PŁASKA GEOMETRIA MAS 

 

Środek ciężkości figury płaskiej 

Momentami  statycznymi  M

x

  i  M

y

  figury  płaskiej  względem  osi  x  lub  y  (rys.  7.1) 

nazywamy granicę algebraicznej sumy iloczynów elementarnych pól dS przez ich odległości 

od osi, gdy elementarne pola dS dążą do zera, tzn.: 

M

x

 = 

S

y dS   

 

M

y

 = 

S

x dS   

 

 

 

 

 

 

 

(7.1) 

 

 

Rys. 7.1. 

 

Punkt  S,  którego  położenie  jest  określone  za  pomocą  promienia  wektora  r,  nazywamy 

środkiem masy układu (środkiem ciężkości). 

Jeśli znane jest położenie środka ciężkości figury płaskiej, to wtedy momenty statyczne 

można określić wprost: 

M

x

 = S y

S

, 

 

M

y

 = S x

S,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.2) 

gdzie: 

S – pole figury płaskiej, 

x

S

, y

S

 – współrzędne jej środka ciężkości w przyjętym układzie osi x, y. 

Współrzędne x

S

,  y

S

  mogą  być  dodatnie  lub  ujemne.  Wobec  tego  i  momenty  statyczne 

mogą przyjmować dodatnie lub ujemne wartości. Dla każdej osi przechodzącej przez środek 

ciężkości (tzw. osi ciężkości) współrzędne są równe zeru. Wynika stąd wniosek, że momenty 

statyczne obliczane względem osi ciężkości są równe zeru. 

Do  obliczenia  momentu  statycznego  figury  złożonej,  której  środka  ciężkości  nie 

potrafimy wyznaczyć w sposób bezpośredni, zmuszeni jesteśmy podzielić tę figurę na figury 

elementarne (o znanym położeniu środków ciężkości) i wtedy moment statyczny całej figury 

względem  danej  osi  będzie  równy  sumie  momentów  poszczególnych  elementów  względem 

tej osi: 

M

x

 = S

1

 y

1

 + S

2

 y

2

 + … + S

n

 y

n

 = 

n

i

i

i

y

S

1

 

M

y

 = S

1

 x

1

 + S

2

 x

2

 + … + S

n

 x

n

 = 

n

i

i

i

x

S

1

   

 

 

 

(7.3) 

Współrzędne środka ciężkości figury płaskiej można wyznaczyć z (7.2): 

x

S

 = 

M

y

S

  

 

 

y

S

 = 

M

x

S

  

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.4) 

Dla figur złożonych otrzymamy z przekształcenia wzoru (7.3): 

x

S

 = 

n

i

i

n

i

i

i

S

x

S

1

1

 

,

  

 

y

S

 = 

n

i

i

n

i

i

i

S

y

S

1

1

 

.

  

 

 

 

 

 

 

 

(7.5) 

Równania (7.5) pozwalają wyznaczyć współrzędne środka ciężkości figury płaskiej, gdy 

znane są pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur. 

Przy wyznaczaniu środków ciężkości pomocne są pewne twierdzenia, a mianowicie: 

-  środek ciężkości układu płaskiego leży w płaszczyźnie tego układu, 

-  środek ciężkości linii prostej leży na tej linii, 

-  środek ciężkości dwóch punktów materialnych leży na prostej łączącej te punkty i dzieli 

odległość obu punktów na odcinki o długościach odwrotnie proporcjonalnych do ich mas, 

-  środek ciężkości układu mającego środek symetrii leży w tym środku, 

-  jeżeli układ ma oś symetrii, środek ciężkości leży na niej, 

-  jeżeli układ ma dwie lub więcej osi symetrii, środek ciężkości leży na przecięciu się tych 

osi, 

-  rzut  środka  ciężkości  figury  płaskiej  na  dowolną  płaszczyznę  jest  środkiem  ciężkości 

rzutu tej figury na daną płaszczyznę. 

Moment statyczny figury płaskiej względem dowolnego punktu O jest sumą wektorową 

momentów statycznych poszczególnych elementów układu względem O. 

Moment  statyczny  dowolnej  figury  płaskiej  względem  dowolnej  prostej  L  równa  się 

wektorowej sumie momentów statycznych poszczególnych figur elementarnych względem tej 

prostej L. 

Wynikają  stąd  pewne  własności  środka  ciężkości,  których  znajomość  ułatwia 

rozwiązywanie szeregu zagadnień, a mianowicie: 

-  jeśli  moment  statyczny  dowolnej  figury  płaskiej  względem  pewnego  punktu  jest  równy 

zeru, to punkt ten jest środkiem ciężkości. Podobnie możemy powiedzieć, że jeśli moment 

statyczny  figury  płaskiej  względem  pewnej  prostej  jest  równy  zeru,  to  wtedy  ta  prosta 

przechodzi przez środek ciężkości, 

-  jeśli figura płaska posiada oś symetrii, to moment statyczny figury względem tej osi jest 

równy zeru, 

-  jeśli  figurę  płaską  podzielimy  na  elementy  o  polach  powierzchni  S

1

,  S

2

,...  S

n 

o  znanych 

środkach ciężkości, to środek ciężkości całej figury płaskiej jest równocześnie środkiem 

ciężkości poszczególnych figur (S

1

, S

2

,... S

n

) względem ich środków. 

