Elementy analizy funkcjonalnej 2

Spis treści

Rozdział 1. Pojęcia wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.

Przestrzenie metryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2.

Przestrzenie liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3.

Liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4.

Przestrzenie liniowe unormowane

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.5.

Zbieżność ciągu punktów przestrzeni metrycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.6.

Przestrzenie unitarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.7.

Ortogonalność w przestrzeni unitarnej

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.8.

Baza ortonormalna przestrzeni unitarnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Rozdział 2. Ciągi i szeregi ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.1.

Ortogonalność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.

Szereg trygonometryczny Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2.1.

Właściwości szeregów trygonometrycznych Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.3.

Przykład . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Rozdział 3. Wyznaczanie ekstremali funkcjonału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.1.

Pojęcia wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.2.

Zadania

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Dodatek A. Zaliczenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

A.1. Rozwinąć w szereg trygonometryczny Fouriera funkcję

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

A.2. Znaleźć ekstremalę funkcjonału

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

A.3. Krzywizna, ewoluta, ewolwenta

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Dodatek B. Wzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Rozdział 1

Pojęcia wstępne

1.1. Przestrzenie metryczne

Niech X — zbiór dowolny

Definicja 1.1. Metryką nazywamy funkcję d : X × X → R

+

∪ {0} spełniającą warunki

m1) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y dla każdego x, y ∈ X
m2) d(x, y) = d(y, x) dla każdego x, y ∈ X
m3) d(x, z) ¬ d(x, y) + d(y, z) dla każdego x, y, z ∈ X (Aksjomat trójkąta)

d(x, y) — uogólniona odległość x od y

Definicja 1.2. Przestrzenią metryczną nazywamy strukturę (X, d), gdzie X jest niepustym zbiorem, a d jest
metryką określoną na zbiorze X

Przykłady przestrzeni metrycznych

1) (R, | |)

d(x, y) = |x − y|

m1)

V

x,y∈R

d(x, y) = 0 ⇔ |x − y| = 0 ⇔ x − y = 0 ⇔ x = y

m2)

V

x,y∈R

d(x, y) = |x − y| = |−1| · |x − y| = |(−1)(x − y)| = |y − x| = d(y, x)

m3)

V

x,y,z∈R

d(x, y) = |x − z| = |(x − y) + (y − z)| ¬ |x − y| + |y − z| = d(x, y) + d(y, z)

|a + b| ¬ |a| + |b|

6

-

r

r

x

1

y

1

x

2

y

2

y

x

Rys. 1.1: Punkty w przestrzeni R

2

2) (R

2

, d)

x = (x

1

, x

2

) y = (y

1

, y

2

)

d(x, y) =

p

(x

1

− y

1

)

2

+ (x

2

− y

2

)

2

metryka pitagorejska

3) (R

2

, d

m

)

d(x, y) = |x

1

− y

1

| + |x

2

− y

2

|

metryka manhattańska

1. Pojęcia wstępne

2

4) (R

2

, d

max

)

d

max

(x, y) = max{|x

1

− y

1

| , |x

2

− y

2

|}

metryka maximum

5) (R

n

, d)

x = (x

1

, . . . , x

n

) y = (y

1

, . . . , y

n

)

d(x, y) =

v
u
u
t

n

X

i=1

(x

i

− y

i

)

2

uogólniona metryka pitagorejska

m1) d(x, y) = 0 ⇔

s

n

P

i=1

(x

i

− y

i

)

2

= 0 ⇔

n

P

i=1

(x

i

− y

i

)

2

= 0 ⇔

V

i

(x

i

− y

i

)

2

= 0 ⇔

V

i

x

i

− y

i

= 0 ⇔

⇔

V

i

x

i

= y

i

⇔ x = y

m2) d(x, y) =

s

n

P

i=1

(x

i

− y

i

)

2

=

s

n

P

i=1

[(−1)(y

i

− x

i

)]

2

=

s

n

P

i=1

(−1)

2

(y

i

− x

i

)

2

==

s

n

P

i=1

(y

i

− x

i

)

2

= d(y, x)

m3) Ponieważ

V

x,y

d(x, y) ­ 0 to wystarczy pokazać, że

[ d(x, y) + d(y, z)]

2

­ [ d(x, z)]

2

[ d(x, z)]

2

=

n

P

i=1

(x

i

− z

i

)

2

=

n

P

i=1

[(x

i

− y

i

) + (y

i

− z

i

)]

2

=

n

P

i=1

[(x

i

− y

i

)

2

+ 2(x

i

− y

i

)(y

i

− z

i

) +

+ (y

i

− z

i

)

2

] =

n

X

i=1

(x

i

− y

i

)

2

|

{z

}

[ d(x,y)]

2

+2

n

P

i=1

(x

i

− y

i

)(y

i

− z

i

) +

n

X

i=1

(y

i

− z

i

)

2

|

{z

}

[ d(y,z)]

2

Z nierówności Schwarza–Cauchy’ego, która mówi, że:



n

P

i=1

u

i

v

i



2

¬



n

P

i=1

u

2
i

 

n

P

i=1

v

2

i



a w szczególności

n

P

i=1

u

i

v

i

¬

s

n

P

i=1

u

2
i

! s

n

P

i=1

v

2

i

!

mamy:

n

X

i=1

(x

i

− y

i

)(y

i

− z

i

) ¬

v
u
u
t

n

X

i=1

(x

i

− y

i

)

2

v
u
u
t

n

X

i=1

(y

i

− z

i

)

2

Zatem:

[ d(x, y)]

2

¬ [ d(x, y)]

2

+ 2[ d(x, y) d(y, z)] + [ d(y, z)]

2

= [ d(x, y) + d(y, z)]

2

6) {0, 1}

n

=

n

(b

1

, . . . , b

n

) : b

i

∈ {0, 1}

o

^

x,y∈X

x=(x

1

,...,x

n

) x

i

∈{0,1}

y=(y

1

,...,y

n

) y

i

∈{0,1}

d(x, y) =





{i : x

i

6= y

i

}





=liczba pozycji na których x i y się różnią=liczba jedynek (waga) w ciągu x ± y

odległość Haminga

1.2. Przestrzenie liniowe

Definicja 1.3. Przestrzenią liniową (wektorową) nad zbiorem

K (K = R lub K = C) nazywamy dowolny zbiór

X, w którym określone są działania:

^

x,y∈X

(x, y) 7→ x + y ∈ X

^

λ∈

K

^

x,y∈X

(λ, x) 7→ λ · x ∈ X

spełniające następujące aksjomaty przestrzeni liniowej:

Grzegorz Jastrzębski

1. Pojęcia wstępne

3

A1)

V

x,y∈X

x + y = y + x

A2)

V

x,y,z∈X

(x + y) + z = x + (y + z)

A3)

W

~

0∈X

V

x∈X

x + ~0 = x

A4)

V

x∈X

W

−x∈X

x + (−x) = 0

A5)

V

λ∈

K

V

x,y∈X

λ(x + y) = λx + λy

A6)

V

λ,µ∈

K

V

x∈X

(λ + µ)x = λx + µx

A7)

V

λ,µ∈

K

V

x∈X

λ(µx) = (λµ)x

A8)

V

x∈X

1 · x = x

Przykłady:

