) ( )

{

}

ℜ =

ℜ

−

1

,

 :

,

b a

a b

∈

¶

·

( )

(

)

x X y Y

x y

f

∈

∈

∧ ∨

,

∈

( )

( )

(

)

[

]

x X y

Y y

Y

x y

f

x y

f

y

y

∈

∈

∈

∧ ∨ ∧

=

1

2

,

,

1

2

1

2

∈ ∧

∈

⇒

Funkcję taką oznaczamy symbolem  f : X

→

Y

. Zbiór X nazywamy dzie-

dziną  funkcji

  f  (czasem  też  –  zbiorem  argumentów),  zbiór Y  nazywamy

przeciwdziedziną funkcji f.
Dla elementu x

∈

X 

istnieje dokładnie jeden element y

∈

Y 

taki, że

(x, y)

∈

f

Ten  jedyny  element  y  pozostający  w  relacji  z  elementem  x  nazywamy
wartością funkcji f w punkcie x lub wartością funkcji f dla argumentu x
i oznaczamy symbolem f (x), co możemy zapisać

y

= f (x)

14

Funkcję można określić za pomocą opisu słownego, wzoru (analitycz-

nego), wykresu oraz tabelki, grafu lub zbioru par uporządkowanych two-
rzących funkcję, tzn. par (x, f (x)), gdzie x

∈

X

, w przypadku gdy dziedzi-

ną jest zbiór skończony złożony z niewielkiej liczby elementów.
Opis słowny jest regułą, przepisem, prawem, według którego dla każdego
argumentu wybieramy dokładnie jeden element, który nazywamy warto-
ścią funkcji dla danego argumentu.
W  przypadku  funkcji  rzeczywistej  zmiennej  rzeczywistej  szczególnie
użyteczny jest wzór analityczny. Na przykład wzór

f

(x) = 3x

2

– 7x + 13

określa funkcję f : R

→

R, która każdej liczbie rzeczywistej x przypisuje

wartość 3x

2

– 7x + 13. Wartość tę oznaczamy jako f (x). Często w takim

przypadku  nie  jest  podana  dziedzina  funkcji.  Przyjmujemy  wtedy,  że
dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których
wyrażenie definiujące daną funkcję jest określone. Zbiór ten nazywamy
czasem dziedziną naturalną funkcji. Na przykład wzory

określają  dwie  funkcje.  Dziedziną  funkcji  f  jest  przedział 

〈

–1,  1

〉

,  nato-

miast dziedziną funkcji g jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Może  się  zdarzyć  i  tak,  że  celowo  zmniejszamy  dziedzinę  naturalną

rozważanej  funkcji,  na  przykład  funkcja  g :

〈

–1,  1

〉 →

R  dana  wzorem

( )

g x

x

=

−

2

1

 ma dziedzinę 

〈

–1, 1

〉

, natomiast jej dziedziną naturalną

jest zbiór liczb rzeczywistych.

Gdy  dziedzina  funkcji  jest  zbiorem  skończonym,  którego  elementy

możemy wypisać, stosujemy tabelkę, graf lub zbiór par uporządkowanych
tworzących funkcję. Przedstawiona tabelka, graf i zbiór par określają tę
samą funkcję.

0

1

2

3

0

1

2

3

( )

f x

x

=

−

1

2

( )

g x

x

=

−

2

1

i

x

f

(x)

0

1

2

3

0

1

0

1

{(0, 0), (1, 1), (2, 0), (3, 1)}

15

Funkcję tę można określić słownie następująco: każdej liczbie należącej
do zbioru {0, 1, 2, 3} przyporządkowujemy resztę z dzielenia danej liczby
przez 2.
W przypadku funkcji o wartościach rzeczywistych przyjmujemy zawsze,
że przeciwdziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Czasami war-
to się zająć zbiorem wartości danej funkcji. Jest on podzbiorem przeciw-
dziedziny, ale nie zawsze musi się z nią pokrywać.

Wykresem  funkcji  rzeczywistej  zmiennej  rzeczywistej  f : X

→

R,

gdzie X jest dziedziną funkcji  f, jest zbiór

Zauważmy, że wykres określiliśmy za pomocą relacji podobnie jak funkcję.
Faktycznie jest więc funkcją rozumianą jako relacja.
Wprowadzając  pojęcie  funkcji,  używamy  często  określenia  przyporząd-
kowanie.

Dla  każdego  argumentu  x  należącego  do  dziedziny  funkcji  f  istnieje
dokładnie jeden element y ze zbioru Y, który jest wartością danej funk-
cji dla tego argumentu.

Tak więc

możemy rozumieć jako przyporządkowanie.
Proponujemy jednak jak najrzadziej używać wyrazu przyporządkowanie.
Lepiej  ,,ducha’’  funkcji  oddają  wyrazy:  reguła,  przepis,  gdyż  znaczenia
tych wyrazów doskonale pasują do pojęcia funkcji.

Do oznaczenia funkcji stosujemy najczęściej litery f, g, h. Natomiast

symbole f (x), g(y), h(u) oznaczają odpowiednio: wartość funkcji  f w punk-
cie x, wartość funkcji g w punkcie y, wartość funkcji h w punkcie u. Ważne
jest, aby wyraźnie odróżniać funkcję od wartości funkcji dla danego argu-
mentu (patrz ramka w podręczniku na stronie 109).

Realizując  zagadnienia  przedstawione  w  rozdziale  4.,  warto  omówić

zarówno te zależności (relacje), które są funkcjami, jak i te, które funkcjami
nie są. Warto też omówić przyporządkowanie jednoznaczne, pojęcie bliskie
pojęciu funkcji, ale różniące się od funkcji brakiem następującego warunku:
każdy element pierwszego zbioru ma swój odpowiednik w drugim zbiorze.

( )

x

f x

a

Uwaga: Nie wolno utożsamiać wzoru

określającego funkcję z funkcją.

( )

( )

{

}

x y

X

  y

f x

x

X

,

:

∈

∧ ∈

×

=

R

16

Omawiając wykres funkcji liniowej, wprowadzamy pojęcia funkcji rosną-
cej i funkcji malejącej. Zwracamy uwagę na warunek równoległości wy-
kresów funkcji liniowych. Ćwiczymy znajdowanie równania prostej prze-
chodzącej przez dwa dane punkty. Wykorzystujemy w tym celu własności
funkcji liniowych i wartości funkcji w danych punktach (nie posługujemy
się  układami  równań).  W  rozważaniach  dotyczących  miejsc  zerowych
funkcji  liniowych  nawiązujemy  do  równań  oraz  możliwości  odczytania
miejsc zerowych z wykresu funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej.

Następnie omawiamy zbiór wartości funkcji, podkreślając jego znacze-

nie w odróżnieniu od przeciwdziedziny, którą się nie zajmujemy. Kolej-
nym zagadnieniem są sposoby określania funkcji. Podajemy różne przy-
kłady i zachęcamy uczniów do podawania własnych przykładów funkcji
określonych różnymi sposobami.

Chcąc narysować wykres funkcji, posługujemy się często tabelką czę-

ściową. Tabelkę sporządzamy tak, aby podać wartości rozważanej funkcji
dla kilku charakterystycznych argumentów. W tym celu możemy się po-
służyć również grafem. Graf częściowy sporządzamy dla kilku argumen-
tów. Nie może być więc traktowany jako pełne określenie funkcji. Służy
wyłącznie do uprzystępnienia uczniom pewnych własności.
Rozwiązując problemy związane z wykresem funkcji, definiujemy miej-
sca zerowe

. Staramy się wyznaczyć je na podstawie wykresu, a następnie

tłumaczymy na przykładach takie pojęcia, jak: funkcja rosnąca, malejąca,
stała

.

Funkcję liniową

 definiujemy w zbiorze R, podając jej wzór. Wykresem

tej funkcji jest prosta, której równanie ma postać

y

= ax + b

gdzie a i b są pewnymi stałymi liczbami.

Zwróćmy uwagę na znaczenie poszczególnych symboli:
f – nazwa funkcji
f(x ) – wartość funkcji f w punkcie x
y = f (x ) – równanie wykresu funkcji f
f (x ) = ax + b – wzór definiujący funkcję f
y = ax + b – równanie prostej będącej wykresem

funkcji liniowej 

f określonej

wzorem 

f (x ) = ax + b

17

Powtórzenie  wiadomości  o  funkcjach  powinno  zawierać  pewne  ele-

menty statystyki, w tym zbieranie i porządkowanie danych. Nie zapomi-
najmy, że funkcje (w tym funkcje liniowe) służą do opisu wielu sytuacji
znanych nam z życia, nie należy więc pomijać zadań tekstowych.
Warto również wspomnieć, że wykres funkcji zależy od jej dziedziny, co
można sprawdzić, wykorzystując komputer. Zarówno w przypadku funk-

cji  określonej  wzorem 

( )

f x

x

x

=

−

−

2

1

1

,  jak  i  funkcji  określonej  wzorem

g

(x) = x + 1 na monitorze ekranu jako wykres pojawia się prosta o równa-

niu y = x + 1, chociaż do wykresu funkcji f nie należy punkt o współrzęd-
nych (1, 2). Programy komputerowe są w większości tak ułożone, że wy-

kres funkcji f określonej wzorem 

( )

f x

x

x

=

−

−

2

1

1

 wykonują tak, jak wykres

funkcji 

( )

f x

x

x

x

x

1

2

1

1

dla

1

2

dla

1

=

−

−

=








≠

, ponieważ 

x

x

x

→

−

−

=

1

2

lim

2

1

1

.

Równania i nierówności

Równaniami zajmowaliśmy się już w klasie pierwszej. W klasie dru-

giej będziemy się zajmować rozwiązywaniem równań liniowych, równań
sprowadzających się do równoważnych im równań liniowych oraz rów-
nań wyższych stopni, których lewą stronę można przedstawić w postaci
iloczynu czynników liniowych zaś prawą stroną jest 0. Na początku przy-
pominamy i utrwalamy wiadomości związane z rozwiązaniem równania,
zbiorem rozwiązań równania

 oraz równaniami równoważnymi.

Równanie  liniowe

  (z  jedną  niewiadomą)  definiujemy  jako  równanie,

którego  prawa  i  lewa  strona  odpowiadają  wzorom  funkcji  liniowych.
Równaniem liniowym nie jest równanie:

x

2

+ x = x

2

– 1

chociaż jest równoważne równaniu liniowemu.

Omawiamy równania sprzeczne i tożsamościowe, ograniczając te ostat-

nie do równań liniowych z jedną niewiadomą. W podręczniku nie zajmu-
jemy się rozwiązywalnością równania liniowego w przypadku ogólnym.
W klasie o większym stopniu zainteresowania matematyką możemy do-
prowadzić do utworzenia algorytmu rozwiązywania równań liniowych.

18

Przy  niemal  każdej  okazji  podkreślamy  związek  równania  liniowego
z funkcją liniową. Miejsce zerowe funkcji liniowej jest rozwiązaniem od-
powiedniego równania liniowego i odwrotnie.
Rozwiazując  równania  wyższych  stopni,  zaczynamy  stosować  wzory
skróconego mnożenia oraz metodę wyłączania wspólnego czynnika poza
nawias.
Temat Nierówności liniowe realizujemy analogicznie do zagadnień zwią-
zanych z równaniami liniowymi. Zwracamy przy tym uwagę na związek
nierówności liniowej:

ax

+ b

≤

0

z określeniem, dla jakich argumentów funkcja liniowa f dana wzorem

f

(x) = ax + b

ma wartości niedodatnie. Zbiory rozwiązań nierówności liniowych przed-
stawiamy w postaci odpowiednich przedziałów na osi liczbowej.

ZAPISZ RÓWNANIE

W POSTACI

ax + b = 0

ROZWIĄZANIEM

JEST LICZBA

RÓWNANIE

SPRZECZNE

RÓWNANIE

TOŻSAMOŚCIOWE

−

b
a

NIE

TAK

TAK

NIE

STOP

STOP

STOP

5

5

5

5

5

5

Czy

a = 0?

