Wyrażenie miar odkształceń (tensorów odkształceń)
przez przemieszczenia
(I) OPIS MATERIALNY
Wektor przemieszczenia
u x X
= −
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
3
3
3
1
2
i
j
u
u
u
X
X
X
u
u
u
u
u
X
X
X
X
u
u
u
X
X
X
⎡
⎤
∂
∂
∂
⎢
⎥
∂
∂
∂
⎢
⎥
⎢
⎥
∂
∂
∂
∂
∇ =
= ⎢
⎥
∂
∂
∂
∂
⎢
⎥
⎢
⎥
∂
∂
∂
⎢
⎥
∂
∂
∂
⎣
⎦
3
3
3
i
j
i
j
x
x
F
X
u
x
X
X
U
F I
stąd F
U I
X
I
X
∂
⎫
∇ =
= ⎪
∂
∇ = ∇ − ∇
⎪
⎬
∂
∇ = −
= ∇
⎪
∇ =
=
⎪
∂
⎭
+
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 1
Stąd
( )
( )
( )
T
T
T
T
C F F
u
I
u
I
I
u
u
u
u
⎡
⎤ ⎡
⎤
=
= ∇
+
∇
+ = + ∇ + ∇ + ∇
∇
⎣
⎦ ⎣
⎦
T
(
)
( )
1
1
2
2
T
T
E
C I
u
u
u
u
⎡
⎤
=
−
=
∇ + ∇ + ∇
∇
⎣
⎦
1
2
j
i
k
ij
k
j
i
i
u
u
u
E
X
X
X
X
⎛
⎞
∂
∂
∂
=
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
j
u
∂
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 2
(I) OPIS PRZESTRZENNY
nadal
u x X
= −
1
1
1
1
2
3
2
2
2
1
2
3
3
3
3
1
2
3
i
j
u
u
u
x
x
x
u
u
u
u
u
x
x
x
x
u
u
u
x
x
x
⎡
⎤
∂
∂
∂
⎢
⎥
∂
∂
∂
⎢
⎥
⎢
⎥
∂
∂
∂
∂
∇ =
= ⎢
⎥
∂
∂
∂
∂
⎢
⎥
⎢
⎥
∂
∂
∂
⎢
⎥
∂
∂
∂
⎣
⎦
1
1
1
i
j
i
j
x
x
I
x
u
x
X
X
u I F
stąd F
I
u
X
F
x
−
−
−
∂
⎫
∇ =
=
⎪
∂
∇ = ∇ − ∇
⎪
⎬
∂
∇ = −
=
⎪
∇ =
=
⎪
∂
⎭
− ∇
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 3
Stąd
(
) ( )
( )
( )
( )
1
1
1
T
T
T
T
T
T
c
FF
F
F
I
u
I
u
I
u
u
u
u
−
−
−
⎡
⎤ ⎡
⎤
=
=
=
− ∇
− ∇
=
⎣
⎦ ⎣
⎦
= − ∇ − ∇ + ∇
∇
(
)
( )
1
1
2
2
T
T
e
I c
u
u
u
⎡
⎤
=
−
=
∇ + ∇ − ∇
∇
⎣
⎦
u
1
2
j
i
k
ij
k
j
i
i
u
u
u
e
x
x
x
x
⎛
⎞
∂
∂
∂
=
+
−
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂ ∂
⎝
⎠
j
u
∂
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 4
Założenie małych odkształceń
1,
1
i
i
j
j
u
u
X
x
∂
∂
∂
∂
1
2
j
i
j
i
u
u
E
x
x
⎛
⎞
∂
∂
≈
+
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
1
2
j
i
j
i
u
u
e
x
x
⎛
⎞
∂
∂
≈
+
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
Założenie małych przemieszczeń
0
i
i
X
x
=
⇒
≈
B
B
Jeżeli przyjmiemy oba powyższe założenia:
(
)
1
2
T
E e
u
u
ε
= =
∇ + ∇
=
– tensor małych odkształceń
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 5
Związki znane z kursu wytrzymałości materiałów
(
,
,
1
1
2
2
j
i
ij
i j
j i
j
i
u
u
u
u
x
x
ε
⎛
⎞
∂
∂
=
+
=
+
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
)