1) X = R nad K = R
2) X = C nad K = R

2’) X = R

2

nad

K = R ≡ 2)

3) X = R

n

nad

K = R

x = (x

1

, . . . , x

n

) y = (y

1

, . . . , y

n

) λ ∈

K

x + y

def

= (x

1

+ y

1

, . . . x

n

+ y

n

)

λx

def

= (λx

1

, . . . , λx

n

)

4) X – zbiór wszystkich macierzy wymiaru m × n nad

K = R

A = [a

ij

]

m×n

B = [b

ij

]

m×n

^

A+B∈X

A + B

def

= [a

ij

+ b

ij

]

^

λ∈R

^

A∈X

λA = [λa

ij

]

5) X = C(ha, bi) – zbiór wszystkich funkcji ciągłych na przedziale ha, bi

^

f,g∈X

^

t∈ha,bi

(f + g)(t)

def

= f (t) + g(t)

^

λ∈R

^

f ∈X

(λf )(t)

def

= λf (t)

1.3. Liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej

Przykłady

1) X = R

~

u, ~

v ∈ R

-

0

~

v

~

u



-

~

u || ~

v ⇔

_

c∈R

~

u = c~

v

Dowolne dwa wektory ~

u, ~

v ∈ R są liniowo zależne

Grzegorz Jastrzębski

1. Pojęcia wstępne

4

2) X ∈ R

2

-

6

~

v

~

u





~

u k ~

v ⇔

W

c∈R

~

u = c~

v – ~

u, ~

v są liniowo zależne

~

u ∦ ~v ⇔ ∼

W

c∈R

~

u = c~

v – ~

u, ~

v są liniowo niezależne

~

u, ~

v, ~

w są liniowo zależne ponieważ:

_

a,b∈R

~

w =

a~

u + b~

v

|

{z

}

kombinacja liniowa ~

u i ~

v

Każda baza w R

2

(minimalny układ liniowo niezależnych wektorów) składa się z 2 wektorów. Z tego wynika,

że wymiar tej przestrzeni wynosi 2.

3) X = R

3

Jeśli ~

u, ~

v, ~

w nie leżą na jednej płaszczyźnie to dwa z nich leżą na tej samej płaszczyźnie ale trzeci nie, więc:

∼

_

a,b∈R

~

w = a~

u + b~

v

czyli ~

u, ~

v, ~

w są liniowo niezależne.

Każda baza w R

3

składa się z 3 wektorów. Czyli wymiar tej przestrzeni wynosi 3.

Definicja 1.4. Mówimy, że punkty x

1

, . . . , x

n

przestrzeni liniowej są liniowo niezależne jeżeli

^

α

1

,...,α

n

∈

K

α

1

x

1

+ α

2

x

2

+ . . . + α

n

x

n

= ~0 ⇒ α

1

= α

2

= . . . = α

n

= 0

(1.3.1)

nie istnieją stałe α

1

, . . . , α

n

, z których conajmniej jedna jest rożna od 0, takie, że

α

1

x

1

+ α

2

x

2

+ . . . + α

n

x

n

= ~0

nie jest możliwe zapisanie któregokolwiek z punktów jako kombinacji liniowej pozostałych

Definicja 1.5. Kombinacją liniową punktów x

1

, . . . , x

k

nazywamy punkt

α

1

x

1

+ α

2

x

2

+ . . . + α

k

x

k

gdzie α

1

, . . . , α

k

∈

K

Jeżeli punkty nie są liniowo niezależne to są liniowo zależne

Definicja 1.6. Maksymalną liczbę liniowo niezależnych punktów przestrzeni liniowej X nazywamy jej wymia-
rem i oznaczamy dim X

Definicja 1.7. Jeżeli dim X = k to każdy układ k liniowo niezależnych punktów nazywamy bazą tej przestrzeni

Przykłady:

i) W R bazę tworzy każdy punkt x ∈ R

ii) W R

2

bazę tworzą dowolne dwa wektory nie leżące na jednej prostej

iii) W R

3

bazę tworzą dowolne trzy wektory, które nie leżą na jednej płaszczyźnie

Uwaga: Jeżeli x

1

, . . . , x

n

tworzą bazę przestrzeni X to dla każdego y ∈ X punkty x

1

, . . . , x

n

, y są liniowo zależne

a zatem y daje się zapisać jako kombinacja liniowa punktów bazy, tzn.:

W

α

1

,...,α

n

∈

K

y = α

1

x

1

+ α

2

x

2

+ . . . + α

n

x

n

Definicja 1.8. Zbiór

Y ⊂ X nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni X jeśli:

^

y

1

,y

2

∈

Y

α

1

,α

2

∈

K

α

1

y

1

+ α

2

y

2

∈

Y

(1.3.2)

Grzegorz Jastrzębski

1. Pojęcia wstępne

5

1.4. Przestrzenie liniowe unormowane

Definicja 1.9. Normą w przestrzeni liniowej X nad zbiorem skalarów

K nazywamy funkcję:

X

3 x 7→ ||x|| ∈ R

+

∪ {0}

(1.4.1)

taką, że:

n1)

V

x∈X

(||x|| = 0) ⇐⇒ x = 0

n2)

V

λ∈

K

V

x∈X

||λx|| = |λ| · ||x||

(jednorodność)

n3)

V

x,y∈X

||x + y|| ¬ ||x|| + ||y||

(aksjomat trójkąta)

Definicja 1.10. Przestrzeń liniową z określoną na tej przestrzeni normą nazywamy przestrzenią unormo-
waną

Każdą przestrzeń unormowaną X można uważać za przestrzeń metryczną.

Definicja 1.11. Przyjmuje się następującą definicję metryki wyznaczonej przez normę:

d(x, y)

def

= ||x − y|| = ||x + (−y)||

(1.4.2)

Tak zdefiniowana funkcja spełnia aksjomaty metryki:

m1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y

m

||x − y|| = 0

n1

⇐⇒ x − y = 0 ⇔ x + (−y) = 0 ⇔ −x = −y ⇔ x = y

m2) d(x, y) = d(y, x)

||x − y|| = ||(−1)(y − x)||

n2

= |−1| · ||y − x|| = ||y − x||

m3) d(x, z) ¬ d(x, y) + d(y, z)

||x − z|| = ||x + (y − y) − z|| = ||(x − y) + (y − z)||

n3

¬ ||x − y|| + ||y − z||

Przykłady

1) X = R

V

x∈R

||x|| = |x|

n1)

V

x∈R

||x|| = 0 ⇔ |x| = 0 ⇔ x = 0

n2)

V

λ∈R

V

x∈R

||λx|| = |λx| = |λ| |x| = |λ| ||x||

n3)

V

x,y∈R

||x + y|| = |x + y| ¬ |x| + |y| = ||x|| + ||y||

2) X = R

n

X

3 x = (x

1

, . . . , x

n

) → ||x||

def

=

s

n

P

i=1

x

2
i

metryka wyznaczona przez tę normę:

d(x, y) = ||x − y|| =

s

n

P

i=1

(x

i

− y

i

)

2

3) X = C(ha, bi) – przestrzeń liniowa funkcji określonych na ha, bi

V

f ∈C(ha,bi)

||f ||

def

=

sup

x∈ha,bi

(|f |) metryka wyznaczona przez tę normę:

