1
Przykład 2.1 Belka wieloprzęsłowa I.
Dla statycznie wyznaczalnej belki wieloprzęsłowej o stałej sztywności EJ, obciążonej jak
na rysunku poniżej, wyznaczyć ugięcie w punkcie D i kąt ugięcia w punkcie G.
Rys. 1. Schemat statyczny belki
I. Wyznaczenie przemieszczenia pionowego v punktu D.
Przemieszczenie pionowe wyznaczymy stosując metodę Maxwella-Mohra, ze wzoru
v
D
∑∫
∑∫
=
=
=
=
5
1 0
1
5
1 0
1
1
i
l
zi
zi
i
l
zi
i
i
zi
zi
i
i
dx
M
M
EJ
J
E
ds
M
M
(1)
gdzie: v
D
- pionowe przemieszczenie punktu D,
zi
M - moment gnący w i-tym przedziale belki od obciążenia zewnętrznego,
1
zi
M - moment gnący w i-tym przedziale belki od pionowej siły jednostkowej, przy-
łożonej w punkcie D, odpowiadającej poszukiwanemu przemieszczeniu,
i
l - długość i-tego przedziału belki.
Możemy zastąpić całkowanie analityczne metodą całkowania graficznego. Objaśniono to
poniżej.
Rys. 2. Wykresy funkcji
( )
x
f
i
( )
x
g
Całkowanie wykonujemy korzystając ze wzoru
( ) ( )
η
⋅
=
⋅
∫
A
dx
x
g
x
f
l
0
(2)
gdzie: A - pole wykresu nieliniowego,
2
η - rzędna wykresu liniowego dla odciętej odpowiadającej środkowi ciężkości figury
pierwszego wykresu.
Uwaga: Bierzemy zawsze pole wykresu krzywoliniowego, jeżeli wykres od obciążenia
zewnętrznego jest nieliniowy.
Na wstępie ustalamy znak iloczynu funkcji
( )
x
f
i
( )
x
g
.
Wzór (2) jest również słuszny, gdy oba wykresy są liniowe.
Jeżeli funkcja momentu jest wielomianem, to każdy składnik wielomianu całkujemy osobno.
Rys. 3. Pola i środki ciężkości wybranych figur
Można także skorzystać wprost z odpowiednich tablic z wartościami całek.
1. Obliczenie reakcji i sporządzenie wykresu momentów gnących od obciążenia
zewnętrznego.
Z warunków równowagi dla belki wyznaczamy reakcje podpór
ql
l
M
R
l
R
M
M
F
F
DG
D
=
=
→
=
⋅
+
−
→
=
∑
0
0
ql
R
P
R
P
R
R
P
F
C
F
C
BG
iy
=
−
=
→
=
+
−
−
→
=
∑
0
0
ql
V
l
q
V
P
A
A
AB
iy
=
→
=
⋅
+
−
→
=
∑
0
0
2
2
2
3
2
5
3
0
2
5
3
0
ql
ql
l
R
l
V
M
l
ql
l
R
M
l
V
M
C
A
A
C
A
A
AD
D
=
−
+
=
→
=
⋅
+
⋅
−
+
⋅
−
→
=
∑
0
0
=
→
=
∑
A
ix
H
P
Wykorzystując przeprowadzone obliczenia sporządzamy wykres momentów gnących od
obciążenia zewnętrznego.
Rys. 4. Wykres momentów gnących od obciążenia zewnętrznego.
3
2. Obliczenie reakcji i sporządzenie wykresu momentów gnących od pionowej siły
jednostkowej przyłożonej w punkcie D.
Rys. 5. Schemat statyczny
Wyznaczamy reakcje podpór
0
0
0
1
1
1
=
→
=
⋅
→
=
∑
F
F
DG
D
R
l
R
M
1
0
1
0
1
1
1
1
=
→
=
+
−
−
→
=
∑
C
F
C
BG
iy
R
R
R
P
0
0
1
1
=
→
=
∑
A
AB
iy
V
P
l
l
R
l
V
M
l
R
M
l
V
M
C
A
A
C
A
A
AD
D
=
+
=
→
=
⋅
−
+
⋅
−
→
=
∑
1
1
1
1
1
1
3
0
3
0
0
0
1
1
=
→
=
∑
A
ix
H
P
Wykorzystując przeprowadzone obliczenia sporządzamy wykres momentów gnących od
obciążenia jednostkowego.
