FALOWY I KWANTOWY OPIS ŚWIATŁA
Dualizm korpuskularno - falowy
Światło wykazuje dualizm korpuskularno-falowy. W niektórych zjawiskach takich jak
interferencja, dyfrakcja i polaryzacja ma naturę falową, a w innych takich jak np. efekt
fotoelektryczny czy też rozproszenie comptonowskie wykazuje naturę korpuskularną.
Omówimy kilka zjawisk, które świadczą o dualnym charakterze promieniowania
elektromagnetycznego.
Polaryzacja światła
W
ubiegłym semestrze opisywaliśmy światło uważając je za falę elektromagnetyczną.
Światło przedstawialiśmy jako drgające pole elektryczne i prostopadłe do niego pole
magnetyczne. Fala E-M jest falą poprzeczną, jej pola elektryczne i magnetyczne są
prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali. W świetle
naturalnym wszystkie kierunki drgań np. pola elektrycznego są
równoprawdopodobne i takie światło nie jest spolaryzowane.
Światło jest spolaryzowane, jeśli drgania wektora natężenia pola elektrycznego
E
Z
są w
pewien sposób uporządkowane ( ukierunkowane ). Sposób uporządkowania drgań pola
E
pozwala na rozróżnienie rodzajów polaryzacji.
Polaryzacja liniowa ( płaska ) – jest to rodzaj polaryzacji, przy której drgania wektora
E
( oraz :
f
B E
B v
= × ) zachodzą w jednej płaszczyźnie – obecnie nazywanej płaszczyzną
polaryzacji.
(
)
(
)
0
0
0
cos
x
y
x
y
E
E e
E e
t kz
ω
ϕ
=
+
− +
E
x
y
z
1
Polaryzacja
eliptyczna – koniec wektora
E
porusza się po linii śrubowej o osi będącej
kierunkiem rozchodzenia się wiązki światła. Może być otrzymana przez złożenie dwóch
drgań prostopadłych spolaryzowanych płasko i przesuniętych w fazie o
90
np.
°
(
)
(
)
cos
sin
.
ox x
oy
y
E
E e
t
kz
E e
t
kz
ω
ϕ
ω
ϕ
=
− +
±
− +
W przypadku znaku
( )
− polaryzacja jest prawoskrętna, a przy znaku
( )
+ mamy polaryzację
lewoskrętną. Kiedy
0
0
x
y
E
E
=
mamy do czynienia z polaryzacją kołową.
Światło naturalne przedstawia się niekiedy tak, jak pokazuje poniższy rysunek.
Z
≡
Z
Światło może być częściowo spolaryzowane, co przedstawia się, tak jak niżej
Z
Polaryzatory
są to urządzenia służące do otrzymania światła spolaryzowanego. W
przypadku polaryzatora liniowego zasadę jego działania pokazuje rysunek
Z
0
E
01
E
02
E
1
P
2
P
α
0
I
1
0
1
2
I
I
=
2
2
1
cos ( )
I
I
α
=
α
1
2
,
P P
- polaryzatory, - natężenie światła.
I
(
)
2
2
2
1
01
2
02
01
,
co
I
E
I
E
E
α
=
∼
∼
s( ) ,
( )
( )
2
2
02
2
2
1
1
01
cos
cos
.
E
I
I
I
I
E
2
α
α
⎛
⎞
=
=
⇒
=
⎜
⎟
⎝
⎠
(6.1)
2
Równanie (12.27) wyraża prawo Malusa.
Do
otrzymywania
światła spolaryzowanego wykorzystuje się takie zjawiska jak:
1. Polaryzację światła przy odbiciu od dielektryka. Światło naturalne ulega częściowej
polaryzacji podczas odbicia i załamania od powierzchni dielektryka. Przy kącie
padania
α
nazywanym kątem Brewstera
,
B
α
światło odbite jest całkowicie
spolaryzowane. Odbija się wtedy tylko składowa pola elektrycznego prostopadła do
płaszczyzny padania. Przy kącie Brewstera stwierdzono, że kąt między promieniem
odbitym i załamanym wynosi
90
.
°
B
α
β
n
B
α
90
⋅⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅⋅⋅
Z prawa Snella otrzymamy:
( )
( )
( )
(
)
( )
sin
sin
prawo Brewstera.
sin
sin 90
B
B
B
B
tg
n
α
α
α
β
α
=
=
= −
° −
(6.2)
2. Dwójłomność: Niektóre kryształy ( np. CaCO
3
– kalcyt ) podwójnie załamują światło.
