2. GRANICE FUNKCJI
2.1. Podstawowe definicje
Niech X ⊂ R, X 6= ∅.
Definicja 2.1.
Niech x
0
∈ R.
• Sąsiedztwem punktu x
0
nazywamy każdy zbiór postaci
S(x
0
) = (a, x
0
) ∪ (x
0
, b),
gdzie a, b ∈ R, a < x
0
< b. Zbiory: S
−
(x
0
) = (a, x
0
) oraz S
+
(x
0
) = (x
0
, b) nazywamy odpowiednio
lewostronnym i prawostronnym sąsiedztwem punktu x
0
.
• Otoczeniem punktu x
0
nazywamy każdy zbiór postaci
U (x
0
) = S(x
0
) ∪ {x
0
}.
Zbiory: U
−
(x
0
) = S
−
(x
0
) ∪ {x
0
},
U
+
(x
0
) = S
+
(x
0
) ∪ {x
0
} nazywamy odpowiednio lewostronnym i
prawostronnym otoczeniem punktu x
0
.
• Sąsiedztwem −∞ nazywamy zbiór
S(−∞) = (−∞, b), gdzie b ∈ R.
• Sąsiedztwem +∞ nazywamy zbiór
S(+∞) = (a, +∞), gdzie a ∈ R.
Definicja 2.2.
• Mówimy, że punkt x
0
∈ R jest punktem skupienia zbioru X, jeśli istnieje ciąg (x
n
) taki, że
{x
n
} ⊂ X \ {x
0
} oraz
lim
n→∞
x
n
= x
0
.
• Jeśli dodatkowo wiadomo, że x
n
> x
0
dla n ∈ N (x
n
< x
0
dla n ∈ N), to x
0
nazywamy prawostronnym
(lewostronnym) punktem skupienia zbioru X.
• Punkty zbioru, które nie są jego punktami skupienia nazywamy punktami izolowanymi.
Zbiór punktów skupienia zbioru X oznaczamy przez X
d
. Zbiór prawostronnych (lewostronnych) punktów
skupienia zbioru X oznaczamy przez X
d+
(X
d−
).
Definicja 2.3 (definicja Heinego granicy funkcji w +∞).
Niech f : X → R, zaś X będzie zbiorem
nieograniczonym z dołu.
• Mówimy, że liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +∞, gdy
∧
(x
n
), {x
n
}⊂X
[ lim
n→∞
x
n
= +∞
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x→+∞
f (x) = g
• Mówimy, że funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą +∞, gdy
∧
(x
n
), {x
n
}⊂X
[ lim
n→∞
x
n
= +∞
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = +∞].
Zapisujemy
2007, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI
9
lim
x→+∞
f (x) = +∞
• Mówimy, że funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą −∞, gdy
∧
(x
n
), {x
n
}⊂X
[ lim
n→∞
x
n
= +∞
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = −∞].
Zapisujemy
lim
x→+∞
f (x) = −∞
Analogicznie definiujemy granice:
lim
x→−∞
f (x) = g,
lim
x→−∞
f (x) = +∞ oraz
lim
x→−∞
f (x) = −∞.
Definicja 2.4 (definicja Heinego granicy funkcji w punkcie).
Niech f : X → R oraz x
0
∈ X
d
.
• Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w x
0
, gdy
∧
(x
n
), {x
n
}⊂X\{x
0
}
[ lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x→x
0
f (x) = g
• Funkcja f posiada w x
0
granicę niewłaściwą +∞, gdy
∧
(x
n
), {x
n
}⊂X\{x
0
}
[ lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = +∞].
Zapisujemy
lim
x→x
0
f (x) = +∞
Analogicznie definiujemy granicę: lim
x→x
0
f (x) = −∞.
Definicja 2.5.
Niech f : X → R.
• Niech x
0
∈ X
d−
. Liczba g jest lewostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x
0
, gdy
∧
(x
n
), {x
n
}⊂X∩(−∞,x
0
)
[ lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x→x
−
0
f (x) = g lub f (x
−
0
) = g
• Niech x
0
∈ X
d+
. Liczba g jest prawostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x
0
, gdy
∧
(x
n
), {x
n
}⊂X∩(x
0
,+∞)
[ lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x→x
+
0
f (x) = g lub f (x
+
0
) = g
2007, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI
10
Analogicznie definiujemy lewostronną i prawostronną granicę niewłaściwą funkcji w punkcie.
Definicja 2.6 (definicja Cauchy’ego granicy funkcji w +∞).
Niech f : X → R oraz niech X będzie zbiorem
nieograniczonym z góry.
• Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +∞, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x∈X
[x > δ
⇒
|f (x) − g| < ε].
• Funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą +∞, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x∈X
[x > δ
⇒
f (x) > ε].
• Funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą −∞, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x∈X
[x > δ
⇒
f (x) < −ε].
