13.04.2002
r
.
___________________________________________________________________________
1
Zadanie 1
! " # p !!
$
figury i 9 blotek?
(A)
16
52
4
13
4
p
(B)
13
52
4
16
4
p
(C)
16
20
16
36
16
52
4
5
4
9
4
13
p
(D)
4
16
13
14
15
16
p
(E)
4
4
13
1
p
13.04.2002
r
.
___________________________________________________________________________
2
Zadanie 2
%
&
' (!
&
)
10
(&*
20
(&+
30
(&,
x kul oznaczonych innymi literami alfabetu.
Losujemy ze zwracaniem 7 razy po jednej kuli z urny. Zmienne losowe
C
B
A
N
N
N
,
,
&
( &# ' (
* + ,
" - x , aby zmienne losowe
B
A
N
N
oraz
C
B
N
N
nieskorelowane ?
(A)
25
x
(B)
20
x
(C)
15
x
(D)
10
x
(E)
50
x
13.04.2002
r
.
___________________________________________________________________________
3
Zadanie 3
.
'! !
,...
,...,
1
n
X
X
& !
jednostajnym na przedziale
]
1
,
0
[
/
N
& 0 /
oczekiwanej
!&
,...
,...,
1
n
X
X
. Niech
.
0
0
;
0
)
,...,
max(
1
N
gdy
N
gdy
X
X
M
N
Oblicz
)
(M
E
.
(A)
e
M
E
)
(
(B)
1
)
(
e
e
M
E
(C)
e
e
M
E
1
)
(
(D)
e
M
E
1
1
)
(
(E)
1
)
(
M
E
13.04.2002
r
.
___________________________________________________________________________
4
Zadanie 4
Zmienne losowe
,...
,...,
,
2
1
n
I
I
I
i
,...
,...,
,
2
1
n
X
X
X
& !1! (
i
I ma
# )
p
I
i
)
1
Pr(
,
q
p
I
i
1
)
0
Pr(
1!
zmiennych
i
X
# !
)
(
i
X
E
i
2
)
(
i
X
Var
. Niech
i
n
i
i
n
X
I
S
1
,
n
i
i
n
I
K
1
.
. !/- ' # ( (
n
K
S
n
n
przy
n
.
(A)
)
,
0
(
2
N
n
K
S
n
n
(B)
)
,
0
(
2
p
N
n
K
S
n
n
(C)
)
,
0
(
2
2
pq
p
N
n
K
S
n
n
(D)
n
K
S
n
n
& !
(E)
)
,
0
(
2
2
q
p
N
n
K
S
n
n
13.04.2002
r
.
___________________________________________________________________________
5
Zadanie 5
.
'! !
2
1
,W
W
& !
/
1
)
(
n
W
E
dla
2
,
1
n
. Niech
)
,
min(
2
1
W
W
X
.
Oblicz
)
|
(
1
X
W
E
.
(A)
1
)
|
(
1
X
X
W
E
(B)
2
1
)
|
(
1
X
X
W
E
(C)
2
/
1
)
|
(
1
X
X
W
E
(D)
1
)
|
(
1
X
W
E
(E) )
/
1
,
min(
)
|
(
1
X
X
W
E
Wskazówka:
X
W
1
.
13.04.2002
r
.
___________________________________________________________________________
6
Zadanie 6
.
'! !
n
m
m
X
X
X
X
,...,
,
,...,
1
1
'&
)
,
(
2
N
. Niech
m
i
i
m
X
m
X
1
1
/ & / '2
n
i
i
n
X
n
X
1
1
/ & '
Oblicz
n
i
n
i
m
i
m
i
X
X
X
X
E
r
1
2
1
2
)
(
)
(
.
(A)
n
m
r
(B)
2
1
n
m
r
(C)
1
n
m
r
(D)
1
1
n
m
r
(E)
n
m
r
1
13.04.2002
r
.
___________________________________________________________________________
7
Zadanie 7
Niech
n
X
X ,...,
1
'& # /
.
0
0
;
0
)
(
x
dla
x
dla
e
x
f
x
Parametr
0
jest nieznany. Niech
n
i
i
X
n
X
1
1
.
. 3& c !
2
)
( X
c
estymatorem wariancji pojedynczej
zmiennej
i
X .
(A)
n
n
c
1
(B)
n
n
c
1
(C)
1
c
(D) Nie istnieje taka liczba c
(E)
1
n
n
c
13.04.2002
r
.
___________________________________________________________________________
8
Zadanie 8
1!
( (
100
2
1
,...,
,
X
X
X
2
,
N
&
wart
/ & & i &
2
. ! ! & !
' /
95
.
0
1
dla
:
10
96
.
1
,
10
96
.
1
X
X
.
%
/
100
2
1
,...,
,
X
X
X
& &
&
10
/
1
)
,
(
j
i
X
X
Corr
dla wszystkich
j
i
.
4
/
10
96
.
1
10
96
.
1
Pr
X
X
c
.
5
/ &do 0.01).
(A)
99
.
0
c
(B)
97
.
0
c
(C)
45
.
0
c
(D)
90
.
0
c
(E)
85
.
0
c
13.04.2002
r
.
___________________________________________________________________________
9
Zadanie 9
Niech X
& & # 0
dystrybuancie
.
0
0
;
0
1
)
(
x
dla
x
dla
x
x
F
6 ! (
1
:
0
H
przeciwko alternatywie
101
:
1
H
na
/
01
.
0
.
Wyznacz moc tego testu.
(A) moc
805
.
0
(B)
moc
005
.
0
(C)
moc
020
.
0
(D)
moc
915
.
0
(E) moc
505
.
0
13.04.2002
r
.
___________________________________________________________________________
10
Zadanie 10
6
!
# ( 7
,...
,...
,
1
0
n
X
X
X
o trzech stanach: „1” , „2” i ,,3’’ który ma
& &
#
/ )
3
/
2
0
3
/
1
3
/
2
0
3
/
1
0
2
/
1
2
/
1
P
.
5
/
ij
P
& i -tym wierszu i j -tej kolumnie tej macierzy oznacza
)
|
Pr(
1
i
X
j
X
n
n
8 . '! !
6
/
1
)
1
Pr(
0
X
, 3
/
1
)
2
Pr(
0
X
i
2
/
1
)
3
Pr(
0
X
. Oblicz
)
2
|
1
Pr(
lim
1
n
n
X
X
.
(A) 5
/
2
)
2
|
1
Pr(
lim
1
n
n
X
X
(B) 6
/
1
)
2
|
1
Pr(
lim
1
n
n
X
X
(C) 36
/
13
)
2
|
1
Pr(
lim
1
n
n
X
X
(D) )
2
|
1
Pr(
lim
1
n
n
X
X
nie istnieje
(E) 3
/
1
)
2
|
1
Pr(
lim
1
n
n
X
X
13.04.2002
r
.
___________________________________________________________________________
11
XXV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 kwietnia 2002 r.
Arkusz odpowiedzi
*
9
............................ K L U C Z O D P O W I E D Z I ..................................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
4 3 Punktacja
1 A
2 C
3 D
4 B
5 B
6 D
7 E
8 C
9 E
10 C
*
szczone w Arkuszu odpowiedzi.