5

5

Czy

b = 0?

Algorytm rozwiązywania równań liniowych

19

Odrębnymi  zagadnieniami  w  rozdziale  są:  proporcja,  proporcjonal-

ność 

i proporcjonalność odwrotna. O proporcji mówimy w odniesieniu do

czterech wielkości. Wprowadzamy mnożenie ,,na krzyż”. Proporcje sto-
sujemy najczęściej do rozwiązywania zadań.

Proporcjonalność jest funkcją liniową, której wyraz wolny jest równy 0.

Wprowadzając pojęcie proporcjonalności, naszym zdaniem, początkowo
należy  się  ograniczyć  do  dodatniego  współczynnika  proporcjonalności.
Później  należałoby  wyjaśnić  uczniom,  jak  traktować  proporcjonalność
wyrażoną wzorem:

f

(x) = ax, gdy a < 0

W tym przypadku, gdy argument rośnie dwukrotnie, wartość funkcji ma-
leje dwukrotnie, co jest zgodne z zasadą proporcjonalności, ale kłóci się
z intuicyjnym odbiorem proporcjonalności przez uczniów. Dla proporcjo-

nalności określonej wzorem f (x) = –3x obliczamy wartości f (–1) i 

( )

f

−

1
2

.

Wówczas  f (–1)  = 3,  ale  dla  argumentu  dwa  razy  większego,  czyli 

−

1
2

,

otrzymujemy 

( )

f

−

=

1
2

3
2

, czyli wartość dwa razy mniejszą.

W  zadaniach  proporcjonalność  stosujemy  najczęściej  do  opisu  sytuacji
i problemów z życia codziennego.

Również proporcjonalność odwrotna jest opisana funkcją f postaci:

Zbiorem  rozwiązań  nierówności 

x – 1 > 0  jest  zbiór  (1, 

∞

).

Rozwiązania nie należy zapisywać w postaci
x

∈

(1, 

∞

). Jest to bowiem inny zapis

nierówności 

x > 1.

gdzie a jest pewną ustaloną liczbą,  x

∈

R \{0}.

Wiele problemów z naszego najbliższego otoczenia może być opisanych
za pomocą proporcjonalności odwrotnej i na te zastosowania proporcjo-
nalności zwracamy największą uwagę.

( )

f x

a

x

=

20

Relacje między figurami geometrycznymi

Rozdział ten można podzielić na dwie części. Pierwsza zawiera infor-

macje o symetrii osiowej i symetrii środkowej, druga odnosi się do przy-
stawania  figur  geometrycznych

.  Symetrię  osiową  wprowadzamy  przez

pewne uproszczenia związane z lustrzanym odbiciem przedmiotu. W de-
finicji symetrii osiowej nie wykorzystujemy pojęcia wektorów, ponieważ
nie jest uwzględnione w podstawie programowej, a nie chcieliśmy wpro-
wadzać zbyt dużych rozszerzeń. Nie odwołujemy się również do tego, że
symetria osiowa jest przekształceniem płaszczyzny w płaszczyznę. Dla-
tego  przyjęliśmy  równoważny  warunek  definicyjny,  znacznie  prostszy
i łatwiejszy do zrozumienia intuicyjnego przez uczniów.

Nawiązując  w  symetrii  osiowej  do  odbicia  lustrzanego,  stwarzamy

okazję  do  przeprowadzenia  różnorodnych  doświadczeń  z  lusterkami.
W  czasie  doświadczeń  należy  uwzględniać  różną  liczbę  lusterek  oraz
ustawiać  je  pod  różnymi  kątami.  Ćwiczenia  takie  umożliwiają  uczniom
odkrycie zasady konstruowania kalejdoskopu.

Wprowadzając  definicję  symetrii  środkowej,  postąpiliśmy  analogicz-

nie jak przy wprowadzaniu pojęcia symetrii osiowej.
Omawiając własności symetrii osiowej, podajemy informacje o obrazach
różnych podstawowych figur w tej symetrii. Nie omijamy izometryczno-
ści symetrii. Zwracamy uwagę na wykorzystanie symetrii osiowej w przy-
rodzie i jej praktyczne zastosowania. Ponieważ uczniowie znają już poję-
cie funkcji, wskazane byłoby zwrócenie uwagi na fakt, że przekształcenia
geometryczne są również funkcjami.
Pokazujemy  na  przykładzie  powinowactwa  osiowego  przekształcenie
nieizometryczne.

Punkt A' jest obrazem
punktu  A  w  powino-
wactwie osiowym
o skali k = 2.

A

A'

B

B'

21

Można podjąć próby określania innych rodzajów przekształceń zarówno
izometrycznych, jak i nieizometrycznych oraz odnieść się do perspekty-
wy stosowanej w malarstwie.

Omawiając oś symetrii, staramy się, aby uczniowie potrafili rozstrzy-

gnąć, czy dana figura ma oś symetrii, a w przypadku gdy ma – wskazać ją.
Chcemy, aby uczniowie nauczyli się tworzyć wzory powstałe przez syme-
tryczne odbicie wzoru podstawowego.

Z  osią  symetrii  odcinka  wiążemy  zagadnienia  symetralnej  odcinka

oraz  okręgu  opisanego  na  trójkącie.  Warto  zauważyć,  że  w  przypadku,
gdy trójkąt jest prostokątny, to środek okręgu opisanego na tym trójkącie
jest jednocześnie środkiem przeciwprostokątnej, a jego promień jest rów-
ny połowie długości przeciwprostokątnej. Podkreślamy tę własność jako
bardzo ważną w rozwiązywaniu różnego typu zadań, w tym zadań kon-
strukcyjnych.

Konstrukcja dwusiecznej kąta jest jednocześnie konstrukcją osi syme-

trii danego kąta. Zauważając, że trzy dwusieczne kątów trójkąta przecina-
ją się w jednym punkcie i korzystając z własności dwusiecznej, możemy
stwierdzić,  że  punkt  przecięcia  dwusiecznych  kątów  trójkąta  jest  środ-
kiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Uczniom bardziej niż przeciętnie
zainteresowanym  matematyką  możemy  postawić  problem  możliwości
opisania oraz wpisania okręgu w dany czworokąt (patrz zadanie wyróż-
nione w podręczniku ramką z wykrzyknikiem na stronie 191).

Zagadnienia, które omawiane były przy symetrii osiowej, powtarzamy

przy  symetrii  środkowej.  Stwierdzamy  więc,  że  symetria  środkowa  jest
izometrią, znajdujemy obrazy podstawowych figur geometrycznych w sy-
metrii środkowej. Staramy się, aby uczniowie dostrzegali również figury
mające  środek  symetrii  oraz  potrafili  skonstruować  figury  środkowosy-
metryczne. Przy tej okazji można rozważać problem, czy istnieją figury,
które mają wiele środków symetrii (np. prosta, powtarzalne wzory).

Uczniowie łatwo zauważają, że figura mająca
osie  symetrii  nie  musi  mieć  środka  symetrii,
uważają  natomiast,  że  figura  mająca  środek
symetrii musi mieć osie symetrii. Dlatego na-
leży  im  pokazać  jako  przykład  figurę  przed-
stawioną na rysunku, która ma środek syme-
trii, a nie ma osi symetrii.

22

Podajemy także wzory na współrzędne obrazu danego punktu w syme-

trii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Wielokąty foremne

 mają oś symetrii, a 2n-kąty foremne środek syme-

trii. Nic dziwnego, że omawiając zagadnienia związane z symetrią, pro-
ponujemy rozważyć wielokąty foremne. Warto zauważyć, że dla danego
2n-kąta foremnego środek okręgu opisanego i środek okręgu wpisanego
pokrywają się. Przy tej okazji można opowiedzieć o wielokątach gwiaź-
dzistych. Wiele własności wielokątów foremnych i wielokątów gwiaździ-
stych uczniowie mogą sami zauważyć i udowodnić. Mamy tu więc wiele
miejsca na stosowanie aktywnych metod nauczania.

Realizując tematy związane z symetrią środkową i osiową, stosujemy

w  zadaniach  oba  rodzaje  symetrii,  znajdując  obrazy  punktów  i  innych
figur.  Stosowanie  w  przykładach  obu  rodzajów  symetrii  stanowi  wpro-
wadzenie  do  składania  przekształceń  i  możliwości  określenia  (w  przy-
szłości)  przesunięcia  oraz  obrotu.  Składanie  przekształceń  geometrycz-
nych jest łatwiejsze do zrozumienia przez uczniów od składania funkcji
liczbowych.

W  temacie  Przystawanie  figur  wprawdzie  definiujemy  przystawanie

figur, ale dokładniejsze omówienie tego pojęcia jest niemożliwe z powo-
du braku określenia przesunięcia i obrotu. Dlatego proponujemy od razu
omówienie cech przystawania trójkątów, gdyż z trójkątów można utwo-
rzyć każdy wielokąt, a zagadnienia takie były realizowane również w szko-
le podstawowej.

Warto  poświęcić  trochę  czasu  na  lekcji,  aby  uczniowie  przećwiczyli

różne cechy przystawania trójkątów zarówno w zadaniach analitycznych,
jak i konstrukcyjnych.

23

LEKCJA PO NOWEMU

Tradycyjny  model  lekcji  zna  każdy  nauczyciel.  Jednak  nowoczesne

zajęcia edukacyjne z uczniami powinny być tak organizowane, aby dzieci
zdobywały  wiedzę  w  sposób  aktywny,  stając  się  twórcami  i  animato-
rami  procesu  uczenia  się.  Rozszerzanie  wiedzy  i  umiejętności  powinno
się odbywać przez przeżywanie i doświadczanie. Lekcja musi być zatem
tak zorganizowana, aby każdy uczeń mógł pracować we własnym tempie
i na miarę własnych możliwości. Jest to oczywiście bardzo trudne zadanie
dla nauczyciela, gdyż na takiej lekcji powinien się znaleźć również czas
na  poszukiwanie  informacji  w  różnych  źródłach,  dyskusje  z  innymi
uczniami.  Nauczyciel  nie  powinien  wskazywać  rozwiązania  problemu,
ale powinien być:

– organizatorem pracy,
– konsultantem,
– doradcą pomagającym znaleźć różne jego rozwiązania.

Na lekcji staramy się stwarzać możliwości wyposażania ucznia w pe-

wien zasób informacji i umiejętności ważnych do funkcjonowania w de-
mokratycznym społeczeństwie oraz niezbędnych w przyszłej pracy zawo-
dowej. Umiejętności te, preferowane przez autorów Podstawy programowej
kształcenia ogólnego dla sześcioletnich szkół podstawowych i gimnazjów

,

to między innymi:

– efektywne współdziałanie w zespole,
– rozwiązywanie problemów w twórczy sposób,
– skuteczne komunikowanie się w różnych sytuacjach,
– planowanie, organizowanie i ocenianie własnego uczenia się.

Efektywne  współdziałanie  w  zespole

  to  jedna  z  najważniejszych

umiejętności, która będzie przydatna młodemu człowiekowi w dorosłym
życiu.  W  czasie  lekcji  uczeń  powinien  się  zatem  nauczyć  współpracy
z innymi, polegającej na wspólnym dążeniu do celu, pełnieniu różnych ról

24

w grupie i ponoszeniu związanej z tym odpowiedzialności. Efekty pracy
zespołu są uzależnione nie tylko od możliwości intelektualnych uczniów,
ale również od organizacji pracy. Aby grupa funkcjonowała aktywnie, są
potrzebni: lider – kierujący pracą, sekretarz – notujący pomysły członków
grupy, prezenter – przedstawiający wyniki pracy zespołu.
Przed  rozpoczęciem  zajęć  nauczyciel  musi  ustalić  odpowiednie  zasady,
które będą ukierunkowywały zachowanie uczestników (patrz Zasady pra-
cy w grupie

 i Zasady dobrego porozumiewania się w grupie w Matematy-

ce krok po kroku. Poradnik metodyczny. Klasa I gimnazjum

). Nauczyciel

powinien też się zastanowić nad właściwą motywacją uczniów do pracy,
nad zapewnieniem im poczucia bezpieczeństwa (aby na przykład prezen-
tacja nie przerodziła się w wyśmiewanie cudzych pomysłów), nad orga-
nizacją przestrzeni sali lekcyjnej (aby każdy miał dostęp do źródeł infor-
macji).

