Definicja 2.1 Niech E, F beda przestrzeniami liniowymi. Odwzorowanie
ι
ι
A : E → F jest operatorem liniowym jeżeli dla x, y ∈ E, α ∈ R
A( x + y) = A( x) + A( y) , A( αx) = αA( x)
¤
Twierdzenie 2.2 Niech E, F beda przestrzeniami unormowanymi. Operator
ι
ι
liniowy A : E → F jest ciagÃly wtedy i tylko wtedy gdy jest ciagÃly w punkcie 0 .
ι
ι
Definicja 2.3 Niech E, F beda przestrzeniami unormowanymi. Operator liniowy
ι
ι
A : E → F jest ograniczony jeżeli istnieje liczba C > 0 taka, że kA( x) k ≤ Ckxk dla x ∈ E.
¤
Twierdzenie 2.4 (Banach) Niech E, F beda przestrzeniami unormowanymi.
ι
ι
Operator liniowy A : E → F jest ciagÃly wtedy i tylko wtedy gdy jest ograniczony .
ι
Definicja 2.5 Niech E bedzie przestrzenia unormowana. Domknieta kula
ι
ι
ι
ι
ι
ι
jednostkowa w E nazywamy zbiór
ι
D( E) := {x ∈ E; kxk ≤ 1 }
¤
Definicja 2.6 Niech E, F beda przestrzeniami
ι
ι
unormowanymi i niech A : E → F bedzie operatorem liniowym ograniczonym.
ι
Norma operatora A nazywamy liczbe
ι
ι
kAk := sup {kA( x) k; x ∈ D( E) }
¤
1
Twierdzenie 2.7 Niech E, F beda przestrzeniami
ι
ι
unormowanymi i niech A : E → F bedzie operatorem liniowym takim, że A( E) = F.
ι
Jeżeli istnieje liczba m > 0 taka, że
kA( x) k ≥ mkxk dla każdego x ∈ E
to operator A jest różnowartościowy i operator odwrotny A− 1 : F → E jest liniowy i ograniczony.
Twierdzenie 2.8 Jeżeli E, F sa przestrzeniami
ι
unormowanymi i A : E → F jest operatorem
liniowym ograniczonym, to
kAk = sup {kA( x) k; kxk = 1 }
oraz
kA( x) k ≤ kAkkxk dla x ∈ E
Niech E, F beda przestrzeniami unormowanymi.
ι
ι
L( E, F ) – zbiór wszystkich operatorów liniowych ograniczonych z E do F
L( E, F ) jest przestrzenia liniowa z dziaÃlaniami
ι
ι
( A + B)( x) := A( x) + B( x) , ( αA)( x) := αA( x) A, B ∈ L( E, F ) oraz α ∈ R
Twierdzenie 2.9 L( E, F ) jest przestrzenia unormowana. Jeżeli F jest przestrzenia ι
ι
ι
Banacha, to L( E, F ) jest też przestrzenia Banacha.
ι
2