Inne miary ryzyka
i współczynnik beta
Inne miary ryzyka
i współczynnik beta
Omawiane zagadnienia
Inne miary ryzyka wykorzystywane w
modelu Markowitza
Model Sharpe’a – oparty na
współcznynniku beta
Czy ryzyko dla inwestora to:
a) Każde
odchylenie rzeczywistej stopy dochodu od stopy
oczekiwanej?
Czy raczej:
b) Ujemne
odchylenie rzeczywistej stopy dochodu od stopy
oczekiwanej?
Jeżeli przyjąć rozumienie ryzyka
jako zjawiska
negatywnego
, tzn. ujemnego odchylenia wartości rzeczywistej
stopy dochodu od jej średniej oczekiwanej, to miarami
wspomagającymi proces decyzyjny mogą być:
-
semiwariancja stopy zwrotu
-
semiodchylenie standardowe stopy zwrotu
1. semiwariancja stopy zwrotu (
SV)
jest
ważoną sumą kwadratów ujemnych
odchyleń możliwych stóp zwrotu od
oczekiwanej stopy zwrotu
:
∑
=
=
n
i
i
i
d
p
SV
1
2
gdzie:
gdzie:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥
−
<
−
−
=
−
−
−
,
0
,
0
,
0
k
k
gdy
k
k
gdy
k
k
d
i
i
i
i
1. Semiodchylenie standardowe stopy
zwrotu (
SS)
jest pierwiastkiem
kwadratowym semiwariancji
:
∑
=
=
n
i
i
i
d
p
SS
1
2
Semiwariancja i semiodchylenie standardowe stopy zwrotu
odpowiadają
wariancji i odchyleniu standardowemu
tej stopy przy założeniu, że ryzyko
rozumiane jest w kategoriach zagrożenia, co oznacza, iż bierze się pod uwagę
tylko ujemne odchylenia od oczekiwanej stopy zwrotu.
SV
A
= 0,1 x (4 - 8,5)
2
+ 0,2 x (6 - 8,5)
2
+ 0,2 x (8 - 8,5)
2
+ 0,1 x
(5 - 8,5)
2
= =0,585
SV
B
= 0,1 x (2 - 10,0)
2
+ 0,2 x (6 - 10,0)
2
=1,28
A
B
Głęboka recesja
0,1
4%
2%
Łagodna recesja
0,2
6%
6%
Stagnacja
0,4
12%
10%
Łagodny wzrost
0,2
8%
14%
Szybki wzrost
0,1
5%
18%
Stan koniunktury
Praw dopodobień-
stw o w ystąpienia
Stopa dochodu z inwestycji
Dla podanego przykładu – (k
A
= 8,5%, k
B
= 10%)
A. semiwariancja:
B. Semiodchylenie standardowe stopy zwrotu
76
,
0
585
,
0
=
=
A
SS
Można również zastosować uogólniony sposób, w
którym zamiast ujemnych odchyleń od oczekiwanej
stopy zwrotu uwzględnia się ujemne odchylenia od stopy
zwrotu określonej przez inwestora. Podejście to można
stosować, gdy inwestor chce uniknąć osiągnięcia stóp
zwrotu niższych niż ta, którą uważa za
satysfakcjonującą.
13
,
1
280
,
1
=
=
B
SS
INNE MIARY RYZYKA
I. Odchylenie przeciętne stopy zwrotu:
Przy mierzeniu
odchylenia standardowego
stopy zwrotu
odchylenia możliwych stóp zwrotu od oczekiwanej stopy zwrotu
podnosi się do kwadratu, co powoduje, iż jednorazowe duże
odchylenie podniesione do kwadratu może zawyżyć wielkość
ryzyka. Wady tej pozbawione jest
odchylenie przeciętne stopy
zwrotu,
obliczane za pomocą wzoru:
∑
−
−
−
=
n
i
i
i
k
k
p
d
1
Gdzie:
d – odchylenie przeciętne stopy zwrotu
A
B
Głęboka recesja
0,1
4%
2%
Łagodna recesja
0,2
6%
6%
Stagnacja
0,4
12%
10%
Łagodny wzrost
0,2
8%
14%
Szybki wzrost
0,1
5%
18%
Stan koniunktury
Prawdopodo -
bieństwo
wystąpienia
Stopa dochodu z inwestycji
%
8
,
2
%
5
,
8
%
5
1
,
0
%
5
,
8
%
8
2
,
0
%
5
,
8
%
12
4
,
0
%
5
,
8
%
6
2
,
0
%
5
,
8
%
4
1
,
0
=
−
⋅
+
−
⋅
+
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
=
a
d
%
2
,
3
%
5
,
8
%
18
1
,
0
%
5
,
8
%
14
2
,
0
%
10
%
10
4
,
0
%
10
%
6
2
,
0
%
10
%
2
1
,
0
=
−
⋅
+
−
⋅
+
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
=
b
d
Dla podanego przykładu – (k
A
= 8,5%, k
B
= 10%)
INNE MIARY RYZYKA
II. Semiodchylenie przeciętne stopy zwrotu:
Jeżeli ryzyko rozumiane jest jedynie w kategoriach
negatywnych to odpowiednikiem
odchylenia przeciętnego
stopy
