y
x
2
1
1
D
MITE zadania domowe seria 2
Zadanie 1
Dana jest funkcja:
( )
( )
⎩
⎨
⎧
∈
=
poza
D
y
x
dla
cy
y
x
f
0
,
,
Gdzie obszar D pokazano na rysunku.
Należy:
1. Dobrać stałą c tak, by funkcja f była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y)
2. Obliczyć gęstość rozkładów brzegowych
3. Narysować wykresy gęstości brzegowych
4. Obliczyć wartości oczekiwane E(X) i E(Y)
5. Obliczyć kowariancję zmiennych losowych
6. Obliczyć odchylenie standardowe zmiennych o rozkładach brzegowych
7. Obliczyć współczynnik korelacji ρ
X,Y
. Czy istnieje zależność liniowa pomiędzy X a Y ?
Rozwiązanie:
Ad. 1
( )
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
≤
≤
≤
≤
2
1
0
2
0
:
,
:
x
y
i
x
y
x
D
( )
(
)
{
}
y
x
i
y
y
x
D
−
≤
≤
≤
≤
1
2
0
1
0
:
,
:
(
)
(
)
(
)
3
1
3
6
2
3
2
2
2
1
2
1
0
1
2
0
1
0
1
0
1
0
3
2
2
=
⇒
=
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
−
=
−
=
=
∫∫
∫ ∫
∫
∫
−
c
c
c
y
y
c
dy
y
y
c
dy
y
y
c
dxdy
y
c
cydv
D
y
Ad. 2
( )
2
2
1
0
2
1
2
3
3
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
=
∫
−
x
ydy
x
f
x
X
( )
( )
(
)
(
)
y
y
y
y
ydx
y
f
x
Y
−
=
−
=
=
∫
−
1
6
6
3
2
1
2
0
Ad. 3
x
2
y
1
f
Y
(y)
f
X
(x)
1,5
1,5
Ad. 4
( )
( )
2
1
1
3
8
2
2
3
16
3
2
2
3
4
2
3
4
1
2
3
2
1
2
3
2
0
4
3
2
2
0
3
2
2
0
2
2
0
2
2
0
10
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
=
=
∫
∫
∫
∫
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
dx
x
xf
m
X
E
X
( )
( )
(
)
2
1
12
1
6
4
3
6
1
6
1
0
4
3
1
0
2
1
0
01
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
−
=
=
=
∫
∫
y
y
dy
y
y
dy
y
yf
m
Y
E
Y
Ad. 5
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
5
1
5
6
3
2
5
1
2
1
3
1
6
5
4
2
3
6
2
1
6
2
1
4
3
2
3
3
1
0
5
4
3
1
0
2
2
1
0
2
2
1
0
1
2
0
1
0
1
2
0
2
2
2
11
=
+
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
+
−
=
=
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
=
=
∫
∫
∫∫
∫ ∫
∫
−
−
y
y
y
dy
y
y
y
dy
y
y
dy
y
x
dxdy
xy
xycydv
XY
E
m
D
y
y
(
)
20
1
2
1
2
1
5
1
,
01
10
11
−
=
⋅
−
=
⋅
−
=
m
m
m
Y
X
COV
Ad. 6
( )
( )
5
2
60
96
240
160
2
3
20
32
4
3
8
2
3
20
4
3
2
3
4
2
3
4
1
2
3
2
1
2
3
2
0
5
4
3
2
0
4
3
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
0
2
20
2
=
+
−
⋅
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
=
=
∫
∫
∫
∫
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
dx
x
f
x
m
X
E
X
( )
( )
(
)
10
3
20
6
5
4
6
1
6
1
0
5
4
1
0
3
1
0
2
02
2
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
−
=
=
=
∫
∫
y
y
dy
y
y
dy
y
f
y
m
Y
E
Y
20
3
4
1
5
2
2
10
20
2
=
−
=
−
=
m
m
X
σ
20
1
4
1
10
3
2
01
02
2
=
−
=
−
=
m
m
Y
σ
Ad. 7
(
)
577
,
0
3
1
3
400
20
1
400
3
20
1
20
1
20
3
20
1
,
2
2
−
≅
−
=
⋅
−
=
−
=
⋅
−
=
⋅
=
Y
X
XY
Y
X
COV
σ
σ
ρ
Zmienne X i Y nie są zależne.
y
x
1
1
D
Zadanie 2
Dana jest funkcja:
( )
( )
⎩
⎨
⎧
∈
=
poza
D
y
x
dla
cxy
y
x
f
0
,
,
2
Gdzie obszar D pokazano na rysunku.
Należy:
1. Dobrać stałą c tak, by funkcja f była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y)
2. Obliczyć gęstość rozkładów brzegowych
3. Obliczyć wartości oczekiwane E(X) i E(Y)
4. Obliczyć kowariancję zmiennych losowych
5. Obliczyć odchylenie standardowe zmiennych o rozkładach brzegowych
6. Obliczyć współczynnik korelacji ρ
X,Y
. Czy są zależne liniowo, czy nie ?
