Klasa 3c
Geometria analityczna
Powtórzenie
1. Dany jest odcinek o końcach
( )
(
)
5, 3 ,
5, 2
A
B
=
= −
. Wyznacz punkt dzielący ten odcinek w stosunku 2:5 licząc
od punktu A.
2. Napisz równanie okręgu o promieniu
40
r
=
stycznego do prostej
3
5
y
x
=
− w punkcie
(
)
1, 2
A
=
−
.
3. Dla jakich wartości parametru m okrąg
2
2
4
0
x
x
y
−
+
= ma dwa punkty wspólne z prostą y mx m
=
− ?
4. Wyznacz równanie okręgu o średnicy AB, jeśli
(
)
(
)
4, 1 ,
5, 3
A
B
= −
=
− .
5. Dany jest okrąg o równaniu
(
) (
)
2
2
2
4
16
x
y
−
+
−
=
. W ten okrąg wpisano trójkąt równoboczny o jednym
wierzchołku
(
)
6, 4
A
=
. Wyznacz pozostałe wierzchołki tego trójkąta.
6. Wykaż, że środek odcinka o końcach
(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
A
x y
B
x
y
=
=
ma współrzędne
1
2
1
2
,
2
2
x
x
y
y
S
+
+
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
.
7. Wyznacz równanie stycznej do okręgu
2
2
9
x
y
+
= prostopadłej do prostej
1
5
2
y
x
=
+ .
8. Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC, jeśli
(
)
(
)
(
)
0, 8 ,
6, 0 ,
7, 1
A
B
C
=
−
=
=
− .
9. Dane są dwa wierzchołki trójkąta
(
)
(
)
4, 5 ,
1, 1
A
B
=
−
=
− i jego pole P = 20. Wyznacz współrzędne wierzchołka
C wiedząc, że leży na prostej
2
y
x
= − .
10. Naszkicuj w układzie współrzędnych zbiór punktów, których współrzędne spełniają układ
2
2
2
2
6
16
6
0
x
y
y
x
y
y
⎧ +
−
≤
⎪
⎨
+
−
≥
⎪⎩
.
Oblicz pole tej figury.
11. Oblicz długość cięciwy AB okręgu
2
2
2
4
5
x
x
y
y
−
+
+
= zawartej w prostej
1
y
x
= − .
12. Punkty
(
)
(
)
(
)
0, 6 ,
2, 5 ,
1, 4
A
B
C
=
−
=
−
= −
są wierzchołkami równoległoboku ABCD. Wyznacz czwarty
wierzchołek tego równoległoboku.
13. Dla jakich wartości parametru m prosta o równaniu y mx
=
ma jeden punkt wspólny z okręgiem
2
2
6
1 0
x
x
y
+
+
+ = ?
14. Jeśli
α
jest miarą kąta skierowanego pary wektorów niezerowych o współrzędnych
[
]
1
2
,
u
a a
=
G
i
[
]
1
2
,
v
b b
=
G
, to
1 1
2 2
cos
a b
a b
u
v
α
+
=
⋅
G G
. Korzystając z tego wzoru oblicz miarę kąta między wektorami
,
AB CD
JJJG JJJG
, jeśli
(
)
(
)
(
)
(
)
3, 3 ,
3, 3 ,
3, 5 ,
2 3, 5
A
B
C
D
=
−
= −
= −
=
.
15. Na prostej :
1
l y
x
= + znajdź punkt P odległy o 3 od prostej : 3
4
2 0
k
x
y
+
− = .
16. Jeśli punkt P′ jest obrazem punktu
(
)
,
P
x y
=
w przesunięciu o wektor
[ ]
,
u
a b
=
G
, to ma współrzędne
(
)
,
P
x
a y
b
′ =
+
+ . Korzystając z tych wzorów wykaż, że odcinek AB i jego obraz w przesunięciu o wektor
[ ]
,
u
a b
=
G
mają równe długości.
17. Wyznacz równanie stycznej do okręgu
2
2
8
6
0
x
x
y
y
−
+
+
= nachylonej do osi OX pod kątem 135
D
.