Jedna wiązka załamanego światła
nazywana jest wiązką zwyczajną
(„o”), a druga wiązka – wiązką
nadzwyczajną („e”). Wiązki e i o są
spolaryzowane liniowo wzajemnie prostopadle i mają różne współczynniki załamania.
Z
3
CaCO
e
o
3. Dichroizm: Polega na tym, że niektóre
( np. turmalin ) selektywnie
światło w zależności od jego polaryzacji.
kryształy
pochłaniają
Z
3
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
Ciało doskonale czarne to ciało, które doskonale ( całkowicie ) absorbuje i emituje
promieniowanie elektromagnetyczne. Żadne inne ciało nie jest lepszym emiterem i
absorberem promieniowania. Dobrym modelem ciała doskonale czarnego może być pusty
zbiornik z małym otworem w ściance umieszczony w termostacie utrzymującym jednorodny
rozkład temperatury
Zaglądając przez otwór do zbiornika ( przy
niewysokiej temperaturze ) zobaczymy doskonałą czerń. W wysokiej
temperaturze
przez otwór wydobywa się widoczne promieniowanie.
Jeśli przez gęstość spektralną promieniowania
.
T
T
( )
u
λ
oznaczymy ilość energii
tego promieniowania przypadającą na przedział długości fali d
λ
i na jednostkę objętości
trzymane doświadczalnie krzywe rozkładu
dV
to o
( )
u
λ
w funkcji długości fali
λ
ma ą
przedstawioną na rysunku postać.
j
0
1
2
3
4
5
6
0,00E+00 1,00E-06 2,00E-06 3,00E-06 4,00E-06
u(
λ) j.
w
.
x 10000
0
λ [m]
Rozkład Plancka
T=3000 K
T=5000 K
W ramach fizyki klasycznej nie potrafiono opisać poprawnie tych krzywych. Dopiero Planck
w 1900 r. podał wzór opisujący w całym przedziale długości fal promieniowanie ciała
doskonale czarnego:
( )
5
8
1
,
1
hc
kT
hc
u
e
λ
π
λ
λ
=
−
(6.3)
4
gdzie:
–stała Plancka, - prędkość światła, - stała Boltzmanna. Aby
otrzymać wyrażenie (6.3) Planck założył, że wymiana energii między ścianką i wnęką
zbiornika odbywa się skończonymi porcjami – kwantami energii
34
6,63 10
J s
h
−
=
⋅
⋅
c
k
.
c
E
hv
h
λ
=
=
m,
⋅
Promieniowanie
ciała doskonale czarnego spełnia:
1. Prawo Wiena
(6.4)
3
max
,
2,9 10 K
T
const
const
λ
−
=
=
⋅
gdzie
max
λ
oznacza długość fali, przy której krzywa rozkładu promieniowania w temperaturze
osiąga maksimum.
T
2. Prawo Stefana – Boltzmanna
( )
4
8
2
4
0
W
,
5,7 10
4
m
c
P
u
d
T
λ λ σ
σ
∞
−
=
=
=
⋅
∫
,
K
(6.5)
gdzie oznacza moc wypromieniowaną przez jednostkę powierzchni we wszystkich
kierunkach.
P
Efekt fotoelektryczny
FK - fotokatoda
A - anoda
FK
A
h
ν
Efektem fotoelektrycznym nazywamy zjawisko emisji elektronów pod działaniem światła
( Hertz 1887 r. ). Badając to zjawisko stwierdzono szereg faktów sprzecznych z falową naturą
światła, np. energia wybijanych elektronów nie wzrastała ze wzrostem natężenia światła. Nie
stwierdzono także opóźnienia między chwilą włączenia światła a momentem pojawienia się
5
fotoprądu. Wykazano także doświadczalnie istnienie częstotliwości granicznej ,
g
ν
poniżej
której fotoprąd nie pojawiał się bez względu na wartość natężenia światła
.
