CHARAKTERYSTYKI CZASOWE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH
Zadanie 1 Charakterystyki czasowe układów.
Problem:
Wyznaczyć odpowiedz skokową i impulsową całkującego z inercją
s
sT
k
s
G
)
1
(
)
(
+
=
(1)
s
sT
k
s
X
s
Y
s
G
)
1
(
)
(
)
(
)
(
+
=
=
(2)
s
1
;
1
=
= T
k
(3)
Odpowiedź skokową
wyznacza się ze wzoru:
( )
( )
{
}
)
(
1
s
X
s
G
L
t
h
−
=
( )
( )
=
−
s
s
G
L
t
h
1
gdzie:
s
X
1
)
(
=
jest skokiem
jednostkowym
Odpowiedź skokowa
+
=
−
)
1
(
1
)
(
1
sT
s
k
s
L
t
h
(4)
+
=
−
)
1
(
)
(
2
1
sT
s
k
L
t
h
(5)
Rozkładamy na ułamki proste
)
1
(
1
)
1
(
2
2
2
+
⋅
+
+
+
=
+
Ts
s
Ts
C
s
B
s
A
Ts
s
k
(6)
(7)
2
)
1
(
)
1
(
*
Cs
Ts
Bs
Ts
A
k
+
+
+
+
=
(8)
A
B
AT
s
C
B
s
k
+
+
+
+
=
)
(
)
(
2
(9)
=
=
+
=
+
k
A
B
AT
C
B
0
0
(10)
=
−
=
−
=
k
A
AT
B
B
C
+
+
−
=
−
1
)
(
2
1
Ts
kT
s
kT
s
k
L
t
h
(11)
T
t
kTe
kT
kt
t
h
−
+
−
=
)
(
(12)
−
−
=
−
T
t
e
T
t
k
t
h
1
)
(
(13)
Odpowiedź impulsowa:
+
=
−
)
1
(
)
(
1
sT
s
k
L
t
g
(14)
Rozkładamy na ułamki proste
)
1
(
1
)
1
(
+
⋅
+
+
=
+
Ts
s
Ts
B
s
A
Ts
s
k
(15)
g
(16)
Bs
Ts
A
k
+
+
=
)
1
(
L
g
=
A
B
AT
s
k
+
+
=
)
(
(17)
(18)
+
=
=
B
AT
k
A
0
(19)
=
−
=
B
kT
k
A
Odpowiedź impulsowa
wyznacza się ze wzoru:
( )
{
}
)
(
*
)
(
1
s
X
s
G
L
t
−
=
( )
{
}
( )
{
}
s
G
t
s
G
L
t
g
1
1
)
(
1
*
)
(
−
−
=
gdzie:
1
)
(
=
s
X
jest transformatą
impulsu Diraca (x(t)=
δ
(t))
1
)
1
(
+
−
+
=
+
Ts
kT
s
k
Ts
s
k
(20)
+
−
+
=
−
1
)
(
1
Ts
AT
s
k
L
t
g
(21)
T
t
kTe
k
t
g
−
−
=
)
(
(22)
)
1
(
)
(
T
t
Te
k
t
g
−
−
=
(23)
Odpowiedź liniowa
+
=
−
2
1
1
)
1
(
)
(
s
sT
s
k
L
t
y
(24)
+
=
−
)
1
(
)
(
3
1
sT
s
k
L
t
y
(25)
Rozkładamy na ułamki proste
)
1
(
1
)
1
(
3
2
3
3
+
⋅
+
+
+
+
=
+
Ts
s
Ts
D
s
C
s
B
s
A
Ts
s
k
(26)
(27)
A
s
B
AT
s
C
BT
s
CT
D
k
+
+
+
+
+
+
=
)
(
)
(
)
(
2
3
Odpowiedz liniową oblicza
się ze wzoru:
{
}
)
(
)
(
)
(
1
s
X
s
G
L
t
y
−
=
( )
=
−
2
1
)
(
s
s
aG
L
t
y
gdzie:
„a” jest to wartość stała,
prędkość narastania sygnału
a
s
s
X
*
1
)
(
2
=
(28)
=
+
=
+
=
+
=
0
0
0
CT
D
c
BT
B
AT
k
A
(28)
−
=
⇒
=
+
=
⇒
=
+
−
−
=
⇒
=
+
=
2
2
0
0
0
kT
D
kT
D
kT
C
C
kT
kT
B
B
kT
k
A
1
)
1
(
2
2
3
3
+
−
+
−
=
+
Ts
kT
s
kT
s
kT
s
kT
Ts
s
k
(30)
+
−
+
−
=
−
1
)
(
2
2
3
1
Ts
kT
s
kT
s
kT
s
kT
L
t
y
(31)
−
+
−
=
−
T
t
e
T
T
t
T
t
k
t
y
2
2
*
2
)
(
(32)
−
+
−
=
−
T
t
e
T
T
t
T
t
kT
t
y
1
2
)
(
2
2
2
(33)
Rys. 1 Odpowiedz skokowa.
