Fale materii
Dualizm falowo-cząstkowy fali elektromagnetycznej.
•
W zjawiskach takich jak dyfrakcja czy interferencja fala elektromagnetyczna
wykazuje typowe własności falowe.
•
W zjawiskach takich jak efekt Comptona czy efekt fotoelektryczny fala
elektromagnetyczna wykazuje naturę korpuskularną, tzn. jest strumieniem
cząstek zwanych fotonami.
Hipoteza de Broglie'a
.
Hipoteza de Broglie'a
.
•
W 1924 roku L. de Broglie założył, że dualizm cząstkowo - falowy jest
własnością charakterystyczną nie tylko dla fali elektromagnetycznej, ale
również dla cząstek o masie spoczynkowej różnej od zera .Oznacza to, że
cząstki takie jak np. elektrony powinny również wykazywać własności
falowe. Fale te nazwał on
falami materii.
Założył, że długość fal materii
określona jest tym samym związkiem, który stosuje się do fotonów.
p
h
=
λ
Masa = 9.11 x 10
-31
kg
prędkość =10
6
m/s=280km/s
Fale materii
Elektron
34
10
31
6
6 63 10
Joula s
7.28 10
m
(9.11 10
kg)(10 m/s)
.
−
−
−
×
⋅
=
=
×
×
λλλλ
h
p
λ
=
m
10
63
6
m/sec)
kg)(1
(1
sec
Joules
10
63
6
34
34
−
−
×
=
⋅
×
=
.
.
λλλλ
Piłka
Masa = 1 kg
prędkość = 1 m / s=0.28 km/s
d
Ni
=0.215nm
m
p
eV
ba
2
2
=
Doświadczenie C.J.Davissona i L.G.Germera
Z dyfrakcji
nm
165
.
0
sin
=
=
θ
λ
d
Wzór de Broglie
nm
167
.
0
2
=
=
=
ba
meV
h
p
h
λ
Dyfrakcja na polikrystalicznej folii aluminiowej
Dyfrakcja elektronów
Dyfrakcja
promieniowania X
Zasada komplementarności
Fotony czy też elektrony oraz obiekty mikroświata w jednych zjawiskach
mogą zachowywać się jak fala, a w innych jak cząstka tzn. wykazują
zarówno własności falowe jak i korpuskularne. Obie te cechy uzupełniają
się wzajemnie , dając pełny opis danego obiektu.
Jaka jest długość fali 50 kg worka poruszającego się z prędkością
100 m/s?
!
!
10
2
.
1
/
100
50
10
62
.
6
33
34
−
−
⋅
≈
⋅
⋅
=
s
kgm
Js
λ
Długość fali elektronu poruszającego się z prędkością 100 m/s
v
≈
7.1• 10
-6
m
Funkcja falowa
Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają
własności falowe.
Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej
opisuje tzw.
funkcja falowa
Ψ
(x,t)
:
zawiera w sobie wszystkie informacje o obiekcie (np. cząstce)
w ogólnym przypadku jest to funkcja zespolona współrzędnych
przestrzennych oraz czasu
przestrzennych oraz czasu
musi być funkcją ciągłą , a także musi mieć ciągłą pochodną
Kwadrat modułu funkcji falowej
jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w chwili t w
pewnym punkcie przestrzeni
ψ
ψ
ψ
*
2
=
∫
=
Ψ
⇒
∆
Ψ
=
V
dV
V
p
1
2
2
Równanie Schroedingera
Funkcję falową,
Ψ
dla danej cząstki, lub bardziej złożonego układu
fizycznego, otrzymujemy rozwiązując równanie różniczkowe nazywane
równaniem Schroedingera. Jeżeli energia potencjalna cząstki U nie zależy
od czasu, to równanie Schroedingera jest równaniem niezależnym od
czasu i nazywa się
stacjonarnym równaniem Schroedingera
.
2
2
d
Ψ
ℏ
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
x
E
x
x
U
dx
d
m
Ψ
=
Ψ
+
Ψ
−
ℏ
Cząstka swobodna
Cząstka swobodna - na cząstkę nie działają żadne pola.
Energia potencjalna cząstki U(x)=0.
