HYDROLOGIA,
METEOROLOGIA
I KLIMATOLOGIA
Cz. II – HYDROLOGIA
W 6 – Wody podziemne 3
M. Nawalany
HYDROLOGIA,
METEOROLOGIA
I KLIMATOLOGIA
Cz. II – HYDROLOGIA
W 6 – Wody podziemne 3
M. Nawalany
Prawo zachowania masy
Objętość kontrolna, stan ustalony:
- składowa x strumienia masy wody
x
q~
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2
~
m
S
M
q
s
kg
gdzie:
M [kg/s]
– wydatek (przepływ) masowy
S [m
2
]
– pole powierzchni przez którą
przepływa wydatek M
Prawo zachowania masy – c.d.
Związek pomiędzy strumieniem masowym a strumieniem
objętościowym q :
q~
ρ
q
q~
⋅
=
gdzie:
ρ
[kg/m
3
] – gęstość cieczy.
Prawo ciągłości dla ośrodków porowatych ma postać:
( )
( )
q~
div
t
n
−
=
∂
ρ
∂
Z postaci tej widać, że woda może być gromadzona w ośrodku albo
wskutek zmiany gęstości, albo wskutek zmiany geometrii ośrodka, czyli
zmiany wartości n.
Przypadki prawa ciągłości
1. Płyn nieściśliwy (
ρ
= const.), brak zmian geometrii ośrodka:
czyli:
2. Przypadek ogólny:
( )
0
q
div
=
0
z
q
y
q
x
q
z
y
x
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
( )
( )
q~
div
t
n
−
=
∂
ρ
∂
Człon
reprezentuje nadmiar masy wpływającej nad masą
wypływająca z elementarnej objętości w jednostce czasu.
( )
q
div ~
−
Prawo Darcy
Eksperyment Darcy:
W doświadczeniu
zaobserwowano, że:
Q ~ A,
Q ~
∆H = H
2
– H
1
,
Q ~ 1/L
Wynika stąd, że:
L
H
k
A
Q
q
∆
∆
−
=
=
Prawo Darcy – c.d.
Prawo Darcy w najprostszej postaci :
z
k
q
z
z
∂
Φ
∂
−
=
x
k
q
x
x
∂
Φ
∂
−
=
y
k
q
y
y
∂
Φ
∂
−
=
Równanie przepływu wód podziemnych
Po wstawieniu prawa Darcy do prawa ciągłości otrzymuje się
trójwymiarowe równanie przepływu dla wód podziemnych:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
Φ
∂
∂
∂
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Φ
∂
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
Φ
∂
∂
∂
=
∂
Φ
∂
z
k
z
y
k
y
x
k
x
t
S
z
y
x
S
Dwuwymiarowe przybliżenie płaskie przepływu wód podziemnych:
)
(
)
(
~
~
~
2
1
z
q
z
q
y
T
y
x
T
x
t
S
z
z
y
x
−
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Φ
∂
∂
∂
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Φ
∂
∂
∂
=
∂
Φ
∂
gdzie:
S [-]
– współczynnik wodopojemności sprężystej: S = S
S
l
,
T
i
[m
2
/s]
– współczynnik przewodności hydraulicznej: T
i
= k
i
l
(
)
(
)
∫
Φ
=
Φ
2
1
z
z
dz
t
,
z
,
y
,
x
~
l
1
t
,
y
,
x
~
–
wysokość hydrauliczna uśredniona po
miąższości warstwy wodonośnej
Przykład – dopływ do rowu
Dla przepływu ze swobodnym zwierciadłem T = k H. Ustalony przepływ
swobodny jednowymiarowy w jednorodnej warstwie wodonośnej przy braku
zasilania infiltracyjnego oraz podsiąku opisany jest prostym równaniem Laplace’a.
0
x
)
x
(
H
2
2
2
=
∂
∂
Przykład – dopływ do rowu – c.d.
C
Bx
x
H
+
=
)
(
2
Rozwiązanie ogólne ma postać:
Dla rozpatrywanego równania i warunków brzegowych H(0) = H
1
, H(L)
= H
2
- parametry B oraz C wynoszą odpowiednio:
,
2
1
2
2
L
H
H
B
−
=
2
1
H
C
=
Stąd rozwiązanie szczególne:
2
1
2
1
2
2
2
)
(
H
x
L
H
H
x
H
+
−
=
Rozwiązanie to nazywa się PARABOLĄ DUPUITA.
Dopływ do rowu wyznaczony z paraboli Dupuita wynosi:
x
x
H
Dk
x
x
H
x
DkH
Q
x
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
)
(
2
1
)
(
)
(
~
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
L
H
H
kD
Q
x
2
2
2
1
2
~
Równanie transportu masy w strumieniu wód podziemnych
Mechanizmy transportu masy wyrażone jako strumienie masy (kg/m
2
/s):
1.
Transport adwekcyjny
2.
Transport dyfuzyjny
3.
Transport dyspersyjny
VC
J
adw
=
x
C
D
J
dyf
x
dyf
∂
∂
−
=
y
C
D
J
dyf
y
dyf
∂
∂
−
=
z
C
D
J
dyf
z
dyf
∂
∂
−
=
x
C
D
J
dysp
xx
x
dysp
∂
∂
−
=
,
y
C
D
J
dysp
yy
y
dysp
∂
∂
−
=
,
z
C
D
J
dsp
zz
z
dysp
zz
∂
∂
−
=
,
,
Po podstawieniu sumy trzech strumieni do prawa zachowania masy:
równanie transportu masy w wodach podziemnych.
r
C
V
z
C
V
y
C
V
x
z
C
D
z
y
C
D
y
x
C
D
x
t
C
z
y
x
zz
yy
xx
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
Przykład – dopływ zanieczyszczeń do studni
Dana jest studnia zupełna ujmująca wodę w obszarze rolniczym z warstwy
wodonośnej o zwierciadle napiętym. Warstwa wodonośna jest jednorodna i
izotropowa. Zasilanie pochodzi z wód opadowych. Wody te infiltrując wymywają
z powierzchni pestycydy używane do ochrony roślin. W warstwie wodonośnej
pestycydy ulegają biodegradacji zgodnie z prawem rozpadu:
( )
t
exp
C
)
t
(
C
0
λ
−
=
Czyli:
5
.
0
2
ln
T
=
λ
gdzie: - okres
połowicznego rozpadu.
5
.
0
T
Dane są: H, n, k, T
0.5
, Q
0
, c
0
.
Poszukuje się stężenia wody
pobieranej przez studnię przy
założeniu, że jedynym
mechanizmem transportu masy
pestycydu jest adwekcja.
1
N
Hn
1
c
Q
M
c
0
0
w
+
λ
=
=
Stężenie pestycydu w wodzie
pobieranej w studni wynosi:
[kg/m
3
]