R
ys. 2 Odpowiedź impulsowa.
Rys. 3 Odpowiedź liniowa
Zadanie 2 Charakterystyki czasowe układów.
Problem:
Wyznaczyć odpowiedz skokową i impulsową obiektu różniczkowego z inercją (przy wyznaczeniu
odpowiedzi impulsowej rząd względny funkcji wymiernej , której orginał ma być wyznaczony wynosi zero ,
w związku z czym nie można bezpośrednio zastosować wzoru na transformatę odwrotną).
sT
sk
s
G
+
=
1
)
(
(1)
sT
sk
s
X
s
Y
s
G
+
=
=
1
)
(
)
(
)
(
(2)
1
;
1
=
= T
k
(3)
Odpowiedź skokowa
+
=
−
sT
sk
s
L
t
h
1
1
)
(
1
(4)
L
+
=
−
sT
k
L
t
h
1
)
(
1
(5)
Odpowiedź skokową
wyznacza się ze wzoru:
( )
( )
{
}
)
(
*
1
s
X
s
G
L
t
h
−
=
( )
( )
=
−
s
s
G
t
h
1
gdzie:
s
s
X
1
)
(
=
jest skokiem
jednostkowym
+
=
−
s
T
T
k
L
t
h
1
)
(
1
(6)
T
t
e
T
k
t
h
−
=
)
(
(7)
Odpowiedź impulsowa
+
=
−
sT
sk
L
t
g
1
)
(
1
(8)
+
−
+
=
−
sT
T
k
T
k
T
k
T
L
t
g
1
)
(
1
(9)
L
g
=
+
−
+
+
=
−
sT
T
k
sT
sT
T
k
L
t
g
1
1
1
)
(
1
(10)
+
−
=
−
sT
T
k
T
k
L
t
g
1
)
(
1
(11)
T
t
e
T
k
t
T
k
t
g
−
−
=
)
(
)
(
δ
(12)
)
)
(
(
)
(
T
t
e
t
T
k
t
g
−
−
=
δ
(13)
Odpowiedź liniowa
+
=
−
2
1
1
*
)
1
(
)
(
s
sT
sk
L
t
y
(14)
+
=
−
)
1
(
)
(
1
sT
s
k
L
t
y
(15)
+
=
−
)
1
(
)
(
1
s
T
sT
k
L
t
y
(16)
)
(t
δ
- impuls Diraca
natomiast
{ }
)
(
1
t
L
T
k
δ
=
−
{ }
T
t
e
L
sT
−
+
−
=
1
1
1
Odpowiedz liniowa oblicza się
ze wzoru
gdzie:
„a” jest to wartość stała, jest to
prędkość narastania sygnału
linowego
a
s
s
X
2
1
)
(
=
:
{
}
)
(
)
(
)
(
1
s
X
s
G
L
t
y
−
=
( )
=
−
2
1
)
(
s
s
aG
L
t
y
Odpowiedź impulsową
wyznacza się ze wzoru:
gdzie:
jest transformatą
impulsu Diraca
( )
{
}
)
(
*
)
(
1
s
X
s
G
L
t
g
−
=
( )
{
}
( )
{
}
s
G
t
s
G
L
t
g
1
1
)
(
1
*
)
(
−
−
=
1
)
(
=
s
X
Rozkładamy na ułamki proste
)
1
(
1
)
1
(
s
T
sT
s
T
B
sT
A
s
T
sT
k
+
⋅
+
+
=
+
(17)
BsT
s
T
A
k
+
+
=
)
1
(
(18)
T
A
s
BT
A
k
+
+
=
)
(
(19)
A
kT
T
A
k
=
⇒
=
(20)
T
A
B
A
BT
−
=
⇒
=
+
0
(21)
k
B
T
T
k
B
−
=
⇒
−
=
(22)
s
T
k
sT
kT
s
T
sT
k
+
−
=
+
1
)
1
(
(23)
)
1
(
)
(
T
t
T
t
e
k
ke
k
t
y
−
−
−
=
−
=
(24)
Rys. 1 Odpowiedź skokowa.