Rys. 6. Wykres momentów gnących od pionowej siły jednostkowej, przyłożonej w punkcie D
3. Obliczenie przemieszczenia pionowego v punktu D.
Zauważmy, że pole figury wykresu
g
M w przedziale 1 można przedstawić jako sumę
prostokąta i pola ograniczonego parabolą, dla których znamy pola powierzchni i położenie
środków ciężkości. Całkę w przedziale 1 obliczymy jako sumę iloczynów pól składowych
figury wykresu
g
M przez rzędne w wykresie
1
g
M odpowiadające środkom ciężkości w
wykresie
g
M . Pola powierzchni i odpowiadające im rzędne drugiego wykresu dla odciętej
odpowiadającej środkowi ciężkości figury pierwszego wykresu przedstawiono poniżej (patrz
rysunek 7).
l
ql
l
ql
A
ql
l
ql
A
=
=
=
⋅
⋅
=
=
⋅
=
2
1
3
2
2
3
2
1
6
1
2
1
3
1
η
η
4
Rys. 7. Wykresy momentów gnących w przedziale 1
W przedziale 2 całkę obliczymy mnożąc pole figury wykresu
g
M w przedziale 2 przez
rzędną w wykresie
1
g
M odpowiadającą środkowi ciężkości figury wykresu
g
M w przedziale
2. Podobnie w przedziale 3. Łatwo dostrzec, że całki w przedziałach 4 i 5 są równe zeru.
Ostatecznie wykorzystując wzór (1) i przeprowadzone obliczenia otrzymujemy
EJ
ql
l
l
ql
l
l
ql
l
l
ql
l
l
ql
EJ
v
D
2
5
3
2
2
1
2
1
3
1
1
4
2
2
2
2
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że zwrot wektora przemieszczenia
jest zgodny ze zwrotem założonej siły jednostkowej (Rys. 5).
II. Wyznaczenie kąta ugięcia w punkcie G.
Kąt ugięcia wyznaczymy stosując metodę Maxwella-Mohra, ze wzoru
∑∫
∑∫
=
=
=
=
5
1 0
1
5
1 0
1
1
i
l
zi
zi
i
l
zi
i
i
zi
zi
G
i
i
dx
M
M
EJ
J
E
ds
M
M
θ
(3)
gdzie:
G
θ - kąt ugięcia w punkcie G,
zi
M - moment gnący w i-tym przedziale belki od obciążenia zewnętrznego,
1
zi
M - moment gnący w i-tym przedziale belki od momentu jednostkowego, odpo-
wiadającego poszukiwanemu kątowi ugięcia, przyłożonemu w punkcie G,
i
l - długość i-tego przedziału belki.
5
1. Obliczenie reakcji i sporządzenie wykresu momentów gnących od momentu jednostko-
wego, przyłożonego w węźle G.
Rys. 8. Schemat statyczny
Wyznaczamy reakcje podpór
l
R
l
R
M
F
F
DG
D
1
0
1
0
1
1
1
−
=
→
=
+
⋅
→
=
∑
l
R
R
R
R
P
F
C
F
C
BG
iy
1
0
0
1
1
1
1
1
=
−
=
→
=
−
−
→
=
∑
0
0
1
1
=
→
=
∑
A
AB
iy
V
P
1
3
0
3
0
1
1
1
1
1
1
=
+
=
→
=
⋅
−
+
⋅
−
→
=
∑
l
R
l
V
M
l
R
M
l
V
M
C
A
A
C
A
A
AD
D
0
0
1
1
=
→
=
∑
A
ix
H
P
Wykorzystując przeprowadzone obliczenia sporządzamy wykres momentów gnących od
obciążenia jednostkowego.
Rys. 9. Wykres momentów gnących od momentu jednostkowego, przyłożonego w węźle G.
2. Obliczenie kąta ugięcia
G
θ w punkcie G.
Ostatecznie wykorzystując wzór (3) i wyniki przeprowadzonych obliczeń otrzymujemy
EJ
ql
l
ql
l
ql
l
ql
l
ql
l
ql
EJ
G
6
13
3
2
2
1
3
2
2
1
1
1
2
1
3
1
1
1
3
2
2
2
2
2
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
θ
Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że kąt ugięcia jest zgodny z
założonym momentem jednostkowym (Rys. 8).
Document Outline