Opracowala: K. Sokolowska
66
15. ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ
15.1. Definicja macierzy i jej rodzaje
•
Def
Macierzą o wymiarach mxn nazywamy tablicę liczb postaci:
=
mn
m
m
n
n
mxn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
lub w postaci uproszczonej
n
m
ij
mxn
a
A
×
=
]
[
.,
gdzie: m- liczba wierszy macierzy A,
n – liczba kolumn macierzy A
Liczbę a
ij
nazywamy elementem macierzy (i-numer wiersza, j- numer kolumny).
PRZYKŁAD 56
W macierzy
−
=
5
3
1
0
1
2
A
element:
1
,
0
21
13
−
=
=
a
a
.
•
Rodzaje macierzy
Typ macierzy
Opis
Przykład
Wierszowa
(Wektor
wierszowy)
Posiada tylko jeden wiersz
[
]
[ ]
3
1
3
2
1
x
A
=
Kolumnowa
(Wektor
kolumnowy)
Posiada tylko jedna kolumnę
[ ]
1
3
3
2
1
x
A
=
Prostokątna
Liczba kolumn w tej macierzy
nie jest równa liczbie wierszy
[ ]
3
2
1
2
3
3
2
1
x
A
=
Kwadratowa
Posiada taka sama liczbe wierszy
i kolumn (m=n). Liczbe n
nazywamy stopniem macierzy
kwadratowej. Uklad elementów
nn
a
a
a
,...,
,
22
11
w
macierzy
kwadratowej
stopnia
n
nazywamy glówna przekatna
macierzy.
=
nn
n
n
n
n
mxn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
=
4
3
2
1
A
,
[ ]
12
−
=
B
Zerowa
Wszystkie elementy macierzy sa
zerami
[ ]
[ ]
2
2
3
2
0
0
0
0
,
0
0
0
0
0
0
x
x
B
A
=
=
PDF created with pdfFactory trial version
www.pdffactory.com
Opracowala: K. Sokolowska
67
Typ macierzy
Opis
Przykład
Transponowana
Jezeli w macierzy A=
[
]
a
ij m n
×
zamienimy wiersze na kolumny,
a kolumny na wiersze, to taka
macierz
nazywamy
macierza
transponowana i oznaczamy
[ ]
A
a
T
ij n m
=
×
−
=
−
=
5
0
3
1
1
2
5
3
1
0
1
2
T
A
A
( )
A
A
T
T
=
Symetryczna
Nie zmienia swojej postaci
poddana
transponowaniu
(istnieje tylko dla macierzy
kwadratowych)
=
=
4
2
2
1
4
2
2
1
T
T
A
A
A
T
=
Diagonalna
Wszystkie
elementy
poza
glówna przekatna sa zerami
(istnieje tylko dla macierzy
kwadratowych)
=
7
0
0
0
3
0
0
0
1
A
Jednostkowa
Elementy polozone na glównej
przekatnej sa jedynkami, poza
glówna przekatna sa zerami
(istnieje tylko dla macierzy
kwadratowych)
=
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
,
1
0
0
1
B
A
Trójkatna dolna
Wszystkie elementy polozone
ponad glówna przekatna sa
równe zero (istnieje tylko dla
macierzy kwadratowych)
=
1
9
0
0
1
3
0
0
1
A
Trójkatna górna
Wszystkie elementy polozone
pod glówna przekatna sa równe
zero (istnieje tylko dla macierzy
kwadratowych)
=
1
0
0
7
1
0
1
2
1
A
15.2. Działania na macierzach
•
równość macierzy
Dwie macierze są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam wymiar i takie same elementy
w odpowiednich wierszach.
PRZYKŁAD 57
2
1
5
0
6
7
2
1
5
0
6
7
0
6
7
2
1
5
=
≠
PDF created with pdfFactory trial version
www.pdffactory.com
Opracowala: K. Sokolowska
68
•
działania na macierzach
Niech
[ ]
[ ]
.
,
mxn
ij
mxn
ij
b
B
a
A
=
=
a) dodawanie (odejmowanie macierzy)
Dwie macierze można dodawać (odejmować) wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam wymiar.
Macierze dodajemy sumując wartości liczb znajdujących się na tych samych pozycjach
dodawanych macierzy.