 

Momenty bezwładności i dewiacji (zboczenia) figury płaskiej 

Oprócz  momentów  statycznych,  które  są  momentami  stopnia  pierwszego,  istnieją 

momenty  stopnia  drugiego,  którymi  są  momenty  bezwładności  oraz  momenty  dewiacji           

(zboczenia). Mają one szczególne znaczenie w wytrzymałości materiałów. 

Osiowym  momentem  bezwładności  figury  płaskiej  względem  dowolnej  osi  leżącej  w 

płaszczyźnie figury (rys. 7.1) nazywamy granicę algebraicznej sumy, dla całej powierzchni S 

figury płaskiej, iloczynów elementarnych pól  dS przez kwadrat  ich odległości od danej  osi, 

gdy elementarne pola dążą do zera, tzn.: 

J

x

 = 

S

y

2

 dS 

 

 

J

y

 = 

S

x

2

 dS 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.6) 

Momenty te są zawsze dodatnie i można je traktować jako swego rodzaju miarę rozproszenia 

przekroju  wokół  danej  osi:  im  bardziej  pole  figury  płaskiej  jest  skupione  wokół  osi,  tym 

moment bezwładności względem niej jest mniejszy. 

Biegunowym momentem bezwładności figury płaskiej nazywamy  granicę  algebraicznej 

sumy, dla całej powierzchni S figury płaskiej, iloczynów elementarnych pól dS przez kwadrat 

odległości od początku układu współrzędnych (rys. 7.1), gdy elementarne pola dążą do zera. 

Wykorzystując  związek  geometryczny  występujący  między  współrzędnymi  (x,  y)  a 

odległością biegunową r (rys. 7.1), biegunowy moment bezwładności możemy określić jako 

sumę osiowych momentów bezwładności, gdyż: 

r

2

 = x

2

 + y

2 

J

0

 = 

S

r

2

 dS = 

S

(x

2

 + y

2

) dS = J

x

 + J

y

  

 

 

 

 

(7.7) 

Moment ten jest swego rodzaju miarą rozproszenia pola figury płaskiej wokół początku 

układu współrzędnych. 

Z podanych zależności wynika: 

-  moment  bezwładności  względem  osi  jest  równy  sumie  momentów  bezwładności   

względem dwóch płaszczyzn wzajemnie prostopadłych, przecinających się wzdłuż tej osi, 

-  biegunowy  moment  bezwładności  J

0

  jest  równy  sumie  momentów  bezwładności 

względem dwu wzajemnie prostopadłych osi, przecinających się w punkcie O (dla układu 

płaskiego). 

Miarą momentu bezwładności jest [m

4

].  

Momentem  dewiacji  (zboczenia)  figury  płaskiej  o  powierzchni  S  nazywamy  granicę 

algebraicznej sumy iloczynów elementarnych powierzchni dS → 0 przez ich współrzędne x i 

y. Sumowanie to odbywa się po całej powierzchni S figury płaskiej, tzn.: 

J

xy

 = 

S

xy dS   

 

 

 

 

 

 

 

(7.8) 

Moment  dewiacji  J

xy

  danej  figury  płaskiej  równa  się  zeru,  jeśli  choć  jedna  z  osi, 

względem  których  został  wyznaczony,  jest  osią  symetrii  rozpatrywanej  figury.  J

xy

  może 

przyjmować wartości dodatnie, ujemne lub zero.  

Między  momentami  bezwładności  względem  układów  osi  równoległych,  z  których 

jeden  jest  układem  osi  środkowych:  x

S

,  y

S

  (rys.  7.2),  zachodzą  następujące  związki  (tzw. 

wzory Steinera): 

J

x

 = J

xS

 + a

2

 S, 

J

y

 = J

yS

 + b

2

 S, 

 

 

 

 

 

 

 

(7.9) 

J

xy

 = J

xSyS

 + a b S, 

gdzie: 

a, b – współrzędne środka ciężkości w układzie xy (rys. 7.2), 

x

S

, y

S

 – osie przechodzące przez środek ciężkości figury płaskiej, 

x, y – osie równoległe do x

S

, y

S

. 

Twierdzenie  Steinera,  które  zostało  zapisane  za  pomocą  wzorów  (7.9)  wyraża  się 

następująco: 

 

 

Rys. 7.2. 

 

Moment  bezwładności  względem  dowolnej  osi  x,  równoległej  do  osi  x

S

,  przechodzącej 

przez  środek  ciężkości  figury  płaskiej,  jest  równy  momentowi  bezwładności  tej  figury 

względem  osi  x

S

,

 

powiększony  o  iloczyn  pola  powierzchni  i  kwadrat  odległości  pomiędzy 

osiami. 

Z  twierdzenia  Steinera  wynika,  że  momenty  bezwładności  względem  osi 

przechodzących przez środek ciężkości są najmniejsze. Płaszczyzny takie lub osie nazywa się 

płaszczyznami lub osiami środkowymi.  

