Projekt współfinansowany przez
Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne opracowano do realizacji projektu
”Program Rozwojowy Potencjału Dydaktycznego Politechniki Świętokrzyskiej w Kielcach: kształcenie na miarę sukcesu’’
Umowa UDA-POKL.04.01.01-00-175/08-00
Maszyny elektryczne – wykład multimedialny
Autorzy:
Prof. dr hab. inż. Roman Nadolski
Dr inż. Jan Staszak
Dr inż. Krzysztof Ludwinek
Mgr inż. Zbigniew Gawęcki
Lata realizacji 2008-2011
1.
Ogólne
wiadomości
o
maszynach
elektrycznych,
podstawy
elektromagnetyzmu
1.1
Pole magnetyczne
Zasada działania maszyn elektrycznych i transformatorów opiera się na istnieniu pola
magnetycznego. Pole magnetyczne moŜe być wytworzone za pomocą magnesów trwałych
(rys.1a) lub za pośrednictwem prądu elektrycznego płynącego w przewodniku (rys.1b).
a)
b)
Rys.1. Pole magnetyczne: a) magnesu trwałego, b) przewodu prostoliniowego.
Zwrot linii pola magnetycznego wokół przewodnika prostoliniowego zaleŜy od zwrotu
płynącego prądu i określamy go za pomocą reguły śruby prawoskrętnej.
Zgodnie z tą regułą, jeŜeli zwrot prądu płynącego w przewodniku prostoliniowym jest zgodny
z posuwem śruby to kierunek obrotu śruby wyznacza zwrot linii pola magnetycznego.
Na rys.2a przedstawiono obraz linii pola magnetycznego wytworzony przez prąd elektryczny
płynący w cewce (solenoidzie).
a)
b)
Rys. 2. Obraz linii pola magnetycznego wytworzony przez prąd elektryczny płynący w
cewce (solenoidzie).
Ten koniec cewki z którego linie pola magnetycznego wychodzą na zewnątrz, stanowi biegun
północny N, natomiast koniec cewki do którego linie wchodzą jest biegunem południowym S.
Linie pola magnetycznego wewnątrz cewki są skierowane od bieguna S do bieguna N. Zwrot
linii pola wewnątrz cewki określa się za pomocą reguły prawej ręki (rys. 2b).
Zgodnie z tą regułą prawą rękę naleŜy połoŜyć na cewce tak, aby cztery palce obejmujące
cewkę były skierowane zgodnie z prądem to odchylony duŜy palec wskazuje zwrot linii pola
magnetycznego wewnątrz cewki.
1.2 Indukcja magnetyczna, strumień magnetyczny, natęŜenie pola magnetycznego
Podstawową wielkością charakteryzującą pole magnetyczne jest strumień magnetyczny.
Miarą strumienia jest liczba linii pola przenikająca określoną powierzchnię. Natomiast liczbę
linii pola magnetycznego przypadającą na jednostkę powierzchni prostopadłą do tych linii
nazywamy indukcją magnetyczną. Wartość strumienia magnetycznego przenikającego
powierzchnię S określa zaleŜność
∫
=
Φ
S
BdS
(1)
gdzie: B – wektor indukcji magnetycznej, S – powierzchnia całkowania
Jednostką strumienia jest weber (1Wb = 1Vs), natomiast jednostką indukcji jest tesla
(1T=1Wb/m
2
). Do opisu pola magnetycznego oprócz wektora indukcji magnetycznej B
wprowadza się pojęcie wektora natęŜenia pola magnetycznego H. Jednostką natęŜenia pola
magnetycznego jest A/m. Związek między natęŜeniem pola magnetycznego a indukcją
magnetyczną określa zaleŜność
H
B
µ
=
(2)
gdzie:
µ
jest przenikalnością magnetyczną, przy czym
r
µ
µ
µ
0
=
(3)
We wzorze (3)
µ
0
jest przenikalnością magnetyczną bezwzględną próŜni a
µ
r
jest
przenikalnością względną zaleŜną od rodzaju środowiska. Przenikalność magnetyczna próŜni
wynosi:
µ
0
= 4
π⋅
10
-7
H/m.
1.3 Materiały magnetyczne
Materiały magnetyczne charakteryzują się zdolnością do porządkowania ich cząsteczek lub w
przypadku czystych stopów atomów (tzw. drobin lub domen) pod wpływem zewnętrznego
pola magnetycznego.
Domeny w materiałach magnetycznych przed działaniem zewnętrznego pola magnetycznego
charakteryzują się nieuporządkowaną strukturą, co obrazuje rys. 3.
Rys. 3. Rozkład domen w materiałach magnetycznych.
Stopniowa zmiana kierunku namagnesowania w granicach domen nieuporządkowanych
widoczna jest na rys. 4. Granica domen jest to taki obszar o szerokości około 100 średnic
atomowych, w którym kierunek namagnesowania zmienia się stopniowo aŜ do 180°.
Rys. 4. Stopniowa zmiana kierunku namagnesowania w granicach domen
.
Pod wpływem silnego pola magnetycznego (natęŜenia pola H) domeny te ulegają
uporządkowaniu. Przy natęŜeniu zwanym natęŜeniem nasycenia juŜ wszystkie domeny
ulegają uporządkowaniu co obrazuje rys. 5. Dalsze zwiększanie pola magnetycznego juŜ nic
nie zmienia w strukturze wewnętrznej. Stan taki nosi nazwę nasycenia.
Rys. 5. Wpływ silnego pola magnetycznego- stan nasycenia.
