Laboratorium Miernictwa Elektronicznego-

 

      

   Pomiary impedancji

 

                                                            

 

 strona 

 

 1  

POMIARY IMPEDANCJI

CEL ĆWICZENIA

Celem   ćwiczenia   jest   przyswojenie   pojęcia   impedancji;   pomiar   impedancji 

elementów RLC, poznanie sposobu definiowania parametrów elementów RLC w oparciu o 
składowe impedancji; pomiar parametrów elementów RLC w funkcji częstotliwości.

PROGRAM ĆWICZENIA

1. Zapoznać się z parametrami i obsługą miernika impedancji

1.1.

mierzone parametry,

1.2.

zakres częstotliwości,

1.3.

poziom sygnału pomiarowego,

1.4.

dokładność pomiaru,

1.5.

sposób komunikowania się z przyrządem.

2. Pomiar impedancji

2.1.

Zmierzyć   impedancję   -   moduł   |Z  |  i   przesunięcie   fazowe   θ   (w   literaturze 

często oznaczane symbolem φ lub Φ) –wybranego elementu.

2.2.

Wyznaczyć na podstawie parametrów miernika błąd graniczny Δ | Z | oraz Δ θ 

.

2.3.

Określić   charakter   badanego   elementu   (rezystancyjny,   pojemnościowy, 

indukcyjny).

2.4.

Na   podstawie   wyników   pomiaru   obliczyć  składowe   impedancji 

(dwuelementowy   schemat   zastępczy   w   układzie   szeregowym)   oraz   składowe 
admitancji   (dwuelementowy   schemat   zastępczy   impedancji   w   układzie  
równoległym).

2.5.

Powtórzyć   pomiar   parametrów   elementu   wybierając   jako   parametry 

wyświetlane składowe szeregowego i równoległego układu zastępczego.

2.6.

Porównać wyniki obliczeń z punktu 2.4 z wynikami pomiaru w punkcie 2.5.

3. Pomiar parametrów kondensatorów.

3.1.

Zmierzyć   w   funkcji   częstotliwości   (50Hz–1MHz)   :

 

-pojemność   C

s

  i   rezystancję   R

s

  kondensatorów   w   szeregowym   układzie 

zastępczym  -pojemność   C

p  

i   rezystancję   R

p  

kondensatorów   w   równoległym 

układzie

 

zastępczym

 

Obliczyć współczynnik stratności D kondensatorów .

3.2.

Wyznaczyć   procentową   zmianę   pojemności   badanych   kondensatorów   w 

funkcji częstotliwości. Jako pojemność odniesienia przyjąć wyniki pomiaru przy 
częstotliwości   1kHz.  W   których   przypadkach   można   jednoznacznie   mówić   o  
zmianie pojemności od częstotliwości?

3.3.

Przedstawić,  na wykresie, zależność  współczynnika  stratności  D badanych 

kondensatorów od częstotliwości .

4. Pomiar parametrów rezystorów

4.1.

Zmierzyć   moduł   impedancji   |Z|   i   przesunięcie   fazowe   θ   dla   wskazanych 

rezystorów w funkcji częstotliwości (50Hz-1MHz)

Laboratorium Miernictwa Elektronicznego-

 

      

   Pomiary impedancji

 

                                                            

 

 strona 

 

 2  

4.2.

Określić   przedział   częstotliwości,   w   którym   zmiana   modułu   impedancji 

rezystora nie różni się od wartości rezystora więcej niż o 0,5 %.

4.3.

Podać   dla   tych   częstotliwości   wartości   dwuelementowego   schematu 

zastępczego rezystora.

4.4.

W jakim zakresie częstotliwości parametry modelu określone w punkcie 4.3 

nie zmieniają się więcej niż o 5%.

5. Pomiary parametrów cewek

5.1.

Zmierzyć   w   funkcji   częstotliwości   (50Hz–1MHz)   :

 

-indukcyjność  L

s

  i  rezystancję  R

s

  cewek  w  szeregowym  układzie   zastępczym 

-indukcyjność L

p  

i rezystancję R

p  

cewek w równoległym układzie zastępczym. 

Obliczyć dobroć cewek.

5.2.

Wyznaczyć   procentową   zmianę   indukcyjności   badanych   cewek   w   funkcji 

częstotliwości.   Jako   indukcyjność   odniesienia   przyjąć   wyniki   pomiaru   przy 
częstotliwości   1kHz.  W   których   przypadkach   można   jednoznacznie   mówić   o  
zmianie indukcyjności od częstotliwości?

