[Podstawy ekonometrii]
1
P
OŚREDNIA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
(PMNK)
Ma zastosowanie do szacowania parametrów modeli o równaniach współzależnych
jednoznacznie identyfikowalnych. Do uzyskania parametrów postaci strukturalnej modelu
wykorzystuje się oceny parametrów postaci zredukowanej.
a) Sprowadzamy model do postaci zredukowanej
b) Za pomocą kmnk szacujemy parametry postaci zredukowanej modelu.
c) Aby wyznaczyć parametry postaci strukturalnej korzystamy z równia
identyfikacyjnego modelu:
C
B
A
Wada: w formie strukturalne nie uzyskuje się macierzy wariancji i kowariancji estymatora, co
uniemożliwia ocenę istotności parametrów strukturalnych modelu.
Przykład:
Dany jest model o równaniach współzależnych:
t
t
t
t
t
t
t
t
X
y
y
X
y
y
2
2
22
1
21
20
2
1
1
11
2
12
10
1
,
którego forma strukturalna ma postać:
t
t
t
t
t
t
x
x
x
y
y
2
1
2
1
0
22
20
11
10
2
1
21
12
0
0
1
1
Budujemy postać zredukowaną modelu:
t
t
t
t
t
t
x
x
x
c
c
c
c
c
c
y
y
2
1
2
1
0
22
21
20
12
11
10
2
1
,
której parametry wyznaczamy na podstawie próby statystycznej. Załóżmy, że w wyniku
estymacji uzyskaliśmy:
t
t
t
t
t
t
X
X
y
X
X
y
2
1
2
2
1
1
1
,
0
3
,
0
2
,
3
ˆ
5
,
0
2
,
0
5
,
3
ˆ
[Podstawy ekonometrii]
2
Macierz C ma zatem postać:
1
,
0
3
,
0
2
,
3
5
,
0
2
,
0
5
,
3
.
Równanie identyfikacyjne modelu wynosi:
C
B
A
Podstawiamy macierze do równania identyfikacyjnego:
1
,
0
3
,
0
2
,
3
5
,
0
2
,
0
5
,
3
1
ˆ
ˆ
1
ˆ
0
ˆ
0
ˆ
ˆ
21
12
22
20
11
10
,
a następnie wykonujemy działania:
1
,
0
ˆ
5
,
0
3
,
0
ˆ
2
,
0
2
,
3
ˆ
5
,
3
ˆ
1
,
0
5
,
0
ˆ
3
,
0
2
,
0
ˆ
2
,
3
5
,
3
ˆ
0
ˆ
0
ˆ
ˆ
21
21
21
12
12
12
22
20
11
10
Dwie macierze, o zgodnych wymiarach, są sobie równe jeśli wartości elementów na
poszczególnych pozycjach są sobie równe, tzn.
12
12
11
12
10
ˆ
1
,
0
5
,
0
0
ˆ
3
,
0
2
,
0
ˆ
ˆ
2
,
3
5
,
3
ˆ
1
,
0
ˆ
5
,
0
ˆ
3
,
0
ˆ
2
,
0
0
2
,
3
ˆ
5
,
3
ˆ
21
22
21
21
20
W ten sposób uzyskujemy dwa układy równań o trzech niewiadomych, po rozwiązaniu których
uzyskujemy oceny parametrów postaci strukturalnej modelu:
00
,
5
ˆ
ˆ
1
,
0
5
,
0
0
70
,
1
ˆ
ˆ
3
,
0
2
,
0
ˆ
50
,
19
ˆ
ˆ
2
,
3
5
,
3
ˆ
12
12
11
12
11
10
12
10
85
,
0
ˆ
1
,
0
ˆ
5
,
0
ˆ
50
,
1
ˆ
3
,
0
ˆ
2
,
0
0
05
,
2
ˆ
2
,
3
ˆ
5
,
3
ˆ
22
21
22
21
21
20
21
20
Forma strukturalna modelu ma zatem postać:
t
t
t
t
t
t
X
y
y
X
y
y
2
1
2
1
2
1
85
,
0
50
,
1
05
,
2
ˆ
7
,
1
0
,
5
5
,
19
ˆ
[Podstawy ekonometrii]
3
P
ODWÓJNA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
(2MNK)
Może być stosowana do szacowania parametrów modeli o równaniach jednoznacznie i
niejednoznacznie identyfikowalnych. Polega na zastąpieniu zmiennych łącznie
współzależnych, pełniących rolę zmiennych objaśniających, ich wartościami teoretycznymi
uzyskanymi w wyniku estymacji parametrów postaci zredukowanej.
a)
Budujemy postać zredukowaną modelu.
b)
Za pomocą kmnk szacujemy parametry formy zredukowanej modelu
i wyznaczamy wartości teoretyczne zmiennych łącznie współzależnych.
c)
Zmienne łącznie współzależne, pełniące rolę zmiennych objaśniających w
postaci strukturalnej zastępujemy wartościami teoretycznymi tych zmiennych
uzyskanymi z postaci zredukowanej.
d)
Oceny parametrów postaci strukturalnej szacujemy za pomocą kmnk.