[ ] [ ] [ ]
C
c
b
a
B
A
mxn
ij
mxn
ij
mxn
ij
=
=
±
=
±
, gdzie
ij
ij
ij
b
a
c
±
=
PRZYKŁAD 58
[ ]
[ ]
3
2
3
2
1
2
0
1
4
3
7
5
2
1
0
1
x
x
B
A
−
−
=
−
=
[ ]
3
2
8
7
2
2
4
2
1
7
2
5
0
2
)
1
(
1
4
0
)
3
(
1
x
B
A
−
−
=
+
+
+
−
+
−
+
−
+
=
+
[ ]
3
2
6
3
2
0
4
4
1
7
2
5
0
2
)
1
(
1
4
0
)
3
(
1
x
B
A
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
b) mnożenie macierzy przez liczbę
Aby pomnożyć macierz przez liczbę
R
k
∈
mnożymy każdy element tej macierzy przez daną
liczbę k .
[ ] [ ]
mxn
ij
mxn
ij
c
a
k
kA
=
=
, gdzie
ij
ij
a
k
c
⋅
=
PRZYKŁAD 59
A
a
=
−
=
1
2
0
1
1 8
4
,
4
1 4
2 4
0 4
1 4
1 4
8 4
4
8
0
4
4
32
⋅ =
⋅
⋅
⋅
⋅
− ⋅
⋅
=
−
A
.
c) mnożenie macierzy przez macierz
Iloczyn macierzy A i B istnieje wtedy i tylko wtedy gdy ilość kolumn macierzy A jest równa ilości
wierszy macierzy B.
[ ]
[ ]
A
a
B
b
ij
m p
ij
p n
=
=
×
×
[ ] [ ] [ ]
A
a
b
c
C
ij
m p
ij
p n
ij
m n
⋅ =
=
=
×
×
×
B
Elementy macierzy C znajdziemy posługując się wzorem
c
a b
a b
a b
a b
ij
i
j
i
j
ip
pj
ik
k
p
kj
=
+
+ +
=
=
=
=
∑
1 1
2
2
1
...
i
1,..., m; j
1,..., n
gdzie
.
PRZYKŁAD 60
Dla danych macierzy A i B znaleźć AB.
PDF created with pdfFactory trial version
www.pdffactory.com
Opracowala: K. Sokolowska
69
1)
[ ]
[ ]
2
3
3
4
0
1
7
2
8
1
8
1
1
2
3
2
1
0
1
1
5
0
x
x
B
i
A
−
=
−
−
=
[ ]
2
4
1
5
37
2
8
2
35
11
0
8
7
1
8
)
1
(
1
8
)
2
(
1
1
)
1
(
0
2
7
3
8
2
1
2
)
2
(
3
1
2
0
1
7
0
8
1
1
1
)
2
(
0
1
1
0
)
1
(
7
5
8
0
1
)
1
(
)
2
(
5
1
0
0
1
7
2
8
1
8
1
1
2
3
2
1
0
1
1
5
0
x
B
A
−
−
−
=
⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
+
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
−
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
−
⋅
+
⋅
⋅
−
+
⋅
+
⋅
⋅
−
+
−
⋅
+
⋅
=
−
⋅
−
−
=
⋅
2)
[ ]
[ ]
1
3
3
4
1
2
1
8
1
1
2
3
2
1
0
1
1
5
0
x
x
B
i
A
−
=
−
−
=
[ ]
1
4
5
2
2
11
1
8
)
2
(
1
1
)
1
(
1
2
)
2
(
3
1
2
1
1
)
2
(
0
1
1
1
)
1
(
)
2
(
5
1
0
x
B
A
−
−
=
⋅
+
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
−
⋅
+
⋅
⋅
+
−
⋅
+
⋅
⋅
−
+
−
⋅
+
⋅
=
⋅
3)
[
]
[ ]
[ ]
( ) ( )
[
] [ ]
[ ]
1
1
1
3
3
1
11
1
1
2
5
1
0
1
2
1
1
5
0
x
x
x
B
A
B
i
A
−
=
⋅
−
+
−
⋅
+
⋅
=
⋅
−
=
−
=
4)
[
]
[ ]
[ ]
[ ]
3
3
1
3
3
1
1
5
0
2
10
0
1
5
0
1
2
1
1
5
0
x
x
x
A
B
B
i
A
−
−
−
=
⋅
−
=
−
=
•
własności iloczynu macierzowego
a) iloczyn macierzy nie jest na ogół przemienny, tzn.