18. Naszkicuj w układzie współrzędnych figurę f określoną układem
2
4
2
4
y
x
y
x
⎧ ≤ −
+
⎪
⎨
≥
−
⎪⎩
. Napisz równanie okręgu
wpisanego w tę figurę.
19. Dane są punkty
(
)
(
)
2, 4 ,
6, 4
A
B
= −
= −
. Wyznacz taki punkt
(
)
,
C
x y
=
, gdzie
(
)
2; 2
x
∈ −
leżący na paraboli o
równaniu
2
y
x
= , aby pole trójkąta ABC było największe.
Klasa 3c
Geometria analityczna
Powtórzenie
20. Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty
(
)
(
)
4, 2 ,
2, 5
A
B
=
−
= −
jeśli wiesz, że jego środek należy
do prostej
1
y
x
= + .
21. Dane są okręgi
(
)
2
2
4
9
x
y
−
+
= i
(
)
2
2
4
x
m
y
−
+
= . Dla jakich wartości parametru m te okręgi mają dokładnie
jeden punkt wspólny?
22. Wykaż, że trójkąt, którego wierzchołkami są punkty
(
)
(
)
(
)
5, 4 ,
1, 2 ,
2, 0
A
B
C
=
= −
=
, jest rozwartokątny.
Wyznacz taki punkt D aby czworokąt ABCD był równoległobokiem.
23. Figura
1
F opisana jest nierównością
(
)
2
2
2
4
x
y
+
−
≤ , a figura
2
F – nierównością
(
)
2
2
4
4
x
y
+
−
≤ . Oblicz pole
części wspólnej tych figur.
24. Wyznacz równanie okręgu symetrycznego do okręgu
2
2
6
4
3
x
x
y
y
+
+
+
= :
a) Względem punktu
(
)
0, 2
A
=
,
b) Względem prostej
3
1
y
x
= − − .
25. Wykaż, że równanie
2
2
0
x
y
ax by
c
+
+
+
+ = określa okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy
2
2
4
a
b
c
+
>
.
26. Dla jakich wartości parametru k długość wektora
2
w
k a
b
=
+
JG
G
G
jest równa 2, jeśli
2,
1
a
b
=
=
G
G
oraz kąt między
wektorami a
G
i b
G
jest równy
2
3
π
?
27. Dwa wektory u
G
i v
G
mają długości
4,
2
u
v
=
=
G
G
, a kąt między nimi ma miarę 60
D
. Oblicz długość wektora
2
3
w
u
v
=
+
JG
G
G
.
28. Dla jakich wartości parametru
α
odległość punktu
( )
1, 2
P
=
od prostej
sin
y
x
α
= +
jest równa
1
2
?
29. W układzie współrzędnych dane są punkty
(
)
9, 2
A
= − −
oraz
(
)
4, 2
B
=
. Wyznacz współrzędne punktu C
leżącego na osi OY tak, że kąt ACB jest kątem prostym.
30. W trójkącie ABC znane są współrzędne wierzchołków
(
)
1, 1
A
=
− ,
(
)
5, 7
B
=
oraz punktu przecięcia jego
środkowych
(
)
2, 4
S
=
. Wyznacz współrzędne wierzchołka C.
31. Spośród trójkątów o wierzchołkach
(
)
(
)
(
)
2,
2 ,
6, 1 ,
9,
4
A
m
m
B
m
C
m
=
−
−
=
+
=
+ wybierz ten, w którym
cosinus kąta wewnętrznego przy wierzchołku A wynosi
4
5
, a długość okręgu na nim opisanego jest równa 10
π
.
Napisz równanie okręgu wpisanego w wybrany trójkąt.
32. Odcinek o końcach
( )
(
)
3, 2 ,
2, 1
A
B
=
=
− jest mniejszą podstawą trapezu. Większa podstawa tego trapezu jest
dwa razy dłuższa od mniejszej, a jej środkiem jest punkt
( )
1, 1
M
=
. Oblicz współrzędne pozostałych
wierzchołków trapezu.