^

f,g∈C(ha,bi)

d(f, g) = ||f − g|| = sup

x∈ha,bi

(|f (x) − g(x)|)

nazywa się metryką Czybyszewa
• przykład

X = C(h0, 1i),

f (x) = x, g(x) = x

2

d(f, g) = sup

x∈h0,1i

|f (x) − g(x)| = sup

x∈h0,1i




x − x

2




= sup

x∈h0,1i

(x − x

2

) = max(x − x

2

) =

1
2

− (

1
2

)

2

=

1
4

Grzegorz Jastrzębski

1. Pojęcia wstępne

6

1.5. Zbieżność ciągu punktów przestrzeni metrycznej

Definicja 1.12. Ciąg liczbowy (a

n

) jest zbieżny do liczby a ∈ R ⇔

V

ε>0

W

M

V

n>M

|a

n

− a| < ε

piszemy lim

n→∞

a

n

= a

Definicja 1.13. Ciąg punktów (x

n

)

n∈N

przestrzeni metrycznej X nazywamy zbieżnym jeśli istnieje taki punkt

x ∈ X, że

lim

n→∞

d(x

n

, x) = 0

(1.5.1)

i piszemy

lim

n→∞

x

n

= x

Definicja 1.14. Zbieżność ciągu (x

n

) punktów przestrzeni liniowej unormowanej X do punktu x ∈ X w sensie

metryki wyznaczonej przez normę nazywamy zbieżnością według normy

lim

n→∞

x

n

= x według normy ⇐⇒ lim

n→∞

||x

n

− x|| = 0

(1.5.2)

Definicja 1.15. Mówimy, że ciąg (x

n

) przestrzeni metrycznej X spełnia warunek Cauchy’ego jeżeli

^

ε>0

_

M

^

n,m>M

d(x

n

, x

m

) < ε

(1.5.3)

Twierdzenie 1.16. Ciąg, który spełnia warunek Cauchy’ego nazywamy ciągiem podstawowym

Twierdzenie 1.17. Każdy ciąg zbieżny punktów przestrzeni metrycznej spełnia warunek Cauchy’ego

zbieżny

−→

←

6−

podstawowy

Dowód:

Niech lim

n→∞

x

n

= x

Wtedy

^

ε>0

_

M

^

n>M

d(x

n

, x) < ε

i niech ε =

1
2

ε

0

czyli

^

ε>0

_

M

^

n,m>M

d(x

n

, x

m

) <

1

2

ε

0

Zatem:

^

n,m>M

d(x

n

, x

m

) ¬ d(x

n

, x) + d(x, x

m

)

|

{z

}

<

1
2

ε

0

+

1
2

ε

0

=ε

0

skąd

^

ε

0

>0

_

M

^

n,m>M

d(x

n

, x

m

) < ε

0

więc ciąg (x

n

) jest podstawowy

Definicja 1.18. Przestrzeń metryczną X nazywamy zupełną jeżeli każdy ciąg podstawowy punktów X jest zbieżny
w tej przestrzeni.

Przykłady:

przestrzenie zupełne: R

n

, ha, bi

przestrzenie które nie są zupełne: (a, b), ha, b), (a, bi, ha, bi\{c} gdzie a, b, c ∈ R

Definicja 1.19. Przestrzenią Banacha nazywamy przestrzeń unormowaną zupełną

Przykłady

1. R

2

||x|| =

s

n

P

i=1

x

2
i

2. C(ha, bi)

||f || = sup

x∈ha,bi

|f |

Grzegorz Jastrzębski

1. Pojęcia wstępne

7

1.6. Przestrzenie unitarne

Niech X – przestrzeń linowa.

Definicja 1.20. X nazywamy przestrzenią unitarną jeśli dla każdej pary uporządkowanej (x, y) punktów tej
przestrzeni przyporządkowana jest liczba (x|y) taka, że:

u1) (x|x) > 0 ⇐⇒ x 6= 0 dla każdego x ∈ X oraz (x|x) = 0 ⇐⇒ x = 0
u2)

V

α

1

,α

2

∈R

V

x

1

,x

2

,y∈X

(α

1

x

1

+ α

2

x

2

|y) = α

1

(x

1

|y) + α

2

(x

2

|y)

u3)

V

x,y∈X

(x|y) = (y|x)

(x|y) nazywamy uogólnionym iloczynem skalarnym wektorów x i y

Definicja 1.21. Normę w przestrzeni unitarnej X określamy wzorem:

^

x∈X

||x||

def

=

p

(x|x)

(1.6.1)

i nazywamy normą wyznaczoną przez iloczyn skalarny

Sprawdzenie spełnialności aksjomatów normy przez normę wyznaczoną przez iloczyn skalarny

n1) ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0

m
p(x|x) = 0 ⇐⇒ (x|x)

u1

= 0

n2)

V

x∈X

V

λ∈R

||λx|| = |λ| · ||x||

m
p(λx|λx)

u2

=

pλ · λ(x|x) = pλ

2

(x|x) =

√

λ

2

p(x|x) = |λ| · ||x||

n3)

V

x,y∈X

||x + y|| ¬ ||x|| + ||y||

Wykorzystamy nierówność Schwarz’a

V

x,y∈X

|(x|y)| ¬ ||x|| · ||y||, mianowicie:



||x + y||



2

= (x + y|x + y)

u2

= (x|x) + 2(x|y) + (y|y) = ||x||

2

+ 2(x|y) + ||y||

2

nier.Schw.

¬

||x||

2

+ 2 ||x|| · ||y|| + ||y||

2

=



||x|| + ||y||



2

Uwaga: Każda przestrzeń unitarna jest przestrzenią unormowaną

Definicja 1.22. Przestrzenią Hilberta nazywamy przestrzeń unitarną, która jest przestrzenią zupełną w sensie
normy wyznaczonej przez iloczyn skalarny

Przykłady

1) X = R

n

jest przestrzenią Hilberta

x = (x

1

, . . . , x

n

)

y = (y

1

, . . . , y

n

)

(x|y) =

n

P

i=1

x

i

· y

i

||x|| = |x| =

s

n

P

i=1

x

2
i

=

p(x|x)

2) X = C(ha, bi) nie jest przestrzenią Hilberta (choć jest przestrzenią Banacha tyle, że nie w sensie normy

wyznaczonej przez iloczyn skalarny)

^

f,g∈C(ha,bi)

(f |g) =

b

Z

a

f (t)g(t) dt

Norma wyznaczona przez ten iloczyn skalarny

V

f,g∈C(ha,bi)

||f || =

p(f|f) =

v
u
u
u
t

b

Z

a

f

2

(t) dt

|

{z

}

norma kwadratowa

Grzegorz Jastrzębski

1. Pojęcia wstępne

8

u1)

V

f,g∈C(ha,bi)

(f |f ) > 0 jeśli f ≡ 0

jeżeli f ≡ 0 to istnieje x ∈ ha, bi takie, że f (x) 6= 0 również f

2

(x) 6= 0 stąd

(f |f ) =

b

R

a

f (t)f (t) dt =

b

R

a

f

2

(t) dt > 0

u2)

V

α

1

,α

2

∈R

V

f,g∈C(ha,bi)