A B
B A
⋅ ≠ ⋅
PRZYKŁAD 61
A
B
=
−
=
1
1
3
2
2
0
1
5
,
A B
B A
⋅ =
−
⋅ =
−
1
5
8 10
2
2
16
9
A B
B A
⋅ ≠ ⋅
b) A BC
AB C
(
)
(
)
=
reguła łączności
c) (
)
A
B C
AC
BC
+
=
+
reguła rozdzielności
PDF created with pdfFactory trial version
www.pdffactory.com
Opracowala: K. Sokolowska
70
d) C A
B
CA
CB
(
)
+
+
+
reguła rozdzielności
e)
A
IA
AI
=
=
PRZYKŁAD 62
=
−
=
1
0
0
1
,
2
3
1
1
I
A
A
AI
=
−
=
⋅
−
=
2
3
1
1
1
0
0
1
2
3
1
1
15.3. Wyznacznik macierzy
•
Wyznacznik macierzy kwadratowej A (oznaczamy przez detA bądź A ) jest jednoznacznie
określoną liczbą związan
Ą
z tą macierzą. Wyznaczniki są zdefiniowane jedynie dla macierzy
kwadratowych.
•
Liczbę kolumn macierzy (lub wierszy) nazywamy stopniem wyznacznika tej macierzy.
a) Wyznacznik macierzy
[ ]
11
a
stopnia pierwszego jest równy liczbie
11
a .
PRZYKŁAD 63
[ ]
34
34
det
=
b) Obliczanie wyznacznika drugiego stopnia
A
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
⋅
−
⋅
11
12
21
22
11
22
21
12
.
PRZYKŁAD 64
1) A
A
=
−
=
−
= ⋅ − − ⋅ =
5
7
3 2
5
7
3 2
5 2
3 7
31
(
)
2) A
A
=
=
=
2
6
1
3
2
6
1
3
0 .
c) Obliczanie wyznacznika trzeciego stopnia (metoda Sarrusa)
Pod
wyznacznikiem
dopisujemy
dwa
pierwsze
wiersze
wyznacznika.
23
22
21
13
12
11
21
12
33
11
32
23
31
22
13
23
12
31
13
32
21
33
22
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
−
−
−
+
+
=
=
+
-
+
-
PDF created with pdfFactory trial version
www.pdffactory.com
Opracowala: K. Sokolowska
71
PRZYKŁAD 65
0
1
2
5
6
1
74
2
6
2
1
8
0
4
)
1
(
5
0
6
4
5
8
2
2
)
1
(
1
2
8
4
0
1
2
5
6
1
det
2
8
4
0
1
2
5
6
1
−
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
=
−
=
−
=
A
A
d) Obliczanie wyznacznika stopnia n przez tzw rozwinięcie Laplace'a
•
Minorem M
ij
macierzy
[ ]
A
a
n
ij n n
=
>
×
1 nazywamy wyznacznik macierzy otrzymanej z
macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
PRZYKŁAD 66
Skreślając pierwszy wiersz i drugą kolumnę macierzy
A
=
−
1
6
5
2
1 0
4
8
2
otrzymamy M
12
2
0
4
2
4
=
=
, a skreślając trzeci wiersz i trzecią kolumnę otrzymamy
M
33
1
6
2
1
13
=
−
= −
.
•
Wyznacznik macierzy
[ ]
A
a
ij
n n
=
×
obliczamy wykorzystując rozwinięcie Laplace’a według i-
tego wiersza (lub j-tej kolumny)
•
Rozwinięcie według i-tego wiersza
in
in
n
i
i
i
i
i
i
i
mn
m
m
in
i
i
n
n
M
a
M
a
M
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
−
+
+
−
+
−
=
)
1
(
...
)
1
(
)
1
(
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
1
22
21
1
12
11
Dopuszczalne jest rozwinięcie wyznacznika względem elementów dowolnego wiersza lub
dowolnej kolumny.
