Inżynieria Środowiska

2011/12

Materiały

do wykładu 2

13  10  2011

x

1

y

1

Y

X

r



r

x



r

y

r = 

r

x

 

r

y

=

r

x

ir

y

j

 

wektor położenia

y

x

⃗

r

1

(

t)

⃗

r

2

(

t+Δ t )





r





r

x





r

y

wektor położenia

⃗

V = lim

Δ

t →0

Δ ⃗r

Δ

t

=

⃗

dr

dt

⃗

V =

d ⃗r

dt

=

d ⃗

r

x

dt

+

d ⃗

r

y

dt

=

dr

x

dt

⃗i +

dr

y

dt

⃗j

⃗

V = ⃗

V

x

+ ⃗

V

y

=

V

x

⃗i + V

y

⃗j

y

x

⃗

r

1

(

t)

⃗

r

2

(

t+Δ t )





r





r

x





r

y

 

wektor prędkości

⃗a = lim

Δ

t → 0

Δ ⃗

V

Δ

t

=

⃗

dV

dt

⃗

V (t )

⃗

V (t+Δ t)

Δ ⃗

V

y

x

wektor przyspieszenia

wektor pędu

⃗p = m ⃗

V

⃗p

⃗

V

m



V



V

obserwator 

A

„związany z ziemią”

t =t

1



V



V

t =t

2



t

1

układ odniesienia 

obserwator 

A

„związany z ziemią”



V



V

obserwator

 B

„związany z 
czerwonym samochodem”

t =t

1

t =t

2



t

1



V



V

obserwator

 B

„związany z 
czerwonym samochodem”

układ odniesienia 



V

2



V

1

obserwator 

A

„związany z ziemią”

t =t

1

t =t

2



t

1

obserwator 

A

„związany z ziemią”



V

1



V

2

układ odniesienia 

V

1

>

V

2

obserwator

 B

„związany z 
czerwonym samochodem”

obserwator

 B

„związany z 
czerwonym samochodem”

t =t

1

t =t

2



t

1



V

1



V

1



V

2



V

2

układ odniesienia 

⃗

V

wózek z przymocowanym do podłogi klinem jedzie po poziomej powierzchni,
po klinie zsuwa się klocek

 

układ odniesienia 

A

B

C

⃗

V

układ odniesienia 

obserwator A 
„związany z ziemią” 

A

A

układ odniesienia 

B

B

obserwator B 
„związany z wózkiem” 

układ odniesienia 

obserwator C 
„związany z „klockiem” 

C

C

układ odniesienia 

X

y

x

g

h

g∥h

x≠const

y≠const

X

y

x

g

h

g∥h

x≠const

y=const

x

1

x

1

x

2

x

2

y

2

y

1

=

y

2

y

1

y= f ( x)

y

x

g

h

⃗g∥h

Źle !!!

  

I zasada dynamiki

Ciało trwa  w spoczynku 
lub w ruchu jednostajnym prostoliniowym, 
dopóki nie zadziała na niego siła, która 
zmusi go do zmiany tego stanu 

inercjalne układy odniesienia

inercjalny układ odniesienia

Układ odniesienia, względem którego 

ciało 

swobodne

 spoczywa lub porusza się ruchem 

jednostajnym prostoliniowym.

II zasada dynamiki

d p

d t

= 

F

d p

d t

=

d m 

V 

d t

=

m

d 

V

d t

=

m a = F

dla m = const



F ≠0 ⇒

d p

dt

≠

0 ⇒ p≠const

⃗p

⃗p



F

II zasada dynamiki

III zasada dynamiki

⃗

F

A , B

= − ⃗

F

B , A

⃗

F

B , A

⃗

F

A , B

A

B

m

1

m

2



F



N

1



N

2

N

1

=

N

2

III zasada dynamiki

masa nici=0

m

1

m

2



F



N

1



N

2

N

1

≠

N

2



N

1



N

2

masa nici≠0

III zasada dynamiki

wartość siły tarcia zależy od:

●

rodzaju stykających się powierzchni (współczynnik tarcia f  ) 