Rys. 2 Odpowiedź impulsowa.
Rys. 3 Odpowiedź liniowa
Zadanie 3 (charakterystyki czasowe układów)
Problem:
Obliczyć charakterystykę skokową i impulsową układu dynamicznego o transmitancji
s
s
G
5
)
(
=
Rozwiązanie:
Transformata wymuszenia skokowego
[ ]
.
1
)
(
s
t
L
=
1
Transformata odpowiedzi skokowej
.
5
)
(
1
)
(
2
s
s
G
s
s
H
=
=
Stosując odwrotne przekształcenie Laplace’a albo korzystając z tablicy transformat, łatwo znajdziemy
charakterystykę skokową
[
]
)
(
5
5
)
(
)
(
2
1
1
t
t
s
L
s
H
L
t
h
1
=
=
=
−
−
Transmitancja członu
całkującego
Patrz tablice transformat
dla t = 0[s]
h(t) = 0
dla t = 0,2[s]
h(t) = 1
dla t = 0,4[s]
h(t) = 2
dla t = 0,6[s]
h(t) = 3
dla t = 0,8[s]
h(t) = 4
dla t = 1[s]
h(t) = 5
Charakterystykę impulsową znajdziemy stosując wzór:
[
]
)
(
5
)
(
5
)
(
)
(
t
t
t
dt
d
t
h
dt
d
t
g
1
1
=
=
=
.
)
(
5
)
(
t
t
g
1
=
Charakterystyka impulsowa
jest pochodną odpowiedzi
skokowej.
Rys.5.1 Charakterystyka skokowa
Rys.5.2 Charakterystyka impulsowa
Zadanie 4 (charakterystyki czasowe układów)
Problem:
Obliczyć charakterystykę skokową i impulsową układu dynamicznego o transmitancji
)
2
3
)(
1
2
(
1
)
(
+
+
=
s
s
s
G
Rozwiązanie:
Transformata wymuszenia skokowego
[ ]
.
1
)
(
s
t
L
=
1
Transformata odpowiedzi skokowej
.
)
2
3
)(
1
2
(
1
)
(
1
)
(
+
+
=
=
s
s
s
s
G
s
s
H
Stosując odwrotne przekształcenie Laplace’a albo korzystając z tablicy transformat, łatwo znajdziemy
charakterystykę skokową
[
]
)
(
2
3
2
2
1
)
2
3
)(
1
2
(
1
)
(
)
(
3
2
2
1
1
1
t
e
e
s
s
s
L
s
H
L
t
h
t
t
1
−
−
=
+
+
=
=
−
−
−
−
dla t = 0[s]
h(t) = 0
dla t = 2[s]
h(t) = 0,160
dla t = 4[s]
h(t) = 0,334
dla t = 6[s]
h(t) = 0,428
dla t = 8[s]
h(t) = 0,471
dla t = 10[s]
h(t) = 0,488
dla t = 12[s]
h(t) = 0,496
Charakterystykę impulsową znajdziemy stosując wzór:
−
+
−
−
=
−
−
=
=
−
−
−
−
)
(
3
2
)
(
2
3
)
(
2
1
)
(
2
)
(
2
1
)
(
2
3
2
2
1
)
(
)
(
3
2
2
1
3
2
2
1
t
t
e
t
t
e
t
t
e
e
dt
d
t
h
dt
d
t
g
t
t
t
t
1
1
1
δ
δ
δ
.
dla t = 0[s]
g(t) = 0
dla t = 2[s]
g(t) = 0,104
dla t = 4[s]
g(t) = 0,066
dla t = 6[s]
g(t) = 0,031
Charakterystyka impulsowa
jest pochodną odpowiedzi
skokowej.