Materiały magnetyczne często opisuje się za pomocą szeregu parametrów, które widoczne są
na rys. 6 przedstawiającym charakterystykę magnesowania B=f(H):
•
µ
max
– maksymalna przenikalność magnetyczna,
•
µ
i
– początkowa przenikalność magnetyczna,
•
NatęŜenie pola powściągające powodujące nasycenie (saturację)H
c
,
•
Indukcja nasycenia pola B
s
,
•
Remanencję (pozostałość szczątkową po zewnętrznych zmianach pola magnetycznego)
B
r
.
Rys. 6. Charakterystyka magnesowania
.
Materiały magnetyczne wykazują tzw. zjawisko histerezy. Histereza to zjawisko
nieodwracalne, polegające na:
•
łatwych i nietrwałych zmianach indukcji magnetycznej pod wpływem zewnętrznego
pola magnetycznego i charakteryzujące się wąską pętlą histerezy – takie materiały
nazywa się magnetycznie miękkie,
•
trudnych i trwałych zmianach indukcji magnetycznej pod wpływem zewnętrznego
pola magnetycznego i charakteryzujące się szeroką pętlą histerezy – takie materiały
nazywa się magnetycznie twarde.
Blacha elektrotechniczna to taki rodzaj blachy, który posiada właściwości materiału
magnetycznie miękkiego.
W elektrotechnice blachy produkuje się w róŜnych grubościach od 0.7 mm (blachy
izotropowe) do 0.23 mm (blachy anizotropowe).
Rys. 7. Charakterystyki magnesowania dla materiałów magnetycznie miękkich i twardych.
W praktyce własności magnetyczne materiałów ferromagnetycznych określa się za pomocą
przenikalności magnetycznej maksymalnej i początkowej. Ponadto w danym punkcie moŜna
wyznaczyć przenikalność statyczną oraz w kaŜdym przedziale zmian natęŜenia pola moŜna
wyznaczyć przenikalność dynamiczną. PowyŜsze przenikalności zilustrowane są na
wykresach.
Rys. 8. Przenikalność magnetyczna początkowa, maksymalna, statyczna i dynamiczna
.
Przebieg zmian indukcji dla róŜnych wymuszeń zmian natęŜenia pola obrazuje
charakterystyka normalna magnesowania (inna nazwa – komutacyjna)
Rys. 9. Charakterystyka magnesowania komutacyjna.
Materiały magnetycznie miękkie
Blacha elektrotechniczna jest to specjalny rodzaj blachy zoptymalizowanej tak, aby osiągnąć
jak najlepsze własności magnetyczne. Stąd jej głównym składnikiem jest Ŝelazo (powyŜej
93%) z dodatkami taki jak, krzem, który zwiększa rezystywność blachy elektrotechnicznej, a
więc po złoŜeniu dowolnej maszyny elektrycznej z takich blach znacznie ograniczy się prądy
wirowe (w przeciwieństwie do stali konstrukcyjnych, węgiel w stopach wykorzystywanych w
elektrotechnice jest dodatkiem niepoŜądanym i jego zawartość jest znacznie redukowana do
moŜliwie najniŜszych wartości). Ponadto krzem ułatwia wytwarzanie struktury
polikrystalicznej - zorientowanej, która znacznie poprawia anizotropowe własności
magnetyczne blachy. W zaleŜności od ilości krzemu wytwarza się blachy elektrotechniczne
izotropowe (tanie), gdzie zawartość krzemu jest zazwyczaj niewielka (mniej niŜ 1 %)
natomiast w blachach anizotropowych (droŜszych) najczęściej jest to około 3 %. Wzrost
zawartości krzemu w blachach elektrotechnicznych spowoduje nieznaczny spadek wartości
nasycenia magnetycznego B
s
ale znacznie wzrosta twardości i kruchość takiej blachy, co
wiąŜe się z trudnościami w obróbce mechanicznej. DuŜe wartości krzemu np. 6.5 % są
niepoŜądane z uwagi na niemal zerową magnetostrykcję blachy czyli wydłuŜenia blachy w
kierunku ustawiania się domen, co jest głównym powodem tzw. buczenia wszystkich
transformatorów szczególnie w energetyce.
Diamagnetyk – materiał w którym występuje zjawisko polegające na osłabianiu indukcji pola
magnetycznego, znajdującym się w zewnętrznym polu magnetycznym. Zjawisko odwrotne do
diamagnetyzmu to paramagnetyzm. Dla tych ciał względna przenikalność magnetyczna µ w
materiale jest niewiele mniejsza od jedności (przenikalność względna dla próŜni =1). Wynika
stąd, Ŝe diamagnetyki osłabiają pole magnetyczne. Do diamagnetyków zalicza się: gazy
szlachetne, prawie wszystkie metale nie wykazujące własności para- lub ferromagnetycznych
(np: złoto, miedź, krzem, bizmut, cynk, magnez), ale równieŜ woda, fosfor, grafit. Zjawisko
diamagnetyzmu zostało opisano po raz pierwszy przez holenderskiego przyrodnika i lekarza
S.J. Burgmansa w 1778 roku. Nazwę "diamagnetyzm" rozpowszechnił Michael Faraday w
1846 r
Paramagnetyk – materiał w którym występuje zjawisko magnesowania się makroskopowego
(nieznacznym wzmacnianiu pola w materiale) w zewnętrznym polu magnetycznym w
kierunku zgodnym z kierunkiem przyłoŜonego zewnętrznego pola magnetycznego.
