Laboratorium Podstaw Automatyki
Badanie właściwości dynamicznych
czujnika temperatury. Model obiektu
inercyjnego I-go rzędu z opóźnieniem
instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych
Copyright © ASIT 2007 (www.asit.pl)
Laboratorium Podstaw Automatyki
Badanie właściwości dynamicznych
czujnika temperatury. Model obiektu
inercyjnego I-go rzędu z opóźnieniem
instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych
Copyright © ASIT 2007 (www.asit.pl)
1
CEL ĆWICZENIA
Zapoznanie z metodami identyfikacji właściwości dynamicznych obiektów oraz
modelowania obiektów inercyjnych wyższych rzędów. Wyznaczenie parametrów modelu
zastępczego przetwornika temperatury na podstawie analizy odpowiedzi na skok
jednostkowy.
WPROWADZENIE TEORETYCZNE
Właściwości dynamiczne obiektu
Kluczowym zagadnieniem w fazie projektowania układów pomiarowych oraz
regulacji jest analiza właściwości dynamicznych elementów składowych układu. Rozpatrzmy
znany każdemu przetwornik temperatury w postaci termometru cieczowego (rtęciowego),
którego schemat budowy przedstawiono na rys.1. Dla potrzeb analizy właściwości
statycznych oraz dynamicznych termometru możemy go rozpatrywać jako element (człon)
przetwarzający jedną wielkość fizyczną (temperaturę otoczenia T
ot
) na inną – w tym
przypadku na wysokość słupka cieczy w kapilarze h – rys.2.
m, c
T
c
T
ot
h
Rys.1. Schemat budowy typowego termometru
cieczowego
Rys.2. Model termometru w ujęciu przyczynowo–
skutkowym
W stanach ustalonych, tzn. gdy temperatura otoczenia T
ot
nie zmienia się lub upłynęło
dostatecznie dużo czasu od ostatniej zmiany (formalnie po czasie t
→∞
), układ termometr–
otoczenie jest w równowadze (T
c
=T
ot
) i zależność h(T
ot
) może być opisana wystarczająco
przez charakterystykę statyczną – rys.3.
termometr
cieczowy
T
ot
h
OBIEKT
x(t)
y(t)
Ogólnie:
2
Rys.3. Przykładowe charakterystyki statyczne termometru cieczowego
A co w przypadku gdy temperatura otoczenia termometru zmienia się gwałtownie?
Każdy zapewne używał lekarskiego termometru rtęciowego i pamięta, że należy go trzymać
pod pachą co najmniej kilka minut gdyż „musi naciągnąć”. Zatem jeśli temperatura otoczenia
(lub w ogólności wielkość wejściowa czy przyczynowa x) jest funkcją czasu x(t), to wysokość
słupka termometru (w ogólności wielkość wyjściowa czy skutek y) też jest funkcją czasu y(t).
Dlatego aby wyczerpująco scharakteryzować (zamodelować) działanie termometru (czy
innego elementu układu) należy określić jego właściwości dynamiczne.
Wyznaczanie właściwości dynamicznych. Obiekt inercyjny I-go rzędu
Właściwości dynamiczne obiektu można określić (wyznaczyć) dwiema różnymi
metodami:
na drodze analizy struktury wewnętrznej obiektu (układu) i zjawisk fizycznych nim
rządzących,
na podstawie analizy odpowiedzi czasowej (reakcji) obiektu na określony sygnał podany
na jego wejście.
W wyniku zastosowania pierwszej metody (zwanej podejściem teoretycznym lub
systemowym) otrzymuje się ogólne równanie wiążące wielkość wejściową do obiektu x,
wyjściową y oraz czas t. Dla przypadku idealnego termometru cieczowego z rys.1. będzie to
h
T
ot
charakterystyka
idealna
charakterystyka
rzeczywista
3
równanie opisujące transport ciepła przez sferę (bańkę szklaną) o powierzchni S i
współczynniku przekazywania ciepła
α
:
)
(
)
(
d
)
(
d
t
T
t
T
t
t
T
A
mc
ot
c
c
=
+
α
;
τ
α
≡
A
mc
)
(
)
(
d
)
(
d
t
T
t
T
t
t
T
ot
c
c
=
+
τ
lub ogólnie:
)
(
)
(
d
)
(
d
t
x
t
y
t
t
y
=
+
τ
(1)
(2)
gdzie c jest ciepłem właściwym cieczy o masie m, a wielkość
α
A
mc
jest parametrem
zależnym tylko od materiałów oraz konstrukcji termometru i nosi nazwę stałej czasowej
τ
.