(α

1

f

1

+ α

2

f

2

|g) = α

1

(f

1

|g) + α

2

(f

2

|g)

(α

1

f

1

+ α

2

f

2

|g) =

b

R

a

[(α

1

f

1

(t) + α

2

f

2

(t)]g(t) dt =

b

R

a

α

1

f

1

(t)g(t) dt +

b

R

a

α

2

f

2

(t)g(t) dt =

= α

1

b

R

a

f

1

(t)g(t) dt + α

2

b

R

a

f

2

(t)g(t) dt = α

1

(f

1

|g) + α

2

(f

2

|g)

u3)

V

f,g∈C(ha,bi)

(f |g) =

b

R

a

f (t)g(t) dt =

b

R

a

g(t)f (t) dt = (g|f )

Uwaga: Można udowodnić, ze dowolną przestrzeń unitarną da się rozszerzyć (przez dodanie nowych elementów)

do przestrzeni Hilberta (czyli zupełnej ze względu na normę wyznaczoną przez iloczyn skalarny)

1.7. Ortogonalność w przestrzeni unitarnej

Niech X – dowolna przestrzeń unitarna

Definicja 1.23. Punkty x, y ∈ X nazywamy ortogonalnymi ⇐⇒ (x|y) = 0

Definicja 1.24. Punkt y ∈ X nazywamy ortogonalnymi do podprzestrzeni X

o

przestrzeni X jeśli jest ortogonalny

do każdego punktu x ∈ X



V

x∈X

(x|y) = 0



Definicja 1.25. Punkt x

o

w X nazywa się rzutem ortogonalnym punktu x ∈ X na podprzestrzeń X

o

prze-

strzeni X jeśli x

o

∈ X

o

oraz różnica x − x

o

jest ortogonalna do X

o

Twierdzenie 1.26. Każdy punkt x ∈ X ma co najwyżej jeden rzut ortogonalny na daną podprzestrzeń X

o

przestrzeni X

Dowód:

Przypuśćmy, że x

0

o

, x

00

o

są rzutami ortogonalnymi pewnego punktu x na podprzestrzeń X

o

wtedy z definicji 1.25:

x

0

o

, x

00

o

∈ X

o

oraz

V

y∈X

o

(

(x − x

0

o

|y) = 0

(x − x

00

o

|y) = 0

Odejmując stronami:

L = (x − x

0

o

|y) − (x − x

00

o

|y)

u2

=(x − x

0

o

− (x − x

00

o

)|y) = (x

00

o

− x

0

o

)

czyli

(x

00
o

− x

0
o

|y) = 0 − 0

=⇒

^

y∈X

o

(x

00

− x

0
o

|y) = 0

(∗)

W szczególności, wstawiając y = x

00

o

− x

0

o

do (∗) otrzymamy, że:

(x

00

o

− x

0

o

|x

00

o

− x

0

o

) = 0 ⇔ (||x

00

o

− x

0

o

||)

2

= 0 ⇔ ||x

00

o

− x

0

o

|| = 0

n1

⇐⇒ x

00

o

− x

0

o

= 0 ⇔

x

00
o

= x

0
o

Zatem nie istnieją dwa różne rzuty ortogonalne x na X

o

1.8. Baza ortonormalna przestrzeni unitarnej

Niech X – przestrzeń unitarna o wymiarze k, skończenie wymiarowa, tzn. dim X = k ∈ N (czyli każda baza

składa się z k wektorów)

6

-















6

-







e

1

(1, 0, 0)

e

2

(0, 1, 0)

e

3

(0, 0, 1)

{e

1

, e

2

, e

3

} jest bazą gdyż:

1) jest układem wektorów liniowo niezależnych (bo żadnego z tych wek-

torów nie da się wyrazić jako kombinację liniową pozostałych)

2) jest maksymalnym takim układem liniowo niezależnych wektorów

(ponieważ dowolny wektor ~

u = (x, y, z) ∈ R

3

da się zapisać jako

kombinacja liniowa e

1

, e

2

, e

3

w następujący sposób:

(x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) = xe

1

+ ye

2

+ ze

3

Grzegorz Jastrzębski

Definicja 1.27. Bazą ortonormalną przestrzeni X nazywamy każdy układ k wektorów tej przestrzeni (a

1

. . . a

k

)

taki, że:

(a

i

|a

j

) =

(

1

i = j

0

i 6= j

(1.8.1)

Twierdzenie 1.28. Jeżeli (a1 . . . a

k

) jest bazą ortonormalną przestrzeni unitarnej X, to dla każdego x ∈ X

x =

k

X

i=1

(x|a

i

) · a

i

(1.8.2)

(każdy wektor przestrzeni X da się zapisać jako kombinacja liniowa wektorów bazy ortonormalnej)

Dowód:

Niech x =

k

P

i=1

λ

i

a

i

λ

i

∈ R

wtedy: (x|a

j

) =



k

P

i=1

λ

i

a

i





a

j



=

k

P

i=1

(λ

i

a

i

|a

j

) =

k

P

i=1

λ

i

(a

i

|a

j

) =

dla ustalonego j = 1 . . . k
= λ

1

(a

1

|a

j

) + . . . + λ

j−1

(a

j−1

|a

j

) + λ

j

(a

j

|a

j

) + λ

j+1

(a

j+1

|a

j

) + . . . + λ

k

(a

k

|a

j

) =

z definicji 1.27
= λ

j

· 1 = λ

j

czyli λ

j

= (x|a

j

) dla j = 1 . . . k

zatem x =

k

P

i=1

λ

i

a

i

=

k

P

i=1

(x|a

i

)a

i

Twierdzenie 1.29. Jeżeli baza jest ortonormalna to jest układem wektorów niezależnych

Dowód:

Weźmy x = 0 wtedy jeżeli 0 =

k

P

i=1

λ

i

a

i

to λ

i

= (0|a

i

) = 0(ξ|a

i

) = 0

Twierdzenie 1.30. Każda niepusta przestrzeń unitarna skończenie wymiarowa ma bazę
ortonormalną

Każdą przestrzeń unitarną k-wymiarową można uważać za izomorficzną z przestrzenią R

k

.

Definicja 1.31. Każdą przestrzeń unitarną skończenie wymiarową nazywa się przestrzenią
euklidesową

Rozdział 2

Ciągi i szeregi ortogonalne

2.1. Ortogonalność

Definicja 2.1. Ciąg funkcyjny (f

n

)

∞

n=0

= (f

0

, . . . , f

n

, . . .) gdzie f

0

, . . . , f

n

, . . . są funkcjami.

Definicja 2.2. Szereg funkcyjny

∞

P

n=0

f

n

gdzie (f

0

, . . . , f

n

, . . .) jest ciągiem funkcyjnym.

Niech X – przestrzeń linowa złożona z funkcji rzeczywistych określonych na ha, bi

X : {f |f : Df → R ∧ ha, bi ⊆ Df }

Definicja 2.3. Dla dowolnych dwóch funkcji f, g ∈ X liczbę

(f |g) =

b

Z

a

f (x)g(x) dx

(2.1.1)

nazywamy iloczynem skalarnym funkcji f i g w przedziale ha, bi.