Uczniowie pracujący w grupie stawiają sobie różne pytania:

•

Co uzyskam w wyniku współpracy z innymi osobami?

•

Czy moje potrzeby intelektualne zostaną zaspokojone w czasie pra-

cy grupowej?

•

Czy wystarczająco często mam okazję do zabierania głosu?

•

Czy pozostali uczestnicy słuchają tego, co mówię?

•

Czy grupa jest dla mnie tak ważna, że jestem gotowy(-a) do aktyw-

nego zaangażowania się w jej pracę?

Aby uniknąć wielu ,,pułapek”, które mogą się pojawić przy pierwszych

próbach  organizowania  zajęć  wykorzystujących  pracę  w  grupach,  pro-

ponujemy skorzystać
z gotowych scenariu-
szy,  a  następnie  pró-
bować  je  modyfiko-
wać  i  wreszcie,  po
dojściu  do  wprawy,
przygotowywać swo-
je materiały.

Umiejętność  rozwiązywania  problemów  w  twórczy  sposób  po-

trzebna  jest  każdemu  z  nas.  Należy  zatem  na  tę  umiejętność  zwrócić
szczególną uwagę, przygotowując lekcje nowego typu. Takie zajęcia po-
winny stworzyć uczniom możliwości stawiania hipotez, opierania się na

Efektywne współdziałanie w zespole

25

Skutecznie komunikować się w różnych sytuacjach

 uczymy dzieci

od najmłodszych klas szkoły podstawowej. Mamy nadzieję, że gimnazja-
lista jest już wdrożony do stosowania różnych metod komunikowania się.
W gimnazjum zwracamy zatem baczniejszą uwagę na umiejętność właści-
wego interpretowania komunikatów przekazywanych w różny sposób (np.
za pomocą języka ciała, obrazu) i umiejętność świadomego przekazywania
właściwie skonstruowanych komunikatów.

Pracując  przez  dłuższy  czas  z  tymi  samymi  grupami  uczniów,  nale-

ży  zwrócić  uwagę,  czy  komunikacja  w  grupach  ulega  poprawie,  czy
uczniowie prezentują swoje potrzeby i poglądy w sposób coraz bardziej
otwarty.  Konieczność  rea-
lizacji  ścieżek  edukacyj-
nych  zmusza  nas  do  po-
szukiwania  niekonwencjo-
nalnych  metod  pracy.  Za-
tem  lekcje  uwzględniające
opisane  aspekty  w  znacz-
nym  stopniu  ułatwią  inte-
grację  wiedzy  z  różnych
dziedzin nauki.

Skuteczne komunikowanie się w różnych sytuacjach

analogiach,  wykorzystywania  wiedzy  z  różnych  dziedzin,  analizowania
i matematyzowania sytuacji z życia codziennego. Aktywna postawa ucznia
wobec trudnych i nietypo-
wych  problemów  stwarza
niebezpieczeństwo  popeł-
niania  błędów,  ale  także
możliwość  ich  weryfiko-
wania. W ten sposób uczeń
nabiera  pewności  siebie
oraz  odważniej  podejmuje
próby formułowania nawet
nietypowych wniosków.

Rozwiązywanie problemów w twórczy sposób

Planowanie, organizowanie i ocenianie własnego uczenia się

 to jed-

na z najtrudniejszych umiejętności, jaką zdobywa uczeń. Aby młody czło-
wiek stał się odpowiedzialny za własne uczenie się, musi się zastanowić

26

Dzieci powinny zatem się nauczyć:

– autorefleksji, czyli umiejętności analizowania swoich dokonań w pro-

cesie uczenia się,

– oceniania własnej pracy,
– ustalania wpływów otoczenia na osiąganie sukcesów lub ponoszenie

porażek.

Analizę wyników własnej pracy dzieci powinny wykorzystać do opra-

cowania właściwej strategii uczenia się, wiedzę naukową postrzegać zaś
jako podstawę inspirującą do tworzenia indywidualnych technik i metod
pracy w samodoskonaleniu się. Lepsze poznanie samego siebie, świadome
rozpoznanie własnych zdolności pomoże uczniom w samorealizacji.

Przyzwyczajając  uczniów  do  oceniania  własnej  pracy,  należy  pamię-

tać,  że  każdy  człowiek  pragnie  potwierdzenia  i  wzmocnienia  poczucia
własnej  wartości.  Stawiajmy  zatem  uczniom  cele,  które  mogą  osiągać,
wspierajmy ich rozwój i umiejętnie kierujmy procesem samooceny.

Uczenie się jest jak jazda samochodem w górach.

czego,  po  co  i  jak  się
uczyć  oraz  gdzie  może
wykorzystać  swoje  umie-
jętności.  Ważne  jest,  aby
uczniowie uświadomili so-
bie zakres posiadanej wie-
dzy, cele i sposoby uczenia
się,  swoje  mocne  i  słabe
strony.

Planowanie i organizowanie własnego uczenia się

27

Budowa lekcji

Zgodnie  z  wymogami  współczesnego  kształcenia,  nauczyciel  powi-

nien  być  organizatorem  działań  dydaktycznych,  stwarzającym  uczniom
warunki do aktywnego zdobywania wiedzy. W związku z tym zajęcia po-
winny być tak przygotowane, aby umożliwić uczniom utrwalenie posia-
danej wiedzy, zastosowanie jej w nowych sytuacjach, zdobycie nowych
wiadomości i umiejętności. Jedną z propozycji jest model zajęć opraco-
wany przez uczestników programu Kreator, działającego pod patronatem
MEN,  przy  wsparciu  ekspertów  Unii  Europejskiej.  W  modelu  zajęć
uwzględniono pięć etapów lekcji:

– zaangażowanie,
– badanie,
– przekształcanie,
– prezentacja,
– refleksja.

Taki  model  lekcji  pozwala  na  dostosowanie  czasu  zajęć  do  możliwości
uczniów danej klasy. Na rozwiązanie problemu należy zatem przeznaczyć
tyle jednostek lekcyjnych, ile wymaga tempo pracy dostosowane do aktual-
nych możliwości i potrzeb dzieci (stąd między innymi w proponowanym
przez nas Rozkładzie materiału nauczania znalazła się rubryka – Uwagi
o realizacji).

Praca nauczyciela polega głównie na precyzyjnym formułowaniu pro-

blemu,  który  mają  rozwiązać  uczniowie,  przygotowaniu  odpowiednich
materiałów, motywowaniu uczniów do działania, na przykład przez okreś-
lenie korzyści wynikających z celów, które muszą osiągnąć. Nauczyciel
pomaga też uczniom w ocenie wykonanej pracy oraz jej efektów.

Celem pierwszego etapu lekcji, nazwanego zaangażowaniem, jest za-

chęcenie uczniów do pracy, rozbudzenie w nich ciekawości twórczej i po-
znawczej. Należy jasno for-
mułować  zadania,  które
muszą  rozwiązać  ucznio-
wie, a następnie umożliwić
dzieciom  stworzenie  odpo-
wiednich struktur organiza-
cyjnych  (np.  grupa),  okre-
ślić czas pracy na poszcze-
gólnych etapach lekcji.

Zaangażowanie

28

Na tym etapie lekcji można wykorzystać ciekawostki historyczne, aneg-
doty, nietypowe zadania znajdujące się w podręczniku na początku każde-
go tematu.

Pierwszy etap zajęć możemy rozpocząć już na innej lekcji. Proponuje-

my wprowadzenie do tematu opracować wspólnie z nauczycielem, na przy-
kład języka polskiego w ramach ścieżki ,,Edukacja czytelnicza i medial-
na”. Na lekcji języka polskiego można się zająć zagadnieniami związanymi
z filmem ,,Gwiezdne wojny”, a na lekcji matematyki obliczeniem odle-
głości między planetami, na których lądowali bohaterowie filmu (ćwicze-
nie umiejętności wykonywania działań na potęgach i pierwiastkach).

Badanie

 polega na samodzielnej analizie przez uczniów otrzymanego

zadania. Dzieci dyskutują, próbują wykorzystać wcześniej zdobyte wiado-

mości  i  umiejętności,  sta-
wiają  hipotezy,  sprawdzają
je, zbierają potrzebne infor-
macje.  Opracowują  strate-
gię  działania,  łączą  wiado-
mości  z  różnych  dziedzin,
matematyzując  postawiony
problem. Na tym etapie lek-
cji  nauczyciel  staje  się  ob-
serwatorem i słuchaczem.

Badanie

Znakomitym bodźcem do pracy będzie dla ucznia nagroda.
Może to być ocena stopniowa, ale dobrym pomysłem
jest też zwolnienie ucznia z wykonania pracy domowej,
powierzenie mu funkcji reżysera najbliższej klasowej
inscenizacji lub nagrodzenie go. . . batonikiem.

Uczeń nie jest chodzącym komputerem,
mającym pamięć 60 MB.
Dbajmy więc o to, aby na lekcji mógł korzystać
z encyklopedii, wszelkiego rodzaju tablic, podręcznika.

29

Trzeci  etap  lekcji  jest

poświęcony  przekształca-
niu 

–  uczniowie  realizują

plan ustalony na etapie ba-
dania.  Porządkują  posiada-
ną wiedzę, nabywają nowe
umiejętności i wykorzystu-
ją  je  do  rozwiązywania
problemów w twórczy spo-
sób.  Nauczyciel  może  być
konsultantem i inspiratorem, niepodsuwającym gotowych rozwiązań, ale
stawiającym pytania otwarte. Wynik pracy uczniów zależy od ich zaanga-
żowania, umiejętności współpracy, pomysłowości, kreatywności.

Trwałość nabytej przez ucznia wiedzy zależy od zrozumienia proble-

mu i aktywności w czasie jego rozwiązywania.

W  czasie  prezentacji  przedstawiciele  grup  (prezenterzy)  relacjonują

wyniki pracy. Następuje porównanie rozwiązań i otrzymanych wyników.
W tym momencie warto zwrócić uwagę na precyzję i jasność formułowa-
nych  wypowiedzi,  umiejętność  i  atrakcyjność  przekazania  informacji,
a więc na sposób komunikowania się uczniów. Uczniowie mogą zadawać
pytania  prezenterom  i  na-
uczycielowi,  dyskutować,
wspólnie  wyciągać  wnio-
ski,  dokonać  syntezy  zdo-
bytych wiadomości i umie-
jętności. Można też uzgod-
nić  wspólne  stanowisko
całej klasy (lub kilku grup)
na dany temat.

Należy pamiętać, że sposób dochodzenia
do rozwiązania zadania jest równie ważny
jak samo rozwiązanie, a może nawet ważniejszy.

Prezentacja

Prezenterzy nie muszą efektów pracy przedstawiać
wszystkim uczniom, ale na przykład tylko innej grupie.

Przekształcanie

30

Niestety,  praca  nauczyciela  po  zajęciach  się  nie  kończy.  Nauczyciel

powinien dokonać ewaluacji własnej pracy, odpowiadając na pytania:

•

Czy jestem zadowolony(-a) z przeprowadzonej lekcji?

•

Co było dla uczniów najciekawsze w czasie lekcji?

•

Czego się sam(-a) nauczyłem(-am)?

•

Czy zaplanowałem(-am) właściwie czas pracy?