Zakładając liniowy i bezinercyjny charakter rozszerzalności cieplnej cieczy w termometrze
oraz przyjmując h(T
c
=0)=0 możemy obliczyć wysokość słupka cieczy w kapilarze:
c
c
c
T
B
V
T
h
λ
=
)
(
(3)
gdzie: V
c
jest objętością cieczy o temperaturze T
c
=0, B – pole przekroju poprzecznego
kapilary,
λ
– współczynnik rozszerzalności objętościowej cieczy termometru. Uwzględniając
zależności (1) oraz (3) otrzymujemy równanie wiążące wysokość słupka termometru
cieczowego h z temperaturą otoczenia T
ot
:
)
(
)
(
d
)
(
d
t
T
t
h
t
t
h
V
B
ot
c
=
+
λ
τ
;
1
τ
λ
τ
≡
c
V
B
)
(
)
(
d
)
(
d
1
t
T
t
h
t
t
h
ot
=
+
τ
(4)
Równanie ogólnej postaci (2) opisuje także inne zjawiska fizyczne, w których
strumień energii przepływający do elementu magazynującego energię jest proporcjonalny do
różnicy uogólnionych potencjałów, np. proces ładowania/rozładowywania kondensatora
elektrycznego o pojemności C przez opornik o rezystancji R:
4
)
(
)
(
d
)
(
d
t
U
t
U
t
t
U
RC
we
wy
wy
=
+
;
τ
≡
RC
Uogólniając, układy (obiekty), w których zależność pomiędzy wielkością wejściową i
wyjściową można opisać równaniem różniczkowym o generalnej postaci (2), nazywane są
obiektami inercyjnymi I-go rzędu.
Druga z przytoczonych technik określania właściwości dynamicznych (zwana
identyfikacją doświadczalną) polega na wygenerowaniu i podaniu na wejście obiektu
określonego przebiegu x(t) oraz zarejestrowaniu odpowiedzi (reakcji) obiektu y(t). Następnie
na podstawie charakteru (kształtu) odpowiedzi y(t) przyporządkowuje się badany obiekt do
jednego z uprzednio sklasyfikowanych i opisanych teoretycznie typów obiektów
dynamicznych (np. obiekt inercyjny I-ego rzędu, obiekt całkujący, proporcjonalny).
Parametry (stałe) w ogólnym równaniu opisującym badany obiekt wyznacza się także na
podstawie zarejestrowanej odpowiedzi y(t).
W praktyce, w identyfikacji doświadczalnej właściwości dynamicznych obiektów,
stosuje się wymuszenie skokowe:
x(t) = A 1(t),
(5)
gdzie: 1(t) jest tzw. skokiem jednostkowym, A jest amplitudą wymuszenia (rys.4.).
U
wy
U
we
R
C
OBIEKT
U
we
(t)
U
wy
(t)
5
Rys.4. Wymuszenie skokowe o amplitudzie A
Rozwiązaniem równania (2) opisującego model idealnego termometru cieczowego (w
ogólności obiekty inercyjne I-go rzędu) na wymuszenie skokowe (5) jest:
)
1
(
)
(
τ
t
e
kA
t
y
−
−
=
(6)
gdzie: k jest współczynnikiem wzmocnienia obiektu (termometru),
τ
jego stałą czasową.
Przebiegi czasowe wymuszenia skokowego i odpowiedzi obiektu inercyjnego I-go rzędu
zostały przedstawione na rys.5.
