f(x)
x
4
0,8
0,6
0
c/x
2
MITE Zadania domowe seria1
Zadanie 1
Na rysunku pokazano wykres funkcji gęstości
zmiennej losowej X.
Należy:
1. Wyznaczyć stałą c,
2. Wyznaczyć funkcję gęstości,
3. Wyznaczyć dystrybuantę,
4. Obliczyć wartość oczekiwaną,
5. Znaleźć medianę x
1/2
.
Rozwiązanie:
Ad. 1
( )
c
c
f
⋅
=
=
5625
,
1
8
,
0
8
,
0
2
(
)
(
)
c
c
c
x
c
c
dx
x
c
c
3125
,
1
25
,
0
25
,
1
3125
,
0
1
2
,
0
5625
,
1
6
,
0
8
,
0
5625
,
1
1
4
8
,
0
4
8
,
0
2
=
−
+
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
+
⋅
⋅
=
+
−
⋅
⋅
=
∫
7619
,
0
3125
,
1
1
=
=
c
Ad. 2
( )
1905
,
1
8
,
0
7619
,
0
8
,
0
2
=
=
f
( )
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
<
≤
<
≤
<
=
tym
poza
x
dla
x
x
dla
x
dla
x
f
0
4
8
,
0
7619
,
0
8
,
0
6
,
0
1905
,
1
0
0
2
Ad. 3
Dla
8
,
0
6
,
0
<
≤ x
(
)
(
)
6
,
0
1905
,
1
8
,
0
6
,
0
−
=
<
<
x
x
F
;
2381
.
0
2
.
0
1905
.
1
)
8
.
0
(
=
⋅
=
F
Dla 4
8
,
0
<
≤ x
( )
x
t
dt
t
x
F
x
x
1
7619
,
0
1905
,
1
1
7619
,
0
2381
,
0
7619
,
0
2381
,
0
8
,
0
8
,
0
2
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
+
=
+
=
∫
( )
(
)
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≥
<
≤
−
<
≤
−
<
=
4
1
4
8
,
0
1
7619
,
0
1905
,
1
8
,
0
6
,
0
6
,
0
1905
,
1
0
0
x
dla
x
dla
x
x
dla
x
x
dla
x
F
Możemy sprawdzić dla pewności, że
1
4
/
7619
.
0
1905
.
1
)
1
(
=
−
=
F
Ad. 4. Wartość oczekiwana:
( )
( )
(
)
[ ]
(
)
3929
.
1
2262
,
1
1667
.
0
2231
,
0
3863
,
1
7619
,
0
1667
,
0
ln
7619
,
0
6
,
0
8
,
0
5
,
0
1905
,
1
7619
,
0
1905
,
1
4
8
,
0
2
2
4
8
,
0
2
8
,
0
6
,
0
1
=
+
=
+
+
=
+
+
−
⋅
⋅
=
+
=
=
=
=
∫
∫
∫
x
dx
x
x
xdx
dx
x
xf
m
X
E
R
µ
Ad. 5
Ponieważ F(0,8)=0,2381 i F(4) = 1 zatem mediana wypada między x = 0,8 a x = 4.
5
,
0
1
7619
,
0
1905
,
1
2
1
=
−
x
więc
1034
,
1
2
1
=
x
Czyli
( )
X
E
x
79
,
0
2
1
≅
Zadanie 2
Wyznaczyć medianę i kwantyle zmiennej losowej, której gęstość prawdopodobieństwa
wyraża się wzorem:
( )
(
)
2
1
1
x
x
f
+
=
π
zmienna losowa o rozkładzie Cauchy'ego
Rozwiązanie:
( )
( )
[
]
2
1
arctan
1
arctan
1
1
2
+
=
=
+
=
∞
−
∞
−
∫
x
x
t
dt
x
F
x
x
π
π
π
(
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⇒
=
+
1
2
2
tan
arctan
1
2
1
p
x
p
x
p
p
π
π
Rozkład Cauchy'ego nie ma wartości oczekiwanej bo:
( )
( )
[
]
2
1
arctan
1
arctan
1
1
2
+
=
=
+
=
∞
−
∞
−
∫
x
x
t
dt
x
F
x
x
π
π
π
Zadanie 3.
Zmienna losowa ma rozkład wykładniczy:
f(x)=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
0
>
<
≥
−
λ
λ
λ
,
0
0
0
)
exp(
1
x
dla
x
dla
x
Oblicz medianę.
Rozwiązanie:
To zadanie zostało rozwiązane na wykładzie z MITE
Zadanie 4
Wśród 10 świec samochodowych 4 są złe, reszta dobre. Należy wybrać z nich jedną dobrą.
„Na oko” nie można poznać, które świece są dobre, próbuje się więc kolejno, aż trafi się po
raz pierwszy na świecę dobrą. Niech X liczbę prób potrzebnych do tego celu. Jest to zmienna
losowa. Należy:
1. Podać zbiór wartości, które przyjmuje X,
2. Znaleźć rozkład X i sprawdzić, czy prawdopodobieństwa sumują się do jedności,
3. Znaleźć wartość oczekiwaną.
Założenia
:
W każdej ustalonej próbie każda konkretna świeca, wszystko jedno czy dobra, czy zła ma
jednakową szanse, ze będzie wybrana do próby. Wybory w kolejnych próbach są zdarzeniami
niezależnymi.
Wskazówki:
Aby na przykład X=4 potrzeba i wystarcza, żeby wynik prób był:
zła, zła, zła, dobra
Ze wzrostem liczby kolejnych prób prawdopodobieństwo trafienia na złą świecę maleje, a
trafienia na dobrą rośne.
Rozwiązanie:
1. Oznaczamy wskaźnikiem i kolejny numer próby. Z tematu wynika, że i = 1,2,3,4,5 bo
jeśli cztery kolejne wyniki prób były zła, zła, zła, zła to pozostały same dobre świece.
Zatem w piątej próbie na pewno trafi się po raz pierwszy na dobrą świecę.
2. Dla i=1zachodzi …….. równość:
(
)
6
,
0
10
6
1
=
=
=
X
P
Dla i>1 układamy tabelkę:
1. 2.
3.
4.
i
Prawdopodobieństwo
zdarzenia, że do próby i-1
włącznie znajdowano
tylko złe świece
Prawdopodobieństwo
zdarzenia, że w próbie i
znaleziono dobrą świece
P(X=i)= 2. *3.