Refleksja

  to  ostatni

etap pracy ucznia na lekcji.
Po  zakończeniu  zajęć  każ-
dy z uczestników powinien
w milczeniu zastanowić się
przez  chwilę  nad  zdobyty-
mi doświadczeniami.

Ten etap lekcji powinien być ukierunkowany przez nauczyciela, stawia-
jącego odpowiednie pytania:

•

Czego się dowiedziałeś(-aś)?

•

Czemu służyły przyjęte metody pracy?

•

Jakie były Twoje odczucia?

•

Jak układała się Twoja współpraca z innymi?

•

Jaki był Twój wkład w rozwiązanie problemu?

•

Czy zdarzyło się coś ważnego dla Ciebie w czasie lekcji?

•

Czy udało się rozwiązać problem?

Ważnym  elementem  refleksji  jest  samoocena  pracy  uczniów  i  ocena

ich dokonań przez nauczyciela. Rola nauczyciela na tym etapie jest bar-
dzo ważna. Powinien on w umiejętny sposób dodawać odwagi uczniom,
aby  podzielili  się  swoimi  doświadczeniami  i  spostrzeżeniami,  pomóc
w zrozumieniu zdobytych doświadczeń i zachęcać do wykorzystania ich
w codziennym życiu. Prowadzący musi zaplanować na ten etap zajęć wy-
starczająco dużo czasu.

Refleksja

Refleksja to nie strata czasu, choć początkowo może to tak wyglądać.
Poczekaj cierpliwie przynajmniej rok na efekty swojej pracy.

31

•

Co było dla mnie najważniejsze?

•

Co było dla mnie najtrudniejsze?

•

Jak oceniam swoją pracę?

•

Co mogę ulepszyć?

Nasze pomysły na Twoje lekcje

Rozpoczynając zajęcia z uczniami w klasie drugiej gimnazjum, zakła-

damy, że znają zasady pracy w grupie, umieją skutecznie się komuniko-
wać oraz próbują planować i oceniać proces uczenia się. Dlatego tempo
pracy na lekcjach może być większe niż w klasie pierwszej.

Zajęcia planujemy tak, aby wykorzystać zainteresowania i możliwości

uczniów. Należy pamiętać też o egzaminie czekającym uczniów po klasie
trzeciej gimnazjum. Mamy więc na uwadze zadania wynikające ze stan-
dardów  egzaminacyjnych,  jak  również  realizacji  ścieżek  edukacyjnych.
Staramy się tak opracować lekcję, aby uczeń mógł stosować zintegrowaną
wiedzę do rozwiązywania problemów.

Przedstawiony scenariusz proponujemy wykorzystać na lekcjach pod-

sumowujących  rozdział  Liczby  rzeczywiste.  Zajęcia  tego  typu  można
przygotować wspólnie z nauczycielami innych przedmiotów, na przykład
języka polskiego. Można też poprosić uczniów o przygotowanie materia-
łów  umożliwiających  przeprowadzenie  pierwszego  etapu  lekcji,  czyli
zaangażowania.  W  scenariuszu  uwzględniliśmy  wszystkie  etapy  lekcji,
które omówiliśmy w poradniku.

Twoja lekcja jest jak monodram.

No tak, tylko ja jeden jestem autorem,
scenarzystą, reżyserem i aktorem.

Ewaluacja

Program MATEMATYKA
KROK PO KROKU
DKW-4014-91/99

Dział

Liczby rzeczywiste

Numer i temat zajęć

(według rozkładu materiału)
29. Zaprawa przed sprawdzianem
30. Treningu nigdy za wiele

SCENARIUSZ ZAJĘĆ
DLA KLASY II GIMNAZJUM
MATEMATYKA

34

Czas:

 2 × 45 minut.

Cele.

W czasie zajęć uczeń:

"

będzie doskonalił umiejętności związane z wykonywaniem działań

na liczbach rzeczywistych,

"

będzie formułował i sprawdzał hipotezy, analizował sytuacje pro-

blemowe,  tworzył  i  realizował  plan  rozwiązania,  stosował  zinte-
growaną wiedzę do rozwiązywania problemów,

"

będzie  wykorzystywał  umiejętności  właściwego  komunikowania

się (ścieżka czytelnicza i medialna) do prezentacji wyników pracy,

"

będzie odczytywał informacje przedstawione w formie tekstu, wy-

kresu, rysunku,

"

dokona samooceny.

Sposoby pracy:

"

indywidualna praca uczniów,

"

praca w grupach,

"

dyskusja i refleksja.

Materiały do zajęć:

"

artykuły papiernicze,

"

kalkulatory,

"

encyklopedie, tablice astronomiczne,

"

kartki z Opowiadaniem Panady,

"

karty z danymi pomocniczymi,

"

Karta pytań

,

"

Arkusz samooceny

.

Uwagi:

"

W czasie lekcji uczniowie będą pracowali zarówno indywidualnie,

jak  i  w  grupach.  Należy  mieć  to  na  uwadze,  organizując  miejsca
pracy dla uczniów.

"

Jeśli dysponujemy większą liczbą encyklopedii lub tablic astrono-

micznych, możemy poprosić uczniów o samodzielne wyszukanie
potrzebnych danych.

"

Opowiadanie  Panady

  możemy  modyfikować  w  zależności  od

umiejętności klasy. Podobnie regulujemy czas pracy uczniów.

"

Uczniowie mogą korzystać z kalkulatorów, jednak sugerujemy też

wykorzystanie w obliczeniach własności działań na potęgach.

35

Przebieg zajęć:

1. Zaangażowanie

Nauczyciel informuje uczniów, że przeczytał bardzo ciekawe opowia-
danie Ziemianina Panady i chciałby, aby zapoznali się z tym tekstem
również jego uczniowie. Ponieważ wyprawę do Dimi polecają ostatnio
wszystkie biura podróży, to warto zorientować się, jak tam jest naprawdę.
Uczniowie otrzymują kartki z Opowiadaniem Panady i karty z danymi
pomocniczymi.

2. Badanie

Uczniowie czytają tekst opowiadania, ewentualnie sporządzają notatki.
Wykorzystują  dane  pomocnicze  do  określania  nieznanych  wielkości.
W razie potrzeby korzystają z encyklopedii, tablic astronomicznych.

3. Przekształcanie

Nauczyciel dzieli dzieci na grupy. Uczniowie organizują swoją pracę
w grupach, wybierają lidera, sekretarza i prezentera. Każda grupa musi
odpowiedzieć na pytania zawarte w Karcie pytań i przygotować pre-
zentację wyników w atrakcyjnej formie, może to być na przykład pla-
kat, scenka.

4. Prezentacja

Grupy  prezentują  swoje  przemyślenia,  porównują  wyniki.  Dyskutują
o poprawności rozwiązań.

5. Refleksja

Każdy z uczestników zastanawia się przez chwilę nad zdobytymi w cza-
sie zajęć doświadczeniami. Teraz uczniowie mówią o tym, jaki był cel
zajęć, jakie umiejętności zdobyli, jakie utrwalili, czemu służyły przyjęte
metody  pracy,  jakie  odczucia  towarzyszyły  im  w  trakcie  pracy,  czy
zdarzyło się coś, co ich szczególnie poruszyło, czy łatwo (trudno) było
rozwiązać postawione przed grupą zadania i dlaczego.
Uczniowie dokonują samooceny, wypełniając specjalne arkusze rozda-
ne  przez  nauczyciela.  Również  nauczyciel  ocenia  pracę  uczniów,
ewentualnie wystawia oceny stopniowe.
W ramach pracy domowej nauczyciel poleca dokończenie opowiada-
nia  Panady.  Dopisując  tekst,  uczniowie  mogą  się  posłużyć  niewyko-
rzystanymi  danymi  pomocniczymi.  Muszą  też  ułożyć  matematyczne
pytania do dopisanej części opowiadania.

36

OPOWIADANIE PANADY

Do Dimi, leżącej na Księżycu, zostałem zaproszony przez mojego przy-

jaciela w 120 roku panowania króla Gi-Mi. Niestety, nie od razu mogłem
wyruszyć w drogę. Przedłużała się budowa podziemnego labiryntu, który
zamówił u mnie Władca Podziemi. Ziemia pięciokrotnie okrążyła Słońce,
nim ukończyłem budowę labiryntu. Na przygotowaniach do drogi upłynął
mi jeszcze jeden ziemski rok. Wreszcie wsiadłem do Podniebnego Ptaka
i wystartowałem. Rakieta wlokła się niemiłosiernie. A na dodatek Księżyc
był w swojej odległości maksymalnej od Ziemi. Podróż trwała więc o pięć
dni dłużej, niż gdyby Księżyc był w odległości minimalnej od Ziemi.

Dobrze, że przespałem prawie całą podróż, bo inaczej okropnie bym

się nudził. Podniebny Ptak łomotał, klekotał, ale na ogół sprawował się
dobrze. Dopiero nad samym Księżycem zepsuł się pokładowy komputer
i ostatnie dwie godziny spadaliśmy swobodnie na Srebrny Glob. Okazało
się, że zboczyliśmy z wyznaczonej trasy i wlecieliśmy do krateru Newto-
na. Gdy rakieta uderzyła o jego dno, przeszedłem na sterowanie ręczne.
Z  trudem  wydostaliśmy  się  z  krateru  i  dobrnęliśmy  do  lądowiska.  Gdy
opuściłem  uszkodzoną  rakietę,  bolało  mnie  całe  moje  osiemdziesięcio-
kilogramowe  ciało.  Myślałem,  że  nie  zrobię  kroku,  ale  okazało  się,  że
mogę nawet biegać.

Na Księżycu powitał mnie mój przyjaciel Mi-Mi i od razu zawiózł do

Diamentowej Strefy. Nie myślcie sobie, że to pięciogwiazdkowa restaura-
cja, w której podają księżycowe specjały. Diamentowa Strefa to po prostu
kopalnia  diamentów.  Założył  ją  już  w  pierwszym  roku  panowania  król
Fi-Mi, poprzedni władca Dimi. Pracuje tam 1000 robotników, z których
każdy  wydobywa  10

2

  diamentów  dziennie.  Przeciętny  diament  waży  tu

2 karaty. Największy diament, jaki znaleziono do tej pory, ważył po oszli-
fowaniu  6,4 · 10

3

  karatów.  Podzielono  go  na  100  mniejszych  jednako-

wych brylantów, które zdobią obecnie koronę króla Gi-Mi.
W kopalni pracowałem dwa dimińskie lata. Co prawda marnie płacili, ale
codziennie 10

–2

 wszystkich wydobytych przeze mnie diamentów stawało

się moją własnością.

W  Dimi  właściwie  było  nudno.  Jedyną  atrakcją  były  wyścigi  wokół

największego  księżycowego  krateru.  Z  powodu  małego  przyciągania
można  było  rozwijać  duże  prędkości.  Nasze  pojazdy  pędziły  ze  średnią
prędkością 600 km/h.

37

WIADOMOŒCI DIMIÑSKIE

Każdy król w Dimi panuje 200 lat. Rok zerowy to pierwszy rok

panowania pierwszego króla w Dimi. Gi-Mi to setny z kolei król
Dimi.

Rok w Dimi to 100 ziemskich dni.

Mieszkańcy Dimi pracują w ciągu roku tylko 60 dni.

Waga diamentów wydobywanych w Diamentowej Strefie jest po-

dana według jednostki masy stosowanej na Ziemi. Karat to 0,2 g.

38

KSIʯYC  I  ZIEMIA

Księżyc

Ziemia

Orbita Księżyca

27 dni

39

WIADOMOŒCI  O KSIʯYCU

Masa Księżyca

około 7 · 10

22

 kg

Średnia gęstość

około 3 g/cm

3

Powierzchnia Księżyca

około 237 · 10

6

 km

2

Przyśpieszenie grawitacyjne

około 162 cm/s

2

Wiek Księżyca

około 4 · 10

9

 lat

Temperatura na powierzchni Księżyca

od –160°C w nocy
do +120°C w dzień

Największy krater  Mare Orientale

965 km średnicy

Najgłębszy krater  Newton

około 8000 m

Pierwiastki występujące w skałach Księżyca

Tlen 40%

Krzem 20%

Żelazo

15%

Wapń

10%

Inne

40

KARTA PYTAÑ

1.