Transmitancja członu
inercyjnego II rzędu
b
a
e
b
e
a
b
a
ab
s
b
s
a
s
L
bt
at
≠
−
−
+
=
+
+
−
−
−
1
1
1
1
)
)(
(
1
1
Impuls Diraca
δ(t) jest
pochodna skoku
jednostkowego.
=
∞
≠
=
0
0
0
)
(
t
dla
t
dla
t
δ
dla t = 8[s]
g(t) = 0,013
dla t = 10[s]
g(t) = 0,005
dla t = 12[s]
g(t) = 0,002
Rys.6.1 Charakterystyka skokowa
Rys.6.2 Charakterystyka impulsowa
Zadanie 5 (charakterystyki czasowe układów)
Problem:
Znaleźć zależność między parametrami charakterystyki czasowej elementu oscylacyjnego i
współczynnikami liczbowymi występującymi we wzorze na transmitancję operatorową.
1
2
1
)
(
2
2
+
+
=
Ts
s
T
s
F
ξ
.
Jak wyznaczyć k, T i
ξ na podstawie danej charakterystyki czasowej?
Rozwiązanie:
Równanie charakterystyki czasowej elementu oscylacyjnego dla wymuszenia skokowego x = x
0
1(t)
wynika z następujących przekształceń:
(
)
[
]
=
+
+
=
⋅
+
+
=
0
2
0
2
0
0
2
2
1
2
)
(
ϖ
δ
ξ
s
s
T
kx
s
x
Ts
s
T
k
s
Y
(
)
(
)
2
0
2
0
0
2
0
2
0
0
1
ϖ
δ
δ
ϖ
δ
ϖ
+
+
+
+
+
+
+
=
s
s
C
s
B
s
A
δ
0
+
ϖ
0
znajdujemy z warunku:
(
)
2
2
2
0
2
0
0
2
2
0
2
0
1
2
2
T
s
T
s
s
s
s
+
+
=
+
+
+
=
+
+
ξ
ϖ
δ
δ
ϖ
δ
T
ξ
δ
=
0
2
2
0
2
0
1
T
=
+
ϖ
δ
(
)
2
2
2
0
1
1
ξ
ϖ
−
=
T
Stałe A, B, C wynoszą
A = kx
0
2
0
0
0
0
1
ξ
ξ
ω
δ
−
−
=
−
=
kx
kx
B
0
kx
C
−
=
Równanie charakterystyki czasowej mając postać
⋅
−
⋅
−
−
=
⋅
−
⋅
−
t
e
t
e
kx
t
y
t
t
0
0
2
0
cos
sin
1
1
)
(
0
0
ϖ
ϖ
ξ
ξ
δ
δ
przekształcamy do postaci
+
−
−
=
−
)
sin(
1
1
)
(
0
2
0
0
ϕ
ω
ξ
δ
t
e
kx
t
y
t
kąt
ϕ
znajdujemy z warunku:
t
t
t
t
t
0
2
0
0
0
0
cos
1
sin
cos
sin
sin
cos
)
sin(
ϖ
ξ
ϖ
ξ
ϖ
ϕ
ϖ
ϕ
ϕ
ϖ
+
+
=
=
⋅
+
⋅
=
+
(
)
0
cos
1
sin
sin
)
(cos
0
2
0
=
⋅
−
−
+
−
t
t
ϖ
ξ
ϕ
ϖ
ξ
ϕ
ξ
ϕ
=
cos
1
≤
ξ
2
1
sin
ξ
ϕ
−
=
ξ
ξ
ϕ
2
1
−
=
tg
.
Zadanie 6 (
Charakterystyki czasowe układów)
Problem:
Wyznaczyć odpowiedź układu przy zerowych warunkach początkowych, jeżeli dana jest transformata G (s)
oraz sygnał wejściowy e(t).
( )
6
5
2
2
+
+
−
=
s
s
s
s
G
( )
)
(
1
)
sin(
5
t
t
t
e
=
Rozwiązanie:
Oznaczamy przez y (t) sygnał wejściowy.