Definicja 2.4. Normę wyznaczoną przez iloczyn skalarny funkcji f (x) i g(x) na ha, bi zdefiniujemy następująco:

||f ||

def

= (f |f ) =

v
u
u
u
t

b

Z

a

f

2

(x) dx

(2.1.2)

nazywamy normą kwadratową.

Definicja 2.5. Ciąg funkcyjny



ϕ

n

(x)



=



ϕ

0

(x), ϕ

1

(x), . . . , ϕ

n

(x), . . .



nazywamy ortogonalnym w prze-

dziale ha, bi jeżeli:

1)

V

m,n∈N

m6=n

(ϕ

m

|ϕ

n

) = 0

2)

V

n∈N

||ϕ

n

|| > 0

⇐⇒

ϕ

n

6≡ 0 ⇔

W

x∈ha,bi

ϕ

n

(x) 6= 0

Definicja 2.6. Jeżeli



ϕ

n

(x)



∞

n=0

jest ortogonalny w przedziale ha, bi oraz



γ

n



∞

n=0

jest dowolnym ciągiem

liczbowym, to szereg:

∞

X

n=0

γ

n

· ϕ

n

(x)

(2.1.3)

nazywamy szeregiem ortogonalnym w przedziale ha, bi

Niech f (x) będzie funkcją ciągłą na ha, bi

Definicja 2.7. Szereg ortogonalny

∞

P

n=0

c

n

ϕ

n

(x) gdzie

c

n

=

f (x)|ϕ

n

(x)

||ϕ

n

(x)||

2

(2.1.4)

nazywamy szeregiem Fouriera funkcji f (x) względem ciągu ortogonalnego ϕ

n

(x)

w przedziale ha, bi

Uwaga: Szereg

∞

P

n=0

c

n

ϕ

n

(x) jest zbieżny jednostajnie do f (x) na przedziale ha, bi

2. Ciągi i szeregi ortogonalne

11

2.2. Szereg trygonometryczny Fouriera

Definicja 2.8. Mówimy, że funkcja f (x) spełnia w przedziale ha, bi warunku Dirichleta jeżeli:

1

◦

f (x) jest przedziałami monotoniczna na ha, bi przy czym liczba przedziałów monotoniczności jest skończona

2

◦

f (x) jest ciągła na ha, bi z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju

1

przy czym w każdym punkcie nieciągłości wartość funkcji

f (x

0

) =

1

2

"

lim

x→x

+
0

+ lim

x→x

−
0

#

(2.2.1)

3

◦

-

6

b

a

t

d

t

d

d

{

}

d

f (a) = f (b) =

1

2



lim

x→a

+

f (x) + lim

x→b

−

f (x)



f (x) ma skończone granice lim

x→a

+

, lim

x→b

+

oraz

Twierdzenie 2.9 (Dirichleta). Jeżeli f (x) spełnia warunki Dirichleta w przedziale h−`, `i to jest rozwijalna
w szereg trygonometryczny Fouriera dla każdego x ∈ h−`, `i, tzn.:

f (x) =

a

0

2

+

∞

X

n=1

h

a

n

cos



nπx

`



+ b

n

sin



nπx

`

i

(2.2.2)

gdzie

a

n

=

1

`

`

Z

−`

f (x) cos



nπx

`



dx

(2.2.3a)

b

n

=

1

`

`

Z

−`

f (x) sin



nπx

`



dx

(2.2.3b)

a

0

=

1

`

`

Z

−`

f (x) dx

(2.2.3c)

2.2.1. Właściwości szeregów trygonometrycznych Fouriera

1. Jeżeli f (x) jest parzysta na h`, `i, to

a

0

=

2

`

`

Z

0

f (x) dx

a

n

=

2

`

`

Z

0

f (x) cos



nπx

`



dx

b

n

= 0

(2.2.4)

Wtedy f (x) =

a

0

2

+

∞

P

n=1

a

n

cos

nπx

`

funkcja parzysta rozwija się w cosinusowy szereg Fouriera.

2. Jeżeli f (x) jest nieparzysta na h`, `i, to

a

n

= 0

b

n

=

2

`

`

Z

0

f (x) sin



nπx

`



dx

(2.2.5)

1

Istnieją granice funkcji w tych punktach ale nie są równe jej wartości

Grzegorz Jastrzębski

Wtedy f (x) =

∞

P

n=1

b

n

sin

nπx

`

funkcja nieparzysta rozwija się w sinusowy szereg Fouriera.

3. Funkcję f (x), o ile spełnia warunki Dirichleta (Def. 2.8), można przedstawić w przedziale h0, `i za pomocą

szeregu Fouriera sinusowego lub cosinusowego przedłużając ją na przedział h−`, `, i do funkcji parzystej albo
nieparzystej. Mamy wtedy

f (x) =

∞

X

n=1

b

n

sin



nπx

`



albo

f (x) =

a

0

2

+

∞

X

n=1

a

n

cos



nπx

`



(2.2.6)

4. jeżeli f (x) ma okres 2` to rozwinięcie w szereg trygonometryczny Fouriera jest prawdziwe dla każdego x.

2.3. Przykład

f (x) =











2x

dla − π < x < 0

0

dla x = 0

6x

dla 0 < x < π

jest równoważne

f (x) =

(

2x

dla − π < x ¬ 0

6x

dla 0 < x < π

Funkcja spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta (Def. 2.8). Nie spełnia trzeciego ale to nic, bo przedział
jest otwarty i nie interesują nas wartości na granicach.

a

0

=

1

π

π

Z

−π

f (x) dx =

x

2

π







0

−π

+

3x

2

π







π

0

= −π + 3π = 2π

(2.3.1)

a

n

=

1

π

π

Z

−π

f (x) cos(nx) dx =

1

π

0

Z

−π

2x cos(nx) dx +

1

π

π

Z

0

6x cos(nx) dx =

=

2

π

"

x

n

sin(nx) +

1

n

2

cos(nx)

#

0

−π

+

6

π

"

x

n

sin(nx) +

1

n

2

cos(nx)

#

π

0

= −

4

πn

2

+

4

πn

2

cos(nπ) =

=

4

πn

2

[(−1)

n

− 1]

(2.3.2)

b

n

=

1

π

π

Z

−π

f (x) sin(nx) dx =

1

π

0

Z

−π

2x sin(nx) dx +

1

π

π

Z

0

6x sin(nx) dx =

=

2

π

"

−

x

n

cos(nx) +

1

n

2

sin(nx)

#

0

−π

+

6

π

"

−

x

n

cos(nx) +

1

n

2

sin(nx)

#

π

0

= −

8

n

cos(nπ) =

8

n

(−1)

n+1

(2.3.3)

f (x) = π +

1

πn

2

∞

X

n=1

"

4



1 + (−1)

n+1



cos(nx) + 8nπ(−1)

n+1

sin(nx)

#

(2.3.4)

Rozdział 3

Wyznaczanie ekstremali funkcjonału

3.1. Pojęcia wstępne

Definicja 3.1. Funkcjonałem nazywamy dowolne przekształcenie

I: X → R, X 3 f 7→ I(f) gdzie X jest

dowolnym zbiorem funkcji.

Poszukujemy funkcji (krzywej) y = y(x), dla której funkcjonał postaci

I(y) =

x

2

Z

x

1

F (x, y, y

0

) dx osiąga ekstre-

mum przy danych warunkach początkowych y(x

1

) = y

1

; y(x

2

) = y

2

.