W którym roku panowania króla Gi-Mi Panada przybył do Dimi?

2.

Ile ważył Panada na Księżycu?

3.

Ile dni trwał lot Podniebnego Ptaka?

4.

Na jakiej wysokości nad powierzchnią Księżyca zepsuł się
pokładowy komputer?

5.

Ile dziennie diamentów jest wydobywanych w Diamentowej
Strefie?

6.

Ile diamentów wydobyto od początku istnienia kopalni?

7.

Ile waży każdy brylant zdobiący koronę króla Gi-Mi?

8.

Ile diamentów miał Panada, gdy zakończył pracę w kopalni?
Ile ważyły wszystkie diamenty Panady?

9.

Jak długo pojazd prowadzony przez Panadę wykonywał jedno
okrążenie wokół największego księżycowego krateru?

41

3

Czy przeczytany tekst był dla Ciebie
całkowicie zrozumiały?

3

Czy czas przeznaczony na wykonanie
zadania był dla Ciebie wystarczający?

3

Czy jesteś zadowolony(-a) ze współpracy
z kolegami i koleżankami w grupie?

3

Czy uważasz, że pracowałeś(-aś),
najlepiej jak potrafisz?

3

Czy przestrzegałeś(-aś) zasad dobrego
porozumiewania się w grupie?

3

Czy w czasie lekcji dowiedziałeś(-aś) się
czegoś szczególnie interesującego?

3

Czy  potrafiłbyś(-abyś)  teraz samodzielnie
wykonać wszystkie potrzebne obliczenia,
rozwiązując zadania podobne do tych,
które wystąpiły na lekcji?

ARKUSZ SAMOOCENY

Odpowiedz na pytania, wpisując: tak, nie, niezupełnie.

42

43

s. 11. x 

= 2, y = 9

s. 16. P

K

a

1

2

4

,

=

  P

K

a

2

2

8

,

=

  P

K

a

3

2

16

,

=

  P

K

n

n

a

=

2

+1

2

s. 17.

P

P

K

K

1

2

=

s. 21. P

P

a

a

1

2

2

2

1
4

1
4

3

4

3

4

=

⋅

=

⋅

=

ODPOWIEDZI DO ZADAÑ

Odpowiedzi do zadań wyróżnionych w podręczniku
ramką z ,,!”

Przygotowaliśmy odpowiedzi do zadań wyróżnionych w podręczniku ram-
ką z wykrzyknikiem. Zadania te są przeznaczone dla uczniów szczególnie
zainteresowanych matematyką i wymagają nietypowego rozwiązania.

P

P

a

2

1

2

3

1
4

3

4

=

⋅

=

s. 25.

Można utworzyć 26 równoległoboków. Największe pole ma kwadrat i jest
ono równe 4.

P

P

n

n

n

a

=

⋅

=

−

1
4

3

4

1

2

+1

P

P

a

3

2

2

4

1
4

3

4

=

⋅

=

a

a

44

s. 28. P

1

+ P

3

= P

1

+ P

4

,

 

stąd

P

3

= P

4

P

= P

1

+ P

2

+ P

3

+ P

4

s. 33. L

F

= d ·

π

, gdyż

(

)

P

ah

ah

h

h

a

3

1

1

1
2

1
2

2

= ⋅

− ⋅

= ⋅

−

(

)

(

)

(

)

(

)

P

P

h

h

h

h

h

h

h

h

P

P

a

b

a

b

3

4

1

2

2

1

1

2

2

2

2

2

⋅

=

−

⋅ ⋅

−

=

⋅

−

⋅

⋅

−

=

⋅

















Zatem

P

P

P P

3

4

1

2

=

=

⋅

P

P

P

P P

=

+

+

1

2

1 2

2

d

= 2r

1

+ 2r

2

(

)

L

d

F

r

r

2

1
2

2

2

2

1

2

=

⋅

+

=

⋅

π

π

s. 36.

Długość przeciwprostokątnej jest równa  a 2 . Zatem

(

)

P

a

a

a

F

a

=

⋅

−

⋅

−

⋅

=

⋅











1

2

2

2

1

4

1

2

1

2

2

2

2

2

π

π

s. 41.

( )

( )

r

r

r

+

=

+ −

1

1

2

2

2

r

2

 + 2r +1 = r

2

 + r

2

 – 2r + 1

r

2

 – 4r = 0

r

(r – 4) = 0

r

 = 0 lub r = 4

Promień większego koła jest równy 4, zatem pole wyróżnionej figury jest
równe 4

π

.

A

B

D

C

E

a

b

h =

+

F

A

B

r

1

r +

1

r

– 1

(

)

P

bh

bh

h

h

b

4

2

2

1
2

1
2

2

= ⋅

− ⋅

= ⋅

−

45

s. 44.

Pole  czworokąta  AFDE  jest
równe polu pięciokąta ABCDE.
Pola  trójkątów  BDF  i  DBC  są
równe.

s. 47.

Musi być spełniona nierówność 11k > k

k

.

Ponieważ 11 · 4 < 4

4

, więc tym bardziej dla k > 4 mamy 11k < k

k

.

Tak więc dla k

∈

 {2, 3} spełniona jest nierówność  k

k

k

k

k

k

10

+

>

.

s. 53.

Można ułożyć obok siebie 

1

2,74 10

7

⋅

−

 cząsteczek H

2

, czyli około 3,6 · 10

6

cząsteczek.

s. 56.

Możemy zapisać, że

(

)

1

3

3

5

5

7

7

9

2

1

9

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

4

9

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

⋅ −

=

s. 59.

Na polu zielonym znajduje się iloczyn wyrażeń z pól żółtych.

W miejsce ,,?” należy wpisać 1, gdyż  

( ) ( )

1

1

2

3

5

1

x

x

x

⋅

⋅

=

 dla x 

≠

0.

s. 63.

a

a

a

n

m

n

n

n m

m

=

=

⋅

s. 67.

1

1

1

=

1

1

1

1

2

2

+

=

+

1

1

1

1

2

1

2

3

3

+

+

=

+

+

1

1

1

1

2

1

2

3

1

1

+

+

+

+

=

+

+

− +

K

n

n

n

A

E

B

D

C

F

p

s

p   s

46

s. 70.

2

1

1

2

1

2

1

2

= +

+

+

+

K

3

1

1

1

1

2

1

1

1

2

= +

+

+

+

+

K

5

2

1

4

1

4

1

4

= +

+

+

+

K

s. 74.

Najkrótszy bok trójkąta prostokątnego, którego kąty ostre mają miary 30°
i 60°, ma długość równą połowie długości przeciwprostokątnej.

Zatem  AB

=

1
2

 i  AE

=

1
4

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy  DE

=

⋅

1
4

3

Podobnie obliczamy długości pozostałych boków łamanej. Otrzymujemy:

L

=

+

+

+

+

=

+

3

4

3
8

3 3

16

9

32

9 3

64

42

37 3

64

s. 78.

Podnosząc każdą ze stron do kwadratu, otrzymujemy:

(

)

8

18

8

2

8

18

18

26

2 144

26

24

50

2

+

= + ⋅

⋅

+

=

+

=

+

=

( )

50

50

2

=

Oznacza to, że  8

18

50

+

=

s. 83.

Każdą stronę równości podnosimy dwukrotnie do kwadratu, otrzymując:

(

)

(

)

12

3

12

3

12

2

12

3

3

2

2

2

−









 =

−

=

− ⋅

⋅

+ =

=

− ⋅

=

−

=

15

2

36

15

12

3

(

)

( )

3

3

3

2

2

2









 =

=

Poprawny  wynik  uzyskamy  również,  stosując  jednokrotne  podnoszenie
do kwadratu.

47

(

)

12

3

12

3

2 3

3

3

2

−

=

−

=

−

=

(

)

3

3

2

=

s. 87.

(

) (

) (

) (

)

( ) ( ) ( )

1

2

1

2

2

3

2

3

1

1

1

3 1

−

⋅

+

⋅

−

⋅

+

= − ⋅ −

= −

−

Ogólnie

(

) (

)

(

) (

)

( )

1

2

1

2

1

1

1

1

−

⋅

+

⋅

⋅

− −

⋅

− +

= −

−

K

n

n

n

n

n

dla n

 ∈ 

N

oraz n > 1

s. 89.

2000001

2

 – 1999999

2

 = (2000001 – 1999999) · (2000001 + 1999999) =

= 2 · 4000000 = 8000000

s. 93.

( )

( )

( )

a

b

a

ab

b

a

ab

b

a

b

ab

ab

+

+

+

−

+

−

−

=

−

=

=

2

2

4

2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi o tych samych znakach.

s. 97.

Niech x oznacza szukaną liczbę. Wówczas

2(x +1) + x (x + 1) = 12

(x + 1) · (x + 2) = 12

Iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest równy 12, gdy liczbami
tymi są 3 i 4, zatem rozwiązaniem jest liczba 2.

s. 100.

Sposób I

(

) (

)

( )

1

2

1

2

1

2

1

1

2 1

−

⋅

+

= − = − = −

−

221 333

221 444

221 333

221 440

221

2

2

2

2

⋅

+

⋅

−

⋅

−

⋅

=

(

) (

) (

) (

)

[

]

=

=

⋅

−

⋅

+

+

−

⋅

+

221

333

330

333

330

444

440

444

440

221

(

)

(

)

=

=

=

=

⋅ ⋅

+ ⋅

⋅

⋅ ⋅ + ⋅

221

3 663

4 884

221

221 221

3 3

4 4

221

25

5

Otrzymamy wówczas:

48

221 333

221 444

221 333

221 440

221

2

2

2

2

⋅

+

⋅

−

⋅

−

⋅

=

Sposób II

=

=

=

⋅

⋅

−

⋅

+

⋅

⋅ ⋅

221 25 (111

110) (111

110)

221

221 25 1 221

221

5

(

)

(

)

(

)

=

=

=

⋅

⋅

+

−

⋅

⋅

+

⋅

⋅

−

221 111

3

4

221 110

3

4

221

221 25

111

110

221

2

2

2

2

2

2

2

2

s. 102.

(

)

x

−

− =

1

1

3

2

(

)

[

]

(

)

[

]

x

x

− − ⋅

− +

=

1

1

1

1

3

(

)

x

x

−

⋅ =

2

3

Iloczyn dwóch liczb naturalnych jest równy 3, gdy liczbami tymi są 1 i 3,
zatem x = 2.

s. 107.

Każdej liczbie naturalnej został przyporządkowany jej pierwiastek kwa-
dratowy.

s. 110.

Tak. Dziedziną tej funkcji jest zbiór {3, 7, 9}, a zbiorem wartości {7, 9}.

s. 113.

Nie, gdyż  

( )

( )

[ ]

(

)

j x

f g x

x

=

=

−

1

2

natomiast  

( )

( )

[ ]

y x

g f x

x

=

=

−

2

1

Zatem

 

( ) (

)

j 0

0

1

1,

2

=

−

=

 ale 

(

)

y 0

0

1

1

2

=

− = −

s. 118.

Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczby 1.
Wykresem funkcji jest prosta o równaniu y = x + 1 z wyłączeniem punk-
tu o współrzędnych (1, 2).

s. 123.

Nie, prosta prostopadła do osi x nie jest wykresem żadnej funkcji.

s. 128.

Tak, proste te są prostopadłe i przecinają się w początku układu współ-
rzędnych. Prosta o równaniu y = –2x jest prostopadła do prostej o rów-

naniu  y

x

=

1
2

.  Prosta  o  równaniu  y

x

a

= − ⋅

1

  jest  prostopadła  do  pro-

stej o równaniu y = ax, gdy a

≠

0.