Paramagnetykiem są substancje o tzw. niesparowanych elektronach. Paramagnetyki mają
przenikalność magnetyczną µ niewiele większą od jedności, tj. (przenikalność względna dla
próŜni =1). Przykłady paramagnetyków: Pt, O
2
, Al. Paramagnetyk jest słabo przyciągany
przez magnes, w odróŜnieniu od ferromagnetyka. Wzmacnianie pola nazywa się podatnością.
Podatność magnetyczna zaleŜy od temperatury, zjawisko to ujmuje prawo Curie. Niektóre
materiały paramagnetyczne poniŜej pewnej temperatury stają się ferromagnetykami. W
niskich temperaturach lub w silnych polach magnetycznych dochodzi do uporządkowania
niemal wszystkich dipoli magnetycznych elektronów w wyniku czego dochodzi do nasycenia.
Ferromagnetyk – materiał w którym występuje zjawisko które wykazuje własności
magnetyczne silnie wzmacniające pole wewnątrz materiału. Materiał taki posiada obszary
stałego namagnesowania (tzw. uporządkowane domeny magnetyczne), wytwarzające wokół
siebie pole magnetyczne w danym kierunku podobnie jak małe magnesy. Ferromagnetykiem
są niektóre pierwiastki z okresu 4 (patrz tabela) Ŝelazo, kobalt, nikiel i niektóre stopy oraz
metale z grupy Ŝelaza i tzw. metali ziem rzadkich. Ferromagnetyki posiadają właściwości
magnetyczne poniŜej temperatury Curie. W ferromagnetykach występuje zjawisko nasycenia
magnetycznego B
s
(patrz rys.) gdzie wszystkie elementarne drobiny czyli dipole magnetyczne
ustawiają się zgodnie z kierunkiem działania zewnętrznego pola magnetycznego.
Ferromagnetyki dzieli się na:
•
miękkie – po usunięciu zewnętrznego pola magnetycznego tracą namagnesowanie
zachowując jedynie namagnesowanie resztkowe B
r
, które jest znacznie mniejsze od
maksymalnego B
s
,
•
twarde - po usunięciu zewnętrznego pola magnetycznego zachowują stan
namagnesowania B
r
•
półtwarde - po usunięciu zewnętrznego pola magnetycznego zachowują stan
namagnesowania, ale jest on łatwy do usunięcia (nietrwały).
Magnesy trwałe stanowią ferromagnetyki twarde, które stosuje się do wyrobu elementów
wzbudzenia w maszynach elektrycznych. Natomiast stojan, wirnik, kolumny i jarzma
stanowią obwody magnetyczne maszyn elektrycznych prądu przemiennego.
Ferromagnetyki półtwarde uŜywane są np. do zapisu danych cyfrowych: FDD, HDD.
WaŜnym parametrem dla ferromagnetyków jest temperatura Curie Tc. Jest to taka
temperatura przy której µi =1 (przenikalność początkowa) materiał nie jest ferromagnetykiem
Ferrimagnetyk - materiał w którym występuje zjawisko polegająca na tym, Ŝe w
temperaturach poniŜej tzw. temperatury Néela pojawia się spontaniczne antyrównoległe
uporządkowanie elementarnych momentów magnetycznych, które to momenty nie
kompensują się wzajemnie do zera w odróŜnieniu od antyferromagnetyków.
C
zołowym
przedstawicielem Ferrimagnetyków jest magnetyt (Fe
3
O
4
), a są to związki o ogólnym wzorze
MeO · Fe
2
O
3
.
Antyferromagnetyk - materiał w którym występuje zjawisko polegająca na początkowym
wzroście z temperaturą, a po osiągnięciu punktu krytycznego (tzw. punktu Neela) podatność
magnetyczna maleje. Antyferromagnetykiem mogą być: Cr, Pt, Pd, Mn.
Związki Ŝelaza uŜywane w elektrotechnice przemysłowej
CZYSTE śELAZO charakteryzuje się duŜą przewodnością magnetyczną i średnią
elektryczną materiału, duŜą indukcją nasycenia do 2T i polem tzw. koercji około 1,2A/m.
•
Dla pól magnetycznych przemiennych charakteryzuje się duŜymi stratami
wynikającymi z braku ograniczenia czystej powierzchni Ŝelaza dla prądów wirowych.
•
Dla pól magnetycznych stałych charakteryzuje się bardzo dobrymi własnościami, stąd
wykorzystuje się czyste Ŝelazo do budowy elementów magnetycznych maszyn prądu
stałego stojan, nabiegunniki ale równieŜ jako rdzenie przekaźników i
elektromagnesów pracujących przy prądach stałych.
Materiały magnetyczne wykonane z czystego Ŝelaza stosuje się w elektrotechnice na elementy
zasilane bardzo niskimi częstotliwościami lub najczęściej w obwodach prądu stałego.
ś
ELAZO z DOMIESZKIAMI (Si - krzem, C - węgiel, Mg - magnez) charakteryzuje mniejsza
przewodność magnetyczna i elektryczna materiału niŜ w/w czystego Ŝelaza, równieŜ mniejszą
indukcją nasycenia poniŜej 2T, większe pole koercji (20 - 40A/m) wynikającą dodatkowych
domieszek.
•
Dla pól magnetycznych przemiennych charakteryzuje się znacznie mniejszymi stratami
wynikającymi z izolacyjnych własności domieszek szczególnie dodawanych przy
powierzchni np. blach co powoduje ograniczenie prądów wirowych. Stąd wykorzystuje
się Ŝelazo z domieszkami (na powierzchni blach) w postaci blach (pakietu) do budowy
elementów magnetycznych rdzeni maszyn wirujących (stojan, wirnik) i transformatorów
(jarzma i kolumny).