Twierdzenie 3.2 (Eulera – warunek konieczny na istnienie ekstremali funkcjonału). Jeśli funkcjonał

I(y) =

x

2

Z

x

1

F (x, y, y

0

) dx osiąga ekstremum dla pewnej funkcji y = y(x), to spełnia równanie Eulera:

F

y

(x, y, y

0

) −

d

dx



F

y

0

(x, y, y

0

)



= 0

(3.1.1)

lub jemu równoważne

F

y

(x, y, y

0

) − F

xy

0

(x, y, y

0

) − F

yy

0

(x, y, y

0

)y

0

− F

y

0

y

0

(x, y, y

0

)y

00

= 0

(3.1.2)

Definicja 3.3. Każde rozwiązanie równania (3.1.1) nazywa się funkcją ekstremalną lub ekstremalą.

3.2. Zadania

Zadanie a)

I(y) =

π

Z

0

(y

0

)

2

− y

2

+ 4y cos x

 dx

F = y

02

− y

2

+ 4y cos x;

y(0) = 0; y(π) = 0

(3.2.1)

F

y

=

−2y + 4 cos x

(3.2.2a)

F

y

0

=

2y

0

(3.2.2b)

d

dx

F

y

0

=

2y

00

(3.2.2c)

Równanie Eulera przyjmuje postać

y

00

+ y = 2 cos x

(3.2.3)

całka ogólna tego równania

y

o

=

C

1

cos x +

C

2

sin x

(3.2.4)

Przewidujemy całkę szczególną postaci

y

s

=

A cos x + B sin xx

(3.2.5a)

y

0

s

=



−

A sin x + B cos x



x +

A cos x + B sin x

(3.2.5b)

y

00

s

=



−

A cos x − B sin x



x +



−

A sin x + B cos x



+



−

A sin x + B cos x



(3.2.5c)

3. Wyznaczanie ekstremali funkcjonału

14

Wstawiamy obliczone pochodne do równania (3.2.3) i otrzymujemy

−

A x cos x − Bx sin x − 2A sin x + 2B cos x + A x cos x + Bx sin x = 2 cos x

skąd

A = 0

B = 1

W rozwiązaniu otrzymujemy rodzinę funkcji

y =

C

1

cos x +

C

2

sin x + x sin x

po wstawieniu warunków początkowych

y(0)

=

C

1

= 0

(3.2.6a)

y(π)

=

−

C

1

= 0

(3.2.6b)

Ostatecznie otrzymujemy ekstremalę w postaci rodziny funkcji

y = (x +

C

2

) sin x

C

2

∈ R

(3.2.7)

Zadanie d)

I(y) =

π

4

Z

0

y

2

− 2y tg x − (y

0

)

2

 dx; y(0) = 0; y(

π

4

) = 1

F = y

2

− 2y tg x − y

02

(3.2.8)

F

y

=

2y − 2 tg x

(3.2.9a)

F

y

0

=

−2y

0

(3.2.9b)

d

dx

F

y

0

=

−2y

00

(3.2.9c)

Równanie Eulera przyjmuje postać

y

00

+ y = tg x

(3.2.10)

całka ogólna tego równania

y

o

=

C

1

cos x +

C

2

sin x

(3.2.11)

Rozwiązujemy metodą uzmienniania stałej
całki szczególne: y

1

= cos x; y

2

= − sin x

(C

0

1

cos x +

C

0

2

sin x

= 0

−

C

0

1

sin x +

C

0

2

cos x

= tg x

(3.2.12)

Wyznacznik główny układu

W =






cos x

sin x

− sin x

cos x






= cos

2

x + sin

2

x = 1

C

1

=

Z

y

2

q(x)

W

dx = −

Z

sin x tg x dx

(3.2.13)

C

2

=

Z

y

1

q(x)

W

dx =

Z

cos x tg x dx =

Z

sin x dx = − cos x +

D

1

(3.2.14)

Mógłbym napisać: dokonując elementarnych przekształceń otrzymuję

C

1

= . . . ale tego nie zrobię. Zatem do

dzieła

−

Z

sin x tg x dx =






tg x

1

cos

2

x

sin x

− cos x






= cos x tg x +

Z

cos x

1

cos

2

x

dx = sin x −

Z

1

cos x

dx

teraz oddzielnie obliczamy

Z

1

cos x

dx =









t = tg

x

2

dx =

2 dt

1+t

2

cos x =

1−t

2

1+t

2









= 2

Z

1

1 − t

2

dt =






1

1 − t

2

=

1
2

1 − t

+

1
2

1 + t






=

Z

1

1 + t

dt −

Z

−1

1 − t

dt =

Grzegorz Jastrzębski

3. Wyznaczanie ekstremali funkcjonału

15

= ln |1 + t| − ln |1 − t| = ln






1 + t

1 − t






= ln






1 + tg

x

2

1 − tg

x

2






= ln






tg

π

4

+ tg

x

2

tg

π

4

− tg

x

2






= ln











sin

π

4

+

x

2

cos

π

4

cos

x

2

cos

π

4

−

x

2

cos

π

4

cos

x

2











= ln







sin

π

4

+

x

2

cos

π

4

−

x

2







=

= ln







sin

π

4

+

x

2

cos

π

4

−

x

2

−

π

2







= ln







sin

π

4

+

x

2

cos

π

4

+

x

2







= ln





tg



π

4

+

x

2






więc

C

1

= sin x − ln





tg



π

4

+

x

2






+

D

1

Rozwiązanie ogólne:

y =



sin x − ln





tg



π

4

+

x

2






+

D

1



cos x + (

D

2

− cos x) sin x

(3.2.15)

Uwzględniając warunki brzegowe

y(0)

=

−

0

z

}|

{

ln





tg

π

4





| {z }

1

+

D

1

= 0

⇒

D

1

= 0

(3.2.16a)

y



π

2



=

1 − ln





tg



π

2






!

· 0 + (

D

2

− 0) = 1

⇒

D

2

= 1

(3.2.16b)

(w zadaniu jest

π

4

ale wtedy nie bardzo daje się rozwiązać)

Ostatecznie otrzymujemy ekstremalę w postaci

y =

sin x − ln





tg



π

4

+

x

2






!

cos x + (1 − cos x) sin x

(3.2.17)

Zadania c) i h)

I(y) =

1

Z

0

y

p

1 + y

02

dx

c) y(0) = cosh(1), y(1) = 1
h) y(0) = 1, y(1) = cosh(1)
F = y

p

1 + y

02

ci co chodzili na wykłady wiedzą że prowadzi to do równania:

yy

00

− y

02

= 1

ktorego rozwiązaniem jest

y =

1

C

cosh[

C(x − D)]

c) warunki brzegowe
y(0) =

1

C

cosh[

C(0 − D)] =

1

C

cosh(

CD) = cosh(1)

y(1) =

1

C

cosh[

C(1 − D)] = 1 = cosh(0)

z tego wynika, że muszą być spełnione warunki:

1

C

= 1

i

C(1 − D) = 0 i CD = 1

⇐⇒

C = 1

D = 1

y = cosh(x − 1)

h) warunki brzegowe
y(0) =

1

C

cosh[

C(0 − D)] =

1

C

cosh(

CD) = cosh(0)

y(1) =

1

C

cosh[

C(1 − D)] = cosh(1)

z tego wynika, że muszą być spełnione warunki:

1

C

= 1

i

C(1 − D) = 1 i CD = 0

⇐⇒

C = 1

D = 0

y = cosh(x)

Grzegorz Jastrzębski

Zadanie g) - Bonus noworoczny

I(y) =

2

Z

1

1

y

p

1 + (y

0

)

2

dx;

y(1) = 1; y(2) = 2

F =

1

y

p

1 + y

02

(3.2.18)

F

y

=

−

1

y

2

p

1 + y

02

(3.2.19a)

F

y

0

=

y

0

y

√

1 + y

0

2

(3.2.19b)

d

dx

F

y

0

=

y

00

y(1 + y

02

) − y

02

(1 + y

02

) − yy

02

y

00

y

2

(1 + y

02

)

3
2

(3.2.19c)

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika i redukcji wyrazów podobnych równanie Eulera przyjmuje postać:

yy

00

+ y

02

+ 1 = 0

(3.2.20)

Wykonujemy podstawienie u = u(y) = y

0

i y

00

=

du
dy

u i otrzymujemy

yu

du

dy

= −(u

2

+ 1)

rozdzielamy zmienne

u

u

2

+ 1

du = −

1

y

dy

i po scałkowaniu otrzymujemy

p

u

2

+ 1 =

1

Cy

wracamy do y

0

nieco porządkujemy

y

02

=

1 −

C

2

y

2

C

2

y

2

Rozdzielamy zmienne

s

y

2

C

2

1 − y

2

C

2

dy = dx

podstawiamy y

C = sin t wtedy dy =

1

C

cos t dt i mamy

s

sin

2

t

1 − sin

2

t

·

1

C

cos t dt = dx

Upraszczamy i otrzymujemy

1

C

sin t dt = dx

Po scałkowaniu mamy −

1

C

cos t = x +

D wracamy do y podstawiając cos t = p1 − y

2

C

2

, podnosimy obie strony

do kwadratu i podstawiamy

1

C

2

=

C

2

otrzymujemy rozwiązanie ogólne

C

2

− y

2

= (x +

D)

2

(3.2.21)

Po wstawieniu warunków brzegowych y(1) = 1 i y(2) = 2 otrzymamy ekstremalę będącą okręgiem o środku
w punkcie (3, 0) i promieniu r =

√

5

(x − 3) + y

2

= 5

(3.2.22)

Dodatek A

Zaliczenie

A.1. Rozwinąć w szereg trygonometryczny Fouriera funkcję

a) f (x) = x

3

w przedziale h−π, πi

b) f (x) =











2x

dla − π < x < 0

0

dla x = 0

6x

dla 0 < x < π

c) f (x) =

(

− cos x

dla − π ¬ x < 0

cos x

dla 0 ¬ x ¬ π

d) f (x) =

(

0

dla − π ¬ x ¬ 0

sin x

dla 0 < x ¬ π

e) f (x) = x cos x w przedziale h−π, πi

f) f (x) =

1
2

π −

1
2

x w przedziale (0, π) w szereg sinusów

g) cos x w przedziale (0, π) w szereg cosinusów

h) f (x) =

(

−1

dla − π ¬ x < 0

1

dla 0 ¬ x ¬ π

i) f (x) = sin x w przedziale h−π, πi

j) f (x) = |sin x| dla dowolnego x

odpowiedzi:

a) f (x) =

∞

X

n=1

 2π

2

n

(−1)

n+1

+

12

n

3

(−1)

n



sin(nx)

b) f (x) = π +

1

πn

2

∞

X

n=1

"

4



1 + (−1)

n+1



cos(nx) + 8nπ(−1)

n+1

sin(nx)

#

c) f (x) =

∞

X

n=2

2n

π(n

2

− 1)

(−1)

n

+ 1

 sin(nx)

n 6= 1

d) f (x) =

1

π

+

sin(x)

2

−

1

π

∞

X

n=2

1 + (−1)

n

n

2

− 1

cos(nx)

e) f (x) =

sin(x)

2

+ 2

∞

X

n=2

n

n

2

− 1

(−1)

n

sin(nx)

f) f (x) =

∞

X

n=1

sin(nx)

n

g) f (x) =

∞

X

n=1

0 · cos(nx) + cos(x) =⇒ f (x) = cos(x)

h) f (x) =

2

π

∞

X

n=1

sin(nx)

n



1 + (−1)

n+1



i) a

n

= 0;

b

1

= 1;

b

n

= 0 (n = 2, . . .)

=⇒ f (x) = sin(x)

j) f (x) =

2

π

+

∞

X

n=2

(−1)

n+1

− 1

n

2

− 1

cos(nx)

A. Zaliczenie

18

A.2. Znaleźć ekstremalę funkcjonału

a) I(y) =

π

Z

0

(y

0

)

2

− y

2

+ 4y cos x

 dx; y(0) = 0; y(π) = 0

b) I(y) =

π

2

Z

0

 − y

2

+ (y

0

)

2

+ 2y sin x

 dx; y(0) = 0; y(

π

2

) = 1

c) I(y) =

1

Z

0

y

p

1 + (y

0

)

2

dx; y(0) = cosh(1); y(1) = 0

d) I(y) =

π

4

Z

0

y

2

− 2y tg x − (y

0

)

2

 dx; y(0) = 0; y(

π

4

) = 1

e) I(y) =

1

Z

0

y

2

+ xy − 2y

2

y

0

 dx; y(0) = 0; y(1) = 1

f) I(y) =

1

Z

−1

yy

0

+ x

2

+ y

2

 dx; y(−1) = 0; y(1) = 0

g) I(y) =

2

Z

1

 1

y

p

1 + (y

0

)

2



dx; y(1) = 1; y(2) = 2

h) I(y) =

1

Z

0

y

p

1 + (y

0

)

2

 dx; y(0) = 1; y(1) = cosh(1)

i) I(y) =

1

Z

0

 − (y

0

)

2

− y

2

+ x

2

+ ye

x

 dx; y(0) = 0; y(1) = 0

j) I(y) =

2

Z

0

y

0

cos(πy) + (x − y)

2

 dx; y(0) = 0; y(2) = 0

Odpowiedzi:

a) y = (x +

C

2

) sin x

b) y = sin x −

1
2

x cos x

c) y = cosh(x − 1)

d) y = sin x − ln




tg(

π

4

+

x

2

)




cos x + (1 − cos x) sin x

e) y = −

1
2

x

f) y = 0

g) (x − 3)

2

+ y

2

= 5

h) y = cosh x

i) y =

e

2

4(e

2

− 1)

e

x

−

e

2

4(e

2

− 1)

e

−x

−

1

4

xe

x

j) y = x

A.3. Krzywizna, ewoluta, ewolwenta

a) Obliczyć promień krzywizny krzywej o równaniu

x = t − sin t; y = 1 − cos t dla t =

π

3

odpowiedź: R = 2

b) r = 2 cos t dla dowolnego t

odpowiedź: R = 1

wskazówka: x = r cos t; y = r sin t

c) y =

1
2

(e

x

+ e

−x

) dla x = 0

odpowiedź: R = 1

Grzegorz Jastrzębski

d) Obliczyć ekstremalne wartości promienia krzywizny krzywej o równaniu: r = cos

3

 t

3



w przedziale 0 ¬ t ¬ 3π

Odpowiedź: t = 0 ∨ t = 3π ⇒ R

max

=

3

4

, t =

3

2

π ⇒ R

min

= 0

e) Znaleźć równanie okręgu krzywiznowego krzywej

y

2

= 12x w punkcie P (3, −6),

odpowiedź: (x − 15)