Ogólnie, dwie proste o równaniach y = a

1

x

+ b

1 

i y = a

2

x

+ b

2

 są prosto-

padłe wtedy i tylko wtedy, gdy a

1

· a

2

= –1.

s. 132.

Dwusieczne  kątów  wyznaczone  przez  dane  proste  są  zawarte  w  pro-
stych o równaniach x = 2 i y = –1.

49

s. 136.

Nie,  dziedziną  funkcji  f  jest  zbiór  liczb  rzeczywistych  różnych  od  0,
natomiast dziedziną funkcji g jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

s. 141.

Nie, nie można.

s. 147.

Równanie można przekształcić w równoważne mu równanie

(

) (

) (

)

(

)

x

x

x

x

x

49

2

4

6

100

1

1

1

1

0

⋅

+ ⋅

+ ⋅

+ ⋅

⋅

+

=

K

Jedynym rozwiązaniem tego równania jest 0, ponieważ każda z liczb wy-
stępujących w nawiasach jest dodatnia dla dowolnej liczby rzeczywistej.

s. 150.

Równaniem odpowiadającym treści zadania jest  5x + 6xy = 70,
gdzie x oznacza liczbę stołów, a y liczbę krzeseł przy każdym stole.
Jedynym rozwiązaniem tego równania utworzonym z liczb naturalnych
są liczby:  x = 2  i  y = 5.  W pokoju są zatem 2 koty.

s. 154.

Spełnione muszą być warunki: 1 – x

≥

0 i 5 + x

≥

0, czyli x

≤

1 i x

≥

–5.

Dla x

∈ 〈

–5, 1

〉

 nierówność 1 – 2x + x

2

≤

5 + x jest równoważna danej.

Przekształcając ją, otrzymujemy:

x

2

– 3x – 4

≤

0

(x + 1) · (x – 4)

≤

0

stąd x + 1

≤

0 i x – 4

≥

0 lub x + 1

≥

0 i x – 4

≤

 0

x

≤

–1 i x

≥

4

lub x

≥

–1 i x

≤

4

Stwierdzamy,  że  zbiorem  rozwiązań  danej  nierówności  jest  przedział

〈

–1, 1

〉

.

s. 159.

Nierówność  x

3

< x < x

2

  możemy  rozpatrywać  jako  układ  dwóch  nie-

równości  x

3

< x  i  x < x

2

.

Zbiór  rozwiązań  nierówności  x

3

< x  jest  sumą  przedziałów  (–

∞

, –1)

i (0, 1), natomiast zbiór rozwiązań nierówności x < x

2

 jest sumą przedzia-

łów (–

∞

, 0) i (1,

∞

). Zatem zbiorem rozwiązań nierówności x

3

< x < x

2

jest przedział (–

∞

, –1).

s. 166.

Do skonstruowania spirali został wykorzystany złoty podział odcinka.

s. 170.

Dla x, y

∈

N

i x < 10 jedynym rozwiązaniem równania są liczby: x = 3

i y = 4.

s. 171.

Zauważmy, że 

5

2,5

1
2

⋅ =

 

0,4 6

2,5

1
4

⋅

=

( )

( )

−

⋅ −

=

15

2,5

1
6

 

5 ?

2,5

⋅ =

W miejsce ,,?” należy wpisać 

5

2

.

50

s. 175.

Z proporcji x : y : z = 1 : 2 : 3 wynika, że y = 2x i  z

y

=

3
2

. Wiedząc, że

x

+ y = 6 i y = 2x, otrzymujemy x = 2, y = 4, zatem z = 6.

s. 178.

Na prostej s wybieramy dwa różne punkty A i B. Rysujemy dwa okręgi:

jeden o środku w punkcie A i promieniu  AP , drugi o środku w punkcie B

i promieniu  BP

.  Punkty przecięcia okręgów są punktami symetrycz-

nymi względem prostej s. Punkt R jest punktem symetrycznym do punk-
tu P względem prostej s.

s. 182.

Tak.

s. 184.

Tak. Punktem tym jest początek układu współrzędnych.

s. 188.

Okrąg  można  opisać  na  czworokącie,  którego  suma  miar  przeciwle-
głych kątów jest równa 180°. Okrąg można opisać tylko na takim wielo-
kącie, którego symetralne boków przecinają się w jednym punkcie.

s. 191.

Okrąg  można  wpisać  w  czworokąt  wypukły,  którego  sumy  długości
przeciwległych boków są równe.

s. 195.

Figura F  pokrywa się z figurą F", jeżeli proste k i l się pokrywają.
Figura F"  jest obrazem figury F w symetrii środkowej, jeżeli proste k i l są
prostopadłe. Środkiem symetrii jest wówczas punkt przecięcia prostych.

s. 198.

Nie.  Istnieją  figury,  które  mają  środek
symetrii, ale nie mają osi symetrii.

A

P

B

R

A

P

B

R

s

s

51

s. 200.

Gdy n = 2, wielokątem tym jest kwa-
drat.  Rysujemy  okrąg,  a  prostopadłe
średnice wyznaczają wierzchołki kwa-
dratu.  Prowadząc  symetralne  boków
kwadratu,  wyznaczamy  na  okręgu
punkty,  które  wraz  z  wierzchołkami
kwadratu wyznaczają nam wierzchoł-
ki  ośmiokąta  foremnego.  Postępując
podobnie,  uzyskujemy  wierzchołki
wielokątów foremnych, których licz-
bę boków określa wzór 2

n

.

s. 203.

Przekształcenie to jest powinowactwem osiowym względem prostej p.

s. 207.

Wysokość trójkąta równobocznego należy po-
dzielić na trzy przystające odcinki.

s. 210. x'

= 2p – x, y' = 2q – y

Odpowiedzi do zadań wyróżnionych w zbiorze zadań
ramką z ,,?”

s. 11.

Pole każdego trójkąta prostokątnego
jest  równe  połowie  pola  kwadratu,
którego przekątna jest odpowiednim
bokiem trójkąta.

P

1

1
2

9
2

3 3

= ⋅ ⋅ =

P

2

1
2

16

2

4 4

= ⋅ ⋅ =

P

3

1
2

25

2

5 5

= ⋅ ⋅ =

b

= 4

c = 5

a

= 3

52

Zauważmy, że 

9
2

16

2

25

2

,

+

=

 czyli P

1

+ P

2

= P

3

Ogólnie,  jeśli  długości  przyprostokątnych  trójkąta  prostokątnego  ozna-
czymy a, b, natomiast długość przeciwprostokątnej c, to

Wiedząc, że trójkąt jest prostokątny, mamy

a

b

c

2

2

2

+

=

a

b

c

2

2

2

2

2

+

=

P

P

P

1

2

3

+

=

s. 12.

Środkowa trójkąta dzieli go na dwa trójkąty o równych polach. Jeżeli P
oznacza  pole  podstawowego  trójkąta,  to  pole  powstałego  trójkąta  jest
równe:

d)

( )

1
2

,

n

P

⋅

gdzie n oznacza liczbę powtórzeń konstrukcji środkowej

trójkąta.

s. 20.

Niech r

1

 oznacza promień konstruowanego koła.

Wówczas  P =

π

r

2

 oraz  P

1

=

π

r

1

2

Jeśli P

1

= nP, to

π

r

1

2

= n ·

π

r

2

r

1

2

= n · r

2

r

n r

1

,

=

 gdzie  n

∈

N

 i  n

≥

2

Należy skonstruować koło, którego promień jest równy  r n .

s. 22. zad. 108. 11

1
4

1

4

2

π

π

−

+

+

−







K

n

s. 22. zad. 111.

Niech r

1

 oznacza promień konstruowanego okręgu.

Wówczas  L = 2

π

r

 oraz  L

1

= 2

π

r

1

Jeśli  L

1

= nL,  to

2

π

r

1

= n · 2

π

r

r

1

= n · r

Należy skonstruować okrąg, którego promień jest równy n · r.

a

b

c

2

2

2

2

2

2

,

+

=

czyli

( )

1
2

3

⋅

P

a)

( )

1
2

10

⋅

P

c)

( )

1
2

4

⋅

P

b)

P

a

1

2

1
2

=

P

b

2

2

1
2

=

P

c

3

2

1
2

=

53

s. 26.

5

3

= 125 > 100 > 10

2

( ) ( )

5

5

10

10

30

3 10

2 10

20

=

>

=

Liczba 5

30

 ma nie mniej niż 21 cyfr.

s. 27.

Cyfrą jedności potęgi liczby 9 o wykładniku nieparzystym jest 9, nato-
miast o wykładniku parzystym (różnym od 0) cyfra 1.

s. 30.

( ) (

)

(

)

2

4

4

6

2

2

2

1

1

1

1

1

1

4

1

−

−

−

−

−

−

⋅

+

⋅

+

+

⋅

+

=

+

K

n

n

n

n

s. 40.

Stosunek długości boku kwadratu do długości jego przekątnej jest stały

i wynosi  1   :    2 .

s. 41.

Zauważmy, że   a

a

n

n

+

=

⋅

1

1

2

 dla n

∈

N

+

, wtedy   a

n

n

=











+

1

2

1

s. 44. P

F

=

π

r

1

2

–

π

r

2

2

(

)

π

π

1
2

5

36

2

2

2

r

−

=











1
4

5

36

2

2

−

=

r

9 

36

5

2

2

−

=

r

4 

36

0

2

2

−

=

r

(

) (

)

2

6

2

6

0, skąd

2

2

2

2

+

⋅

−

=

r

r

r

2

1
3

,

=

 gdyż promień nie może być liczbą ujemną

s. 50.

(

)

a

b

c

d

a

b

c

d

ab

ac

ad

bc

bd

cd

+ + +

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Ogólnie

(

)

a

b

c

p

r

a

b

c

p

r

ab

ac

pr

+ + + + +

=

+ + + +

+ +

+

+ +

K

K

K

2

2

2

2

2

2

2

2

2

albo

( )

a

11

12

6

1

2

1
6

1

64

=

=

=











a

12

13

1

2

2

128

=

=











Zatem

a

a

a a

i

i

k

i

i

k

i j

j

i

i

k

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑









 =

+

1

2

2

1

1

1

2

54

s. 52.

Ogólnie

(

)

a b c

p r

a

b

p

r

ab

ar

bc

pr

− − − − −

= + + +

+ −

− −

+

+ +

K

K

K

K

2

2

2

2

2

2

2

2

2

s. 61.

a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 =

= (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = 5 · 11 = 

10 11

2

⋅

 = 55

b) 1 + 2 + 3 + . . .  + 18 + 19 + 20 =

(1 + 20) + (2 + 19) + . . .  + (9 + 12) + (10 + 11) = 10 · 21 = 

20 21

2

⋅

= 210

Ogólnie

1 + 2 + 3 + . . .  + n = 

(

)

n n

+

1

2

s. 63.

(

)

a

b

a

a b

a b

ab

b

+

=

+

+

+

+

4

4

3

2 2

3

4

4

6

4

(

)

a

b

a

a b

a b

ab

b

−

=

−

+

−

+

4

4

3

2 2

3

4

4

6

4

(

)

a

b

a

a b

a b

a b

ab

b

+

=

+

+

+

+

+

5

5

4

3 2

2 3

4

5

5

10

10

5

(

)

a

b

a

a b

a b

a b

ab

b

−

=

−

+

−

+

−

5

5

4

3 2

2 3

4

5

5

10

10

5

(

)

a

b

a

a b

a b

a b

a b

ab

b

+

=

+

+

+

+

+

+

6

6

5

4 2

3 3

2 4

5

6

6

15

20

15

6

(

)

a

b

a

a b

a b

a b

a b

ab

b

−

=

−

+

−

+

−

+

6

6

5

4 2

3 3

2 4

5

6

6

15

20

15

6

(

)

a

b

a

a

b

a

b

ab

b

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

+

=

⋅

+

⋅

+

⋅

+ +

+

⋅



















−







⋅







−

−

−

0

1

2

1

1

2 2

1

K

(

)

a

b

a

a

b

a

b

n

n

n

n

n

n

n

−

=

⋅

−

⋅

+

⋅

+ +



















−

−

0

1

2

1

2 2

K

( )

( )

+ −

⋅

+ −

⋅

⋅

−

−

−







⋅







1

   

1    

1

1

1

n

n

n

n

n

n

n

n

ab

b

gdzie 

n

k







 jest symbolem Newtona.