I
f
I
f
I
U
U
2
I
1
I
2
1
I
I
>
const
λ
=
2
λ
1
λ
h
U
1
h
U
I
const
=
2
1
λ
λ
<
max
k
h
E
eU
=
−Φ
ν
g
ν
f
max
I - fotoprąd, I - natężenie swiatla,
- częstotliwosć, U - napięcie,
-
dlugosć fali,
E
- maksym. enrgia kinet. elektronów
k
ν
λ
Fotoefekt został objaśniony przez Einsteina w 1905 roku. Einstein założył, że światło w tym
zjawisku składa się z fotonów o energii
.
E
h
ν
=
Foton może zostać pochłonięty przez
elektron w metalu i uzyskana przez elektron dodatkowa energia może wystarczyć, aby mógł
on opuścić metal. Energia fotonu E h
ν
=
zostaje więc zużyta na wyrwanie elektronu z metalu
– czyli na wykonanie pracy wyjścia
Φ
i na nadanie elektronowi energii kinetycznej,
maksymalnie
max
:
k
E
max
.
k
h
E
ν
=
+ Φ (6.6)
Ponieważ doświadczenie pokazuje, że emisję można zatrzymać stosując napięcie wsteczne –
hamujące
to
h
U
6
max
,
k
h
E
eU
e
=
− ładunek elektronu.
(6.7)
Z równań (6.6) i (6.7) otrzymamy
.
h
eU
h
ν
=
− Φ (6.8)
Dla częstotliwości granicznej
g
ν
zachodzi
.
g
h
ν
= Φ (6.9)
Z równania (6.8) wynika przedstawiona na rysunku wyżej zależność napięcia hamowania
od częstotliwości światła. Z nachylenia wykresu Miliken w 1916 r. wyznaczył wartość stałej
Plancka
h
U
.
h
Zjawisko Comptona
Zjawisko
to
zostało odkryte w 1923 roku przez Comptona podczas badania
rozproszenia promieni rentgenowskich przez różne substancje. Compton zaobserwował w
promieniowaniu rozproszonym obok promieniowania o takiej samej długości fali
λ
jak
promieniowanie padające promieniowanie o większej długości fali ,
λ
′ tak, że
λ λ λ
′ −
Δ =
zależy tylko od kąta
ϑ
między wiązką pierwotną i rozproszoną
λ
λ
′
λ
ϑ
I
natężenie
λ
λ
λ
′
Wzór na
,
λ
Δ opisujący wyniki doświadczalne, można uzyskać zakładając korpuskularną
naturę promieniowania
7
Zakłada się, że foton zderza się z praktycznie nieruchomym
elektronem rozpraszacza oraz, że zachodzą prawa zachowania pędu
(6.10) i energii (6.11). Ponieważ pęd fotonu:
p
p
h
h
p
e
e
c
ν
λ
=
=
ϑ
p
p′
e
p
to
,
p
e
p
h
h
e
p
e
λ
λ
′
=
+
′
(6.10)
2
2
,
e
hc
hc
mc
c p
m c
λ
λ
+
=
+
+
′
2 2
(6.11)
gdzie: m - masa elektronu.
e
p
- pęd rozproszonego elektronu. Ostatnie równanie dzielimy
przez , podnosimy do kwadratu i zapisujemy w postaci
c
2
2 2
2
2 2
2
2
1
1
2
1
1
2
.
e
p
m c
h
m c
hmc
λ
λ
λλ
λ λ
⎛
⎞
⎛
+
=
+
−
+
+
−
⎜
⎟
⎜
⎞
⎟
′
′
′
⎝
⎠
⎝
⎠
Z zasady zachowania pędu (6.10) mamy
2
2
2
2
1
1
2
cos( ) .
e
p
h
ϑ
λ
λ
λλ
⎛
⎞
=
+
−
⎜
⎟
′
′
⎝
⎠
Po porównaniu ostatnich dwóch równań otrzymamy
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
1
2
2
c
1
1
1 cos( ) ,
1 cos( ) ,
h
hmc
h
h
mc
h
mc
ϑ
λ
λ
λλ
λ λ
λ
λ
λλ
ϑ
λ λ
λλ
λ λ
ϑ
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
+
−
+
−
=
+
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
′
′
′
′
′
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎛
⎞
−
=
−
⎜
⎟
′
′
⎝
⎠
′ − =
−
os( ) ,
⎞
⎟
⎠
(
)
1 cos( ) ,
C
λ λ
Δ =
−
ϑ
(6.12)
gdzie
12
2, 43 10 m
C
h
mc
λ
−
=
=
⋅
- comptonowska długość fali.
