Ćwiczenie 11.
Szeregowe i równoległe połączenie elementów RLC
Zadanie
Do sieci o napięciu
(
20
314
2
150
+
⋅
=
u
)
włączono gałąź szeregową złożoną z trzech
elementów idealnych o parametrach: C=25
μF, L=0,25H, R=45Ω.
R
i
L
C
V
1
U
C
U
L
U
R
V
2
Obliczyć:
• wartości skuteczne prądu i napięć
na elementach R, L, C oraz napięć
mierzonych woltomierzami V
1
i V
2
• przebiegi wszystkich wielkości
U
• wykonać wykres wektorowy prądu
i napięć
Rozwiązanie
Obliczamy: pulsację i częstotliwość napięcia
s
rad
314
=
ω
co dopowiada
Hz
50
2
314 =
=
π
f
• reaktancje cewki i kondensatora
Ω
=
⋅
=
=
5
,
78
25
,
0
314
L
X
L
ω
Ω
=
⋅
⋅
=
=
−
4
,
127
10
25
314
1
1
6
C
X
C
ω
• reaktancja obwodu
Ω
−
=
−
=
−
=
9
,
48
4
,
127
5
,
78
C
L
X
X
X
• impedancje obwodu
Ω
=
+
=
+
=
5
,
66
9
,
48
45
2
2
2
2
X
R
Z
• prąd w obwodzie
A
26
,
2
5
,
66
150 =
=
=
Z
U
I
• spadki napięć na elementach R,L, C
V
5
,
101
26
,
2
45
=
⋅
=
⋅
=
I
R
U
R
V
4
,
177
26
,
2
5
,
78
=
⋅
=
⋅
=
I
X
U
L
L
V
9
,
287
26
,
2
4
,
127
=
⋅
=
⋅
=
I
X
U
C
C
• wskazania woltomierzy
V
4
,
204
4
,
177
5
,
101
2
2
2
2
1
=
+
=
+
=
L
R
U
U
U
V
5
,
110
9
,
287
4
,
177
2
=
−
=
−
=
C
L
U
U
U
• kąt przesunięcia fazowego
o
4
,
47
45
9
,
48
arctg
arctg
−
=
−
=
=
R
X
ϕ
• przebieg prądu i napięć
(
)
(
)
(
)
o
4
,
67
314
sin
2
26
,
2
4
,
47
(
20
314
sin
2
26
,
2
314
sin
2
+
⋅
=
−
−
+
⋅
=
−
+
⋅
=
t
t
I
i
o
u
ϕ
ψ
(
)
(
)
o
4
,
67
314
sin
2
5
,
101
314
sin
2
+
⋅
=
+
+
⋅
=
⋅
=
t
U
i
R
u
u
R
R
ϕ
ψ
(
)
(
)
o
o
4
,
157
314
sin
2
,
177
90
314
sin
2
+
⋅
=
+
−
+
⋅
=
t
U
u
u
L
L
ϕ
ψ
(
)
(
)
o
o
6
,
22
314
sin
2
9
,
287
90
314
sin
2
−
⋅
=
−
−
+
⋅
=
t
U
u
u
C
C
ϕ
ψ
(
)
1
2
2
1
sin
2
ϕ
ϕ
ψ
ω
+
−
+
+
⋅
=
u
L
t
X
R
I
u
o
1
2
,
60
45
5
,
78
arctg
arctg
=
=
=
R
X
L
ϕ
(
)
o
1
6
,
127
314
sin
2
4
,
204
+
⋅
=
t
u
(
)
o
2
6
,
22
314
sin
2
5
,
110
−
=
+
=
C
L
u
u
u
• wykres wektorowy
I
U
V
2
U
C
U
L
V
1
U
R
ϕ
<0
0
• podstawę wykresu stanowi wektor prądu I , gdyż elementy obwodu są podłączone
szeregowo
• linią przerywaną wykreślono napięcia wskazane przez woltomierze U
1
i U
2
Zadanie
Obwód przedstawiony na rysunku składa się z trzech impedancji:
j
Z
2
6
1
+
=
,
j
Z
5
4
2
−
=
i
j
Z
3
10
3
−
=
połączonych równolegle do sieci o napięciu U=190-110j.
U
Z
3
Z
1
Z
2
U
Z
Wyznaczyć admitancje zespolone gałęzi, wypadkową admitancję i impedancję układu
równoważnego, kąt przesunięcia fazowego między napięciem i prądem wypadkowym, prądy
gałęziowe i prąd wypadkowy.
Rozwiązanie
• Obliczamy admitancje gałęzi
j
j
Z
Y
05
,
0
15
,
0
2
6
1
1
1
1
−
=
+
=
=
j
j
Z
Y
122
,
0
098
,
0
5
4
1
1
2
2
+
=
−
=
=
j
j
Z
Y
028
,
0
092
,
0
3
10
1
1
3
3
+
=
−
=
=
• wypadkowa admitancja obwodu
j
Y
Y
Y
Y
099
,
0
339
,
0
3
2
1
−
=
+
+
=
• wypadkowa impedancja obwodu
j
j
Y
Z
769
,
0
714
,
2
099
,
0
339
,
0
1
1
−
=
+
=
=
• Kąt przesunięcia fazowego między napięciem a prądem wyznaczamy korzystając
z impedancji wypadkowej R=2,714, X=-0,796
o
3
,
16
2,714
0,796
-
arctg
arctg
−
=
=
=
R
X
ϕ
Odbiornik ma charakter rezystencyjno-pojemnościowy.
• Prądy gałęziowe
j
j
j
Z
U
I
26
23
2
6
110
190
1
1
−
=
+
−
=
=
j
j
j
Z
U
I
439
,
12
951
,
31
5
4
110
190
2
2
=
=
−
−
=
=
j
j
j
Z
U
I
862
,
4
459
,
20
3
10
110
190
3
3
−
=
−
−
=
=
• Prąd wypadkowy
A
63
,
77
423
,
18
41
,
75
o
7
,
13
3
2
1
i
e
I
I
I
I
−
=
−
=
+
+
=
R
e
I
m
0
I
2
U
ϕ
I
1
I
2
I
I
3
I
3
Zadania do rozwiązania
1. Zadanie
Gałąź szeregową złożoną z trzech elementów RLC włączono do sieci o napięciu
skutecznym U=100V. Obliczyć prąd, spadki napięć na elementach i wskazania
woltomierzy, jeżeli: R=5
Ω, X
L
=15
Ω, X
C
=10
Ω.
R
I
X
L
X
C
V
1
U
C
U
R
U
L
V
2
U
Odp.: I=14,14A; U
R
=70,7V; U
L
=212,1V; U
C
=141,1V; U
1
=70,7V ; U
2
=157,8V
2. Zadanie
Trzy impedancje:
j
Z
8
3
1
+
=
,
j
Z
7
4
2
−
=
i
j
Z
3
10
3
−
=
połączono równolegle
i przyłączono do sieci o napięciu U=220j.
Obliczyć admitancje zespolone gałęzi, wypadkową admitancję i impedancję układu
równoważnego, kąt przesunięcia fazowego między napięciem a prądem
wypadkowym, prądy gałęziowe i prąd wypadkowy. Wykonać wykres wektorowy
prądu i napięcia.
U
I
I
2
I
1
Z
2
Z
1
U
I
I
I
3
Z
Z
3