Podobnie definiujemy granicę właściwą i niewłaściwą w −∞.
Definicja 2.7 (definicja Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie).
Niech f : X → R oraz x
0
∈ X
d
.
• Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x
0
, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x∈X
[0 < |x − x
0
| < δ
⇒
|f (x) − g| < ε].
• Funkcja f ma w punkcie x
0
granicę niewłaściwą +∞, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x∈X
[0 < |x − x
0
| < δ
⇒
f (x) > ε].
• Funkcja f ma w punkcie x
0
granicę niewłaściwą −∞, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x∈X
[0 < |x − x
0
| < δ
⇒
f (x) < −ε].
Twierdzenie 2.8.
Odpowiadające sobie definicje Heinego i Cauchy’ego granic funkcji są równoważne.
Twierdzenie 2.9 (warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy funkcji w punkcie).
Jeśli
x
0
∈ X
d−
∩ X
d+
, to
lim
x→x
0
f (x) = g
⇔
lim
x→x
−
0
f (x) = lim
x→x
+
0
f (x) = g.
2.2. Twierdzenia o granicach funkcji
Przedstawione poniżej twierdzenia o granicach funkcji (tzn. twierdzenia 2.10 − 2.14) zachodzą zarówno
dla granic w punkcie, jak i dla granic jednostronnych oraz granic w +∞ i −∞.
Twierdzenie 2.10 (arytmetyka granic właściwych funkcji).
Jeśli f, g : X → R, lim
x→x
0
f (x) = a oraz
lim
x→x
0
g(x) = b, to
a) lim
x→x
0
(c · f (x)) = c · a dla dowolnego c ∈ R;
b) lim
x→x
0
(f (x) ± g(x) = a ± b;
c) lim
x→x
0
(f (x) · g(x)) = a · b;
d) lim
x→x
0
f (x)
g(x)
=
a
b
, o ile b 6= 0;
e) lim
x→x
0
(g(x))
f (x)
= b
a
, o ile b > 0 i a 6= 0.
2007, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI
11
Twierdzenie 2.11 (arytmetyka granic niewłaściwych funkcji).
a + ∞ = +∞ dla −∞ < a ¬ +∞
a · (+∞) = +∞ dla −∞ < a ¬ +∞
a
∞
= 0 dla −∞ < a < +∞
a
0
+
= +∞ dla 0 < a ¬ +∞
b
∞
= 0 dla 0
+
¬ b < 1,
b
∞
= +∞ dla 1 < b ¬
+∞
∞
a
= 0
dla
−∞ ¬ a < 0,
∞
a
= +∞
dla
0 < a ¬ +∞
Twierdzenie 2.12 (o granicy funkcji złożonej).
Niech f : X → Y ⊂ R, g : Y → R. Jeśli spełnione są
warunki:
(1)
lim
x→x
0
f (x) = a,
(2)
f (x) 6= a dla każdego x ∈ S(x
0
),
(3)
lim
t→a
g(t) = b,
to lim
x→x
0
g(f (x)) = b.
Twierdzenie 2.13 (o trzech funkcjach).
Jeśli funkcje f, g, h : X → R spełniają warunki:
(1)
∧
x∈S(x
0
)
f (x) ¬ g(x) ¬ h(x),
(2)
lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
h(x) = a,
to lim
x→x
0
g(x) = a.
Twierdzenie 2.14 (o dwóch funkcjach).
Niech f, g : X → R oraz
∧
x∈S(x
0
)
f (x) ¬ g(x).
a) Jeśli lim
x→x
0
f (x) = +∞, to lim
x→x
0
g(x) = +∞.
b) Jeśli lim
x→x
0
g(x) = −∞, to lim
x→x
0
f (x) = −∞.
Twierdzenie 2.15.
lim
x→0
sin x
x
= 1.
Twierdzenie 2.16.
lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e.
2007, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI
12
2.3. Asymptoty funkcji
Definicja 2.17.
Niech f : X → R, x
0
∈ X
d
.
• Prostą o równaniu x = x
0
nazywamy prawostronną asymtotą pionową wykresu funkcji f , jeśli
lim
x→x
+
0
f (x) = −∞ albo
lim
x→x
+
0
f (x) = +∞.
• Prostą o równaniu x = x
0
nazywamy lewostronną asymtotą pionową wykresu funkcji f , jeśli
lim
x→x
−
0
f (x) = −∞ albo
lim
x→x
−
0
f (x) = +∞.
• Prostą o równaniu x = x
0
nazywamy obustronną asymtotą pionową wykresu funkcji f (lub krótko
asymptotą pionową), jeśli jest jednocześnie jego lewostronną i prawostronną asymptotą pionową.
Definicja 2.18.
Niech f : X → R.
• Załóżmy, że X jest zbiorem nieograniczonym z góry. Prostą o równaniu y = ax+b nazywamy asymptotą
ukośną wykresu funkcji f w +∞, gdy
lim
x→+∞
[f (x) − (ax + b)] = 0.