8
Model atomu wodoru Bohra
Na
początku 20. wieku było wiadomo, że atomy składają się z elektronów i ładunku
dodatniego skupionego w jądrze o małych rozmiarach rzędu
Rozmiary atomu
szacowano natomiast na
Eksperymenty wykazywały, że atomy wysyłają lub
pochłaniają światło o określonych długościach fal charakterystycznych dla każdego rodzaju
atomów. Fizyka klasyczna nie była w stanie objaśnić tego liniowego charakteru świecenia
atomów, a nawet nie potrafiła objaśnić faktu stabilności układu ładunków, jaki stanowi atom.
Teoria Bohra (1913r.) była pierwszą teorią, która odniosła sukces w opisie najprostszego
atomu, jakim jest atom wodoru. Model Bohra opiera się na dwóch postulatach o naturze
kwantowej:
15
10 m.
−
10
10 m.
−
1 postulat: Elektron o masie krąży z prędkością wokół nieruchomego protonu po orbicie
kołowej o takim promieniu że jego moment pędu jest całkowitą wielokrotnością
m
,
r
v
/ (2 )
h
π
≡
,
1, 2,3
mvr
n
n
=
=
…
(6.13)
2 postulat: Atom promieniuje lub absorbuje foton o energii h
ν
tylko wtedy, kiedy przechodzi
z jednej orbity na drugą
.
m
n
hc
h
E
ν
λ
=
=
− E (6.14)
Korzystając z powyższych postulatów możemy obliczyć promień - tej orbity i
energię elektronu na - tej orbicie:
n
n
Siła Coulomba jest siłą dośrodkową
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
, oraz
4
,
mv
ke
n
n
ke
v
m
r
r
mr
m r
r
r
n
n
kme
me
πε
=
=
⇒
=
⇒ =
=
2
⇒
9
oznaczając
2
10
0
1
2
4
0,53 10 m 0,53
r
me
πε
−
=
=
⋅
=
Ǻ,
(6.15)
2
1
.
n
r
r
r n
= =
Na energię elektronu uzyskamy wzór
2
2
2
2
2
4
2
2
2
4
1
2 2 2
2
2
0
1
1
2
2
2
2
1
1
,
32
n
n
n
n
n
n
ke
ke
ke
ke
k me
E
mv
r
r
r
r
n
me
E
n
n
π ε
=
−
=
−
= −
= −
= −
=
=
(6.16)
gdzie
4
19
1
2 2 2
0
13,6 eV, 1 eV=1,6 10 J.
32
me
E
π ε
−
= −
= −
⋅
Korzystając z drugiego postulatu Bohra uzyskamy wzór na długości fal promieniowania
emitowanego przez atom wodoru
1
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
,
1
1
1
1
,
hc
E
E
E
m
n
n
m
E
R
hc n
m
n
m
λ
λ
⎛
⎞
=
−
= −
−
⇒
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
⎛
⎞
= −
−
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
1
(6.17)
gdzie
to stała Rydberga.
7
1,097 10 1/m
R
=
⋅
Dla
wzór (6.17) został odgadnięty już w 19. wieku przez Balmera z dopasowania do
znanych linii widmowych wodoru w obszarze widzialnym.
2
n
=
Emitowane lub absorbowane przez wodór linie widmowe można usystematyzować w serie
widmowe. Jeśli w wyrażeniu (6.17) podstawimy:
1,
2,3, 4,
n
m
=
=
…
otrzymamy serię Lymana
2,
3, 4,5,
n
m
=
=
…
otrzymamy serię Balmera
3,
4,5,6,
n
m
=
=
…
otrzymamy serię Paschena
10
4,
5,6,7,
n
m
=
=
…
otrzymamy serię Bracketta
Serie widmowe przedstawione są niżej na wykresie poziomów energii:
E
1
n
=
2
n
=
3
n
=
4
n
=
5
n
=
n
→∞
1
13,6 eV
E
=−
2
E
3
E
0
E
=
4
E
5
E
α
β
γ
δ
α
β
γ
α
α
β
Lyman
Balmer Paschen
Brackett
Linie przerywane oznaczają granice serii widmowych (
). Teoria Bohra zawodzi w
przypadku innych atomów np. nie opisuje już widma helu.
m
→ ∞
11