)
(
2
2
2
2
x
E
dx
d
m
Ψ
=
Ψ
−
ℏ
Szukamy rozwiązania w postaci
Ψ
(x)=A sin(kx)
2
2
(
) sin(
)
sin(
)
A
k
kx
EA
kx
−
−
=
ℏ
(
) sin(
)
sin(
)
2
A
k
kx
EA
kx
m
−
−
=
ℏ
Funkcja
Ψ
(x)=A sin(kx)
będzie rozwiązaniem gdy:
m
k
E
2
2
2
ℏ
=
2
2
sin(
)
sin(
)
2
k A
kx
E A
kx
m
=
ℏ
Cząstka swobodna - paczka falowa
∫
=
Ψ
∞
0
2
sin
)
(
)
(
λ
λ
π
λ
d
x
A
x
Cząstka -
makroświat
Cząstka -
mikroświat
Zasada nieoznaczoności
•
Fizyka klasyczna
– dokładność pomiaru jest zdeterminowana jedynie jakością aparatury
pomiarowej
– Nie ma teoretycznych ograniczeń na dokładność z jaką mogą być
wykonane pomiary
•
Mechanika kwantowa
– Obowiązuje
zasada nieoznaczoności
:
pewnych wielkości fizycznych
nie można zmierzyć równocześnie z dowolną dokładnością
Zasada nieoznaczoności dla równoczesnego pomiaru pędu i położenia:
2
/
ℏ
≥
∆
∆
x
p
x
Przykład
. Pęd poruszającego się z prędkością v=5000m/s elektronu zmierzono
z dokładnością
±
0.003%. Z jaką maksymalną dokładnością można było
wyznaczyć położenie tego elektronu?
mm
p
x
3
10
84
.
3
2
−
⋅
=
∆
≥
∆
ℏ
Zasada nieoznaczoności - interpretacja
Proces pomiaru zaburza stan układu
• Piłka o masie m=0.1kg porusza się z prędkością
v= 40 m/s
• Jej pęd p= 0.1 x 40kg = 4 kg m/s
Zasada nieoznaczoności
2
/
ℏ
≥
∆
∆
x
p
x
• Pęd zmierzono z dokładnością do 0.01%
∆∆∆∆
p = 0.01 p = 4 x 10
-4
kg m/s
• Dokładność wyznaczenia położenia:
31
1.3 10
2
x
m
p
−
∆ ≥
=
×
∆
ℏ
Zasada nieoznaczoności dla równoczesnego pomiaru energii i
czasu:
2
/
ℏ
≥
∆
∆
τ
E
Zasada nieoznaczoności energii
Przykład:
Czas przebywania atomu sodu w
Przykład:
Czas przebywania atomu sodu w
stanie
wzbudzonym
zmierzono
z
dokładnością
∆
t=1.6
•
10
-8
s.
Z
jaką
maksymalną
dokładnością
można
było
wyznaczyć wartość energii tego stanu?
eV
t
h
E
8
10
2
2
−
⋅
≈
∆
≥
∆
Cząstka w studni potencjału
1. Przypadek klasyczny
Znajdująca się w głębokiej studni
piłka może posiadać
dowolną
ener-gię
kinetyczną.
W
szczególnym
przypadku
gdy
znajduje się
w spoczynku na dnie
znajduje się
w spoczynku na dnie
studni
posiada
energię
całkowitą
równą
zeru
.
Cząstka w studni potencjału
2. Przypadek kwantowy
Energia potencjalna
∈
∞
∪
−∞
∈
∞
=
)
,
0
(
0
)
,
(
)
0
,
(
)
(
L
x
dla
L
x
dla
x
U
Warunki brzegowe:
0
)
(
)
0
(
2
2
=
Ψ
=
Ψ
L
Równanie Schroedingera:
Ψ
=
Ψ
−
E
dx
d
m
2
2
2
2
ℏ
Cząstka w studni potencjału
W obszarze studni cząstka jest cząstką swobodną.
Szukamy wiec rozwiązania w postaci
Ψ
(x)=A sin( kx
+α
)
.
)
,
0
( L
x
∈
Warunku brzegowy dla x=0 :
spełniony jest jedynie gdy
α
=0
.
[
]
0
)
0
sin(
)
0
(
2
2
2
=
+
⋅
=
Ψ
α
k
A
Warunku brzegowy dla x= L :
[
]
0
)
sin(
)
(
2
2
2
=
⋅
=
Ψ
L
k
A
L
Ψ
=
Ψ
−
E
dx
d
m
2
2
2
2
ℏ
Warunku brzegowy dla x= L :
spełniony jest jedynie gdy
kL=n
π
.