– związki geometryczne
(kinematyczne)
,
,
x
x
xy
u
v
x
y
ε
ε
γ
∂
∂
∂
=
=
=
∂
∂
∂
u
u
y
x
∂
+
∂
1
2
1
2
11
1,1
22
2,2
12
21
1
2
2
1
1
2
2
xy
u
u
u
u
u
u
x
x
x
x
γ
ε
ε
ε
ε
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
=
=
=
=
=
=
+
→
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 6
Problem własny tensora małych odkształceń
(odkształcenia główne i ich kierunki)
Poszukiwane są kierunki (wektory)
, dla których istnieją
niezerowe rozwiązania
n
ε
równania
n
n
ε
ε
=
lub
(
)
0
I n
ε ε
−
=
Iloczyn macierzy
ε
i wektora (mnożnik
n
ε
)
Trzy rozwiązania
– wektory własne macierzy,
odpowiadają im mnożniki
( )
i
n
ε
– wartości własne
Warunkiem rozwiązania
0
n
≠
:
(
)
det
0
I
ε ε
−
=
– równanie algebraiczne 3-go stopnia względem
ε
Postać:
3
2
0
I
II
III
ε
ε
ε
ε
ε
ε
−
+
+
=
ii
I
tr
ε
ε ε
=
=
( )
2
2
1
2
II
tr
tr
ε
ε
ε
⎡
⎤
=
−
⎣
⎦
det
III
ε
ε
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 7
Rozwiązanie: trzy wartości (odkształcenia główne)
(1)
ε
,
(2)
ε
,
(3)
ε
i odpowiadające im wektory (kierunki odkształceń głównych)
,
,
(1)
n
(2)
n
(3)
n
Unormowane wektory własne
ustawione wierszami tworzą
ortogonalną macierz obrotu
( )
i
n
A
Wskutek transformacji tensor wyjściowy przyjmuje postać
diagonalną
.
(1)
(2)
(3)
0
0
'
0
0
0
0
ε
ε
ε
ε
⎡
⎤
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Interpretacja: w kartezjańskim układzie kierunków głównych
(wektorów własnych) istnieją jedynie odkształcenia podłużne, brak
odkształceń postaciowych.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 8
W danym stanie odkształcenia 3D dany jest tensor
ε
Odkształcenia podłużne w kierunku dowolnego wersora dane
jest:
.
n
( )
n
T
n n
ε
ε
=
- forma kwadratowa tensora małych odkształceń
(
)
( )
n
ij i
j
n n
ε
ε
=
ε
względem wektora
n
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 9
Równania nierozdzielności (ciągłości) w R
3
Konsekwencją związków geometrycznych (kinematycznych) są
równania wiążące ze sobą poszczególne składowe tensora małych
odkształceń
(
)
1
2
3
, ,
x x x
ε ε
=
.
Zapis ogólny:
,
,
,
,
0
ij kl
kl ij
ik jl
il ik
ε
ε
ε
ε
+
−
−
=
np.
2
12
12,13
1
3
x x
ε
ε
∂
=
∂ ∂
Ogólnie powinno być 81 równań, tylko 6 niezależnych.