Rozwiązanie:
Ad. 1
( )
{
}
x
y
i
x
y
x
D
≤
≤
≤
≤
0
1
0
:
,
:
( )
{
}
1
1
0
:
,
:
≤
≤
≤
≤
x
y
i
y
y
x
D
15
1
15
15
3
3
1
0 0
1
0
1
0
1
0
5
4
0
3
2
2
=
⇒
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
∫∫
∫∫
∫
∫
c
c
x
c
dx
x
c
dx
xy
c
dydx
xy
c
dv
cxy
D
x
x
Ad. 2
( )
4
0
3
0
2
5
3
15
15
x
xy
dy
xy
x
f
x
x
X
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
∫
( )
(
)
(
)
2
2
4
2
1
2
2
1
2
1
2
15
2
15
2
15
15
y
y
y
y
y
x
dx
xy
y
f
y
y
Y
−
=
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
∫
Ad. 3
( )
( )
6
5
6
5
5
5
1
0
6
1
0
5
1
0
4
1
0
10
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
⋅
=
=
=
∫
∫
∫
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
xf
m
X
E
X
( )
( )
(
)
8
5
24
15
6
4
2
15
2
15
1
0
6
4
1
0
5
3
1
0
01
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
−
=
=
=
∫
∫
y
y
dy
y
y
dy
y
yf
m
Y
E
Y
Ad. 4
( )
28
15
7
1
4
15
7
4
15
4
15
4
15
4
15
15
15
1
0
7
1
0
6
1
0
4
2
1
0
0
4
2
1
0 0
3
2
2
11
=
⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
x
dx
x
dx
x
x
dx
y
x
dydx
y
x
dv
xyxy
XY
E
m
x
D
x
(
)
0149
,
0
336
5
336
175
180
48
25
28
15
8
5
6
5
28
15
,
01
10
11
≅
=
−
=
−
=
⋅
−
=
⋅
−
=
m
m
m
Y
X
COV
Ad. 5
( )
( )
7
5
7
5
5
1
0
7
1
0
6
1
0
2
20
2
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
=
=
∫
∫
x
dx
x
dx
x
f
x
m
X
E
X
( )
( )
(
)
7
3
35
2
2
15
7
1
5
1
2
15
7
5
2
15
2
15
1
0
7
5
1
0
6
4
1
0
2
02
2
=
⋅
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
−
=
=
=
∫
∫
y
y
dy
y
y
dy
y
f
y
m
Y
E
Y
0198
,
0
252
5
36
25
7
5
2
10
20
2
≅
=
−
=
−
=
m
m
X
σ
0379
,
0
448
17
64
25
7
3
2
01
02
2
≅
=
−
=
−
=
m
m
Y
σ
Ad. 6
(
)
544
,
0
0273
,
0
0149
,
0
0379
,
0
0198
,
0
0149
,
0
,
2
2
=
=
⋅
≅
⋅
=
Y
X
XY
Y
X
COV
σ
σ
ρ
Zmienne X i Y nie są zależne.
y
x
1
1
D
Zadanie 3
Dana jest funkcja:
( )
( )
⎩
⎨
⎧
∈
=
poza
D
y
x
dla
cxy
y
x
f
0
,
,
3
Gdzie obszar D pokazano na rysunku.
Należy:
1. Zapisać analitycznie obszar D
2. Dobrać stałą c tak, by funkcja f była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y)
3. Obliczyć gęstość rozkładów brzegowych
4. Obliczyć momenty zwykłe rzędu (0,1) i (1,0)
5. Obliczyć kowariancję zmiennych losowych
6. Obliczyć odchylenie standardowe zmiennych o rozkładach brzegowych
7. Obliczyć współczynnik korelacji ρ
X,Y
. Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?