•
Dla pól magnetycznych stałych charakteryzuje się równieŜ bardzo dobrymi własnościami,
jednak nieco gorszymi ze względu zmniejszenie udziału czystego Ŝelaza przy tej samej
objętości co czyste Ŝelazo. Stąd dla maszyn elektrycznych pracujących przy prądach
stałych wykorzystuje się raczej czyste Ŝelazo, natomiast wykonuje się tylko niewielkie
wstawki z blach z domieszkami w miejscu gdzie obwód magnetyczny styka się ze
zmiennym polem magnetycznym.
W tabeli podano przykładowe parametry magnetyczne dla stopu Ŝelaza z krzemem zwanej
często stalą krzemową.
Tabela 1. Parametry magnetyczne dla stopu Ŝelaza z krzemem
Rodzaj
Zawartość Si
[%]
Indukcja max.
[T]
Względna
przenikalność
magnetyczna
[-]
Stratność
[W/kg]
1
2.1
14000
3
3
2.0
9000
2.3
Stal krzemowa
4.5
1.96
7000
1.7
Materiały magnetyczne wykonane z Ŝelaza z domieszkami (Si, C, Mg) stosuje się na
częstotliwości nie przekraczające 1000Hz
STOPY śELAZA i NIKLU (30 – 80%), znane pod nazwą PERMALOJ, HYPERM,
SUPERMAALOJ, charakteryzują małe straty wynikające z prądów wirowych szczególnie dla
częstotliwości f > 10 kHz, indukcja nasycenia od 0,8 T do 1,5 T, pole koercji 0,2 – 50A/m,
duŜa przenikalność magnetyczna.
W tabeli 2 podano przykładowe parametry magnetyczne dla stopu Ŝelaza z niklem
Tabela 2. Parametry magnetyczne dla stopu Ŝelaza z niklem
Zawartość Ni
[%]
Indukcja max.
[T]
Względna
przenikalność
magnetyczna
Anizotropia
Nazwa stopu
36
1.3
14000
Nie
Hyperm
50
1.5
28000
Nie
Hyperm
70
0.8
120000
Tak
Permaloj
80
0.82
1000000
Tak
Suprmaloj
Materiały magnetyczne wykonane z stopów Ŝelaza i niklu stosuje się w technice duŜych
częstotliwości powyŜej 100 kHz, jako: cienkie warstwy elementów pamięciowych, głowice
do zapisu magnetycznego, blachy transformatorowe, ekrany magnetyczne.
STOPY śELAZA I KOBALTU (35 – 50%) + V - Vanad, Cr - Chrom, znane pod nazwą
PERMENDUR charakteryzuje duŜa wartość indukcji nasycenia (2,4T), mała rezystywność,
duŜe straty z prądów wirowych, wykorzystuje się je w obwodach prądu stałego i
przemiennego jako: elementy konstrukcyjne maszyn elektrycznych wirujących i
transformatorów AC.
Tabela 3. Parametry wybranych gatunków blach produkowanych w Polsce
Stratność
[W/kg]
B[T] przy H=800A/m
k
Fe
Gatunek
Grubość
[mm]
1.5T
1T
2500
5000
min
EP 330-50A
3.3
1.35
1.49
1.60
EP 400-50A
4.0
1.70
1.51
1.61
EP 470-50A
4.7
2
1.52
1.62
EP 600-50A
0.5
6.0
2.60
1.55
1.65
0.97
EP 530-65A
5.3
2.30
1.52
1.62
EP 600-65A
6.0
2.60
1.54
1.64
EP 700-65A
7.0
3
1.55
1.65
EP 800-65A
0.65
8.0
3.60
1.58
1.68
0.97
Tabela 4. Blachy i taśmy stalowe magnetyczne o ziarnie zorientowanym wg PN-IEC 404-8-7:1996
Stratność
[W/kg]
B[T] przy H[A/m]
k
Fe
Gatunek
wg PN-IEC
404-4-7
1
Grubość
[mm]
1.5T
1.7T
2500
5000
min
Materiały o normalnych właściwościach
089-27-N5
0.27
0.89
1.40
1.75
0.95
097-30-N5
0.30
0.97
1.50
1.75
0.955
111-35-N5
0.35
1.11
1.65
1.75
0.96
Materiały o obniŜonych stratnościach
130-27-S5
0.27
1.30
1.78
0.95
140-30-S5
0.30
1.40
1.78
0.955
155-35-S5
0.35
1.55
1.78
0.96
1
PN-IEC 404-8-7:1996 Materiały magnetyczne – Blachy i taśmy stalowe magnetyczne o
ziarnie zorientowanym
Charakterystyki odmagnesowania magnesów trwałych stosowanych w maszynach
elektrycznych przedstawiono na rys 10.
Rys.10. Charakterystyki odmagnesowania magnesów trwałych
1.4
Podstawowe prawa obwodu magnetycznego
Podstawą do obliczania obwodów magnetycznych są zaleŜności
Θ
=
∫
C
Hdl
(4)
0
=
∫
S
BdS
(5)
Równanie (5) jest postacią całkową I-go równania Maxwella i znane jest pod nazwą prawa
przepływu Ampera. Natomiast równanie (6) wynika z bezźródłowości pola magnetycznego.