33. Dane są okręgi
2
2
4
6
12 0
x
y
x
y
+
−
+
+
= oraz
(
) (
)
2
2
2
5
10
x
y
+
+
−
=
. Napisz równanie symetralnej odcinka
łączącego środki tych okręgów.
34. Dane są zbiory
sin
:
0
;
x
A
x
x
x
π π
⎧
⎫
=
∈
> ∧ ∈ −
⎨
⎬
⎩
⎭
R
,
{
}
1
2
: 2
2
2
56
x
x
x
B
x
+
+
=
∈
+
+
<
R
,
(
)
{
}
2
: log 10 3
1
B
x
x
x
= ∈
−
−
≤
R
. Wyznacz zbiór A
B
C
∩ ∩ .
35. Dane są zbiory A i B. Wyznacz zbiór B A
− , jeśli zbiór A jest dziedziną funkcji
( )
(
)
2
2
5
log
1
2
x
x
f x
x
x
−
+
=
+
+
−
,
a zbiór
(
)
(
)
{
}
: 2log 2
2
log 2
10
log 2
x
x
B
x
= ∈
−
≤
+
+
R
.
Klasa 3c
Geometria analityczna
Powtórzenie
36. Dane są punkty
(
)
(
)
4, 5 ,
4, 1
A
B
=
= − − i prosta k o równaniu
3
9 0
x
y
−
− = .
a) Na prostej k znajdź punkt C jednakowo oddalony od punktów A i B.
b) Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A i nachylonej do osi OX pod kątem dwa razy
większym niż prosta k.
37. Dany jest punkt
(
)
1, 2
A
= −
.
a) Znajdź równanie tej prostej, na której osie układu współrzędnych ograniczają odcinek o środku w punkcie
A.
b) Znajdź równanie takiej prostej przechodzącej przez punkt A, że odległość początku układu współrzędnych
od tej prostej wynosi 1.
38. Punkt
(
)
2, 1
S
=
− jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Wierzchołek A ma współrzędne
(
)
3, 1
− − , a
bok BC jest zawarty w prostej
7
20 0
x
y
+
−
= . Oblicz:
a) Współrzędne wierzchołków B i C.
b) Pole trójkąta ABC.
39. Punkt
( )
7, 3
A
=
jest wierzchołkiem, zaś punkt
( )
3, 2
S
=
środkiem symetrii kwadratu ABCD. Wyznacz pozostałe
wierzchołki kwadratu ABCD i napisz równanie okręgu wpisanego w ten kwadrat.
40. W prostej o równaniu 2
6 0
x
y
+ − = zawiera się bok kwadratu opisanego na okręgu o równaniu
2
2
2
4 0
x
y
y
+
−
− = . Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu.
41. Punkty przecięcia paraboli
2
2
8
y
x
x
=
−
− z prostą 2
1 0
x
y
+ − = są końcami przekątnej rombu, którego pole jest
równe 30. Oblicz współrzędne wierzchołków tego rombu oraz długość jego boku.
42. Punkt
(
)
0, 0
S
=
jest środkiem boku AD równoległoboku ABCD. Oblicz współrzędne wierzchołków tego
równoległoboku oraz jego pole wiedząc, że
[ ]
4, 3
AB
=
JJJG
i
[ ]
6, 2
BC
=
JJJG
.
43. Punkty
(
)
( )
(
)
0, 5 ,
4, 3 ,
1, 3
A
B
C
=
−
=
= −
są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD o podstawach AB
i CD. Wyznacz wierzchołek D i pole trapezu.
44. Zbadaj, dla jakich wartości parametru m układ równań
2
2
2
2
2
2
2
1
4
8
2
19
x
y
x
m
x
y
x
y
m
m
⎧ +
+
=
−
⎪
⎨
+
−
−
=
+
−
⎪⎩
ma dokładnie jedno
rozwiązanie.
45. Dla jakich wartości parametru p pierwiastki równania
2
2
2 2
1 0
x
x
p
−
+
+ = są współrzędnymi punktów
należących do koła o środku w punkcie
(
)
0, 0
S
=
i promieniu
5
r
=
?