Rozwiązanie:
Ad. 1
( )
{
}
1
1
0
:
,
:
≤
≤
≤
≤
y
x
i
x
y
x
D
( )
{
}
y
x
i
y
y
x
D
≤
≤
≤
≤
0
1
0
:
,
:
Ad. 2
12
1
12
12
2
2
1
0 0
1
0
1
0
1
0
6
5
0
3
2
3
3
=
⇒
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
∫∫
∫∫
∫
∫
c
c
x
c
dy
y
c
dy
y
x
c
dxdy
xy
c
dv
cxy
D
y
y
Ad. 3
( )
(
)
5
1
4
1
3
3
4
12
12
x
x
xy
dy
xy
x
f
x
x
X
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
∫
( )
5
0
3
2
0
3
6
2
12
12
y
y
x
dx
xy
y
f
y
y
Y
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
∫
Ad. 4
( )
( )
(
)
7
4
21
12
7
1
3
1
3
7
3
3
3
1
0
7
3
1
0
6
2
1
0
10
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
−
=
=
=
∫
∫
x
x
dx
x
x
dx
x
xf
m
X
E
X
( )
( )
7
6
7
6
6
1
0
7
1
0
6
1
0
01
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
=
=
∫
∫
y
dy
y
dy
y
yf
m
Y
E
Y
Ad. 5
( )
2
1
8
1
4
8
4
4
3
12
3
12
12
12
1
0
8
1
0
7
1
0
4
3
1
0
0
4
3
1
0 0
4
2
3
11
=
⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
y
dy
y
dy
y
y
dy
y
x
dxdy
y
x
dv
xyxy
XY
E
m
y
D
y
(
)
0102
,
0
98
1
98
48
49
49
24
2
1
7
6
7
4
2
1
,
01
10
11
≅
=
−
=
−
=
⋅
−
=
⋅
−
=
m
m
m
Y
X
COV
Ad. 6
( )
( )
(
)
8
3
8
1
4
1
3
8
4
3
3
1
0
8
4
1
0
7
3
1
0
2
20
2
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
−
=
=
=
∫
∫
x
x
dx
x
x
dx
x
f
x
m
X
E
X
( )
( )
4
3
8
6
8
6
6
1
0
8
1
0
7
1
0
2
02
2
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
=
=
∫
∫
y
dy
y
dy
y
f
y
m
Y
E
Y
0485
,
0
392
19
49
16
8
3
2
10
20
2
≅
=
−
=
−
=
m
m
X
σ
0153
,
0
196
3
49
36
4
3
2
01
02
2
≅
=
−
=
−
=
m
m
Y
σ
Ad. 7
(
)
37
,
0
0272
,
0
0102
,
0
0153
,
0
0485
,
0
0102
,
0
,
2
2
=
=
⋅
≅
⋅
=
Y
X
XY
Y
X
COV
σ
σ
ρ
Zmienne X i Y nie są zależne.
y
x
1
4
D
Zadanie 4
Dana jest funkcja:
( )
(
)
( )
⎩
⎨
⎧
∈
+
=
poza
D
y
x
dla
y
x
c
y
x
f
0
,
,
Gdzie obszar D pokazano na rysunku.
Należy:
1. Dobrać stałą c tak, by funkcja f była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y)
2. Obliczyć gęstość rozkładów brzegowych
3. Narysować wykresy gęstości brzegowych
4. Obliczyć wartości oczekiwane E(X) i E(Y)
5. Obliczyć kowariancję zmiennych losowych
6. Obliczyć odchylenie standardowe zmiennych o rozkładach brzegowych
7. Obliczyć współczynnik korelacji ρ
X,Y
. Czy istnieje zależność liniowa pomiędzy X a Y ?
Rozwiązanie:
Ad. 1
( )
(
)
{
}
x
y
i
x
y
x
D
−
≤
≤
≤
≤
1
4
0
1
0
:
,
:
( )
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
≤
≤
≤
≤
4
1
0
4
0
:
,
:
y
x
i
y
y
x
D
(
)
( )
(
) (
)
( )
10
3
1
6
20
3
1
2
3
2
4
3
2
3
2
4
4
12
8
1
8
1
4
2
1
0
3
2
1
0
1
4
0
1
0
1
0
2
1
0
2
1
4
0
2
=
⇒
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
=
+
−
=
−
+
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
+
=
∫∫
∫ ∫
∫
∫
∫
−
−
c
c
c
x
x
x
c
dx
x
x
c
dx
x
x
x
c
dx
y
xy
c
dydx
y
x
c
cydv
D
x
x
Ad. 2
( )
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
2
2
1
4
0
3
2
10
12
1
8
1
4
10
3
10
3
x
x
x
x
x
dy
y
x
x
f
y
X
+
−
=
−
+
−
=
+
=
∫
−
( )
(
)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
+
=
−
−
−
∫
16
7
2
3
1
20
3
4
7
1
4
1
20
3
8
2
1
4
1
10
3
2
10
3
2
10
3
10
3
2
4
1
0
4
1
0
2
4
1
0
y
y
y
y
y
y
y
y
x
x
xy
x
dx
y
x
y
f
y
y
y
Y
05
,
0
09
,
0
14
,
0
2
10
20
2
=
−
=
−
=
m
m
X
σ
92
,
0
24
,
3
16
,
4
2
01
02
2
=
−
=
−
=
m
m
Y
σ
Ad. 7
(
)
65
,
0
66
,
4
14
,
0
046
,
0
14
,
0
92
,
0
05
,
0
14
,
0
,
2
2
−
=
⋅
−
=
−
=
⋅
−
=
⋅
=
Y
X
XY
Y
X
COV
σ
σ
ρ
Zmienne X i Y nie są zależne.
Zadanie 5.
Wypowiedziano twierdzenie:
COV(X,Y)=0
⇔ zmienne losowe X i Y są niezależne.
Czy twierdzenie jest prawdziwe ?
Odpowiedź uzasadnij.