6. Pomiar impedancji dwójników

Zmierzyć w funkcji częstotliwości impedancję i przesunięcie fazowe wybranych dwójników.

6.1.

Wyznaczyć   najprostszy   (dwuelementowy-   szeregowy)   model   dwójnika   na 

podstawie pomiaru przy wybranej częstotliwości .

6.2.

Na podstawie wyznaczonego modelu obliczyć impedancję dla częstotliwości 

stosowanych w pomiarze.

6.3.

Zbadać zgodność modelu dwójnika z wynikami.

6.4.

Wyznaczyć   najprostszy   (dwuelementowy-równoległy)   model   dwójnika   na 

podstawie pomiaru przy częstotliwości.....

6.5.

Na podstawie wyznaczonego modelu obliczyć impedancję dla częstotliwości 

stosowanych w pomiarze.

6.6.

Zbadać zgodność modelu dwójnika z wynikami

7. Pomiar parametrów dwójnika i kondensatora za pomocą mostka E315A

Laboratorium Miernictwa Elektronicznego-

 

      

   Pomiary impedancji

 

                                                            

 

 strona 

 

 3  

WPROWADZENIE

Schematy zastępcze i parametry elementów RLC

Elementy   bierne,   rezystory,   cewki   indukcyjne   i   kondensatory   (elementy   RLC), 

przeznaczone do budowania układów elektrycznych, mają charakteryzować się odpowiednio: 
rezystancją, pojemnością i indukcyjnością. Są to podstawowe parametry tych elementów i w 
wielu   zastosowaniach   znajomość   ich   wartości   jest   wystarczająca.   Dokładniejsza   analiza 
wykazuje jednak, że elementy te posiadają także parametry pasożytnicze, nazywane również 
parametrami   resztkowymi.   Ich   wartości   zależą   od   fizycznej   realizacji   elementu.   W 
najprostszym   przypadku   parametry   te   są   charakteryzowane   za   pomocą   jednego 
współczynnika. Dla rezystora jest to zwykle stała czasowa 

τ

, kondensatora - współczynnik 

strat D, a dla cewki – dobroć Q. 

Właściwości   elementów   dobrze   charakteryzuje   ich  impedancja,  czyli   stosunek 

spadku napięcia do prądu sinusoidalnego płynącego przez element, bądź też równoważny 
schemat zastępczy, który jest układem idealnych składowych R,L,C. Dąży się do tego, aby 
schemat zastępczy był możliwie prosty, a jednocześnie wiernie odwzorowywał ”zachowanie 
się” elementu w układzie elektrycznym. 

  Od impedancji  Z  zależy wartość prądu  I  płynącego w obwodzie prądu zmiennego 

pod wpływem doprowadzonego sinusoidalnego napięcia U :

I

U

Z

=

gdzie : - U napięcie sinusoidalne na obiekcie

- I prąd sinusoidalny płynący przez obiekt.

 Wartość impedancji Z jest liczbą zespoloną, którą można zapisać następująco:

jX

R

Z

+

=

.

Składowa   rzeczywista   impedancji  R  nazywana   jest  rezystancją,   składowa   urojona  X 
nazywana jest reaktancją.
Spadki napięć na składowych impedancji tworzą trójkąt napięć ( rys.1).

Rys.1 Trójkąt napięć w układzie szeregowym.

Poszczególne napięcia w tym trójkącie są równe:  U

R 

= I R,   U

X 

= I X,   U = I Z .

 Stosunek składowych impedancji R/X, decyduje o kącie przesunięcia fazowego 

ϕ

 między 

prądem   i   napięciem   w   obwodzie   o   impedancji   Z.   Idealny   element   rezystancyjny   R   nie 
wprowadza przesunięcia fazowego, idealny (bezstratny) kondensator C powoduje opóźnienie 
napięcia względem prądu o 

π

/2, a w układzie z idealną cewką L napięcie wyprzedza prąd o 

π

/2. Przesunięcie fazowe jakie wprowadza impedancja może się zatem zmieniać w granicach 

± 

π

/2. 

R

jX

U

R

U

X

U

I

U

U

R

U

X

I

Laboratorium Miernictwa Elektronicznego-

 

      

   Pomiary impedancji

 

                                                            

 

 strona 

 

 4  

Dla idealnego kondensatora impedancja 

C

j

1

Z

ω

=

 , a dla idealnej cewki 

L

j

Z

ω

=

. 