●

siły reakcji normalnej R stykających się powierzchni

T ≤ f R



T



R



V

siła tarcia

 

f

A

B



T

A

B



T

x

y

x

y



T = f  x , y , 

V 

siła tarcia 



V



V



T



N

1



T



N

2

1

2

3

4



T



N

3



T



N

4

T =N

1

T =N

2



R



R



R



R

T =T

max

=

N

3

T =T

max



N

4

ruch

obiekt obserwowany – 

dom

układ odniesienia - 

samochód

siły( poziome), działające na dom – 

brak

 

t =t

1

t =t

2

>

t

1

układ inercjalny

⃗

V

S

=

0

⃗

V

S

=

0

wynik obserwacji: 

obiekt spoczywa

I zasada dynamiki 

- spełniona

stała prędkość

stała prędkość

układ inercjalny

t =t

1

t =t

2

>

t

1

⃗

V

S

≠

0

⃗

V

S

≠

0

obiekt obserwowany – 

dom

układ odniesienia - 

samochód

siły( poziome), działające na dom – 

brak

wynik obserwacji: 

obiekt porusza się ruchem 

jednostajnym prostoliniowym

I zasada dynamiki 

- spełniona

układ nieinercjalny

przyspieszenie

przyspieszenie

t =t

1

t =t

2

>

t

1

obiekt obserwowany – 

dom

układ odniesienia - 

samochód

siły( poziome), działające na dom – 

brak

wynik obserwacji: 

obiekt porusza się 

z przyspieszeniem

⃗b ≠0

⃗b ≠0

I zasada dynamiki –

 

NIE spełniona

m

⃗

F

b

= −

m⃗b

⃗b

układ nieinercjalny

m

układ odniesienia - 

samochód

, obiekt obserwowany - 

wagon

⃗b =

⃗

F

m

przyspieszenie wagonu 

względem 

samochodu  

⃗

F ≠0

m

⃗b

⃗

F ≠0

m

⃗a

⃗b

siła( pozioma), działająca na wagon – 

działa

wynik obserwacji: 

obiekt porusza się 

z przyspieszeniem

układ inercjalny

II zasada dynamiki 

- spełniona

⃗

V

S

=

0

⃗

V

S

=

0

⃗

V

S

=

0

układ odniesienia -

 samochód

, obiekt obserwowany - 

wagon

⃗b

m

⃗b

⃗b

m

⃗b

⃗b

siła( pozioma), działająca na wagon – 

działa

wynik obserwacji: 

obiekt spoczywa

II zasada dynamiki –

 

NIE spełniona

układ nieinercjalny

⃗

F

m

⃗

B =−m ⃗b

⃗b

⃗

F

⃗

F

siła bezwładności

⃗

F

m

⃗

B =−m ⃗b

m⃗a = ⃗F +⃗B = 0

⃗a = 0

⃗b

⃗a = przyspieszenie wagonu wzgl. samochodu

układ nieinercjalny

m a = F −B = 0

 

dynamiczne równanie ruchu wagonu względem samochodu

„siła bezwładności”

⃗

F

b

=−

m⃗b

M – masa obiektu obserwowanego
b – wartość przyspieszenia układu odniesienia 
względem układu inercjalnego

⃗

a

w

⃗

a

w

brak tarcia

 

⃗

a

w

⃗

F

inercjalny

⃗

F = 0

⃗

a

kl

=

0

x

x

x

x

nieinercjalny

⃗

F ≠ 0

⃗

a

kl

≠

0

⃗

a

w

⃗

F

⃗

a

w

nieinercjalny

x

⃗

N

x

− ⃗

B =0

⃗

a

x

=

0

⃗

a

w

x

⃗

mg

⃗

N

⃗

N

x

⃗

mg

⃗

N

⃗

N

x

⃗

B

inercjalny

⃗

N

x

=

m ⃗

a

w

⃗

a

x

= ⃗

a

w

m

⃗

w

⃗a

m

⃗

R

m ⃗g

obserwator na ziemi

układ inercjalny

m a

y

=

R−m g

Y

R = m g+m w = m(g+w)

⃗

w

a

y

=

w

m w = R−m g

⃗a− przyspieszenie klocka wzgl. ziemi

⃗

w− przyspieszenie windy wzgl. ziemi

m

⃗

R

m ⃗g

⃗

F

b

m a

y

=

0

a = 0

R = m g+m w = m(g+w)

m a

y

=

R−m g−F

b

=

0

F

b

=

m w

Y

⃗

w

obserwator w windzie

układ nieinercjalny

⃗

w− przyspieszenie windy wzgl. ziemi

⃗a− przyspieszenie klocka wzgl. windy

m a

y

=

R−m g−m w = 0