PRZYKŁAD 67
Dla danego wyznacznika
A
=
−
3
8
0
5
1 1
3
2
0
rozwinięcie względem pierwszego wiersza prowadzi do wyniku
PDF created with pdfFactory trial version
www.pdffactory.com
Opracowala: K. Sokolowska
72
A
=
−
−
= − +
=
3
1 1
2
0
8
5 1
3 0
6
24
18 ,
ale
rozwinięcie
względem
ostatniej
kolumny
daje
identyczną
odpowiedź
( )
(
)
A
= −
= − −
=
+
1
3 8
3 2
6
24
18
2 3
.
Najlepiej więc w celu obliczania wyznacznika wybierać wiersz lub kolumnę z dużą liczbą zer gdyż
0 pomnożone przez minor daje zawsze 0, co oszczędza nam liczenia wartości tego minora.
•
Podstawowe własności wyznaczników
a) zamiana wierszy na kolumny i kolumn na wiersze nie zmienia wartości wyznacznika tzn.
det
det
A
A
T
=
PRZYKŁAD 68
2
8
3
1
2
3
8
1
2
24
22
=
= −
= −
.
b) zamiana miejscami dowolnych dwu wierszy (lub dowolnych dwu kolumn) zmienia znak
wyznacznika
PRZYKLAD 69
3
8
0
5
1 1
3
2
0
18
−
=
ale zamiana drugiej i trzeciej kolumny daje
3 0
8
5
1
1
3 0
2
18
− = −
,
a zamiana pierwszego i ostatniego wiersza daje
3
2
0
5
1 1
3
8
0
18
−
= −
.
c) pomnożenie dowolnego jednego wiersza (lub jednej kolumny) przez liczbę k zmienia wartość
wyznacznika k-krotnie.
PRZYKLAD 70
1 2
8
2
14
= −
Mnożąc pierwszy wiersz powyższego wyznacznika przez 3 otrzymamy
3
1 2
8
2
3 1 3 2
8
2
6
48
42
⋅
=
⋅
⋅
= −
= −
,
zaś pierwszą kolumnę
3
1 2
8 2
3 1 2
3 8 2
6
48
42
⋅
=
⋅
⋅
= −
= −
.
PDF created with pdfFactory trial version
www.pdffactory.com
Opracowala: K. Sokolowska
73
d) jeśli jeden wiersz jest wielokrotnością innego wiersza (lub jedna kolumna jest wielokrotnością
innej kolumny) to wartość wyznacznika jest równa zeru.
PRZYKLAD 71
6
5
12 10
60
60
0
=
−
=
e)dodawanie wielokrotności dowolnego wiersza (kolumny) do innego wiersza (kolumny) lub
odejmowanie jej od innego wiersza (kolumny) nie zmienia wartości wyznacznika
PRZYKLAD 72
3 2
8
7
21 16
5
=
−
=
Jeśli od drugiego wiersza wyznacznika z powyższego przykładu odejmiemy pierwszy wiersz
pomnożony przez 2, to otrzymamy wyznacznik taki jaki był na początku.
3
2
8
2 3 7
2 2
3
2
2
3
9
4
5
− ⋅
− ⋅
=
= − =
.