Całka liniowa wektora natęŜenia pola magnetycznego H po krzywej zamkniętej C jest równa
przepływowi prądu
Θ
przenikającemu przez powierzchnię ograniczoną tą linią. Przepływ
Θ
jest równy całkowitemu prądowi przenikającemu przez daną powierzchnię.
∫
=
Θ
S
JdS
(6)
W obwodach maszyn elektrycznych i transformatorów rozkład gęstości prądu jest nieciągły,
gdyŜ przepływ prądu jest wytworzony przez uzwojenia umieszczone w Ŝłobkach maszyn
elektrycznych lub przez uzwojenia w postaci skupione (cewki) transformatorów lub
dławików. JeŜeli przez cewkę o liczbie zwojów N (rys.11) przepływa prąd i to przepływ
uzwojenia wynosi:
i
N
=
Θ
(7)
Rys.11. Obwód magnetyczny nierozgałęziony.
Całka liniowa po prawej stronie równania (4) nazywa się napięciem magnetycznym
U
m
∫
=
C
m
Hdl
U
(8)
JeŜeli obwód magnetyczny moŜna podzielić na n odcinków i w kaŜdym z tych odcinków
wektor natęŜenia pola magnetycznego posiada stałą wartość i jest styczny do tych odcinków,
to napięcie magnetyczne moŜe być wyraŜone zaleŜnością
∑
=
=
n
k
k
k
m
l
H
U
1
(9)
Dla obwodu magnetycznego przedstawionego na rys. 11 równanie wektorowe (5) moŜna
zapisać w postaci skalarnej
c
c
l
H
i
N
=
=
Θ
(10)
gdzie: H
c
– średnia wartość natęŜenia pola magnetycznego w rdzeniu, l
c
– średnia długość
obwodu magnetycznego
Ś
rednią wartość indukcji magnetycznej w rdzeniu obliczamy z zaleŜności
c
c
S
B
Φ
=
(11)
Podstawiając zaleŜność (1) do równania (2) oraz wykorzystując zaleŜność (2), otrzymujemy
c
c
c
c
R
S
l
i
N
Φ
=
Φ
=
=
Θ
µ
(12)
gdzie: R
c
– reluktancja obwodu magnetycznego, przy czym
c
c
c
c
S
l
R
µ
=
(13)
Równanie moŜna zapisać w postaci
c
c
R
ΘΛ
=
Θ
=
Φ
(14)
gdzie:
Λ
c
– permeancja (przewodność magnetyczna) obwodu magnetycznego, przy czym
c
c
c
c
l
S
µ
=
Λ
(15)
Równanie (3) przez analogię do obwodów elektrycznych jest nazywane prawem Ohma dla
obwodu magnetycznego, przy czym odpowiednikiem prądu elektrycznego jest strumienia
magnetyczny, odpowiednikiem napięcia elektrycznego jest przepływ zaś odpowiednikiem
rezystancji jest reluktancja obwodu magnetycznego.
Obwody magnetyczne maszyn elektrycznych zawierają szczeliny powietrzne. Na rys.12
przedstawiono obwód magnetyczny ze szczeliną powietrzną.
Rys.12. Obwód magnetyczny nierozgałęziony ze szczeliną powietrzną.
Zakładając, Ŝe przez rdzeń o długości l
c
i szczelinę powietrzną o długości l
δ
przepływa ten
sam strumień
Φ
, wartości indukcji magnetycznej wyniosą odpowiednio
c
c
S
B
Φ
=
(16)
δ
δ
S
B
Φ
=
(17)
Stosując prawo przepływu do obwodu magnetycznego, otrzymujemy
δ
δ
l
H
l
H
c
c
+
=
Θ
(18)
Podstawiając zaleŜności (16) i (17) do równania (18) oraz wykorzystując zaleŜność ()
otrzymujemy
+
Φ
=
Θ
δ
δ
µ
µ
S
l
S
l
c
c
c
0
(19)
Wprowadzając oznaczenia
c
c
c
c
S
l
R
µ
=
(20)
δ
δ
δ
µ
S
l
R
0
=
(21)
zaleŜność (19) przyjmie postać
)
(
δ
R
R
c
+
Φ
=
Θ
(22)
stąd
e
e
c
R
R
R
ΘΛ
=
Θ
=
+
Θ
=
Φ
δ
(23)
lub
e
c
c
c
S
l
S
l
ΘΛ
=
+
Θ
=
Φ
δ
δ
µ
µ
0
(24)
gdzie: R
e
– zastępcza reluktancja obwodu magnetycznego,
Λ
e
– zastępcza permeancja
obwodu magnetycznego, przy czym
δ
δ
µ
µ
S
l
S
l
R
c
c
c
e
0
+
=
(25)
δ
δ
µ
µ
S
l
S
l
c
c
c
e
0
1
+
=
Λ
(26)
Korzystając z analogii do obwodu elektrycznego, zaleŜność (22) moŜna przedstawić w
postaci schematu elektrycznego (rys.13)
2
1
R
R
U
I
+
=
δ
C
R
R
Φ
Θ
+
=
Rys. 13. Analogia pomiędzy obwodem elektrycznym a magnetycznym: a) schemat obwodu
elektrycznego, b) schemat obwodu magnetycznego
.
JeŜeli
µ
c
S
c
/l
c
>>
µ
0
S
δ
/l
δ
, co jest często słuszne w obwodach maszyn elektrycznych i
transformatorów, równanie (24) moŜna napisać w postaci
δ
δ
δ
δ
δ
µ
µ
l
S
i
N
l
S
R
0
0
=
Θ
=
Θ
≈
Φ
(27)
Obwody magnetyczne transformatorów są obwodami rozgałęzionymi (rys poniŜej).