Dla  liczb  naturalnych  n,  k  takich,  że  n

≥

k

 

(

)

n

k

n

k

n

k







⋅

−

=

!

!

!

.   Wartości

symboli Newtona są równe odpowiednim liczbom występującym w trój-
kącie Pascala. Należy zwrócić uwagę na fakt, że suma wykładników po-
tęg a i b jest równa n.

(

)

a

b

c

d

a

b

c

d

ab

ac

ad

bc

bd

cd

− − −

=

+

+

+

−

−

−

+

+

+

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

55

s. 76.

Ponieważ 

( )

f x

0

0

=

 i 

( )

g x

0

0

=

więc 

( )

( )

( )

h x

a

f x

b g x

a

b

0

0

0

0

0

0

= ⋅

+ ⋅

= ⋅ + ⋅ =

a to znaczy, że  x

0

  jest miejscem zerowym funkcji h.

s. 81.

Wyznaczamy wzory określające funkcje f, g i h:

( )

f x

x

=

+

3
2

5

( )

g x

x

= −

+

1
2

1

( )

h x

x

=

+

1
2

3

 

( ) ( )

( )

f x

g x

x

h x

+

+

2

1
2

=

3 =

s. 83.

a) Niech funkcja liniowa f spełniająca warunek  f(–x) = f(x)  będzie okreś-

lona wzorem  f (x) = ax + b  dla x

∈

R.

Jeśli  – f (–x) = –[a · (–x) + b] = ax – b, to
ax

– b = ax + b

2b = 0
b

= 0

Ponadto, gdy funkcja f określona jest wzorem  f (x) = ax,

to  – f (–x) = –[a · (–x)] = ax = f (x).

Jedynymi funkcjami liniowymi spełniającymi ten warunek są funkcje
określone wzorem  f(x) = ax,  gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą.

b) Niech  funkcja  liniowa  spełniająca  dany  warunek  będzie  określona

wzorem  f (x) = ax + b.
Wtedy

f

(0) + f (1) = f (0 + 1) = f (1), czyli

a

· b + b + a · 1 + b = a · 1 + b

b

= 0

Jeśli funkcja liniowa f jest określona wzorem f (x) = ax,
to dla dowolnych x

1

, x

2

 mamy

Zatem jedynymi funkcjami liniowymi spełniającymi dany warunek są
funkcje określone wzorem  f (x) = ax,  gdzie a jest dowolną liczbą rze-
czywistą.

c) Jeśli funkcja f określona wzorem  f (x) = ax + b  spełnia dla dowolnej

liczby rzeczywistej k warunek  f (kx) = k · f (x),
to w szczególności   f (2x) = 2 · f (x), czyli

a

· (2x) + b = 2 · (ax + b)

2ax + b = 2ax + 2b
b

= 0

(

)

(

)

( ) ( )

f x

x

a

x

x

ax

ax

f x

f x

1

2

1

2

1

2

1

2

.

+

= ⋅

+

=

+

=

+

56

Jeśli zatem funkcja liniowa  f  dana jest wzorem  f (x) = ax,  gdzie a jest
dowolną liczbą rzeczywistą,
to  f (kx) = a · (kx) = k · (ax) = k ·  f (x),  gdzie  k  jest  dowolną  liczbą
rzeczywistą.
Zatem jedynymi funkcjami liniowymi spełniającymi dany warunek są
funkcje określone wzorem  f (x) = ax, gdzie a jest dowolną liczbą rze-
czywistą.

d) Niech funkcja liniowa f dana wzorem  f (x) = ax + b spełnia następują-

cy warunek:  f (–x) = f (x).
Jeśli  f (–x) = a · (–x) + b = –ax + b  dla dowolnego x

∈

R, to

– ax + b = ax + b
2ax = 0
w szczególności  2a · 1 = 0
a

= 0

Jeśli funkcja liniowa f jest dana wzorem f (x) = b,
to   f (–x) = b =  f (x)  dla  dowolnego  x

∈

R,  czyli  jedynymi  funkcjami

liniowymi spełniającymi dany warunek są funkcje stałe.

s. 87.

Niech funkcje liniowe  f  i  g będą określone wzorami:

f

(x) = ax + b  

g

(x) = a

1

x

+ b

1

Wówczas

Funkcja h jest funkcją liniową o współczynniku kierunkowym a · a

1

.

s. 92.

a) m = –2

b) m = 9

c) nie istnieje takie m

d) m = –1

s. 97.

a) 8

b) 8

c) 8

Zadanie pokazuje, jak można w różny sposób sformułować to samo za-
gadnienie. Wskazane byłoby, aby uczniowie samodzielnie układali zada-
nia tego typu.

s. 100.

x

− − <

1

3

0

x

− <

1

3

–3 < x – 1 < 3
–2 < x < 4
Zbiorem rozwiązań jest przedział (–2, 4).

( )

( )

( )

(

)

h x

f g x

a

a x

b

b

aa

x

ab

b

=

= ⋅

+

+ =

⋅ +

+

1

1

1

1

Zbiorem rozwiązań jest przedział (–2, 4).

x

x

x

−

− <

−

−

<

− − <

1

9

0

1

3

0

1

3

0

2

2

2

⇔

⇔

x

x

x

−

−

<

−

−

<

− − <

1

9

0

1

3

0

1

3

0

4

2

4

4

⇔

⇔

x

x

x

−

−

<

−

−

<

− − <

1

3

0

1

3

0

1

3

0

100

100

100

100

⇔

⇔

57

s. 102.

Iloczyn  jest  liczbą  ujemną,  jeżeli  wśród  czynników  jest  nieparzysta
liczba czynników ujemnych. W tym przypadku musi być zatem
(–3) · (–2) · (–1) · 0, a ten iloczyn jest równy 0.
Iloczyn czterech kolejnych liczb całkowitych nie może być liczbą ujemną.
Wskazane  byłoby  przy  okazji  tego  zadania  uogólnienie  zagadnienia
i przedyskutowanie różnych sytuacji.

s. 110.

a) 4

2
7

 godziny

b) 3

3
4

 godziny c) 2

1
2

 godziny

d)

30

6 + n

 godziny

s. 116.

Doświadczenia  przeprowadzane  z  lusterkami  umożliwią  dokonania
wielu ciekawych spostrzeżeń. Zastosowanie kolorowych skrawków pa-
pieru ułatwi odkrycie zasady konstruowania kalejdoskopu.

s. 119. zad. 659.

Na przykład pięciokąt.

s. 119. zad. 663.

Wielokąt ten ma co najmniej 4 wierzchołki.

a) 4 wierzchołki

b) 6 wierzchołków

c) 12 wierzchołków

s. 122.

Otrzymane punkty są wierzchołkami ośmiokąta.

s. 124.

Suma miar kątów przeciwległych jest równa 180°.

s. 130.

Trójkąty  równoboczne  zbudowane  na
przeciwległych 

bokach 

dowolnego

równoległoboku są symetryczne wzglę-
dem punktu przecięcia przekątnych.

s. 134.

W 1801 roku C. Gauss dowiódł, że za pomocą cyrkla i linijki można wy-
konać konstrukcję wielokąta o liczbie boków równej m = 2

n

· p

1

· ... · p

k

,

gdzie p

1

, p

2

, ... , p

k

 są liczbami pierwszymi Gaussa, czyli liczbami postaci

p

r

=

+

2

1,

2

 gdzie r jest liczbą naturalną. Liczbami pierwszymi Gaussa

są, na przykład: 3, 5, 17, 257, 65337.

s. 135.

W przypadku wielokąta foremnego o parzystej liczbie boków nie otrzy-
mamy wielokąta gwiaździstego.

58

s. 141. zad. 788.

W zadaniach tego typu ćwiczymy wyobraźnię dzieci. Wska-

zane byłoby wykorzystanie wielokątów foremnych o różnej liczbie bo-
ków i układanie wielokątów z trójkątów równoramiennych. Uczniowie
mogliby określić różnicę w postępowaniu w różnych sytuacjach.

s. 142.

Należy rozpatrywać wielokąty foremne. Otrzymane liczby tworzą ciąg
liczbowy, którego wyrazy dążą do 1.

s. 145. zad. 807.

a)

1
8

b)

1

16

c)

1

2

10

d)

( )

1
2

n

s. 145. zad. 809.

a) 2 boki

b) 2 boki

c) 3 boki

d) 3 boki

s. 141. zad. 786.

Powstały dwie pary

trójkątów przystających.

Odpowiedzi do zadań w ćwiczeniach sprawdzających

oznaczonych 

s. 6. i 8.

Oznaczmy długość odcinka  AŁ

a

=

.  Z własności trójkąta prostokąt-

nego, w którym kąty ostre mają miary 30° i 60°, wynika, że

ŁÓ

a

=

1
2

 i   ÓA

a

=

3

2

P

P

a

UPAŁ

=

=

1

2

(

)

(

)

P

P

MRÓZ

a

a

=

=

=

+

















+

2

2

2

2

3

1

2

3

1

4

p

C

A

E

G

H

F

B

0

D

s. 138.

Tak. Wszystkie trzy okręgi mają równe promienie.

(

)

ÓR

ÓA

AR

a

a

a

=

+

=

+ =

+

3

2

2

3

1

2

,

AR

ŁÓ

=

gdyż

 

∆

ABO

 

≡

 

∆

FEO

 

∆

CDO

 

≡

 

∆

GHO

59

s. 10.

Przez  jeden  z  wierzchołków,  np.  C,
prowadzimy prostą k, która nie zawie-
ra  przekątnej  czworokąta.  Przez
punkt B prowadzimy prostą p równo-
ległą do prostej k. Punkt wspólny pro-
stej k i boku AB oznaczamy E.
Na  prostej  p  wybieramy  dowolny
punkt F. Łączymy punkt F z punktami
E

  i  C.  Otrzymany  pięciokąt  AEFCD

ma  pole  równe  polu  czworokąta
ABCD

, gdyż P

,CEF

 = P

,CEB

.

s. 12.

Przez wierzchołki C i E prowadzimy
przekątną.  Przez  punkt  D  prowadzi-
my prostą równoległą do CE.
Rysujemy prostą zawierającą bok BC
pięciokąta. Punkt wspólny tej prostej
i  prostej  p  wyznacza  wierzchołek
czworokąta F.
Czworokąt ABFE ma takie samo pole
jak pięciokąt ABCDE, gdyż
P

,CFE

 = P

,EBC

.

s. 14.

Promień mniejszego półkola jest rów-
ny  wysokości  trójkąta  równoramien-

nego  DEC,  w  którym  CD   =  3  cm,

DE

 =  CE  = 2 cm.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:

(

)

(

)

P

P

1

2

2

2

2

a

a

3

1

4

4

3

1

2 3

4

4

2 3

4

4

2 3

16

12

4

2 3

=

=

=

=

= −

+

+ +

+

⋅

−

−

( )

r

=

−

=

−

=

≈

2

1,5

4

2,25

1,75

1,32

2

2

Pole zaznaczonej figury jest zatem równe:

Pole zaznaczonej figury ma około 3,54 cm

2

.