f) wyznacznik, w którym wszystkie elementy jednego wiersza (kolumny) są równe zero, jest
równy zeru
g) wyznacznik macierzy diagonalnej lub trójkątnej jest równy iloczynowi elementów głównej
przekątnej
PRZYKLAD 73
Wyznacznik macierzy:
trójkatnej
( )
8
1
4
2
1
)
1
(
0
0
0
7
4
0
0
15
8
2
0
20
4
3
1
−
=
−
⋅
⋅
⋅
=
−
diagonalnej
( )
8
1
4
2
1
)
1
(
0
0
0
0
4
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
−
=
−
⋅
⋅
⋅
=
−
PRZYKLAD 74
Korzystając z własności wyznacznika oraz z poznanych sposobów jego obliczania znajdź wartość
wyznacznika
1
2
4
7
2
1
1
0
3
4
2
5
1
2
2
6
8
0
4
1
1
1
2
3
3
−
−
−
−
−
−
Jest to wyznacznik piątego stopnia, zatem należy zastosować rozwinięcie Laplace’a. Przedtem
jednak, w celu uzyskania maksymalnej ilości zer w pierwszej kolumnie wykorzystamy własność e)
wyznaczników
PDF created with pdfFactory trial version
www.pdffactory.com
Opracowala: K. Sokolowska
74
1
2
4
7
2
1
1
0
3
4
2
5
1
2
2
6
8
0
4
1
1
1
2
3
3
−
−
−
−
−
−
do5w
(-1)
*
1w
do4w
(-6)
*
1w
do3w
(-2)
*
1w
do2w
(-1)
*
1w
+
+
+
+
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
5
10
6
3
0
13
38
24
4
0
6
12
7
1
0
2
4
4
1
0
2
7
4
2
1
( )
5
10
6
3
13
38
24
4
6
12
7
1
2
4
4
1
1
1
1
1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
⋅
+
do4w
(-3)
*
1w
do3w
(-4)
*
1w
do2w
(1)
*
1w
+
+
+
=
( ) ( )
11
2
6
21
22
8
4
16
11
11
2
6
21
22
8
4
16
11
1
1
11
2
6
0
21
22
8
0
4
16
11
0
2
4
4
1
1
1
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
⋅
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
Wyłączmy teraz z I i II wiersza (-1), a z II kolumny 2
−
−
2
11
8
4
8
11
21
6
1
11
,
do3k
(11)
*
2k
do1k
(-6)
*
2k
+
+
=
=
( )
(
)
(
)
[
]
−
−
−
= − ⋅ ⋅ −
−
−
=
−
⋅
− −
⋅
=
+
2
37
8
92
58 11 142
0
1
0
2 1
1
37
92
58 142
2
37 142
58 92
164
3 2
•
macierz osobliwa
Macierz, której wyznacznik równa się zeru, nazywa się macierzą osobliwą, a macierz , której
wyznacznik jest różny od zera - macierzą nieosobliwą.
15.4. Macierz odwrotna
•
Def.
Macierz odwrotną do macierzy kwadratowej A oznaczamy symbolem A
−
1
. Macierz odwrotna
to taka macierz, która pomnożona lewo lub prawostronnie przez macierz A daje w wyniku
macierz jednostkową I.
Macierz A posiada macierz odwrotną tylko wtedy, jeśli jest macierzą nieosobliwą.
•
Macierz odwrotną do macierzy kwadratowej stopnia drugiego wyznaczamy na podstawie
wzoru:
Jeśli
=
d
c
b
a
A
, to
−
−
⋅
=
−
a
c
b
d
A
A
det
1
1
A A
A
A
I
⋅
=
⋅ =
−
−
1
1
PDF created with pdfFactory trial version
www.pdffactory.com
Opracowala: K. Sokolowska
75
PRZYKLAD 75
Znaleźć macierz odwrotną względem macierzy
−
=
1
2
4
3
A
Ponieważ det A=3+8=11, więc
−
=
−
⋅
=
−
11
3
11
2
11
4
11
1
3
2
4
1
11
1
1
A
•
Macierz odwrotną do macierzy kwadratowej A stopnia n wyznaczamy na podstawie wzoru:
A
D
A
T
det
1
=
−
•
gdzie D
T
jest transponowaną macierzą dopełnień algebraicznych:
=
nn
n
n
n
n
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
21
11
,
•
gdzie
ij
D jest dopełnieniem algebraicznym elementu a
ij
, równym
( )
ij
j
i
ij
M
D
+
−
=
1
PRZYKLAD 76
Znaleźć macierz odwrotną względem macierzy
A
=
−
−
−
1
3
2
1
2
1
2
1
1
Najpierw sprawdzamy, czy macierz A jest macierzą nieosobliwą
0
6
3
1
8
2
6
2
det
≠
−
=
−
−
+
−
−
−
=
A
.