Na płaszczyźnie jedno:
11,22
22,11
12,12
2
0
ε
ε
ε
+
−
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 10
Opis stanu naprężenia
Kurs Wytrzymałości Materiałów: naprężenia
( ,
1,2,3)
ij
i j
σ
=
" "
i – indeks wersora prostopadły do ścianki
" "
j – oś równoległa do danej składowej
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 11
W ustalonym układzie współrzędnych
można utworzyć
macierz naprężeń Cauchy (reprezentacja tensora naprężeń)
1 2 3
Ox x x
11
12
13
21
22
23
31
32
33
x
xy
xz
ij
yx
y
yz
zx
zy
z
σ
σ
σ
σ
τ
τ
σ σ
σ
σ
σ
τ
σ
τ
σ
σ
σ
τ
τ
σ
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
≡
=
→
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
Prawo transformacji tensora
σ
(jako tensora II walencji)
z układu
do układu
1 2 3
Ox x x
1 2 3
Ox x x
′ ′ ′ :
A A
σ
σ
′ ≡
gdzie
)
(
cos
,
ij
i
j
A
x x
α
⎡
⎤
′ ′
≡
= ⎣ )
⎦
– ortogonalna macierz transformacji
(tensor obrotu)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 12
Zależność między wektorem naprężenia a tensorem naprężenia
Wektor naprężenia
w płaszczyźnie o normalnej
(wersor osi ) obliczamy z zależności
(1)
t
[
(1)
1 0 0
T
n
=
]
11
12
13
11
(1)
21
22
23
12
31
32
33
13
1
0
0
t
1
x
(1)
(1)
T
t
n
σ
≡
- jest to działanie tensorowe – kontrakcja, zwężenie proste,
interpretacja macierzowa
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
⎡
⎤ ⎧ ⎫ ⎧
⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎢
⎥
=
=
⎨ ⎬ ⎨
⎬
⎢
⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢
⎥
⎣
⎦ ⎩ ⎭ ⎩
⎭
n
Analogiczne wzory zapisać można dla ścianek o normalnych
i
a
(2)
n
W ogólnym przypadku równanie
obowiązuje w danym
stanie naprężenia (tensor
(3)
n
(1)
(1)
T
t
σ
≡
σ
) dla dowolnie zorientowanej
płaszczyzny, określonej wersorem
n
.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 13
Jest to tzw. postulat Cauchy, wiążący wektor naprężenia w
przekroju o normalnej z tensorem
t
n
σ
j
.
Zapis wskaźnikowy
i
ij
t
n
σ
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 14
Równania równowagi ośrodka ciągłego
V
– objętość obszaru
B
w konfiguracji aktualnej
– odkształconej
3
[m ]
A
– pole powierzchni ograniczającej obszar
B
2
[m ]
i
b b
≡
– wektor sił masowych
[k
N/kg]
i
f
f
≡
– wektor sił powierzchniowych
2
[kN/m ]
ρ – gęstość ośrodka
3
[kN/m ]
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 15
Założenia podstawowe:
• Materia wypełnia objętość
V
w sposób ciągły, ciągłość w sensie
matematycznym – pola gęstości, sił masowych i
powierzchniowych, naprężeń, itp. składają się z funkcji ciągłych
odpowiedniej klasy (
) zmiennych
i czasu .
0
1
,
, ....
C C
1
2
,
,
x x x
3
0
i
i
S
V
t dS
b dV
ρ
⎛
⎞
t
• ośrodek jest jednorodny (własności niezależne od punktu) i
izotropowy (własności niezależne od kierunku)
Równowaga obszaru
B
(suma rzutów sił)
0
S
V
tdS
bdV
ρ
+
=
∫∫
∫∫∫
+
=
⎝
⎠
∫∫
∫∫∫
⎜
⎟
Postulat Cauchy
t
n
σ
=
(
)
i
ij
j
t
n
σ
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 16
Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego (o dywergencji)
div
T
T
S
V
ndS
dV
σ
σ
=
∫∫
∫∫∫
,
0
ji
j
ji j
S
V
n dS
dV
σ
σ
⎛
⎞
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠
∫∫
∫∫∫
– równanie równowagi globalnej obszaru
B
o objętości
V
Równanie to musi być spełnione lokalnie w każdym punkcie, stad
div
0
T
b
σ
ρ
+
=
(
)
,
0
ji j
i
b
σ
ρ
+
=
Równowaga sumy momentów – rezultat, lokalnie w każdym
punkcie
T
σ σ
=
(
)
0
lub
ij
ij
ij ijk
σ
σ
σ ε
=
=
Zagadnienia teorii sprężystości są na ogół statycznie
niewyznaczalne – z samych równań równowagi nie możemy
wyznaczyć niewiadomych tensora naprężeń
σ
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 17
Naprężenia główne i ich kierunki.
Niezmienniki tensora naprężeń.
