1

Teoria pasmowa ciał stałych

Poziomy elektronowe atomów w 
cząsteczkach ulegają rozszczepieniu. 
W kryształach zjawisko to prowadzi do 
wytworzenia się pasm.

2

Metale, izolatory, półprzewodniki

Energia elektronu 
swobodnego

Energia elektronu 
w krysztale 
jednowymiarowym 
o stałej sieci a

Energia potencjalna 
elektronu w liniowej sieci 
rdzeni jonowych

Fale stojące:

ψ

(+) 

∝ cos(πx/a)

ψ

(-) 

∝ sin(πx/a)

ψ(+)

– elektrony skupione w pobliżu rdzeni jonów – obniżenie energii potencjalnej

ψ(-)

– elektrony skupione pomiędzy jonami – zwiększenie energii potencjalnej

Model prawie swobodnych elektronów

Powstawanie fal stojących, gdy spełniony jest warunek Bragga odbicia 
funkcji falowej elektronu od struktury periodycznej kryształu.

3

Energia w funkcji wektora falowego dla elektronów swobodnych (parabola) i dla
elektronów prawie swobodnych, przerwy energetyczne przy k=p

π/a, |p|=1,2,3.. 

Struktura pasmowa i stany obsadzone

Izolator
pasmo walencyjne 
całkowicie zapełnione

Metal (półmetal) 
przekrywanie się 
pasm

Metal
pasmo walencyjne 
częściowo zapełnione 

4

a) Szerokie pasma, 
wąska lub szeroka przerwa, 
mała masa efektywna.

b) Wąskie pasma,
szeroka przerwa energetyczna,
duża masa efektywna.

Masa efektywna 

m

*

Energia w zależności od wektora 
falowego 

E(k)

i pochodne tej 

funkcji – zachowanie w pobliżu 
granicy strefy Brillouina 

k=

π

/a

.

2

2

2

*

d

d

1

1

k

E

m

h

=

Masa efektywna elektronów m*(k) dla jednowymiarowej struktury pasmowej 

Silne zakrzywienie pasm  Mała krzywizna pasm
mała masa efektywna          duża masa efektywna

W punktach przegięcia zależności E(k) masa efektywna jest nieokreślona

5

Krzem Si

German Ge

Półprzewodniki samoistne

Tetraedryczna konfiguracja najbliższych sąsiadów w sieci krystalicznej 
diamentu, krzemu, germanu i cyny (odmiana 

α

-Sn). 

Występuje hybrydyzacja orbitali sp

3

ze stanów s, p

x

, p

y

, p

z

. 

6

Przewodność elektryczna półprzewodników

p – koncentracja dziur
n – koncentracja elektronów

7

8

Schemat układu doświadczalnego do pomiaru efektu Halla. 
Linie przerywane oznaczają tory, po których poruszałyby się elektrony i dziury, 
gdyby nie pojawiło się napięcie Halla U

H

.

Stałą Halla wyznacza się na 
podstawie pomiaru napięcia 
Halla

U

H

, natężenia prądu

I

w warstwie o grubości 

d

oraz 

indukcji magnetycznej

B

:

R

H

=U

H

d/(IB)

Zależność stałej Halla 
od temperatury dla krzemu 
a) typ p, koncentracja boru 

(akceptora) 2

×10

17 

cm

-3

b) typ n, koncentracja arsenu 

(donora)  2

×10

15 

cm

-3

Gdy występuje jeden typ nośnika, 
stała Halla 

R

H

jest odwrotnie 

proporcjonalna do koncentracji 
nośników 

n

R

H

=-(ne)

-1

Przy mniejszej koncentracji 
domieszki (b) widoczny jest 
obszar nasycenia i obszar 
samoistny.

9