• Załóżmy, że X jest zbiorem nieograniczonym z dołu. Prostą o równaniu y = ax+b nazywamy asymptotą
ukośną wykresu funkcji f w −∞, gdy
lim
x→−∞
[f (x) − (ax + b)] = 0.
• Jeśli a = 0 to odpowiednią asymptotę ukośną nazywamy asymptotą poziomą.
Twierdzenie 2.19.
a) Prosta o równaniu y = Ax + B jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w +∞ ⇔
A = lim
x→+∞
f (x)
x
oraz
B = lim
x→+∞
(f (x) − Ax).
b) Prosta o równaniu y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w −∞ ⇔
a = lim
x→−∞
f (x)
x
oraz
b = lim
x→−∞
(f (x) − ax).
2.4. Ciągłość funkcji
Definicja 2.20.
Niech f : X → R, x
0
∈ X.
• Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
, gdy
x
0
/
∈ X
d
albo
lim
x→x
0
f (x) = f (x
0
).
• Mówimy, że funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x
0
, gdy
x
0
/
∈ X
d−
albo
lim
x→x
−
0
f (x) = f (x
0
).
• Mówimy, że funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x
0
, gdy
x
0
/
∈ X
d+
albo
lim
x→x
+
0
f (x) = f (x
0
).
Zbiór punktów ciągłości funkcji f oznaczamy przez C
f
.
Zbiór punktów prawostronnej (lewostronnej)
ciągłości funkcji f oznaczamy przez C
+
f
(C
−
f
).
Twierdzenie 2.21 (warunek konieczny i wystarczający ciągłości funkcji).
Niech f : X → R oraz
x
0
∈ X. Funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy f jest lewostronnnie i prawostronnie
ciągła w punkcie x
0
.
2007, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI
13
Definicja 2.22.
Niech f : X → R, A ⊂ X. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w zbiorze A, gdy jest ciągła
w każdym punkcie tego zbioru. Jeśli A = D
f
, to krótko mówimy, że f jest ciągła.
Definicja 2.23 (rodzaje nieciągłości).
Niech f : X → R, x
0
∈ X \ C
f
.
• x
0
nazywamy punktem nieciągłości funkcji f pierwszego rodzaju, jeśli granice jednostronne:
lim
x→x
−
0
f (x) oraz lim
x→x
+
0
f (x), istnieją i są skończone.
• x
0
nazywamy punktem nieciągłości funkcji f drugiego rodzaju, jeśli przynajmniej jedna z granic
jednostronnych nie istnieje lub jest nieskończona.
Twierdzenie 2.24.
Jeśli funkcje f, g : X → R są ciągłe, to ciągłe są również funkcje
|f | , f + g, f · g oraz
f
g
(o ile g(x) 6= 0 dla x ∈ X).
Twierdzenie 2.25.
Jeśli funkcje f : X → Y, g : Y → R są ciągłe, to ciągła jest funkcja g ◦ f.
Twierdzenie 2.26.
Jeśli funkcja f : X → R jest ciągła i różnowartościowa, to funkcja odwrotna f
−1
jest
ciągła.
Twierdzenie 2.27.
Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe.
2.5. Własności funkcji ciągłych.
Niech a, b ∈ R, a < b.
Twierdzenie 2.28 (o lokalnym zachowaniu znaku).
Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła oraz f (x
0
) > 0 dla pewnego x
0
∈ [a, b], to
∨
U (x
0
)
∧
x∈U (x
0
)
f (x) > 0.
Twierdzenie 2.29 (Weierstrassa – o osiąganiu najmniejszej i największej wartości).
Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła, to jest ograniczona na [a, b], przy czym istnieją punkty c
1
, c
2
∈ [a, b]
takie, że
∧
x∈[a,b]
f (c
1
) ¬ f (x) ¬ f (c
2
).
Twierdzenie 2.30 (Darboux – o przyjmowaniu wartości pośrednich).
Niech m = min[[a, b]] oraz M = max f [[a, b]].
Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła, to
∧
y∈[m,M ]
∨
x∈[a,b]
y = f (x).
2.6. Funkcje jednostajnie ciągłe
Definicja 2.31.
Niech f : X → R. Mówimy, że Funkcja f jest jednostajnie ciągła w zbiorze X, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x
1
,x
2
∈X
[ |x
1
− x
2
| < δ ⇒ |f (x
1
) − f (x
2
)| < ε ].
Twierdzenie 2.32.
Jeśli funkcja f : X → R jest jednostajnie ciągła w X, to jest ciągła w tym zbiorze.
Twierdzenie 2.33.
Niech a, b ∈ R, a < b oraz f : [a, b] → R. Jeśli funkcja f jest ciągła w [a, b] to jest
jednostajnie ciągła w tym przedziale.
2007, E. Kotlicka
Document Outline