Impedancja Z jest przedstawiana w jako suma części rzeczywistej i urojonej lub w formie 
moduł-kąt: 

jX

R

Z

+

=

= 



 Z



 e

j

ϕ

,

gdzie 



 Z



 jest modułem impedancji, równym:



 Z



= (R

2

+X

2

)

1/2

.

Odwrotność impedacji nazywana jest admitancją Y. Jest ona również wielkością zespoloną:

jB

G

X

R

X

j

X

R

R

jX

R

Z

Y

+

=

+

−

+

=

+

=

=

2

2

2

2

1

1

.

Jej składowa rzeczywista G nazywa się konduktancją, a składowa urojona B susceptancją.

Schemat zastępczy elementu impedancyjnego można utworzyć na podstawie analizy 

jego   właściwości   fizycznych.   Przesunięcia   fazowe   prądu   i   napięcia   na  rzeczywistym 
kondensatorze  ,   różne   od  

π

/2,   świadczy   o   tym,   że   kondensator   ten   nie   jest   tylko 

pojemnością.   Oprócz   pojemności   można   w   rzeczywistym   kondensatorze   wyróżnić 
indukcyjność L

c

 i rezystancję r

c 

doprowadzeń i elektrod oraz rezystancję

 

strat dielektrycznych 

i upływności izolacji R

c

 ( rys2. ).

Rys.2. Schemat zastępczy kondensatora rzeczywistego

Często   wystarczający   jest   schemat   zastępczy   złożony   z   dwóch   elementów, 

reprezentujących   części   rzeczywistą   i   urojoną   impedancji.   Dwuelementowy   schemat 
kondensatora może być przedstawiony w dwóch wersjach: równoległej i szeregowej (rys.3).

Rezystancja   R

s

  ,   R

p

  reprezentuje   wypadkowe   straty   energii   w   dielektryku, 

doprowadzeniach i okładach kondensatora. Parametrem opisującym jakość kondensatora jest 
współczynnik strat,  określony jako  tangens kąta  

δ

,  o który różni się od 90

°

  kąt między 

prądem i napięciem kondensatora. Dla szeregowego schematu zastępczego:

a dla równoległego schematu:

Współczynnik strat typowych kondensatorów przyjmuje wartości na poziomie 1

×

10

-4

 

÷×

10

-3

. 

Tak mała wartość oznacza, że przesunięcie fazowe niewiele różni się od 

−

90

°

. Dla ustalonej 

częstotliwości   sygnału   sinusoidalnego,   układ   szeregowy   można   przekształcić   na 
równoważny układ równoległy i odwrotnie, zgodnie z podanymi zależnościami:

S

S

C

R

tg

D

ω

=

δ

=

p

p

C

R

1

tg

D

ω

=

δ

=

 

r

 

c

 

L

 

c

 

R

 

c

 

C

 

Laboratorium Miernictwa Elektronicznego-

 

      

   Pomiary impedancji

 

                                                            

 

 strona 

 

 5  

(

)

p

s

C

D

C

2

1

+

=

s

p

C

D

C

2

1

1

+

=

p

s

R

D

D

R

2

2

1

+

=

s

p

R

D

D

R

2

2

1

+

=

Rys.3. Przeliczanie parametrów schematów zastępczych kondensatora.

Parametry cewek indukcyjnych  zależą od częstotliwości w większej mierze niż 

parametry kondensatorów. Można zaobserwować, że cewka powietrzna w szerokim zakresie 
częstotliwości zmienia charakter z rezystancyjnego, dla częstotliwości rzędu kilkuset Hz, 
poprzez indukcyjny do pojemnościowego, dla częstotliwości powyżej pierwszego rezonansu 
własnego   cewki.   Dwuelementowy   schemat   zastępczy   może   być   niewystarczający   do 
reprezentacji impedancji cewki indukcyjnej w szerszym paśmie częstotliwości. Stosowany 
często   trzyelementowy   schemat   zastępczy   cewki   indukcyjnej   (rys.   4)   można   przybliżyć 
dwuelementowym, w którym wartości elementów, L(

ω

) i R(

ω

),zależą od częstotliwości. 

Rys4. Schematy zastępcze cewki powietrznej.