Moment  bezwładności  względem  płaszczyzny,  osi  lub  punktu  można  wyrazić  jako 

iloczyn masy ciała przez kwadrat pewnej odległości noszącej nazwę promienia bezwładności, 

oznaczanej  przez  i  z  odpowiednim  indeksem  określającym  względem  czego  jest  obliczany 

moment bezwładności (np. i

x

 – oznacza promień bezwładności masy względem osi x). 

Ogólnie: 

 

 

i

i

 = 

I

i

m

  

 

 

 

 

 

 

 

           (7.10) 

Promień bezwładności odpowiada odległości w której należałoby skupić całą masę, aby 

moment bezwładności skupionej masy był równy momentowi bezwładności całej masy. 

Pojęcia promienia bezwładności i

i

 nie należy utożsamiać z odległością środka masy r

C

, 

gdyż są to pojęcia całkowicie różne.  

 

 

Rys. 7.3. 

 

Dla  układów  obróconych  (rys.  7.3)  związki  między  momentami  przedstawiają  się  w 

sposób następujący: 

J

x'

 = 

J

x

 + J

y

2

 + 

J

x

 - J

y

2

 cos2φ - J

xy

 sin2φ , 

J

y'

 = 

J

x

 + J

y

2

 - 

J

x

 - J

y

2

 cos2φ + J

xy

 sin2φ , 

 

 

 

          (7.10) 

J

x'y'

 = 

J

x

 - J

y

2

 sin2φ + J

xy

 cos2φ . 

 

gdzie: 

φ – kąt między układami osi obróconych, mierzony od dodatniego kierunku osi x, odkładany 

zgodnie z zasadami stosowanymi w trygonometrii. 

Wzory (7.10) wyrażają szukane zależności między momentami bezwładności i dewiacji 

dla dwóch układów osi współrzędnych o wspólnym początku układu współrzędnych. 

Dodając stronami pierwsze dwa równania (7.10) łatwo zauważyć związek: 

J

x

 + J

y

 = J

x’

 + J

y’

 = J

0

 = const. 

 

 

 

 

           (7.11) 

Widzimy, ze suma momentów bezwładności względem dwu wzajemnie prostopadłych 

osi, przecinających się w danym punkcie O, nie zależy od kierunku tych osi (od kąta φ) i jest 

równa biegunowemu momentowi bezwładności względem O. 

Osiami  głównymi  pola  figury  płaskiej  nazywamy  układ  prostokątnych  osi,  względem 

których moment dewiacji danej figury jest równy zeru. Oznaczać je będziemy przez 1, 2. 

Osie główne, których początek leży w środku ciężkości rozpatrywanej  figury płaskiej, 

nazywamy głównymi centralnymi osiami bezwładności. 

Osie główne są w stosunku do dowolnie przyjętego układu osi x, y (rys. 7.4) obrócone o kąt φ 

taki, że: 

tg2φ = - 

2 J

xy

J

x

 - J

y

  

 

 

 

 

 

 

           (7.12) 

Otrzymujemy dwa pierwiastki φ

oI

 oraz φ

oII

 w przedziale (0; 2π). W celu rozstrzygnięcia, która 

oś  jest  osią  maksymalną  momentu  bezwładności  a  która  minimalną,  można  skorzystać  z 

poniższych wzorów.  

Różniczkując otrzymujemy: 

oI

xy

x

J

d

J

d

o

2

sin

4

1

2

1

2

 

oII

xy

x

J

d

J

d

oII

2

sin

4

2

1

2

 

 

 

 

 

 

           (7.13) 

Ze wzorów (7.13) widać, że oś 1 maksymalnego momentu bezwładności tworzy z osią x 

kąt ostry przy momencie J

xy

 < 0, zaś kąt rozwarty przy momencie J

xy

 > 0. 

Osiowe  momenty  bezwładności  wyznaczone  względem  osi  głównych,  tzw.  główne 

momenty  bezwładności,  mają  wartości  ekstremalne:  moment  względem  jednej  z  nich  jest 

maksymalny który oznaczamy go przez J

1

, drugi – minimalny i oznaczamy go przez J

2

. 

Wartości tych momentów wyznacza się z następujących wzorów: 

J

1

 = J

max

 = 

J

x

 + J

y

2

 + 

(

J

x

 - J

y

2

)

2

 + J

xy

2

  , 

J

2

 = J

min

= 

J

x

 + J

y

2

 - 

(

J

x

 - J

y

2

)

2

 + J

xy

2

  , 

 

 

 

          (7.14) 

gdzie: 

J

x

, J

y

, J

xy

  –  momenty bezwładności  oraz dewiacji względem  dowolnie przyjętego układu osi 

współrzędnych  x,  y  układu  o  takim  samym  początku  jak  szukany  układ  osi  głównych        

(rys. 7.4). 

 

 

Rys. 7.4. 

 

Wzory  (7.12)  i  (7.14)  pozwalają  wyznaczyć  główne  osie  i  główne  momenty 

bezwładności, jeżeli znamy momenty bezwładności i moment dewiacji względem dowolnych 

osi x, y.