1
Funkcja wykładnicza
Definicja
Niech
a
będzie daną liczbą rzeczywistą taką, że
a > 0
i
a 6= 1
. Funkcję postaci
y = a
x nazywamy funkcją wykładniczą.
Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych
(
x ∈ R
), przeciwdziedziną zbiór liczb rzeczywistych dodatnich
(
y ∈ R
+ ).
2
Spośród nieskończenie wielu funkcji wykładniczych najważniejszą
rolę odgrywają dwie:
y = 10
x i
y = e
x, gdzie liczba
e = 2, 7182818284590452353602874713526624977572470936999 . . .
jest niewymierna (
e ≈ 2, 72
). Liczba
e
nosi nazwę liczby Eulera
(Nepera).
Własności funkcji wykladniczej
• Funkcja wykładnicza jest funkcją różnowartościową. Oznacza to,
że dla
a > 0
i
a 6= 1
a
x
1
= a
x
2
⇐⇒
x
1
= x
2
.
• Dla
a > 1
funkcja wykładnicza
y = a
x jest funkcją rosnącą, bo
3
dla dowolnych
x
1
, x
2
∈ R
x
1
< x
2
=⇒
a
x
1
< a
x
2
.
• Dla
0 < a < 1
funkcja wykładnicza
y = a
x
jest funkcją
malejącą, bo dla dowolnych
x
1
, x
2
∈ R
x
1
< x
2
=⇒
a
x
1
> a
x
2
.
Przykład
Dla jakich wartości zmiennej
x
funkcje
f
i
g
mają
równe wartości:
a)
f (x) = 2
5
4
−4x
,
g(x) =
1
2
3x
2
b)
f (x) = 0, 75
x−
1
3
,
g(x) =
4
3
6x
2
4
Przykład
Dla jakich wartości zmiennej
x
funkcja
f (x) = 5
2x+1
− 5
x
przyjmuje wartości dodatnie?
Przykład
Dane są funkcje
f (x) = 4
x+1
− 7 · 3
x
i
g(x) =
3
x+2
− 5 · 4
x. Rozwiązać nierówność
f (x) ¬ g(x)
.
5
Logarytm
Definicja
Logarytmem liczby rzeczywistej
x > 0
przy podstawie
a
(
a > 0
i
a 6= 1
) nazywamy wykładnik potęgi
y
, do której
należy podnieść liczbę
a
, żeby otrzymać
x
, tj.
log
a
x = y
⇐⇒
a
y
= x.
Na przykład:
log
2
8 = 3
, bo
2
3
= 8
.
Logarytm
log
10
x
nazywamy logarytmem dziesiętnym i oznaczamy
krótko
log x
.
Logarytm
log
e
x
nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy
krótko
ln x
.
6
Własności logarytmu
•
log
a
1 = 0
•
log
a
a = 1
•
log
a
a
y
= y
•
a
log
a
x
= x
,
gdzie
a > 0
i
a 6= 1
oraz
x > 0
i
y ∈ R
.
Twierdzenie (Własności działań na logarytmach)
Dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich
x
,
y
,
a
,
b
(
a 6= 1
,
b 6= 1
) i
p ∈ R
zachodzą wzory:
•
log
a
(x · y) = log
a
x + log
a
y
•
log
a
x
y
= log
a
x − log
a
y
•
log
a
x
p
= p · log
a
x
•
log
a
x =
log
b
x
log
b
a
,
w szczególności
log
a
b =
1
log
b
a
.
7
Przykład
Obliczyć:
a)
log
√
2
0, 25
b)
1000
1
3
−log
3
√
3
c)
log
1
9
3
3
√
3
d)
9
2 log
3
2+4 log
81
2
Przykład
Obliczyć
log
35
28
, jeżeli wiadomo, że
log
14
2 = a
i
log
14
5 = b
.
8
Funkcja logarytmiczna
Definicja
Niech
a
będzie daną liczbą rzeczywistą taką, że
a > 0
i
a 6= 1
. Funkcję postaci
y = log
a
x
nazywamy funkcją
logarytmiczną.
Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych doda-
tnich (
x ∈ R
+), przeciwdziedziną zbiór liczb rzeczywistych (
y ∈ R
).
9
Własności funkcji logarytmicznej
• Funkcja logarytmiczna jest funkcją różnowartościową. Oznacza to,
że dla dowolnych
x
1
> 0
i
x
2
> 0
zachodzi:
log
a
x
1
= log
a
x
2
⇐⇒
x
1
= x
2
.
• Dla
a > 1
funkcja logarytmiczna
y = log
a
x
jest funkcją
rosnącą, bo dla dowolnych
x
1
, x
2
0 < x
1
< x
2
=⇒
log
a
x
1
< log
a
x
2
.
• Dla
0 < a < 1
funkcja logarytmiczna
y = log
a
x
jest funkcją
malejącą, bo dla dowolnych
x
1
, x
2
0 < x
1
< x
2
=⇒
log
a
x
1
> log
a
x
2
.
10
• Funkcja logarytmiczna
y = log
a
x
jest funkcją odwrotną do
funkcji wykładniczej
y = a
x.
Przykład
Wyznaczyć dziedzinę funkcji:
a)
f (x) = log
7
"
log
0,5
(x
2
− 7x + 12) + 1
#
b)
f (x) = log
3
"
log
0,5
(x + 2) + 2
#
Przykład
Wykazać, że wykresy funkcji
y = ln x
i
y = ln
2
x
przecinają się w dwóch punktach. Znaleźć te punkty.
Przykład
Dane są funkcje
f (x)
=
log
6
x − 3
x
i
g(x) = log
6
5
2x
+ 1
. Dla jakich wartości
x
zachodzi nierówność
f (x) < g(x)
?
11
Przykład
Rozwiązać równanie:
x
√
x
=
√
x
x
Przykład
Rozwiązać nierówność:
log
(2x+3)
x
2
< 1