Szeregowa rezystancja R w dwuelementowym schemacie zastępczym cewki reprezentuje 
straty omowe w przewodzie cewki, straty na prądy wirowe i histerezę ( jeżeli jest to cewka z 
rdzeniem ferromagnetycznym) oraz straty dielektryczne. Wszystkie straty w cewce składają 
się   na   współczynnik   strat,   definiowany   analogicznie   jak   dla   kondensatora.   Parametrem 
jakości cewki jest dobroć, oznaczana jako Q i wyznaczana jako iloraz : 

R

L

Q

ω

=

.

Pojemność pasożytnicza C

0

 , charakteryzująca głównie wpływ pojemności między zwojami 

cewki, nazywana jest pojemnością własną cewki. Pulsacja 

ω

0

 ,określona wzorem :

0

0

0

1

C

L

=

ω

,

nazywana jest pulsacją rezonansową cewki. Zaleca się, aby cewka była wykorzystywana 
przy pulsacjach mniejszych od 0.1

ω

0

 .

Elementy ze schematu zastępczego cewki można wyznaczyć na podstawie pomiarów 

rezystancji i indukcyjności w funkcji częstotliwości wykorzystując następujące zależności:

Laboratorium Miernictwa Elektronicznego-

 

      

   Pomiary impedancji

 

                                                            

 

 strona 

 

 6  

2

0

0

1









−

≈

ω

ω

ω

L

)

(

L

,

2

2

0

0

1























−

≈

ω

ω

ω

R

)

(

R

.

  Schemat   zastępczy   rezystora  (rys.   5   )   zawiera,   oprócz   podstawowego   parametru 
rezystancji R

0

, indukcyjność uzwojeń i doprowadzeń rezystora L

0

 oraz pojemności C

0

 między 

zaciskami wejściowymi.

Rys.5. Schematy zastępcze rezystorów: a) ogólny, b) uproszczony o charakterze 
indukcyjnym, c) uproszczony o charakterze pojemnościowym. 

Parametrem resztkowym rezystora jest stała czasowa 

τ

:

Impedancję rezystora określa zależność zatem zależność: 

        

)

j

(

R

Z

R

ω τ

+

=

1

0

.

Większość rzeczywistych rezystorów ma charakter pojemnościowy, o ujemnej stałej 

czasowej, dlatego ogólnym schematem zastępczym rezystora jest układ dwuelementowy (rys. 
5c ), w którym pojemność C

Z

 = C

0

 - L

0

 /R

0

 

2

 jest wypadkową pojemnością układu z rys.5a.

Stała czasowa w tym przypadku wynosi:

Metody pomiaru parametrów RLC

Metody   pomiaru   elementów   RLC   oraz   dwójników   impedancyjnych   powinny 

umożliwiać   wyznaczenie   schematu   zastępczego,   który   najlepiej   charakteryzuje   badany 
obiekt.   Istnieje   wiele   metod   pomiaru   impedancji   .Najczęściej   spotykanymi   układami 
pomiarowymi są mostki prądu zmiennego: czteroramienne i transformatorowe ( rys.6).

0

0

0

0

C

R

R

L

−

=

τ

.

C

R

τ

Z

0

=

Laboratorium Miernictwa Elektronicznego-

 

      

   Pomiary impedancji

 

                                                            

 

 strona 

 

 7  

  Rys.6.Układy podstawowy mostka czteroramiennego i transformatorowego.
 

Mostki   służą   do   pomiarów   parametrów   elementów   liniowych,   tj.   takich,   których 

wartości   nie   zależą   od   prądu   przepływającego   przez   element.   W   jednej   gałęzi   mostka 
znajduje   się   element   mierzony,   drugą   stanowi   impedancja   odniesienia,   odwzorowująca 
impedancję mierzoną.  Pozostałe gałęzie pomocnicze, służące m.in. do zmiany zakresów, 
tworzą w mostku czteroramiennym dwie impedancje a w mostku transformatorowym dwa 
uzwojenia transformatora.
Ogólny warunek równowagi mostka czteroramiennego:

Z

1

Z

4

= Z

2

Z

3

może być przekształcony w układ równań modułów impedancji i równanie kątów fazowych 
impedancji mostka:
            



 Z

1



 



 Z

4



 =



 Z

2



 Z

3



 ,           

ϕ

1

+

ϕ

4

=

ϕ

2

+

ϕ

3    .