Rys.5. Wymuszenie skokowe i odpowiedź obiektu o charakterystyce inercyjnej I-go rzędu
t
x(t)
0
A
0
τ
t
x(t)
0
A
0
y(t)
y
k
= kA
y( ) =
0,632
y
k
x(t)
y(t)
M
τ
N
6
Na podstawie eksperymentalnie zarejestrowanej odpowiedzi y(t) łatwo wyznaczyć
parametry modelu obiektu, tj. współczynnik wzmocnienia k oraz stałą czasową
τ
. W tym celu
należy wykreślić asymptotę y(t) = y
k
, do której dąży wartość odpowiedzi:
)
(
lim
t
y
y
t
k
∞
→
=
(7)
Współczynnik wzmocnienia obiektu k można obliczyć z zależności:
k = y
k
/
A
W celu wyznaczenia stałej czasowej
τ
należy poprowadzić linię styczną do krzywej
y(t) w chwili t = 0 i odnaleźć punkt przecięcia M z asymptotą odpowiedzi y(t) = y
k
– rys.5.
Współrzędna czasowa punktu M (czas dzielący punkt M od chwili t = 0) jest równy stałej
czasowej obiektu
τ
.
Warto zauważyć, że wartość odpowiedzi w chwili t =
τ
, tj. y
1
= y(
τ
) wynosi:
kA
e
kA
e
kA
y
y
⋅
≈
−
=
−
=
=
−
−
632
,
0
)
1
(
)
1
(
)
(
1
1
τ
τ
τ
(8)
Zatem odcięta punktu N, będącego punktem przecięcia krzywej odpowiedzi z prostą y(t) = y
1
,
jest równa poszukiwanej stałej czasowej
τ
– rys.5.
Obiekty inercyjne wyższych rzędów
W rzeczywistości tylko obiekty o nieskomplikowanej strukturze dają się ściśle opisać
modelem inercyjnym I-go rzędu (2). W praktyce nie da się zbudować idealnego termometru
cieczowego (a także o innej konstrukcji), chociażby z powodu istnienia niezerowej
pojemności cieplnej „bańki” otaczającej ciecz, gradientu temperatury w cieczy termometru –
a stąd transportu ciepła w objętości cieczy, czy z powodu nieliniowego charakteru
rozszerzalności termicznej cieczy.
Typowa odpowiedź rzeczywistego (nieidealnego) czujnika temperatury na
wymuszenie skokowe przedstawiona została na rys.6. i w stosunku do krzywej z rys.5.
charakteryzuje się występowaniem punktu przegięcia P.
7
W celu uproszczenia opisu matematycznego rzeczywistych obiektów, których
odpowiedź na wymuszenie skokowe ma charakter krzywej z rys.6. (obiektów inercyjnych
wyższych rzędów), aproksymuje się je modelem obiektu inercyjnego I-go rzędu z
opóźnieniem, tj. dwóch łańcuchowo połączonych elementów o charakterystyce opóźniającej i
inercyjnej I-go rzędu – rys.7.
Parametrami tego modelu są opisane już wcześniej współczynnik wzmocnienia k i
stała czasową
τ
oraz dodatkowo czas opóźnienia
τ
op
. Metodę wyznaczania tych stałych na
podstawie odpowiedzi na skok jednostkowy ilustruje rys.8. Prosta S jest linią styczną do
krzywej y(t) przeprowadzoną przez punkt przegięcia P. Wyznaczone w ten sposób stałe
τ
oraz
τ
op
nazywane są odpowiednio zastępczą stałą czasową oraz zastępczym czasem opóźnienia.
