Egzamin końcowy z przedmiotu „Analiza matematyczna I”
WETI, kierunek IBM, 1 sem., r. ak. 2010/2011
1. [4p.] Obliczyć całki nieoznaczone
a)
Z
dx
2(1 + sin x) − cos x
b)
Z
sin x ln(tg x)dx
2. [4p.] a) Obliczyć objętość bryły otrzymanej przez obrót dookoła osi OX obszaru ograniczonego
krzywą o równaniu
f (x) =
0,
x < −1
1 − x
2
, −1 ¬ x ¬ 0
π
−x
,
x > 0
oraz prostą y = 0. Wykonać rysunek otrzymanej bryły.
[2p.] b) Opisać (podać wzór i ilustrację graficzną) dwóch wybranych zastosowań geometrycznych
całek oznaczonych nie wymienionych w punkcie a) tego zadania.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] Sprawdzić, czy funkcja z = x cos
y
x
spełnia równanie
x
2
z
xx
+ 2xyz
xy
+ y
2
z
yy
= 0
4. [4p.] a) Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji g(x, y) = 3 − x
2
− 2y
2
w obszarze
określonym nierównościami x 0, y 0 i x + y ¬ 1.
[2p.] b) Pokazać, że nie istnieje granica funkcji h(x, y) =
xy
x
2
+ y
2
w punkcie (0, 0).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] Obliczyć całkę
Z
D
Z
x
2
y
2
dxdy
gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywą xy = 1 i prostymi y = x, x = 2. Wykonać
odpowiedni rysunek.
6. [4p.] a) Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
9z = x
2
+ y
2
i
z =
q
36 − x
2
− y
2
znajdującej się wewnątrz tych powierzchni.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych uogólnionych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Narysować obszar całkowania oraz zmienić kolejność całkowania w całce
iterowanej
2
Z
0
dx
2−
√
4−(x−2)
2
Z
−x
2
f (x, y) dy