www.it.pw.edu.pl/ztkut Laboratorium
Metrologii
1
Ćwiczenie nr 5
1. Tytuł ćwiczenia
WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK LICZBOWYCH ZMIENNYCH
LOSOWYCH NA PODSTAWIE DANYCH DOŚWIADCZALNYCH
2. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z podstawowymi metodami statystycznej oceny
wyników pomiarów otrzymanych na stanowisku kontroli produkcji.
W produkcji wielkoseryjnej i masowej jest niemożliwe sprawdzanie dokładności wykonania
każdego detalu, dlatego też sprawdzana jest dokładnie tylko pewna próbka n-elementowa
wybrana losowo z całej produkcji np. w danym dniu.
Ten sposób postępowania nazywa się statystyczną kontrolą jakości i stąd też wynika potrzeba
nabycia umiejętności wyznaczania charakterystyk liczbowych zmiennych losowych.
W ćwiczeniu dokonujemy analizy statystycznej określonej partii detali, o której chcemy się
dowiedzieć jak najwięcej czyli odpowiedzieć na pytania:
- czy wymiar poszczególnych detali mieści się w założonym polu tolerancji,
- czy rozkład wymiarów detali ma charakter rozkładu normalnego (w przybliżeniu).
W tym celu określamy charakterystyki statystyczne wyników pomiarów i weryfikujemy
hipotezy parametryczne o wartości przeciętnej i wariancji czyli testujemy hipotezy statystyczne.
Hipoteza statystyczna – dowolne przypuszczenia co do rozkładu populacji generalnej (jego
postaci funkcji lub wartości parametrów).
Test statystyczny – reguła postępowania, która każdej możliwej próbie przyporządkowuje
decyzje przyjęcia lub odrzucenia hipotezy.
3. Wprowadzenie teoretyczne
Rozważmy uzyskany w wyniku pomiarów ciąg n-elementowy wartości pewnej wielkości x,
którą będziemy utożsamiać ze zmienną losową. Wartości (x
1
, x
2
, .. x
n
) zmiennej losowej x
nazywamy próbą n-elementową .
Zadaniem opracowującego wyniki pomiarów jest znalezienie ocen (wartości przybliżonych) dla
charakterystyk liczbowych danej zmiennej losowej. Charakterystykami tymi są:
- wartość oczekiwana x,
- odchylenie standardowe
σ
x
,
- wariancja
σ
x
2
,
- momenty wyższych rzędów
µ
s
, m
s
,
- współczynnik asymetrii i spłaszczenia
γ
1
,
γ
2
.
Oceny tych charakterystyk, uzyskane na podstawie wyników pomiarów, oznaczamy tymi
samymi literami, co szukane charakterystyki, lecz z „wężykiem” u góry
2
~
,
~
,
~
x
x
x
σ
σ
itp.
Przy nieograniczonym wzroście liczebności próby n ocena powinna być zbieżna wg.
prawdopodobieństwa do ocenianego parametru.
Mając liczna próbę, elementy próby łączymy, grupując w klasach tworzących tzw.
uporządkowany szereg rozdzielczy
)
)
)
mcx
g
x
x
x
x
x
x
,
,
,
,
,
2
1
1
min
K
tablica.4.1.
Oceny wartości oczekiwanej wariancji i momentów wyższych rzędów dokonuje się wtedy w
sposób przybliżony korzystając ze wzorów:
(
)
i
n
i
i
i
n
i
i
P
x
x
P
x
x
⋅
−
=
⋅
=
∑
∑
=
∗
=
∗
2
1
1
~
~
,
~
σ
(4.1)
gdzie:
www.it.pw.edu.pl/ztkut Laboratorium Metrologii
2
∗
i
x - wartość średnia w i-tej klasie
P
i
– częstość (prawdopodobieństwo) zdarzeń w i-tej klasie
Tablica 4.1.
Nr klasy
1
2
....
10
Granice klasy
)
1
min
x
x
÷
2
1
x
x
÷
)
max
9
x
x
÷
Liczba elementów w klasie
m
1
m
2
m
10
Wartość średnia w klasie
∗
1
x
∗
2
x
∗
10
x
Częstość w klasie
n
m
P
i
i
=
P
1
P
2
P
10
Dystrybuanta w klasie
i
i
P
P
P
W
+
+
+
=
K
2
1
W
1
W
2
W
10
Korzystając z danych uzyskanych przy tworzeniu uporządkowanego szeregu rozdzielczego
wykonujemy wykresy (histogramy) empirycznych funkcji:
- gęstości prawdopodobieństwa (wykres zależności P
i
)
- dystrybuanty empirycznej W
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
Pi
0,25
0,5
0,75
1
Rys. 4.1. Przykładowy wykres gęstości prawdopodobieństwa
Wi
n
1
2 3 4 5 6 7
9
10
8
Rys. 4.2. Przykładowy rozkład dystrybuanty empirycznej
Dalszym etapem analizy jest weryfikacja hipotezy o wartości przeciętnej oraz weryfikacja
hipotezy o wariancji wraz ze znalezieniem przedziału ufności dla wartości przeciętnej.
www.it.pw.edu.pl/ztkut Laboratorium Metrologii
3
Weryfikacja hipotez
l. Weryfikacja hipotezy o wartości przeciętnej w populacji generalnej.
