1
METODY STATYSTYCZNE I
ĆWICZENIA 2
Zad. 1
Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
( )
⎩
⎨
⎧
<
<
=
−
poza
,
0
1
0
,
1
x
x
x
f
θ
θ
θ
,
0
>
θ
.
Badamy hipotezę
1
:
0
=
θ
H
wobec hipotezy alternatywnej
2
:
1
=
θ
H
. Obszar odrzucenia
hipotezy
0
H jest wyznaczony nierównością
c
X
>
,
( )
1
,
0
∈
c
i jest ustalone. Obliczyć
prawdopodobieństwo błędu I i II rodzaju oraz wyznaczyć moc tego testu.
Zad. 2*
Niech
(
)
n
X
X
,
,
1
K
będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu wykładniczego o funkcji
gęstości
( )
⎩
⎨
⎧
≤
>
=
−
0
,
0
0
,
x
x
e
x
f
x
θ
θ
z nieznanym parametrem
θ . Weryfikujemy hipotezę
1
:
0
=
θ
H
wobec hipotezy alternatywnej
2
:
1
=
θ
H
, przy pomocy statystyki testowej
∑
=
=
n
i
i
X
T
1
.
a) Korzystając z lematu Neymana – Pearsona, wyznaczyć zbiór krytyczny testu
najmocniejszego.
b) Przy założeniu, ze
1
=
n
wyznaczyć taki zbiór krytyczny testu najmocniejszego,
przy którym prawdopodobieństwo błędu I rodzaju równa się 0,01.
Zad. 3
Z populacji, w której cecha X ma rozkład normalny
( )
4
,
m
N
wylosowano n-elementową
próbę prostą. Wysunięto hipotezę
2
:
0
=
m
H
wobec hipotezy alternatywnej
8
:
1
=
m
H
.
Do zweryfikowania tej hipotezy proponuje się test o obszarze krytycznym postaci
(
) (
)
{
}
t
n
x
x
x
w
n
>
−
=
2
:
,
,
1
K
. Wyznaczyć t, tak aby otrzymać test o prawdopodobieństwie
błędu I rodzaju 0,05. Jak liczna powinna być próba losowa, aby prawdopodobieństwo błędu II
rodzaju nie było większe niż 0,05.
Zad. 4
Niech
n
X
X
,
,
1
K
będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu normalnego
( )
1
,
m
N
.
Testujemy hipotezę
1
:
0
=
m
H
wobec hipotezy alternatywnej
1
:
1
>
m
H
, przy czym obszar
krytyczny testu jest postaci
(
)
{
}
n
n
c
x
x
x
w
>
=
:
,
,
1
K
. Wyznaczyć stałą
n
c tak, aby poziom
istotności
1
,
0
=
α
. Wyznaczyć funkcję mocy tego testu w zależności od m. Czy test ten jest
nieobciążony? Czy test ten jest zgodny?
Zad. 5
Niech
n
X
X
,
,
1
K
będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu normalnego
( )
1
,
m
N
.
Przypuśćmy, że weryfikujemy hipotezę
0
:
0
=
m
H
za pomocą testu z obszarem odrzucenia
(
)
{
}
1
:
,
,
1
>
=
n
x
x
x
w
n
K
.
Jaka jest moc tego testu przy
2
:
1
=
m
H
i
16
=
n
?