W poszczególnych gałęziach obwodów rozgałęzionych występują na ogół róŜne strumienie.
Między tymi strumieniami zachodzą zaleŜności wynikające z warunku bezźródłowości pola
magnetycznego danego równaniem (5)
Rys. 14. Obwód magnetyczny rozgałęziony.
Zamkniętą powierzchnię dobiera się tak, aby przecinała ona tylko te gałęzie obwodu
magnetycznego, które połączone są z rozpatrywanym węzłem. Zakładając, Ŝe strumień
magnetyczny przechodzi wyłącznie przez rdzenie i szczeliny robocze obwodu (rys.14), a
indukcja B poza rdzeniem jest znikomo mała, moŜna przeprowadzić całkowanie tylko po
powierzchniach przekrojów rdzeni lub szczelin roboczych. Dla trzech gałęzi o przekrojach S
1
,
S
2
, S
3
otrzymuje się
∫
∫
∫
∫
=
+
+
=
1
1
1
0
S
S
S
S
BdS
BdS
BdS
BdS
(28)
PoniewaŜ poszczególne całki we wzorze przedstawiają strumienie magnetyczne
Φ
1
,
Φ
2
,
Φ
3
,
wzór ten moŜna przedstawić w ogólnej postaci
∑
=
=
Φ
n
k
k
1
0
(29)
Wzór ten przez analogię do obwodu elektrycznego nosi nazwę pierwszego prawa Kirchhoffa
dla obwodu magnetycznego
1.5
Indukcyjność własna i wzajemna
W rdzeniach ferromagnetycznych strumień magnetyczny wytworzony przez uzwojenie
zamyka się głównie w rdzeniu, gdyŜ przenikalność magnetyczna rdzenia jest duŜo większa od
przenikalności powietrza. Jednak pewna część strumienia wychodzi na zewnątrz rdzenia i
zamyka się w powietrzu tworząc strumień rozproszenia. Na rys.15 przedstawiono obwód
magnetyczny składający się z rdzenia ferromagnetycznego oraz szczeliny powietrznej.
Rys. 15. Obwód magnetyczny ze szczeliną powietrzną- indukcyjność własna i wzajemna
uzwojeń.
Na rdzeniu nawinięte są dwa uzwojenia: pierwotne (wzbudzające) o liczbie zwojów N
1
i
wtórne o liczbie zwojów N
2
. Strumień
Φ
1
wytworzony przez uzwojenie wzbudzające dzieli
się na strumień główny
Φ
m
zamykający się w rdzeniu i strumień rozproszenia
Φ
σ
zamykający
się poza rdzeniem (w powietrzu).
σ
Φ
+
Φ
=
Φ
m
1
(30)
Strumień sprzęŜony z uzwojeniem pierwotnym wynosi
σ
σ
1
1
1
1
1
1
1
1
Ψ
+
Ψ
=
Φ
+
Φ
=
Φ
=
Ψ
m
m
N
N
N
(31)
Natomiast indukcyjność własną uzwojenia pierwotnego wyznaczamy z zaleŜności
σ
σ
1
1
1
1
1
1
1
1
1
L
L
i
i
i
L
m
m
+
=
Ψ
+
Ψ
=
Ψ
=
(32)
gdzie: L
1
σ
- indukcyjność rozproszenia uzwojenia pierwotnego, L
1m
– indukcyjność główna
(magnesowania) uzwojenia pierwotnego, przy czym
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
Θ
Φ
=
Φ
=
Φ
=
m
m
m
m
N
i
N
N
i
N
L
(33)
Uwzględniając zaleŜności (23) otrzymujemy
δ
δ
µ
µ
S
l
S
l
N
N
L
c
c
c
e
m
0
2
1
2
1
1
+
=
Λ
=
(34)
dla l
δ
= 0, indukcyjność magnesowania wynosi
c
c
c
m
l
S
N
L
µ
2
1
1
=
(35)
natomiast dla
µ
c
S
c
/l
c
>>
µ
0
S
δ
/l
δ
, zaleŜność na indukcyjność magnesowania upraszcza się do
postaci
δ
µ
l
S
N
L
c
m
0
2
1
1
=
(36)
Z uzwojeniem wtórnym sprzęga się strumień główny
Φ
m
i strumień skojarzony z uzwojeniem
wtórnym wyniesie
m
N
Φ
=
Ψ
2
2
(37)
Natomiast indukcyjność wzajemną między uzwojeniem pierwotnym a wtórnym określamy z
zaleŜności
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
2
21
Θ
Φ
=
Φ
=
Φ
=
Ψ
=
m
m
m
N
N
i
N
N
N
i
N
i
L
(38)
m
m
m
L
N
N
N
N
N
N
N
L
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
21
=
Θ
Φ
=
Θ
Φ
=
(39)
Uwzględniając zaleŜność (34) otrzymujemy
δ
δ
µ
µ
S
l
S
l
N
N
N
N
L
c
c
c
e
0
2
1
2
1
21
+
=
Λ
=
(40)
dla l
δ
= 0 oraz
µ
c
S
c
/l
c
>>
µ
0
S
δ
/l
δ
, zaleŜność na indukcyjność wzajemną wyniesie
odpowiednio
c
c
c
l
S
N
N
L
µ
2
1
21
=
(41)
natomiast dla
µ
c
S
c
/l
c
>>
µ
0
S
δ
/l
δ
, zaleŜność na indukcyjność magnesowania upraszcza się do
postaci
δ
µ
l
S
N
N
L
c
0
2
1
21
=
(42)
1.6 Indukcja elektromagnetyczna
Zjawisko indukowania się napięcia w obwodzie elektrycznym pod wpływem zmian
strumienia objętego przez ten obwód nazywa się indukcją elektromagnetyczną. Wartość tego
napięcia określamy na podstawie prawa Faraday’a.