Wykorzystując definicje transmitancji,
znajdujemy:
( )
( ) ( )
s
E
s
G
s
Y
⋅
=
( )
( ) ( )
{
s
E
s
G
L
t
y
1
−
=
}
(1)
Powstaje zależność
( )
{
}
1
5
)
sin(
5
2
1
+
=
=
−
s
t
L
s
E
(2)
Transformata Lapace’a
ω
ω
ω
+
=
−
2
1
)
(sin
s
t
L
Podstawiając równanie (2) oraz transmitancje od
definicji transmitancji otrzymujemy
Otrzymujemy równanie:
( )
(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)(
)
+
−
+
=
−
−
+
−
=
−
+
+
−
=
−
−
−
1
1
2
5
1
2
2
2
5
1
6
5
2
5
1
2
1
2
2
1
s
s
s
L
s
s
s
s
L
s
s
s
s
L
t
y
(3)
Wykonujemy przekształcenia matematyczne
(
)(
2
1
2
x
x
x
x
a
c
bx
ax
−
−
=
+
+
)
przy czym x
1
i x
2
to pierwiastki rów. kwadratowego, po czym skracamy z licznik
z mianownikiem.
Równanie (4)
Rozkład funkcji na ułamki
proste w celu wykonania
odwrotnego
przekształcenia Lapace’a,
tabela z transformatami
została dodana do zadania
( ) ( )
(
)
j
s
k
j
s
k
s
k
s
s
s
Y
+
+
−
+
+
=
+
+
=
3
2
1
2
2
1
2
5
Równanie (5)
1
1
5
lim
2
2
1
=
+
=
−
→
s
k
s
Równanie (6)
(
)(
) (
)
(
)
(
)
j
j
j
j
j
s
s
j
s
2
1
2
1
1
2
2
5
2
2
5
2
5
lim
2
+
−
=
−
=
+
=
+
+
=
−
→
k
Postać
współczynników
rozkładu funkcji
Równanie (7)
(
)
j
k
k
2
1
2
1
*
3
2
−
−
=
=
Równanie (8)
( )
(
)
(
)
t
t
e
e
j
e
t
y
t
jt
t
sin
2
cos
2
1
2
1
Re
2
2
2
+
−
=
+
−
+
=
−
−
0
≥
t
Odpowiedz układu przy zerowych warunkach
początkowych jest więc następująca, po
zastosowaniu transformaty Lapace’a
Zadanie 7 (
Charakterystyki czasowe układów)
Problem:
Wyznaczyć odpowiedź układu przy zerowych warunkach początkowych, jeżeli dana jest transformata G (s)
oraz sygnał wejściowy e(t).
( )
36
1
2
+
+
=
s
s
s
G
( )
( )
t
e
t
e
t
1
2
⋅
=
−
Rozwiązanie:
Oznaczamy przez y (t) sygnał wejściowy.
Równanie (1)
( )
( ) ( )
{
}
s
E
s
G
L
t
y
1
−
=
Powstaje zależność
Równanie (2)
( )
{ }
2
1
2
+
=
=
−
s
e
L
s
E
t
Równanie (3)
( )
(
)
(
)
+
⋅
+
+
=
−
2
36
1
2
1
s
s
s
L
t
y
Wykorzystując definicje transmitancji,
znajdujemy:
Transformata Lapace’a
2
1
−
=
s
e
at
Podstawiając równanie (2) oraz
transmitancje od definicji transmitancji
otrzymujemy
Równanie (4)
( )
(
)
(
)
6
6
2
2
1
36
1
3
2
1
2
j
s
k
j
s
k
s
k
s
s
s
s
Y
+
+
−
+
+
=
+
⋅
+
+
=
Rozkład funkcji na ułamki
proste w celu wykonania
odwrotnego
przekształcenia Lapace’a,
tabela z transformatami
została dodana do zadania
Równanie (5)
40
1
36
1
lim
2
2
1
=
+
+
=
−
→
s
s
k
s
Równanie (6)
Postać
współczynników
rozkładu funkcji
(
)(
)
240
19
3
6
2
1
lim
6
2
j
j
s
s
s
k
j
s
−
=
+
+
+
=
−
→
Równanie (7)
240
19
3
*
3
2
j
k
k
+
=
=
Równanie (8)
( )
+
+
−
=
+
+
−
=
−
−
t
t
e
e
j
e
t
y
t
j
t
6
sin
120
19
6
cos
40
1
40
1
240
19
3
Re
2
40
1
2
6
2
Odpowiedz układu przy zerowych warunkach
początkowych jest więc następująca, po
zastosowaniu transformaty Lapace’a
0
≥
t