Hipotezę orzekającą, że wartość przeciętna m jest równa liczbie m
0
, zapisujemy
H
(m = m
0
). Jeśli zmienna losowa x ma rozkład normalny N (m,
σ
), przy czym
σ
jest znane
i przyjmujemy poziom istotności
α
, to korzystając z tabl. II [l], wyznaczamy
ε
α
takie, by:
α
ε
σ
α
≈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≥
−
n
m
x
P
~
Jeśli zaobserwowana (obliczona) w n-elementowej próbie wartość
x~
jest taka, że:
n
m
x
σ
ε
α
~
0
≥
−
,
to hipotezę H (m = m
0
) odrzucamy.
W przypadku, gdy:
n
m
x
σ
ε
α
~
0
<
−
,
to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H (m = m
0
).
Jeżeli nie ma podstaw do przyjęcia założenia, że cecha ma rozkład normalny, ale n > 30,
to w celu zweryfikowania hipotezy H (m = m
0
) można stosować postępowanie analogiczne jak
omówione wyżej, przy czym jako
σ
2
można przyjąć
2
~
σ
2. Weryfikacja hipotezy o wariancji.
Niech zmienna losowa x ma rozkład normalny, przy czym
σ
jest nie znane. Hipotezę
(
)
2
0
2
σ
σ
=
H
, tzn. że wariancja jest równa liczbie
2
0
σ
,
weryfikujemy, korzystając z faktu, że
zmienna losowa
(
)
2
1
2
0
2
0
2
2
~
1
~
∑
=
−
=
=
n
i
i
x
x
n
σ
σ
σ
χ
ma rozkład
χ
2
o n - l stopniach swobody. Przyjmujemy poziom istotności
α
. W tabl. IV [l]
znajdujemy
χ
2
α
takie, że
(
)
,
2
2
α
χ
χ
α
≈
≥
P
czyli
α
χ
σ
σ
α
=
≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
2
0
2
~
n
P
.
Hipotezę odrzucamy, jeśli
n
2
2
0
2
~
α
χ
σ
σ
≥
W przeciwnym przypadku hipotezę przyjmujemy.
3. Przedział, ufności.
Znajdowanie przedziału ufności dla wartości przeciętnej w rozkładzie normalnym, gdy jest
nieznana wariancja. Jeśli zmienna losowa x ma rozkład normalny N(m,
σ
) i
σ
jest nieznane, to
przedział ufności dla nieznanego również parametru m, wyznaczamy, korzystając z faktu, że
zmienna losowa
1
~
~
−
−
=
n
m
x
T
σ
ma rozkład
t Studenta, który jest stablicowany (tabl. III [l]).
www.it.pw.edu.pl/ztkut Laboratorium Metrologii
4
Dla prawdopodobieństwa 1-
α
(
α
- dany poziom istotności z tabl. III [l]) odczytujemy takie
ε
α
, że
α
ε
σ
α
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≤
−
−
1
1
~
n
m
x
P
Przedziałem ufności dla parametru
m jest
.
~
1
~
;
~
1
~
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
−
+
−
−
x
n
x
n
σ
ε
σ
ε
α
α
4. Przebieg ćwiczenia
Ćwiczenie wykonujemy w dwóch etapach
Etap pierwszy
1. Przy pomocy czujnika indukcyjno-analogowego Vistronik wykonać pomiar średnicy 50
wałeczków ø15 i 50 wałeczków ø10.
1
2
3
4
Czujnik indukcyjny
analogowy
Vistronik A1
Rys. 4.3
Schemat blokowy stanowiska pomiarowego: 1 – kontrolowany detal,
2 – czujnik indukcyjny, 3- podstawa pomiarowa, 4 – stół pomiarowy
2. Na podstawie pomiarów utworzyć uporządkowany szereg rozdzielczy próby składający
się z 10-ciu klas (tablica 4.1) szerokość klasy:
10
min
max
x
x
−
3. Narysować wykresy (histogramy) gęstości prawdopodobieństwa (częstość wystąpienia
wymiaru w danej klasie) oraz dystrybuanty empirycznej.
4. Na podstawie wzorów 4.1 obliczyć (oszacować) wartość oczekiwaną i wariancję
(wartości z tablicy 4.1).
Etap drugi
Weryfikując hipotezy parametryczne o wartości przeciętnej i wariancji oszacować, czy
wszystkie wyniki populacji generalnej (przy założonym poziomie istotności
α
) zawierają się w
założonym polu tolerancji
m
0
± ∆m
gdzie:
∆m = 3
σ
0
Wartości:
m
0
,
∆m i
α
- podaje prowadzący.
5. Wymagania dotyczące sprawozdania
- Podstawowe definicje
- Tabela wyników pomiarów
- Wykresy gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuanty empirycznej
- Weryfikacja hipotez
- Wnioski
6. Wymagania dotyczące zaliczenia ćwiczenia
Znajomość charakterystyk liczbowych zmiennej losowej. Znajomość pojęcia „uporządkowany
szereg rozdzielczy”. Znajomość sposobu weryfikacji hipotez o wartości przeciętnej i wariancji
7. Literatura
[1] Praca zbiorowa pod redakcją Jerzego Kisilowskiego:
Podstawy pomiarów wielkości stałych i
zmiennych w czasie, Laboratorium, Oficyna Wydawnicza PW, Warszawa 1995.