∫
∫
−
=
=
S
C
BdS
dt
d
Edl
e
(43)
Uwzględniając zaleŜność () otrzymujemy
dt
d
Edl
e
C
Φ
−
=
=
∫
(44)
przym znak (
−
) odnosi się do obiegu drogi całkowania zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej
w stosunku do strumienia magnetycznego.
W przypadku szczególnym, w którym ten sam strumień magnetyczny sprzęga się z N
zwojami cewki, zaleŜność moŜemy napisać w postaci
dt
d
dt
d
N
e
Ψ
±
=
Φ
±
=
(45)
We wzorze (45) naleŜy brać znak (+) jeŜeli strzałka e jest przyjęta niezgodnie z regułą śruby
prawoskrętnej w stosunku do strumienia, natomiast znak (
−
) naleŜy brać wtedy gdy strzałka e
jest przyjęta zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej w stosunku do strumienia (rys.16).
a)
dt
dΦ
z
e
−
=
dt
di
L
u
−
=
b)
dt
dΦ
z
e
+
=
dt
di
L
u
=
Rys. 16. Sposoby strzałkowania napięć indukowanych w cewce.
Dla układu elektromagnetycznego przedstawionego na rys. 17 napięcia indukowane w
poszczególnych uzwojeniach wyniosą
m
m
e
e
dt
d
N
dt
d
N
dt
d
e
1
1
1
1
1
1
1
+
=
Φ
+
Φ
=
Ψ
=
σ
σ
(46)
m
m
e
dt
d
N
dt
d
e
2
2
2
2
=
Φ
=
Ψ
=
(47)
gdzie:
Ψ
1
,
Ψ
2
– strumień skojarzony z uzwojeniem pierwotnym i wtórnym, Φ
m
, Φ
1σ
–
strumień magnesowania oraz strumień rozproszenia, przy czym
dt
d
dt
d
N
e
σ
σ
σ
1
1
1
1
Ψ
=
Φ
=
(48)
dt
d
dt
d
N
e
m
m
m
1
1
1
1
Ψ
=
Φ
=
(49)
dt
d
dt
d
N
e
m
m
m
2
1
2
2
Ψ
=
Φ
=
(50)
Uwzględniając zaleŜność (32) otrzymujemy
dt
di
L
e
1
1
1
σ
σ
=
(51)
dt
di
L
dt
d
N
e
m
m
m
1
1
1
1
=
Φ
=
(52)
dt
di
L
dt
d
N
e
m
m
1
21
2
2
=
Φ
=
(53)
gdzie: L
1σ
– indukcyjność rozproszenia uzwojenia pierwotnego, L
1m
– indukcyjność główna
(magnesowania) uzwojenia pierwotnego, L
21
– indukcyjność wzajemna między uzwojeniem
pierwotnym a uzwojeniem wtórnym.
Stosunek napięć indukowanych w uzwojeniu pierwotnym i wtórnym przez strumień główny
Φ
m
nazywamy przekładnią zwojową
ϑ
ϑ
=
=
2
1
2
1
N
N
e
e
m
m
(54)
stąd
'
2
2
1
m
m
m
e
e
e
=
=
ϑ
(55)
gdzie:
'
2m
e
- napięcie indukowane w uzwojeniu wtórnym sprowadzone na stronę uzwojenia
pierwotnego, przy czym
dt
di
L
dt
di
L
N
N
e
e
m
m
m
1
'
2
1
12
2
1
2
'
2
=
=
=
ϑ
(56)
gdzie:
'
2m
L
- indukcyjność magnesowania uzwojenia wtórnego sprowadzona na stronę
uzwojenia pierwotnego.
Uwzględniając zaleŜność (39) indukcyjność magnesowania
'
2m
L
moŜna zapisać w postaci
m
m
m
L
L
N
N
N
N
L
N
N
L
1
1
1
2
2
1
12
2
1
'
2
=
=
=
(57)
ZaleŜnością (46 i 47) odpowiada schemat elektryczny:
a)
b)
i
1
i
2
=0
e
1
e
2
L
1
σ
e
1m
=e
’
2m
Rys 17. Schemat elektryczny obwodu magnetycznego przedstawionego na rys.15:
a)w
układzie rzeczywistym, b) w układzie sprowadzonym.
Uwzględniając zaleŜności (56 i 57) schemat zastępczy (rys. 17a) moŜna przedstawić w
układzie sprowadzonym (rys. 17b).
Przyczyną indukowania się napięcia moŜe być zmiana strumienia magnetycznego w czasie
lub ruch względny przewodnika względem stałego pola. W przypadku ogólnym strumień
Ψ
skojarzony z uzwojeniem moŜe być funkcją czasu t i połoŜenia x uzwojenia względem pola,
czyli
Ψ
=
Ψ
(x,t) oraz x=x(t).