( )

P

=

⋅

−

⋅

≈

1

2

1

2

2

1,32

3,54

2

2

π

π

D

C

B

k

p

A

E

F

A

E

D

B

C

F

p

E

r

B

C

D

A

60

( )

r

=

−

=

−

=

≈

3

2,5

9

6,25

2,75

1,66

2

2

Pole zaznaczonej figury jest zatem równe:

Pole zaznaczonej figury ma około 3,13 cm

2

.

s. 18. i 20.

Nie. Druga potęga liczby naturalnej w rzędzie jedności może mieć
jedną z następujących cyfr: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

s. 22.

a b

a b

=

2

4

( )

P

=

⋅

−

⋅

≈

1

2

1

2

3

1,66

3,13

2

2

π

π

s. 16.

Promień mniejszego półkola jest rów-
ny  wysokości  trójkąta  równoramien-

nego NEM, w którym  NM  = 5 cm,

NE

 =  ME  = 3 cm.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:

( )

a b

a b

a

b

a

b

a b

a b

=

⋅







=

⋅

=

⋅

=

=

1
2

1
2

1
4

2
4

1
4

2

2

4

1
2

1
4

s. 24.

b a

b a

=

2

4

( )

b a

b a

b

a

b

a

b a

b a

=

⋅







=

⋅

=

⋅

=

=

1
2

1
2

1
4

2
4

1
4

2

2

4

1
2

1
4

s. 26.

(

)

3333333

1

3333333

1

2 3333333

3333334

2 3333333

2

+

=

+ +

=

+

Liczba 

(

)

3333333

1

2

+

 jest liczbą niewymierną, gdyż liczba  3333333

jest liczbą wymierną.

Liczba 

(

)

7777777

1

2

−

 jest liczbą niewymierną, gdyż liczba  7777777

jest liczbą wymierną.

s. 30.

Z  trójkąta  Pascala  odczytujemy  współczynniki  odpowiadające  potędze
o wykładniku 4. Są to liczby: 1, 4, 6, 4, 1. Tak więc

s. 28.

(

)

7777777

1

7777777

1

2 7777777

7777778

2 7777777

2

−

=

+ −

=

−

(

)

a

b

a

a b

a b

ab

b

−

=

−

+

−

+

4

4

3

2 2

3

4

4

6

4

r

N

M

L

K

E

61

s. 32.

Z  trójkąta  Pascala  odczytujemy  współczynniki  odpowiadające  potędze
o wykładniku 4. Są to liczby: 1, 4, 6, 4, 1. Tak więc

(

)

− +

=

−

+

−

+

a

b

a

a b

a b

ab

b

4

4

3

2 2

3

4

4

6

4

s. 34.

(

)

(

)

(

)

x

x

x

x

x

x

x

x

4

3

2

1

1

1

+ = ⋅

+

= ⋅

+ ⋅

− +

s. 36.

(

)

(

)

(

)

a

a

a

a

a

a

a

a

+

= ⋅ +

= ⋅ +

⋅ − +

4

3

2

1

1

1

s. 38.

(

)

(

)

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

5

3

4

2

4

2

2

5

4

5

4

4

4

−

+

= ⋅

−

+

= ⋅

−

−

+

=

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

= ⋅

⋅

− − ⋅

−

= ⋅

− ⋅

−

=

n

n

n

n

n

n

n

2

2

2

2

2

1

4

1

1

4

(

) (

)

(

) (

)

=

−

⋅

− ⋅ ⋅

+ ⋅

+

n

n

n

n

n

2

1

1

2

s. 42.

Rysunek przedstawia
graf funkcji h.

s. 44.

Rysunek przedstawia
graf funkcji h.

s. 46.

Tak. Wzór określający tę funkcję ma postać:

( )

(

)

h x

x

x

x

x

x

=

−

− =

−

+ − =

−

2

2

4

2

4

2

1

1

2

1

1

2

s. 48.

Tak. Wzór określający tę funkcję ma postać:

( )

(

)

h x

x

x

x

x

x

=

+

+ =

+

+ + =

+

+

2

2

4

2

4

2

1

1

2

1

1

2

2

b

a

d

b

a

d

c

s. 40.

(

)

(

)

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

5

3

4

2

4

2

2

5

4

5

4

4

4

−

+

= ⋅

−

+

= ⋅

−

−

+

=

(

) (

)

[

]

(

) (

)

= ⋅

⋅

− − ⋅

−

= ⋅

− ⋅

−

=

p

p

p

p

p

p

p

2

2

2

2

2

1

4

1

1

4

(

) (

)

(

) (

)

=

−

⋅

− ⋅ ⋅

+ ⋅

+

p

p

p

p

p

2

1

1

2

62

s. 50.

Ponieważ zbiorem wartości funkcji g jest przedział 

〈

0, 1

〉

, możemy doko-

nać złożenia funkcji. Wówczas funkcja h jest określona wzorem

h

(x) = –2(x + 1) = –2x – 2.

s. 52.

Ponieważ zbiorem wartości funkcji g jest przedział 

〈

0, 1

〉

, możemy doko-

nać złożenia funkcji. Wówczas funkcja h jest określona wzorem

h

(x) = 2(x – 1) = 2x – 2.

s. 54.

Iloczyn  współczynników  kierunkowych  funkcji  liniowych,  których
wykresy  są  prostopadłe,  jest  równy  –1.  Zatem  funkcja  g  ma  postać

( )

g x

x

b

= −

+

1
2

.  Aby wykres tej funkcji przechodził przez punkt (1, 1),

musi być spełniony warunek

− + =

1
2

1

b

b

=

3
2

Funkcję g określa wzór 

( )

g x

x

= −

+

1
2

3
2

.

s. 56.

Iloczyn  współczynników  kierunkowych  funkcji  liniowych,  których
wykresy  są  prostopadłe,  jest  równy  –1.  Zatem  funkcja  g  ma  postać

( )

g x

x

b

= −

+

1
2

.  Aby wykres tej funkcji przechodził przez punkt (1, 0),

musi być spełniony warunek

− ⋅ + =

1
2

1

1,

b

 zatem

− + =

1
2

0

b

b

=

1
2

Funkcję g określa wzór 

( )

g x

x

= −

+

1
2

1
2

.

s. 58.

(

) (

)

(

)

x

x

x

x

x

x

4

2

6

2

102

2

0

+

⋅

+

⋅

⋅

+

=

K

− ⋅ + =

1
2

1

0,

b

 zatem

(

) (

)

(

)

x

x

x

x

98

2

4

100

1

1

1

0

⋅

+ ⋅

+ ⋅

⋅

+

=

K

Równanie  spełnia  tylko  liczba  0,  gdyż  dla  każdego  x

∈

R  i  n

∈

N

+

,

x

2n

+ 1 > 0.

63

s. 60.

(

) (

)

(

)

x

x

x

x

x

x

5

3

7

3

101

3

0

+

⋅

+

⋅

⋅

+

=

K

(

) (

)

(

)

x

x

x

x

144

2

4

98

1

1

1

0

⋅

+ ⋅

+

⋅

⋅

+

=

K

Równanie  spełnia  tylko  liczba  0,  gdyż  dla  każdego  x

∈

R  i  n

∈

N

+

,

x

2n

+ 1 > 0.

s. 62.

Oznaczmy:
x

– liczba monet dwudziestogroszowych

140 – x

– liczba monet pięćdziesięciogroszowych

0,2 · x

– wartość monet dwudziestogroszowych

0,5 · (140 – x)

– wartość monet pięćdziesięciogroszowych

0,2 · x + 0,5 · (140 – x) = 25
0,2 · x + 70 – 0,5 · x = 25
– 0,3 · x = – 45
x

= 150

Jeśli monet dwudziestogroszowych jest 150, to monet pięćdziesięciogro-
szowych powinno być –10. Liczba monet nie może być wyrażona liczbą
ujemną. 25 złotych nie da się rozmienić na monety dwudziestogroszowe
i pięćdziesięciogroszowe tak, aby razem było ich 140.

s. 64.

Oznaczmy:
x

– liczba monet pięćdziesięciogroszowych

100 – x

– liczba monet dwudziestogroszowych

0,5 · x

– wartość monet pięćdziesięciogroszowych

0,2 · (100 – x)

– wartość monet dwudziestogroszowych

0,5 · x + 0,2 · (100 – x) = 25
0,5 · x + 20 – 0,2 · x = 25
0,3 · x = 5

x

= 16

2
3

Liczba monet musi być wyrażona liczbą naturalną. 25 złotych nie można
rozmienić na monety dwudziestogroszowe i pięćdziesięciogroszowe tak,
aby było ich razem 100.

s. 66.

Przekształcając nierówność 

(

)

4

3

12

2

a

−

−

≥

, otrzymujemy:

a

2

– 3

≥

–3

a

2

≥

0

Nierówność ta jest prawdziwa dla każdego a

∈

R.

64

s. 68.

Przekształcając nierówność 

(

)

3 3

4

12

2

a

−

−

≥

, otrzymujemy:

3a

2

– 4

≥ 

– 4

3a

2

≥

0

a

2

≥

0

Nierówność ta jest prawdziwa dla każdego a

∈

R.

s. 70.

Z proporcji x : y : 5 = 2 : 4 : 6 wynika, że

y

5

4
6

,

=

więc

6y = 20

y

=

20

6

y

=

10

3

Rozpatrując proporcję 

x
y

=

2
4

,  otrzymujemy  x

y

=

1
2

,  czyli  x

=

5
3

.

s. 72.

Z proporcji x : y : 4 = 1 : 5 : 3 wynika, że

y

4

5
3

,

=

więc

3y = 20

y

=

20

3

Rozpatrując proporcję 

x
y

=

1
5

,  otrzymujemy  x

y

=

1
5

,  czyli  x

=

4
3

.

s. 74.

C

A

B

k

p

Rysujemy prostą k prostopadłą do odcinka AA

2

. Wyznaczamy punkt A

1

będący obrazem punktu A w symetrii osiowej względem prostej k. Na-
stępnie rysujemy prostą p będącą symetralną odcinka A

1

A

2

. Proste k i p są

szukanymi prostymi.

65

s. 76.

Rysujemy prostą k prostopadłą do odcinka AA

2

. Wyznaczamy punkt  A

1

będący obrazem punktu A w symetrii osiowej względem prostej  k. Na-
stępnie rysujemy prostą p będącą symetralną odcinka A

1

A

2

. Proste k i p są

szukanymi prostymi.

A

B

C

k

p

s. 78. i 80.

Wyznaczamy  środek  mniejszego  okręgu.  Przez  punkt  wyznaczony
przez jeden z końców średnicy tego okręgu prowadzimy styczną do
niego. Punkty przecięcia stycznej z większym okręgiem wyznaczają
dwa wierzchołki trójkąta: A i B. Trzeci wierzchołek C wyznaczamy,
rysując symetralną odcinka AB.

Trójkątem spełniającym warunki zadania jest trójkąt równoboczny.
Zadanie  ma  rozwiązanie  tylko  wtedy,  gdy  szerokość  powstałego
pierścienia jest równa promieniowi mniejszego okręgu.

r

O

A

B

C

66

Długość  boku  sześciokąta  foremnego  opisanego  na  okręgu  o  pro-

mieniu r jest równa 

2

3

3

r

. Zatem pole P

O

  jest równe:

P

r

O

r

= ⋅

=









 ⋅

6

2

3

2

3

3

3

4

2

2

s. 86. i 88.

Przyprostokątne trójkąta o polu 18 mają długości 4 i 9. Długość jego

przeciwprostokątnej jest równa 

97 . Obydwa trójkąty są przysta-

jące.

Różnica pól P

P

r

O

W

r

r

−

=

−

=

2

3

2

2

2

3

3

2

3

2

Stosunek pól

P

P

r

r

O

W

=

=

2

3

3

3

2

4
3

2

2

s. 82. i 84.

Długość boku sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o promie-
niu r jest równa r. Zatem pole P

W

  jest równe:

P

W

r

r

= ⋅

=

6

2

2

3

4

3

3

2