Rys.6. Wymuszenie skokowe i odpowiedź rzeczywistego (nieidealnego) czujnika temperatury
t
x(t)
0
A
0
y(t)
y
k
= kA
x(t)
y(t)
P
8
Rys.7. Schemat blokowy obiektu inercyjnego I-go rzędu z opóźnieniem oraz jego odpowiedź na
wymuszenie skokowe
Rys.8. Sposób wyznaczania parametrów (k ,
τ
,
τ
op
) modelu zastępczego w postaci obiektu
inercyjnego I-go rzędu z opóźnieniem na podstawie odpowiedzi na skok jednostkowy
t
x(t)
0
A
0
y(t)
y
k
= kA
x(t)
y(t)
P
S
τ
τ
op
t
x(t)
0
A
0
y(t)
y
k
= kA
x(t)
y(t)
człon inercyjny
I-go rz
ę
du
człon
opó
ź
niaj
ą
cy
x(t)
y(t)
τ
τ
op
9
LITERATURA
Ryszard Gessing: Teoria sterowania
Zenon Jędrzykiewicz: Teoria sterowania układów jednowymiarowych
Tadeusz Kaczorek: Teoria sterowania i systemów
Tadeusz Kaczorek: Teoria układów regulacji automatycznej
Tadeusz Stefański: Teoria sterowania cz. I. Układy liniowe
10
OPIS STANOWISKA LABORATORYJNEGO
Schemat poglądowy stanowiska laboratoryjnego do wyznaczania właściwości
dynamicznych czujnika temperatury przedstawiony został na rys.9.
Rys.9. Schemat poglądowy stanowiska laboratoryjnego do identyfikacji właściwości dynamicznych
czujników temperatury
Obiektem badania jest przemysłowy czujnik temperatury (5) typu TP-405 w kształcie
stalowej walcowej sondy z głowicą przyłączeniową, przeznaczony do pomiarów temperatur
cieczy i gazów w rurociągach, kanałach wentylacyjnych itp. Bezpośrednim elementem
przetwarzającym jest standardowy termorezystor Pt100 (rezystor platynowy, R
0oC
=100
Ω
)
zabudowany wewnątrz sondy. Czujnik (5) współpracuje z cyfrowym miernikiem temperatury
(7) umożliwiającym odczyt wyników pomiarów z rozdzielczością 0.1
O
C. Czujnik (5)
wyposażony jest w dodatkowy (demontowany) płaszcz ochronny (6) osłaniający sondę.
Do wymuszenia skokowej zmiany temperatury otoczenia wykorzystywana jest ciecz
(woda destylowana lub wodny roztwór glikolu), której temperatura jest stabilizowana w
naczyniu z grzałką elektryczną (2). Rolę termostatu pełni regulator cyfrowy (3), na
wyświetlaczu którego można także monitorować bieżącą temperaturę cieczy.
N15
7
230V
O
C
24V
µ
P
A
C
RE21
2
3
A
C
O
C
5
1 – wył
ą
cznik zasilania sieciowego
2 – zbiornik z ciecz
ą
3 – regulator temperatury cieczy
4 – wył
ą
cznik regulatora temp . cieczy
5 – czujnik temperatury (sonda)
6 – płaszcz ochronny sondy temp .
7 – cyfrowy miernik temperatury
11
PRZEBIEG ĆWICZENIA
UWAGA! Przed przystąpieniem do realizacji ćwiczenia:
koniecznie zapoznaj się z budową stanowiska laboratoryjnego,
zidentyfikuj elementy składowe stanowiska – wskaż wszystkie urządzenia przedstawione
na schemacie,
powiadom osobę prowadzącą zajęcia o zauważonych uszkodzeniach aparatury (np.
obluzowane lub przetarte przewody elektryczne),
zapoznaj się z całą procedurą przebiegu ćwiczenia podaną poniżej.
Ć
wiczenie polega na doświadczalnym wyznaczeniu wzmocnienia, zastępczego czasu
opóźnienia oraz zastępczej stałej czasowej dla czujnika temperatury w postaci metalowej
sondy.
1. Sprawdź ilość cieczy w naczyniu (2) – prawidłowy poziom wynosi od ½ do ¾ wysokości
naczynia. Uzupełnij ilość cieczy jeśli potrzeba – nie przekraczaj ¾ wysokości. Stosuj
tylko wodę destylowaną lub roztwór glikolu!
2. Odkręć płaszcz ochronny (6) z czujnika temperatury (5). Odłóż czujnik na przeznaczony
do tego celu wieszak. Od tej chwili staraj się nie dotykać sondy temperatury ani płaszcza
ochronnego gdyż ich temperatury muszą wyrównać się z temperaturą panującą w
pomieszczeniu.