[
]
0
)
sin(
)
(
2
2
2
=
⋅
=
Ψ
L
k
A
L
L
n
k
π
=
oraz
m
k
E
2
2
2
ℏ
=
skąd
2
2
2
2
2
n
mL
E
ℏ
π
=
n = 0, 1, 2, 3, ...
Cząstka w studni potencjału -wnioski
Pytanie:
czy n może być równe zeru?
Dla n=0 energia k=0 oraz
Ψ
(x)=A sin(0 • x)= 0. Oznacza to,
ż
e prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w tym obszarze
0
)
(
2
=
∆
Ψ
x
x
Wniosek: najmniejsza wartość n=1. Cząstka musi mieć
energię różną od zera. Najmniejsza energia:
2
2
2
2
1
1
2mL
E
ℏ
π
=
Cząstka w studni potencjału -wnioski
2
2
2
2
2
n
mL
E
ℏ
π
=
n = 1, 2, 3, ...
gdzie
W nieskończonej studni potencjału energia cząstki może przyjmować
tylko pewne ściśle określone, różne od zera wartości:
Cząstka w studni potencjału -wnioski
Funkcja falowa :
)
sin(
2
x
L
n
L
n
π
=
Ψ
Wewnątrz studni powstaje fala stojąca materii z
węzłami na brzegach studni.
Cząstka w studni potencjału -wnioski
Przykład 1
Pyłek o masie 1 g w studni o szerokości 1 cm
a) minimalna energia
eV
J
m
kg
s
J
mL
h
E
39
58
2
6
2
34
2
2
1
10
43
.
3
10
49
.
5
10
10
8
)
10
63
.
6
(
8
−
−
−
−
−
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
b) nr poziomu gdy porusza się z prędkością 3cm/s
23
1
1
2
10
2
10
05
.
9
/
10
5
.
4
2
1
⋅
=
=
⇒
=
⋅
=
=
−
E
E
n
E
n
E
J
mv
E
n
n
n
eV
E
n
E
E
n
n
15
1
1
10
2
.
6
)
1
2
(
−
+
⋅
≈
+
=
−
Cząstka w studni potencjału -wnioski
Przykład 2
Elektron o masie 9.11x10
-31
g w studni o szerokości 0.2 nm.
a) minimalna energia
eV
J
m
kg
s
J
mL
h
E
42
.
9
10
51
.
1
)
10
2
(
)
10
11
.
9
(
8
)
10
63
.
6
(
8
18
10
34
2
34
2
2
1
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
−
−
−
−
m
kg
mL
)
10
2
(
)
10
11
.
9
(
8
8
10
34
2
⋅
⋅
⋅
⋅
b) poziomy drugi i trzeci
eV
E
E
eV
E
E
8
.
84
9
7
.
37
4
1
3
1
2
=
=
=
⋅
=
eV
E
E
28
.
28
1
2
=
−
Kwantowanie energii
• Energia dowolnego obiektu jest skwanowana. Obiekt
znajduje się na jednym z dozwolonych poziomów
energetycznych
• Zmiana energii układu może odbywać się wyłącznie
porcjami -
kwantami
•
W makroświecie odległość pomiędzy najbliższymi
poziomami energetycznymi jest niemierzalnie mała
Molekuła dwuatomowa - H
2
Molekuła H
2
emituje falę EM z
zakresu podczerwieni o długości fali
zakresu podczerwieni o długości fali
w pobliżu 2300 nm.
eV
E
eV
E
vib
54
.
0
27
.
0
2
1
0
=
∆
=
=
ω
ℏ
Kwantowanie energii - oscylator harmoniczny
Energia potencjalna oscylatora harmonicznego:
2
2
2
1
)
(
x
m
x
U
ω
=
Równanie Schroedingera dla oscylatora :
Ψ
=
Ψ
+
Ψ
−
E
x
m
d
2
2
2
2
ω
ℏ
Ψ
=
Ψ
+
−
E
dx
m
2
2
2
ℏ
Funkcje falowe
Ψ
będące rozwiązaniem tego równania muszą być
ciągłe i posiadać ciągłe pierwsze pochodne. Takie rozwiązania istnieją
wyłącznie wtedy gdy energia całkowita oscylatora posiada jedną z
wartości:
....
,
3
,
2
,
1
)
2
1
(
=
+
=
n
gdzie
n
E
n
ω
ℏ