ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE 

 
KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 
 
Układy statycznie wyznaczalne charakteryzują się tym, że siły wewnętrzne 
występujące w poszczególnych elementach tych układów mogą być wyznaczone z 
równań równowagi. 
 
Obliczenia wytrzymałościowe elementu rozciąganego lub ściskanego wykonuje się w 
celu sprawdzenia czy są spełnione warunki wytrzymałościowe 
 

                  

 

 
gdzie P - siła rozciągająca (ściskająca), A - pole przekroju poprzecznego elementu 
rozciąganego (ściskanego), k

r

 - naprężenie dopuszczalne przy rozciąganiu, k

c

 - 

naprężenie dopuszczalne przy ściskaniu. 
 
Naprężenie dopuszczalne na rozciąganie i ściskanie k

r  

i k

c

 

 

                  

 

 
gdzie R

c

, R

m

, R

e 

- wytrzymałość na ściskanie i rozciąganie, n - współczynnik 

bezpieczeństwa. 
 
Często spełnienie powyższych warunków wytrzymałościowych  nie wystarcza do 
właściwego zaprojektowania konstrukcji. Z tego względu musi być jeszcze spełniony 
warunek sztywności 
 

                  

 

 
Według tego warunku odkształcenie lub przemieszczenie punktów projektowanego 
elementu nie powinno przekroczyć wartości odkształcenia lub przemieszczenia, 
przyjętego dla danej konstrukcji jako dopuszczalne. 
 

 
KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 
 
W przypadku, kiedy liczba równań równowagi jest mniejsza od liczby sił 
wewnętrznych, to konstrukcje takie są nierozwiązywalne przy zastosowaniu równań 
statyki ciał doskonale sztywnych i noszą nazwę układów statycznie 
niewyznaczalnych. 
 
Do obliczenia niewiadomych sił należy wtedy uwzględnić odkształcenia i 
przemieszczenia prętów. Uzyskane w ten sposób dodatkowe równania 
współzależności odkształceń stanowią zależności o charakterze geometrycznym. 
 
W celu połączenia równań równowagi z równaniami geometrycznymi należy posłużyć 
się związkami fizycznymi uzależniającymi wzajemnie siły wewnętrzne i 
przemieszczenia. 
 
W przypadku materiałów liniowosprężystych związki te wynikają bezpośrednio z 
prawa Hooke'a. 
 

 

PRZYKŁADY OBLICZENIOWE 

 
Przykład 1 
Pręt stalowy o średnicy d = 5 mm i długości l = 2 m jest rozciągany siłą 
P = 1600 N. Obliczyć naprężenia oraz wydłużenie całkowite i względne pręta. Moduł 
Younga dla stali wynosi E = 2,1 · 10

5

 MPa.  

 
R o z w i ą z a n i e. 
Naprężenia normalne w poprzecznym przekroju pręta wynoszą 
 

                  

 

 
a wydłużenie całkowite (z prawa Hooke'a) 
 

                 

  

 
Przykład 2 
Obliczyć wydłużenie wywołane ciężarem własnym pręta pryzmatycznego o długości 
l, wykonanego z materiału o ciężarze właściwym 

γ i module Younga E. 

 

                          

 

 
R o z w i ą z a n i e . 
Wytnijmy z pręta odcinek o długości dx oddalony o x od górnego końca pręta. 
Odcinek ten jest rozciągany siłą równą ciężarowi pręta o długości l - x, a więc  

 
Q = S (l - x) 

γ 

 
Wydłużenie odcinka dx wynosi (z prawa Hooke'a)  
 

                 

  

 
Całkowite wydłużenie pręta jest równe  
 

                 

  

 
Wydłużenie to jest równe wydłużeniu wywołanemu siłą równą ciężarowi pręta, 
przyłożoną w środku ciężkości pręta. 

 
Przykład 3 
Doskonale sztywna belka AC = 3l = 5 m jest zamocowana jednym końcem A na stałej 
podporze przegubowej i cięgnie BD. Cięgno tworzy z osią belki kąt 

α = 30º. 

Obciążenie belki stanowi pionowa siła P = 20 kN, przyłożona w punkcie C. Obliczyć 
przekrój poprzeczny cięgna, jeżeli naprężenie dopuszczalne na rozciąganie wynosi 
k

r

 = 100 MPa. 

 

 

 
R o z w i ą z a n i e. 
Belka jest obciążona siłą P i reakcjami R

A

 i N. Niewiadomą reakcję N w cięgnie 

wyznacza się z równania momentów względem punktu A 
 

                 

  

Stąd  

                 

  

 
Naprężenia normalne w cięgnie nie mogą przekroczyć naprężeń dopuszczalnych na 
rozciąganie 
 

                  

 

 
Zatem wartość przekroju poprzecznego cięgna wynosi 
 

                  

 

6P 

 
Przykład 4 
Pręt ACE o dwóch różnych średnicach, utwierdzony w punkcie A, jest obciążony w 
przekrojach B i D siłami 5P = 500 kN i P = 100 kN. Przekrój poprzeczny części pręta 
AC = 2l = 1 m jest równy 2A = 4 · 10

-3

 m

2

, a części CE = 2l = 1 m wynosi A = 2 · 10

-3

 m

2

. 

Pręt jest wykonany ze stali, dla której współczynnik sprężystości wzdłużnej wynosi E 
= 2,1 · 10

5

 MPa i granica plastyczności R

e 

= 220 MPa. Obliczyć współczynnik 

bezpieczeństwa n odniesiony do granicy plastyczności. 
 

 

 
R o z w i ą z  a n  i e. 
Reakcja w miejscu utwierdzenia pręta jest równa 
 

                

 

 
Badając równowagę myślowo odciętych części pręta, otrzymuje się 
 

                

 

 
Biorąc pod uwagę wartości tych sił obliczono naprężenia normalne 
 

                 

 

 
Współczynnik bezpieczeństwa, z jakim pracuje pręt, oblicza się ze wzoru