3. Włącz zasilanie stanowiska wyłącznikiem sieciowym (1).
4. Włącz zasilanie regulatora temperatury wyłącznikiem (4).
5. Naciśnij jeden raz przycisk regulatora (3) oznaczony ⇑ lub ⇓. Powinna zaświecić się
dioda obok napisu SP co oznacza, że na wyświetlaczu widnieje wartość zadana dla
temperatury cieczy (z ang. Set Point). Używając przycisków ⇑ oraz ⇓ ustaw wartość
zadaną na 55.0
O
C. Nie naciskaj innych przycisków regulatora! Po ok. 30 sekundach
regulator powróci do wyświetlania bieżącej temperatury w naczyniu.
6. Podgrzewanie cieczy od temperatury pokojowej do zadanej potrwa co najmniej 15min. W
tym czasie zapoznaj się z obsługą stopera elektronicznego oraz przygotuj cztery tabele dla
dokumentowania wyników doświadczenia:
12
Numer eksperymentu:
Data:
Typ czujnika:
Warunki eksperymentu
Rezultaty obliczeń
Zainstalowany płaszcz
ochronny:
NIE / TAK
Wskazanie końcowe czujnika
(asymptota) T
2
:
Czynnik wymuszający
(medium):
woda / powietrze
Amplituda odpowiedzi
kA = T
2
–T
0
:
Wskazanie początkowe
czujnika T
0
:
Współczynnik wzmocnienia
czujnika k :
Temperatura medium T
1
:
Zastępcze opóźnienie
τ
op
:
Amplituda wymuszenia
A = T
1
–T
0
:
Zastępcza stała czasowa
τ
:
Wyniki pomiarów
Wyniki pomiarów c.d.
Czas t [s]
Wskazanie czujnika [
O
C]
Czas t [s]
Wskazanie czujnika [
O
C]
0
(T
0
)
5
10
15
20
...
7. Jeżeli temperatura cieczy w zbiorniku ustabilizowała się (oscyluje
±
0,5
O
C wokół
temperatury zadanej) możesz przystąpić do eksperymentu nr 1, tj. wygenerować pierwsze
wymuszenie skokowe: temp. otoczenia
→
temp. cieczy.
8. Zapisz temperaturę początkową wskazywaną przez czujnik T
0
. Wyzeruj stoper.
9. Zdecydowanym ruchem zanurz czujnik temperatury w cieczy jednocześnie uruchamiając
stoper. Notuj wskazania czujnika w tabeli wyników co 5s w pierwszej minucie i co 10s w
drugiej. Z upływem czasu możesz zmniejszać odstępy między pomiarami.
10. Zakończ rejestrację pomiarów jeżeli wskazania czujnika temperatury zmieniają się
wolniej niż ok. 0,1
O
C/30s. Pozostaw czujnik zanurzony w cieczy.
11. Przygotuj drugą tabelę, w której zanotujesz przebieg eksperymentu nr 2 – ochładzania
czujnika od temp. cieczy do temp. otoczenia.
13
12. Przygotuj chusteczkę higieniczną, serwetkę lub suchą szmatkę – będzie potrzebna do
osuszenia sondy czujnika.
13. Zapisz temperaturę początkową wskazywaną przez czujnik T
0
(czujnik zanurzony w
cieczy). Wyzeruj stoper.
14. Zdecydowanym ruchem wyjmij czujnik z cieczy jednocześnie uruchamiając stoper.
Szybko osusz sondę z cieczy przy użyciu chusteczki (parująca z powierzchni czujnika
ciecz gwałtownie odbiera od niego ciepło) i odłóż czujnik na uchwyt.
15. Notuj wskazania czujnika w tabeli wyników co 5s w pierwszej minucie i co 10s w
drugiej. Z upływem czasu możesz zmniejszać odstępy między pomiarami.
16. Zakończ rejestrację pomiarów jeżeli wskazania czujnika temperatury zmieniają się
wolniej niż ok. 0,1
O
C/60s. Pozostaw czujnik w uchwycie.
