MO
Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 15
1
Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 15
Z4/15.1. Zadanie 15
Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki prostej przedstawionej na rysunku
Z4/15.1. Wymiary belki podane są w metrach.
A
B
C
D
16,0 kN
32,0 kN/m
4,5
1,5
1,5
[m]
Rys. Z4/15.1. Belka prosta
Z4/15.2. Analiza kinematyczna belki
Rysunek Z4/15.2. przedstawia belkę prostą traktowaną w analizie kinematycznej jako płaską tarczę
sztywną.
1
2
3
I
A
C
D
Rys. Z4/15.2. Belka prosta jako płaska tarcza sztywna
Tarcza sztywna na rysunku Z4/15.2 posiada trzy stopnie swobody. Jest ona podparta trzema prętami
podporowymi 1, 2 i 3. Wszystkie te więzy odbierają razem także trzy stopnie swobody. Został więc
spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (1.4). Belka może więc być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana.
Z4/15.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Aby wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych musimy najpierw przyjąć ich dodatnie zwroty.
Rysunek Z4/15.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki.
Poziomą reakcję na podporze A wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na
belkę na oś poziomą X.
X =H
A
=
0
H
A
=
0,0 kN
.
(Z4/15.1)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 15
2
A
B
C
D
16,0 kN
32,0 kN/m
4,5
1,5
1,5
[m]
V
A
H
A
V
C
X
Y
Rys. Z4/15.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Pionową reakcję na podporze A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających
na belkę względem punktu C.
M
C
=
V
A
⋅
6,0−32,0⋅4,5⋅
1
2
⋅
4,516,0⋅1,5=0
V
A
=
50,0 kN
.
(Z4/15.2)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Pionową reakcję na podporze C otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających
na belkę względem punktu A.
M
A
=−
V
C
⋅
6,032,0⋅4,5⋅
1,5
1
2
⋅
4,5
16,0⋅7,5=0
V
C
=
110,0 kN
.
(Z4/15.3)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę na oś pionową Y.
Y =V
A
V
C
−
32,0⋅4,5−16,0=50,0110,0−144,0−16,0=0
.
(Z4/15.4)
Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę zostały obliczone poprawnie i znajdują się
w równowadze.
Rysunek Z4/15.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach danej
belki.
A
B
C
D
16,0 kN
32,0 kN/m
4,5
1,5
1,5
[m]
50,0 kN
110,0 kN
Rys. Z4/15.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki prostej
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 15
3
Z4/15.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB
Rysunek Z4/15.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym
są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
A
x
50,0 kN
N(x)
T(x)
M(x)
X
Rys. Z4/15.5. Siły działające w przedziale AB
W dalszej części przy wyznaczaniu postaci funkcji siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu
zginającego będziemy korzystali z dwóch następujących zasad:
•
siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać
z minusem
•
siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy
zapisywać z plusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy
zapisywać z minusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego
będziemy zapisywać z plusem.
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.
Jak widać na rysunku Z4/15.5 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła
poprzeczna ma postać
T
x
=
50,0 kN
.
(Z4/15.5)
Moment zginający w przedziale AB będzie miał postać
M
x
=
50,0⋅x
.
(Z4/15.6)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
M
0,0
=
0,0 kNm
M
2,0
=
50,0⋅1,5=75,0 kNm
.
(Z4/15.7)
Jak wiadomo dodatnie momenty zginające rozciągają dolną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
dole.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (4.20) i (4.21). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 15
4
dM
x
dx
=
50,0=T
x
.
(Z4/15.8)
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB przedstawia rysunek
Z4/15.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Z4/15.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC
Rysunek Z4/15.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym
są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
A
B
32,0 kN/m
x
1,5
[m]
50,0 kN
N(x)
T(x)
M(x)
X
Rys. Z4/15.6. Siły działające w przedziale BC
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała
postać
q
x
=
27, 0
kN
m
.
(Z4/15.9)
Jak widać na rysunku Z4/15.6 funkcja siły normalnej jest równa zero. Siłę poprzeczną wyznaczymy z
równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na kierunek tej siły. Funkcja ta ma
postać
T
x
=
50,0−32,0⋅x
.
(Z4/15.10)
Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartości na obu
końcach przedziału. Wartości te wynoszą
T
0,0
=
50,0 kN
T
4,5
=
50,0−32,0⋅4,5=−94,0 kN
.
(Z4/15.11)
Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału BC wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc miejsce
zerowe w tym przedziale. Znajduje się ono
50,0−32,0⋅x
0
=
0
x
0
=
1,563 m
(Z4/15.12)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 15
5
od początku przedziału BC czyli od punktu B.
Moment zginający wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą
część belki względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający.
M
x
=
50,0⋅
x1,5
−
32,0⋅x⋅
x
2
=−
16,0⋅x
2
50,0⋅x75,0
.
(Z4/15.13)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy
wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wynoszą one
M
0,0
=
0,0 kNm
M
1,563
=−
16,0⋅1,563
2
50,0⋅1,56375,0=114,1 kNm
M
4,5
=−
16,0⋅4,5
2
50,0⋅4,575,0=−24,0 kNm
.
(Z4/15.14)
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (4.20) i (4.21). Równania te mają postać
dT
x
dx
=−
32,0=−q
x
,
(Z4/15.15)
dM
x
dx
=
50,0−32,0⋅x=T
x
.
(Z4/15.16)
Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek
Z4/15.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Z4/15.6. Funkcje sił przekrojowych w przedziale CD
Rysunek Z4/15.7 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale CD. Na rysunku tym
są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
N(x)
T(x)
M(x)
D
x
16,0 kN
X
Rys. Z4/15.7. Siły działające w przedziale CD
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.
Jak widać na rysunku Z4/15.7 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła
poprzeczna ma postać
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 15
6
A
B
C
D
16,0 kN
32,0 kN/m
4,5
1,5
1,5
[m]
50,0 kN
110,0 kN
T(x) [kN]
M(x) [kNm]
50,0
94
,0
16,0
0,0
24
,0
0,0
75
,0
1,563
2,937
1,563
2,937
11
4,1
Rys. Z4/15.8. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej
T
x
=
16,0 kN
.
(Z4/15.17)
Moment zginający w przedziale CD będzie miał postać
M
x
=−
16,0⋅x
.
(Z4/15.18)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
M
0,0
=
0,0 kNm
M
1,5
=−
16,0⋅1,5=−24,0 kNm
.
(Z4/15.19)
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (4.29) i (4.30). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać
dM
x
dx
=−
16,0=−T
x
.
(Z4/15.20)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 15
7
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek
Z4/15.8.
Z4/15.7. Wykresy sił przekrojowych
Rysunek Z4/15.8 przedstawia ostateczne wykresy funkcji siły poprzecznej oraz momentu zginającego
w belce złożonej.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Document Outline