Matematyka A, kolokwium, 14 stycznia 2012, 9:05 – 10:55
Rozwia
,
zania r´o˙znych zada´
n maja
,
znale´z´c sie
,
na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be
,
da
,
r´o˙zne osoby.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza
,
cego,
jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej ´cwiczenia.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n elek-
tronicznych; je´sli kto´s ma, musi wy la
,
czy´
c i schowa´
c!
Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdzenia, kt´ore
zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
Nale˙zy przeczyta´c
CAÃLE
zadanie
PRZED
rozpocze
,
ciem rozwia
,
zywania go!
1. (6 pt.) Wykaza´c, ˙ze niezale˙znie od wyboru liczb a, b ∈ R r´ownanie tg x = ax + b ma
w przedziale (−
π
2
,
π
2
) co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty i co nawy˙zej trzy
r´o˙zne pierwiastki rzeczywiste.
(1 pt.) Wskaza´c pare
,
liczb a, b ∈ R , dla kt´orych r´ownanie tg x = ax + b ma w przedziale
(−
π
2
,
π
2
) dok ladnie jeden pierwiastek rzeczywisty.
(1 pt.) Wskaza´c pare
,
liczb a, b ∈ R , dla kt´orych r´ownanie tg x = ax + b ma w przedziale
(−
π
2
,
π
2
) dok ladnie trzy pierwiastki rzeczywiste.
(2 pt.) Wskaza´c pare
,
liczb a, b ∈ R , dla kt´orych r´ownanie tg x = ax + b ma w przedziale
(−
π
2
,
π
2
) dok ladnie dwa pierwiastki rzeczywiste.
2. (10 pt.) Znale´z´c granice
,
lim
x→0
ln(1 + sin x)(tg x − x)e
arctg x
√
1 + x
2
+ cos x − 2 cos(x
2012
)
.
3. Wykaza´c, ˙ze istnieje taka liczba δ > 0 , ˙ze z nier´owno´sci 0 < x < δ wynika nier´owno´s´c
x ·
3
q
1 −
x
2
2
< sin x .
4. Niech ϕ(x) = x(2x
2
−1)
9/7
(x
2
−1)
−9/7
dla x 6= ±1 . Wiadomo, ˙ze je´sli x
2
/
∈ {1,
1
2
} , to zachodza
,
wzory ϕ
0
(x) =
1
7
(2x
2
− 1)
2/7
(x
2
− 1)
−16/7
(14x
4
− 39x
2
+ 7) oraz
ϕ
00
(x) =
18
49
x(14x
4
+ 39x
2
− 21)(x
2
− 1)
−23/7
(2x
2
− 1)
−5/7
.
Wiadomo te˙z, ˙ze 14x
4
− 39x
2
+ 7 = 0 ⇔ x = x
1
≈ −1,610, x = x
2
≈ −0,439, x = x
3
≈ 0,439
lub x = x
4
≈ 1,610
i
14x
4
+ 39x
2
− 21 = 0 ⇔ x = x
5
≈ −0,680 albo x = x
6
≈ 0,680 .
(1 pt.) Znale´z´c ϕ
0
(−
1
√
2
) oraz ϕ
0
(
1
√
2
) lub wykaza´c, ˙ze te pochodne nie istnieja
,
.
(2 pt.) Znale´z´c te przedzia ly, na kt´orych funkcja ϕ ro´snie i te, na kt´orych maleje.
(2 pt.) Znale´z´c te przedzia ly, na kt´orych funkcja ϕ jest wypuk la i te, na kt´orych jest wkle
,
s la,
znale´z´c punkty przegie
,
cia funkcji ϕ .
(1 pt.) Wykaza´c, ˙ze je´sli 13 < s < t , to ϕ
4
7
s +
3
7
t
<
4
7
ϕ(s) +
3
7
ϕ(t) .
(4 pt.) W oparciu o uzyskane informacje naszkicowa´c wykres funkcji ϕ .
5. (10 pt.) Na wykresie funkcji y =
1
9
x
3
− 3x znale´z´c punkt le˙za
,
cy najbli˙zej punktu (−15, −5) .
Ciekawostki (kt´o˙z wie, co sie
,
mo˙ze przyda´c): (1 + x)
a
= 1 + ax +
a
2
x
2
+
a
3
x
3
+ · · · =
P
∞
n=0
a
n
x
n
,
sin x = x −
x
3
3!
+
x
5
5!
−
x
7
7!
+ · · · =
P
∞
n=0
(−1)
n x
2n+1
(2n+1)!
,
cos x
0
= − sin x ,
tg x = x +
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+
17
315
x
7
+ · · · .