2

+ (y − 6)

2

= 288

f) y = cos x dla x = 0

odpowiedź: x

2

+ y

2

= 1

g) Znaleźć równanie ewoluty krzywej o równaniu:

y

2

= 2x

odpowiedź: 27y

2

= 8(x − 1)

3

h) xy = 1

odpowiedź: (x + y)

3
2

+ (x − y)

3
2

=

3

√

16

i) x = t − sin t, y = 1 − cos t

odpowiedź: x = t − sin t + π, y = 1 − cos t − 2

j) x = 3t

2

, y = 3t − t

3

odpowiedź: x =

3
2

(1 + 2t

2

− t

4

), y = −4t

3

Dodatek B

Wzory

Całkowanie przez części

Z

u(x)v

0

(x) dx =

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

u(x)

u

0

(x)

x

?

? &

x

?

?

v

0

(x)

v(x)

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

= u(x)v(x) −

Z

u

0

(x)v(x) dx

Szereg Fouriera

f (x) =

a

0

2

+

∞

X

n=1

h

a

n

cos



nπx

`



+ b

n

sin



nπx

`

i

a

0

=

1

`

`

Z

−`

f (x) dx

a

n

=

1

`

`

Z

−`

f (x) cos



nπx

`



dx

b

n

=

1

`

`

Z

−`

f (x) sin



nπx

`



dx

funkcja parzysta

b

n

= 0

a

0

=

2

`

`

Z

0

f (x) dx

a

n

=

2

`

`

Z

0

f (x) cos



nπx

`



dx

funkcja nieparzysta

a

n

= 0

b

n

=

2

`

`

Z

0

f (x) sin



nπx

`



dx

Całki

Z

x sin(nx) dx

=

−

1

n

x cos(xn) +

1

n

2

sin(nx) +

C

(B.1.1)

Z

x cos(nx) dx

=

1

n

x sin(xn) +

1

n

2

cos(nx) +

C

(B.1.2)

Z

x

2

sin(nx) dx

=

−

1

n

x

2

cos(xn) +

2

n

2

x sin(nx) +

2

n

3

cos(nx) +

C

(B.1.3)

Z

x

2

cos(nx) dx

=

1

n

x

2

sin(xn) +

2

n

2

x cos(nx) −

2

n

3

sin(nx) +

C

(B.1.4)

Z

x

3

sin(nx) dx

=

−

1

n

x

3

cos(nx) +

3

n

2

x

2

sin(nx) +

6

n

3

x cos(nx) −

6

n

4

sin(nx) +

C

(B.1.5)

Z

sin(x) cos(nx) dx

=

1

2

Z 

sin(x − nx) + sin(x + nx)



dx

(B.1.6)

Z

sin(x) sin(nx) dx

=

1

2

Z 

cos(x − nx) − cos(x + nx)



dx

(B.1.7)

Z

cos(x) sin(nx) dx

=

1

2

Z 

sin(nx − x) + sin(nx + x)



dx

(B.1.8)

Z

sin

2

(x) dx

=

Z

1 − cos(2x)

2

dx

(B.1.9)

Z

sin(x) cos(x) dx

=

Z

1
2

sin(2x) dx

(B.1.10)

Z

1

cos(ax)

dx

=

1
a

ln



tg



ax

2

+

π

4





(B.1.11)

Z

sin(ax) dx

=

−

1
a

cos(ax)

(B.1.12)

Z

cos(ax) dx

=

1
a

sin(ax)

(B.1.13)

Podstawienie uniwersalne dla całek funkcji trygonometrycznych

t = tg

x

2

,

skąd

dx =

2 dt

1 + t

2

,

sin x =

2t

1 + t

2

,

cos x =

1 − t

2

1 + t

2

B. Wzory

21

Funkcje trygonometryczne i hiperboliczne

sin

2

α + cos

2

α

=

1

(B.1.14)

sin 2α

=

2 sin α cos α

(B.1.15)

cos 2α

=

cos

2

α − sin

2

α = 2 cos

2

α − 1 = 1 − 2 sin

2

α

(B.1.16)

tg(α ± β)

=

tg α ± tg β

1 ∓ tg α tg β

(B.1.17)

sin(α ± β)

=

sin α cos β ± cos α sin β

(B.1.18)

cos(α ± β)

=

cos α cos β ∓ sin α sin β

(B.1.19)

cosh

2

x − sin

2

x

=

1

(B.1.20)

sinh x

=

e

x

− e

−x

2

(B.1.21)

cosh x

=

e

x

+ e

−x

2

(B.1.22)

Krzywizna, promień krzywizny, ewoluta i ewolwenta

krzywizna κ
krzywa postaci y = f (x)

κ =

|y

00

|

p

(1 + y

02

)

3

=

|y

00

|

(1 + y

02

)

3
2

krzywa postaci parametrycznej

κ =

|x

0

y

00

− x

00

y

0

|

(x

02

+ y

02

)

3
2

promień krzywizny R
krzywa postaci y = f (x)

R =

1

κ

=

(1 + y

02

)

3
2

|y

00

|

krzywa postaci parametrycznej

R =

1

κ

=

(x

02

+ y

02

)

3
2

|x

0

y

00

− x

00

y

0

|

Środek krzywizny S(x

s

, y

s

)

krzywa postaci y = f (x)

x

s

= x − y

0

1 + y

02

y

00

y

s

= y +

1 + y

02

y

00

krzywa postaci parametrycznej

x

s

= x − y

0

x

02

+ y

02

x

0

y

00

− x

00

y

0

y

s

= y + x

0

x

02

+ y

02

x

0

y

00

− x

00

y

0

okrąg krzywiznowy: (x − x

s

)

2

+ (y − y

s

)

2

= R

2

Środek krzywizny w punkcie (x

0

, y

0

)

krzywa postaci y = f (x)

x

s

= x

0

− y

0

(x

0

)

1 + (y

0

(x

0

))

2

y

00

(x

0

)

y

s

= y

0

+

1 + (y

0

(x

0

))

2

y

00

(x

0

)

krzywa postaci parametrycznej dla t = t

0

x

s

= x(t

0

) − y

0

(t

0

)

(x

0

(t

0

))

2

+ (y

0

(t

0

))

2

x

0

(t

0

)y

00

(t

0

) − x

00

(t

0

)y

0

(t

0

)

y

s

= y(t

0

) + x

0

(t

0

)

(x

0

(t

0

))

2

+ (y

0

(t

0

))

2

x

0

(t

0

)y

00

(t

0

) − x

00

(t

0

)y

0

(t

0

)

Ewoluta
Ewolutą nazywamy zbiór środków krzywizny danej krzywej y

s

= f (x

s

)

Grzegorz Jastrzębski