17. Narysuj wykresy odpowiedzi czujnika na wygenerowane wymuszenia skokowe. Na
podstawie wykresów wyznacz parametry (k ,
τ
,
τ
op
) modelu zastępczego w postaci
obiektu inercyjnego I-go rzędu z opóźnieniem. Wyniki obliczeń zapisz w tabelach.
18. Powtórz całą procedurę (kroki 7
÷
17) dla czujnika temperatury z zamontowanym
płaszczem ochronnym (eksperymenty nr 3 i 4). Rejestrację wyników w fazie ochładzania
czujnika w powietrzu (eksperyment nr 4) możesz zakończyć gdy wskazania czujnika
„zbliżą się” na klika stopni Celsjusza do wskazania w temperaturze otoczenia – czyli
wskazania temperatury czujnika T
0
z początku eksperymentu nr 3. Tą samą temperaturę T
0
przyjmij jako końcowe wskazanie czujnika T
2
w eksperymencie nr 4.
19. Porównaj i przeanalizuj wartości parametrów modeli wyznaczonych w czterech
eksperymentach. Odpowiedz na pytania:
a) Jak wyjaśnić istotną różnicę w wartościach zastępczych stałych czasowych dla tego
samego czujnika w otoczeniu powietrza oraz wody (eksperymenty 1 i 2 oraz
eksperymenty 3 i 4)? Wskazówka: należy rozpatrywać cały układ czujnik–medium
otaczające czujnik temperatury.
b) Czym spowodowane są różnice w wartościach zastępczych stałych czasowych dla
czujnika bez płaszcza ochronnego oraz z płaszczem (eksperymenty 1 i 3 oraz
eksperymenty 2 i 4)?
14
SPRAWOZDANIE
Sprawozdanie z wykonania ćwiczenia powinno zawierać w szczególności:
nazwę ćwiczenia, datę wykonania oraz nazwiska osób wykonujących doświadczenie,
cel i zakres doświadczenia,
tabele z danymi zarejestrowanymi w trakcie przebiegu ćwiczenia,
wykresy krzywych odpowiedzi czujnika temperatury z naniesionymi prostymi, na
podstawie których wyznaczono parametry modeli,
obliczenia i wartości poszukiwanych parametrów modeli,
wnioski.
PYTANIA KONTROLNE
1. Co to jest skok jednostkowy? Narysuj wykres sygnału wymuszenia skokowego o
amplitudzie 26
O
C.
2. Jakiego typu układy fizyczne klasyfikowane są jako obiekty inercyjne I-go rzędu? Jakie
mają cechy wspólne?
3. Podaj ogólne równanie i narysuj odpowiedź układu inercyjnego I-go rzędu (k = 3,
τ
= 7s)
na wymuszenie w postaci skoku jednostkowego.
4. Czy stała czasowa obiektu inercyjnego I-go rzędu zależy od kształtu sygnału podanego na
jego wejście? Uzasadnij odpowiedź.
5. Odpowiedź obiektu inercyjnego I-go rzędu na wymuszenie skokowe wyniosła y(t=0)=0
oraz y(t
→∞
)=2. Oblicz wartość odpowiedzi po czasie równym stałej czasowej obiektu
y(
τ
), y(2
τ
) oraz y(5
τ
).
6. Omów doświadczalną metodę identyfikacji właściwości dynamicznych obiektów oraz w
jaki sposób wyznaczyć stałą czasową obiektu na podstawie jego odpowiedzi na
wymuszenie.
7. Jakim modelem dynamicznym aproksymowane są najczęściej obiekty inercyjne wyższych
rzędów? Narysuj schemat blokowy modelu i objaśnij znaczenie parametrów modelu.
8. Wyjaśnij jak na podstawie wykresu odpowiedzi obiektu inercyjnego II-go (lub wyższego)
rzędu na wymuszenie skokowe wyznaczyć parametry modelu zastępczego w postaci
obiektu inercyjnego I-go rzędu z opóźnieniem.