RUCH DRGAJACY
Prosty oscylator harmoniczny - równanie ruchu
Ruch harmoniczny prosty
0
2
2
=
+
kx
dt
x
d
m
równanie
)
cos(
δ
ω
+
=
t
A
x
rozwiazanie
m
k
=
2
ω
)
cos(
)
sin(
)
cos(
2
2
2
δ
ω
ω
δ
ω
ω
δ
ω
+
−
=
=
+
−
=
=
+
=
t
A
dt
x
d
a
t
A
dt
dx
v
t
A
x
)
cos(
),
cos(
)
cos(
2
2
δ
ω
ω
δ
ω
δ
ω
ω
+
=
=
+
−
=
+
−
t
A
x
oraz
m
k
a
t
A
m
k
t
A
)
cos(
]
2
cos[
]
)
2
(
cos[
δ
ω
δ
π
ω
δ
ω
π
ω
+
=
+
+
=
+
+
=
t
A
t
A
t
A
x
Okres ruchu
m
k
T
f
i
k
m
T
π
π
ω
π
ω
π
2
1
2
1
2
2
=
=
=
=
=
T
f
π
π
ω
2
2
=
=
,
ω
– czestosc kolowa – jednostka [rad/s], f – czestoscia drgan oscylatora,
A - amplituda ruchu, (
ω
t +
δ
) - faza ruchu,
δ
– stala fazowa (faza poczatkowa).
m
F = 0
F = -kx
F = -kx
x = 0
x
F = ma i F = -kx,
0
lub
2
2
2
2
=
+
=
=
−
kx
dt
x
d
m
dt
x
d
m
ma
kx
)
cos(
)
sin(
)
cos(
2
2
2
δ
ω
ω
δ
ω
ω
δ
ω
+
−
=
=
+
−
=
=
+
=
t
A
dt
x
d
a
t
A
dt
dx
v
t
A
x
Energia w prostym ruchu harmonicznym
kx
dx
dU
dx
dE
F
t
A
x
i
kx
E
p
p
−
=
=
−
=
+
=
=
)
cos(
2
1
2
δ
ω
)
(
cos
2
1
2
1
2
2
2
δ
ω
+
=
=
t
kA
kx
E
p
)
(
sin
2
1
)
(
sin
2
1
)
(
sin
2
1
2
1
),
sin(
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
δ
ω
δ
ω
δ
ω
ω
ω
δ
ω
+
=
+
=
+
=
=
=
+
−
=
=
=
t
kA
t
A
m
k
m
t
A
m
mv
E
wtedy
m
k
gdzie
t
A
dt
dx
v
i
mv
E
k
k
)
(
cos
2
1
)
cos(
2
1
2
2
2
δ
ω
δ
ω
+
=
+
=
=
t
kA
E
czyli
t
A
x
ale
kx
E
p
p
a
A
t
x
t
-
ω
2
A
t
v
-
ωA
)
(
sin
2
1
2
1
2
2
2
δ
ω
+
=
=
t
kA
mv
E
k
)
(
cos
2
1
2
1
2
2
2
δ
ω
+
=
=
t
kA
kx
E
p
t
2
2
1
kA
E
E
E
p
k
=
+
=
0
Maksymalna wartosc
2
2
2
max
2
1
2
1
A
m
kA
E
k
ω
=
=
2
max
2
1
kA
E
p
=
2
2
2
2
2
2
1
)
(
cos
2
1
)
(
sin
2
1
kA
t
kA
t
kA
E
E
E
p
k
=
+
+
+
=
+
=
δ
ω
δ
ω
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
A
m
k
dt
dx
v
i
x
A
m
k
v
x
A
k
mv
czyli
kA
kx
mv
E
E
E
p
k
−
±
=
=
−
=
⇒
−
=
=
+
=
+
=
Wahadlo matematyczne – jako przyklad ruchu harmonicznego
α
sin
mg
F
−
=
sina ~
α
i F~
α.
l
g
x
l
g
dt
x
d
l
mg
k
ma
kx
x
l
mg
l
x
mg
mg
mg
F
=
−
=
=
=
−
=
−
=
−
=
−
≈
−
=
2
2
2
,
,
sin
ω
α
α
Okres drgan w ruchu harmonicznym
g
l
mg
ml
k
m
T
π
π
π
2
2
2
=
=
=
Wahadlo fizyczne
r
mg
M
r
G
M
a
x
a
x
⋅
=
⋅
=
=
⇒
=
ϕ
ϕ
sin
sin
M = - mgasin
ϕ
i M = I
ε
2
2
sin
dt
d
I
mga
ϕ
ϕ
=
sinf ~ f
I
mga
I
mga
dt
d
=
−
=
2
2
2
ω
ϕ
ϕ
I
mga
gdzie
t
=
+
=
ω
α
ω
ϕ
ϕ
)
cos(
0
ma
I
l
gdzie
g
l
mga
I
T
r
r
=
=
=
=
π
π
ω
π
2
2
2
mgcosa
α
mgsina
mg
x = la
l
l
m
R
α
v
max
→
x = 0
v = 0
→
x = A
f
G = mg
a
O
O’
ϕ
Srodek
masy
Punkt
obrotu
m – masa wahadla
a – odleglosc masy od osi obrotu
I – moment bezwladnosci wahadla wzgledem osi obrotu
ϕ
– kat wychylenia z polozenia równowagi
ω
– czestosc kolowa
ϕ
0
– amplituda
α
– stala fazowa
l
r
– dlugosc zredukowana
ϕ
Ruch harmoniczny tlumiony (k
1
- wspólczynnik oporu osrodka)
0
2
2
,
0
0
2
2
1
0
1
2
2
1
2
2
=
+
+
=
=
=
+
+
−
−
=
dt
dx
x
dt
x
d
wtedy
m
k
m
k
i
dt
dx
m
k
x
m
k
dt
x
d
czyli
dt
dx
k
kx
dt
x
d
m
β
ω
β
ω
m
k
m
k
gdzie
t
e
x
x
t
=
−
=
=
+
=
−
0
2
2
0
1
1
1
0
2
)
cos(
ω
β
ω
ω
β
α
ω
β
Tlumienie
λ (T – okres ruchu harmonicznego tlumionego,
δ
– dekrement tlumienia)
T
i
T
gdzie
e
T
t
x
t
x
T
β
λ
δ
ω
π
λ
β
=
=
=
=
+
=
ln
2
)
(
)
(
Ruch harmoniczny wymuszony
t
B
dt
dx
x
dt
x
d
wtedy
m
F
B
dodatkowo
oznaczymy
i
t
F
dt
dx
k
kx
dt
x
d
m
2
2
0
2
2
0
2
0
1
2
2
sin
2
sin
ω
β
ω
ω
=
+
+
=
+
−
−
=
x = x
0
sin(
ω
2
t –
ϕ
)
x
0
,
ϕ
– wielkosci stale
m
k
m
k
gdzie
tg
m
F
x
2
,
2
4
)
(
1
0
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
=
=
−
=
+
−
=
β
ω
ω
ω
β
ω
ϕ
ω
β
ω
ω
2
2
0
0
0
2
2
0
2
2
2
0
2
,
2
0
β
ω
β
β
ω
ω
ω
ω
−
=
−
=
=
⇒
=
m
F
x
d
dx
rez
rez
x
0
?
0
ω
2
ß = 0
ß
≠
0 i rosnie
t
x
)
cos(
0
α
ω
β
+
=
−
t
e
x
x
t
T
(
ω
0
2
>
β
2
)
2
2
2
2
0
2
β
ω
ω
+
=
rez