Z zależności tych wynika, że równowaga mostka może być osiągnięta dzięki regulacji co 
najmniej   dwóch   elementów.   Elementy   równoważące   mostek   są   tak   dobierane,   aby   ich 
wartości mogły być wywzorcowane bezpośrednio w wartościach parametru mierzonego. Z 
warunków równowagi mostka wynika też, że liczba możliwych kombinacji par elementów 
nastawnych jest stosunkowo duża. W praktyce jest ona ograniczona, ponieważ wybiera się 
zwykle   elementy   nastawne   umożliwiające   szybkie   równoważenie   mostka   i   niezależne 
równoważenie składowej rzeczywistej i urojonej mierzonej impedancji. Ograniczeniem jest 
wymagana   dokładność   pomiaru,   dlatego   częściej   stosuje   się   w   układach   wzorcowe 
kondensatory i rezystory niż indukcyjności, które są trudniejsze do precyzyjnego wykonania.

Pomiar  składowych  impedancji   ,  poprzez  pomiar   napięcia  U  i   prądu  I  oraz  kąta 

przesunięcia   fazowego  

ϕ

,   jest   bardziej   kłopotliwy   w   realizacji   układowej   niż   metody 

mostkowe. W pomiarach elementów RLC, gdy nie jest wymagana duża dokładność i można 
przyjąć założenie , że dla kondensatora Z = 1 / jωC a dla indukcyjności 

L

j

Z

ω

=

, to można 

skorzystać   wprost   z   definicji   impedancji  Z   =   U/I  ,   w   której   napięcie   U   i   prąd   I  będą 
zmierzonymi wartościami skutecznymi napięcia i prądu . Bardzo często, ten uproszczony 
sposób pomiaru pojemności i indukcyjności , nazywany jest metodą techniczną. 

Pomiar   napięcia   i   prądu   wraz   z   pomiarem   przesunięcia   fazowego,   umożliwia 

wyznaczenie dwuelementowego schematu  zastępczego badanego elementu  dla określonej 
częstotliwości.   Sprawdzenie,   czy wyznaczony  schemat  zastępczy dobrze   opisuje  element 
(dwójnik) w szerszym zakresie częstotliwości, wymaga powtórzenia pomiaru przy innych 
częstotliwościach  .  Jeśli   w   wyniku   pomiaru   uzyskuje   się   te   same   wartości  elementów 
tworzących   schemat   zastępczy,  to  można   przyjąć,   że   schemat   zastępczy   dobrze 
odzwierciedla   strukturę   elementu   (dwójnika)   w   zadanym   zakresie   częstotliwości.,   w 
przeciwnym przypadku przyjęty schemat jest zbyt uproszczony. 

ZADANIA I PYTANIA KONTROLNE

Z

1

=Z

x

Z

2

Z

4

Z

1

=Z

x

Z

2

U

1

U

2

Laboratorium Miernictwa Elektronicznego-

 

      

   Pomiary impedancji

 

                                                            

 

 strona 

 

 8  

1. Jakie   parametry   dwójnika   nie   zależą   od   schematu   zastępczego   przyjętego   w 
pomiarach impedancji? Dlaczego?

2. Wyprowadź   zależność   na   współczynnik   strat   kondensatora   w   szeregowym   i 
równoległym, dwuelementowym, schemacie zastępczym posługując się odpowiednimi 
wykresami wektorowymi prądów lub napięć. Czy wartości tego współczynnika zależą 
od przyjętego schematu zastępczego?

3.

 Zaproponuj sposób połączenia idealnych, regulowanych, elementów L

1

, C

2

, R

3

, R

4

 w 

układ , dającego się zrównoważyć, mostka  czteroramiennego. Ile elementów mogłoby 
mieć swoją wartość niezmienioną?

4. Szeregowy dwójnik RC zmierzono cyfrowym mostkiem pojemności E-315, uzyskując w 

wyniku pomiaru dla częstotliwości 1000Hz,następujące wartości: przewodność G

P

=6,7 

mS i pojemność C

P

= 1,50  

µ

F. .Jakie są rzeczywiste wartości mierzonych R i C tego 

dwójnika?

5.   Na   podstawie   pomiaru   wartości   impedancji   Z   oraz   kąta   przesunięcia   fazowego   φ 

obliczono składowe szeregowego (R

s 

i C

s

) i równoległego (R

P

 i C

P

) schematu zastępczego 

kondensatora oraz współczynnik strat D. Określ w jakim przedziale mogą się mieścić 
obliczone   parametry   jeśli   w   wyniku   pomiaru   uzyskano   Z=32,25kΩ   i   φ=   89,87

0

,   a 

ΔZ=0,03kΩ ; Δφ=0,05

0

 .