Obliczamy dopełnienia algebraiczne
3
1
2
2
1
)
1
(
3
1
2
1
1
)
1
(
3
1
1
1
2
)
1
(
3
1
13
2
1
12
1
1
11
−
=
−
=
=
−
−
=
−
=
−
−
=
+
+
+
D
D
D
7
1
2
3
1
)
1
(
3
1
2
2
1
)
1
(
5
1
1
2
3
)
1
(
3
2
23
2
2
22
1
2
21
−
=
−
−
=
=
−
−
−
=
−
=
−
−
−
−
=
+
+
+
D
D
D
5
2
1
3
1
)
1
(
3
1
1
2
1
)
1
(
1
1
2
2
3
)
1
(
3
3
33
2
3
32
1
3
31
=
−
−
=
−
=
−
−
=
=
−
−
−
=
+
+
+
D
D
D
stąd
−
−
−
−
−
=
5
3
1
7
3
5
3
3
3
D
oraz
−
−
−
−
−
=
5
7
3
3
3
3
1
5
3
T
D
.
Ostatecznie:
PDF created with pdfFactory trial version
www.pdffactory.com
Opracowala: K. Sokolowska
76
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
⋅
−
=
−
6
5
6
7
2
1
2
1
2
1
2
1
6
1
6
5
2
1
5
7
3
3
3
3
1
5
3
6
1
1
A
.
Sprawdzamy
A A
I
⋅
=
−
−
−
⋅
−
−
−
−
=
=
−
1
1
3
2
1
2
1
2
1
1
1
2
5
6
1
6
1
2
1
2
1
2
1
2
7
6
5
6
1
0
0
0
1
0
0
0
1
.
Podobnie można sprawdzić, że
I
A
A
=
⋅
−
1
15.5. Rząd macierzy
•
Rząd macierzy A o wymiarach m
n
×
jest to maksymalny stopień niezerowego wyznacznika
utworzonego z wierszy i kolumn tej macierzy. Może być on co najwyżej równy mniejszej liczbie
pary
{ }
n
m,
tzn.
{ }
n
m
A
R
,
min
)
(
≤
•
W szukaniu rzędu macierzy przydatne jest twierdzenie:
Rząd macierzy nie ulega zmianie gdy na macierzach wykonuje się operacje elementarne,
do których należą:
•
Pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez liczbę różną od zera.
•
Zamiana miejscami dwóch dowolnych wierszy (kolumn) macierzy.
•
Dodanie do wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) odpowiednich elementów
innego wiersza (kolumny) pomnożonych przez dowolną liczbę różną od zera.
•
Przekształcając macierz do postaci
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
mn
11
12
1
22
2
3
0
0
0
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
łatwo jest zauważyć jaki jest maksymalny stopień niezerowego wyznacznika zawartego w tej
macierzy.
PRZYKLAD 77
Znaleźć rząd macierzy A korzystając z operacji elementarnych
A
=
−
−
−
2
3
0
1
1
1
1
4
1
2
1
3
PDF created with pdfFactory trial version
www.pdffactory.com
Opracowala: K. Sokolowska
77
( )
−
−
−
=
−
−
−
=
3
1
2
1
1
0
3
2
4
1
1
1
3
1
2
1
4
1
1
1
1
0
3
2
R
R
A
R
w
do
w
w
do
w
3
)
1
(
*
1
2
)
2
(
*
1
+
−
+
−
−
−
=
7
2
1
0
7
2
1
0
4
1
1
1
R
w
do
w
3
)
1
(
*
2
+
−
−
−
=
0
0
0
0
7
2
1
0
4
1
1
1
R
Wyznacznik
0
1
1
0
1
1
≠
=
Stopień wyodrębnionego wyznacznika wynosi 2 zatem R(A)=2 .
PRZYKLAD 78
Znaleźć rząd macierzy A korzystając z definicji:
−
−
−
−
=
2
6
2
3
2
4
2
1
0
1
2
1
A
Z macierzy A daje się utworzyć cztery wyznaczniki trzeciego stopnia, które są równe zeru:
0
2
6
2
2
4
2
0
1
2
,
0
2
6
3
2
4
1
0
1
1
,
0
2
2
3
2
2
1
0
2
1
,
0
6
2
3
4
2
1
1
2
1
=
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
.
Sprawdzamy teraz wyznaczniki drugiego stopnia. Już pierwszy wyznacznik:
0
4
2
1
2
1
≠
=
−
,
zatem
( )
2
=
A
R
.
PDF created with pdfFactory trial version
www.pdffactory.com