W dowolnym stanie naprężenia szukamy w przestrzeni takich
kierunków , by wektory i były współliniowe
n
(
t
n
σ – współczynnik liczbowy, długość wektora )
t
Szukane kierunki to tzw. kierunki główne (osie główne) danego
tensora naprężeń
n
σ
Warunek analityczny
(
)
(
)
0
0
ij
ij
j
t
n
n
I n
n
σ
σ
σ σ
σ
σδ
=
=
⇒
−
=
−
=
Po rozpisaniu: równanie algebraiczne III stopnia względem
niewiadomej
σ
3
2
0
I
II
III
σ
σ
σ
σ
σ
σ
−
+
−
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 18
gdzie
ii
I
tr
σ
σ σ
=
=
( )
2
2
1
1
2
2
ii
jj
ij
ji
II
tr
tr
σ
σ
σ
σ σ
σ σ
⎡
⎤
⎡
⎤
=
−
=
−
⎣
⎦
⎣
⎦
1
2
3
det
ijk
i
j
k
III
σ
σ ε σ σ σ
=
=
Rozwiązanie:
trzy wartości własne – naprężenia główne
(1)
σ
,
(2)
σ
,
(3)
σ
i odpowiadające im wektory własne (kierunki główne)
(1)
n
,
,
.
(2)
n
(3)
n
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 19
Unormowane wektory
,
,
tworzą macierz
transformacji
(1)
n
(2)
n
(3)
n
A
, po transformacji do bazy wektorów własnych
(kierunków głównych) tensor naprężeń ma postać diagonalną
(1)
(2)
(3)
0
0
'
0
0
0
0
σ
σ
σ
σ
⎡
⎤
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
stąd wartości niezmienników tensora naprężeń
(1)
(2)
(3)
I
σ
σ
σ
σ
=
+
+
(1)
(2)
(2)
(3)
(1)
(3)
II
σ
σ σ
σ σ
σ σ
=
+
+
(1)
(2)
(3)
III
σ
σ σ σ
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 20
Rozkład tensora (macierzy) naprężeń na tensor kulisty i
deviator
(
)
M
ij
m ij
ij
I S
S
σ σ
σ
σ δ
=
+
=
+
0
Pierwszy składnik – tensor kulisty
0
0
0
0
0
M
M
M
M
I
σ
σ
σ
σ
⎡
⎤
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
1
1
3
3
M
ii
tr
tr
σ
σ
σ
=
=
(wszechstronne rozciąganie lub ściskanie naprężeniem o jednej
wartości, w każdym kierunku takiej samej)
drugi składnik – dewiator
11
12
13
11
12
13
21
22
23
21
22
23
31
32
33
31
32
22
M
M
M
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
−
⎡
⎤ ⎡
⎢
⎥ ⎢
=
=
−
⎢
⎥ ⎢
−
⎢
⎥ ⎢
⎣
⎦ ⎣
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 21
Niezmienniki dewiatora
r
0
S
I
t S
=
=
2
1
1
tr
2
2
S
i
II
S
S S
= −
= −
j ij
można wyrazić w zależności od
ij
σ
Wykazać, że dewiator tensora naprężeń jest równoważny pięciu
niezależnym stanom czystego ścinania
Czyste ścinanie – uwagi ogólne
Przypadek czystego ścinania w płaszczyźnie
1 2
Ox x
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 22
12
12
0
0
0
0
0
0
0
σ
σ
σ
⎡
⎤
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
(1)
12
σ
σ
= −
,
(2)
0
σ
=
,
(3)
12
σ
σ
=
,
Stąd stanem równoważnym jest rozciąganie i ściskanie w układzie
os głównych
12
12
12
12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
σ
σ
σ
σ
σ
σ
⎡
⎤
⎡
⎢
⎥
⎢
′
=
⇒
=
⎢
⎥
⎢
⎢
⎥
⎢
⎣
⎦
⎣
⎤
⎥
−
⎥
⎥⎦
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 23
Dewiator stanu naprężenia można więc rozłożyć w następujący
sposób:
12
13
12
23
13
23
11
11
33
33
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
=
+
+
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
+
−
+
−
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦
⎤
⎥ +
⎥
⎥⎦
22
11
23
S
S
S
= −
−
z warunku
wynika
11
22
33
tr
0
S
S
S
S
=
+
+
=
Dewiator stanu naprężenia jest więc równoważny stanowi czystego
ścinania.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 24
Document Outline