W tych warunkach (rys.18) prawo indukcji elektromagnetycznej moŜna zapisać w postaci
t
x
x
t
dt
d
e
∂
∂
∂
Ψ
∂
+
∂
Ψ
∂
=
Ψ
=
(58)
Z równania (58), wynika Ŝe napięcie w przewodniku moŜe się indukować w następujących
przypadkach:
•
Nieruchomy przewodnik znajduje się w zmiennym polu magnetycznym,
Ψ
=
Ψ
(t)=var.,
v=dx/dt=0, wówczas wzór (58) przyjmie postać
dt
d
t
e
e
t
Ψ
=
∂
Ψ
∂
=
=
(59)
Napięcie indukowane w wyniku zmiennego pola magnetycznego nazywamy napięciem
transformacji e
t
.
•
Ruchomy przewodnik przemieszcza się w stałym polu magnetycznym,
Ψ
=const.,
v=dx/dt
≠
0, wówczas
dt
dx
dx
d
t
x
x
e
e
r
Ψ
=
∂
∂
∂
Ψ
∂
=
=
(60)
a)
b)
c)
d)
Rys. 18. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej: a) model fizyczny, b)napięcie indukowane
transformacji, c) napięcie indukowane rotacji, d)napięcie indukowane transformacji i rotacji.
Zmiana strumienia d
ψ
sprzęŜonego ze zwojem o długości l (rys.19), poruszającym się w
stałym polu magnetycznym wynosi
Bldx
d
=
Ψ
(61)
podstawiając powyŜszą zaleŜność do wzoru (60) otrzymujemy
Blv
e
e
r
=
=
(62)
Napięcie indukowane w wyniku ruchu przewodnika w polu magnetycznym nazywamy
napięciem rotacji e
r
. Do wyznaczania zwrotu indukowanego napięcia stosujemy regułę
prawej dłoni (rys.19)
a)
b)
Rys.19. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej – reguła prawej dłoni
Reguła ta brzmi: jeŜeli prawą dłoń ułoŜymy tak, aby linie strumienia magnetycznego były
zwrócone ku dłoni, a odchylony duŜy palec (kciuk) wskazywał kierunek prędkości względnej
przewodu, to pozostałe cztery palce ułoŜone wzdłuŜ przewodu, wskaŜą zwrot indukowanego
napięcia.
W ogólnym przypadku przewodnik moŜe poruszać się w zmienym polu magnetycznym,
ψ
=var, v=var., wówczas napięcie indukowane moŜna zapisać w ogólnej postaci
Blv
dt
d
e
e
e
r
t
+
Ψ
=
+
=
(63)
1.7
Energia pola magnetycznego
Rozpatrzone zostaną zjawiska energetyczne w cewce zasilanej z idealnego źródła napięcia
stałego u (rys.20). Po zamknięciu wyłącznika W w obwodzie zaczyna płynąć prąd i a w
cewce indukuje się napięcie e.
Rys.20. Schemat zastępczy obwodu elektromagnetycznego cewki zasilanej ze źródła napięcia
stałego.
Dla rozpatrywanego obwodu obowiązuje równanie napięciowe
e
Ri
u
+
=
(64)
MnoŜąc obustronnie równanie (64) przez idt i wykonując całkowanie w czasie od 0 do t,
otrzymujemy bilans energii
∫
∫
∫
+
=
t
t
t
eidt
dt
Ri
uidt
0
0
2
0
(65)
Pierwszy składnik równania (65) przedstawia energię traconą na rezystancji R, natomiast
drugi składnik przedstawia energię W zgromadzoną w cewce
∫
=
t
eidt
W
0
(66)
Podstawiając równanie (65) do równania (66), wyraŜenie na energię pola magnetycznego
moŜna zapisać w postaci
∫
Ψ
Ψ
=
0
id
W
(67)
Podstawiając w równaniu za d
Ψ
=Ldi, otrzymujemy wyraŜenie na koenergię pola
magnetycznego
∫
∫
Ψ
=
=
i
i
c
di
Lidi
W
0
0
(68)
Dla układów liniowych indukcyjność jest stała i nie zaleŜy od przepływającego przez nią
prądu, czyli L=const. Wówczas wyraŜenie na energię i koenergię pola magnetycznego
przyjmie postać
L
d
L
id
W
2
1
2
0
0
Ψ
=
Ψ
Ψ
=
Ψ
=
∫
∫
Ψ
Ψ
(69)
2
0
2
1
Li
Lidi
W
i
c
=
=
∫
(70)
Ze wzorów (69) i (70) wynika, Ŝe dla układów liniowych energia magnetyczna jest równa
koenergii magnetycznej. Graficzną interpretację energii oraz koenergii magnetycznej
przedstawiono na rys 21.
a)
b)
Rys. 21. Energia i koenergia magnetyczna zawarta w polu magnetycznym: a) w środowisku liniowym,
b) nieliniowym.
LITERATURA
[1]
Bajorek Z.: Maszyny elektryczne
, WNT, Warszawa 1983
[2]
Chapman S.J.: Electric machinery fundamentals, Third Edition, McGraw-Hill Book
Company, Singapore 1999.
[3]
Fitzgerald A. E., Kingsley Ch. Jr., Stephen D. Umans S.D.: Electric machinery, Sixth
edition, McGraw-Hill, USA, New York, 2003.
[4]
Gieras J.F., Wing M.: Permanent magnet motor technology. Design and Application,
Second Edition, Marcel Dekker Inc., New York 2002.
[5]
Krause P.C.: Analysis of electric machinery, McGraw-Hill Book Company, New York
1986.
[6]
Kurdziel R.: Podstawy elektrotechniki, WNT, Warszawa 1975
[7]
Latek W.: Teoria maszyn elektrycznych, WNT, Warszawa 1987
[8]
Plamitzer A.: Maszyny elektryczne
, WNT, Warszawa 1982
Document Outline