zwrotu jest
semiodchylenie przeciętne stopy zwrotu,
obliczane za
pomocą wzoru:
∑
−
=
n
i
i
i
d
p
sd
1
gdzie:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥
−
<
−
−
=
−
−
−
,
0
,
0
,
0
k
k
gdy
k
k
gdy
k
k
d
i
i
i
i
Semiodchylenie przeciętne stopy zwrotu:
A
B
Głęboka recesja
0,1
4%
2%
Łagodna recesja
0,2
6%
6%
Stagnacja
0,4
12%
10%
Łagodny wzrost
0,2
8%
14%
Szybki wzrost
0,1
5%
18%
Stan koniunktury
Prawdopodo -
bieństwo
wystąpienia
Stopa dochodu z inwestycji
%
4
,
1
%
5
,
8
%
5
1
,
0
%
5
,
8
%
8
2
,
0
%
5
,
8
%
6
2
,
0
%
5
,
8
%
4
1
,
0
=
−
⋅
+
−
⋅
+
+
−
⋅
+
−
⋅
=
A
sd
6
,
1
%
10
%
6
2
,
0
%
10
%
2
1
,
0
=
−
⋅
+
−
⋅
=
B
sd
MODEL
SHARPE’A
ZARYS PROBLEMU
Założenie:
Pakiet
m
jest tzw.
pakietem rynkowym
, tzn. że jeżeli na rynku
znajduje się określona liczba
n
akcji, to w skład pakietu
m
będzie wchodzić każda z tych akcji w takich proporcjach,
w jakich występują one na rynku.
Gdy rynek kapitałowy znajduje się w stanie równowagi,
jedynie pakiet rynkowy jest pakietem efektywnym
.
W przypadku zachwiania równowagi np.:
•
wzrost/spadek ceny jednej/części akcji
•
wzrost/spadek dochodu z akcji
•
wzrost/spadek ryzyka w jednej/części akcji
rozpoczyna się proces dostosowawczy, przywracający stan
równowagi:
Zachwianie
równowagi
rynku
kapitałowego
Dążenie do
przywrócenia
stanu
równowagi
Oferty kupna
i sprzedaży
papierów
wartościowy
ch
Wszyscy
składają
podobne
oferty:
pojawia się
niedobór
jednych i
nadmiar
drugich
papierów
Zmiana cen
akcji
znajdujących
się na rynku
Zmiana
poziomu
oczekiwanych
stóp dochodu
i ryzyka
Nowy układ
równowagi
Pakietem
efektywnym
jest znowu
pakiet
rynkowy
Stan
równowagi
– pakietem
efektywnym
jest pakiet
rynkowy
Ogólne ryzyko akcji można podzielić na dwie części:
1.
część, którą można wyeliminować odpowiednio kształtując
strukturę portfela
2.
część, której wyeliminować nie można.
Zestawienie efektywnego pakietu złożonego z bardzo znacznej ilości
akcji wg dotychczas przedstawionej metodologii jest bardzo trudne
i wymaga znajomości:
1. oczekiwanych stóp dochodu z poszczególnych akcji,
2. odchyleń standardowych tych stóp dochodu,
3. współczynników korelacji pomiędzy oczekiwanymi stopami
dochodów każdej z możliwych par akcji wchodzących w skład
pakietu.
Zadanie to można bardzo uprościć gdy:
zamiast korelacji pomiędzy poszczególnymi parami akcji
wykorzystamy korelację pomiędzy tymi akcjami a składającym się
z nich pakietem
lub też ogólnym wskaźnikiem charakteryzującym
stan koniunktury
.
Twierdzenie:
zmiany ogólnego stanu koniunktury dotykają w podobny sposób
wszystkie przedsiębiorstwa.
Jednak:
- jakkolwiek stopy dochodu poszczególnych akcji będą wykazywały
wahania o wspólnym kierunku, to skala tych wahań będzie
zróżnicowana, gdyż:
- sprzedaż i zyski różnych przedsiębiorstw nie są jednakowo wrażliwe
na zmiany ogólnego staniu koniunktury,
- wahania stóp dochodu uzależnione są również od specyficznych cech
przedsiębiorstwa (np. jakości zarządzania).
Zatem:
☯
część całkowitej zmienności stóp dochodu
poszczególnych akcji
można przypisać czynnikom o
charakterze ogólnym,
☯
część zaś
czynnikom specyficznym
, wpływającym na
stopę dochodu danego przedsiębiorstwa, a w
konsekwencji i jego akcji.
Wg
W. Sharpe’a
– całkowite ryzyko poszczególnych
akcji można podzielić na dwie części:
1.
część, która jest skorelowana ze zmianami ogólnej
sytuacji gospodarczej, czyli tzw.
ryzyko
systematyczne,
2.
część rezydualna – czyli
ryzyko specyficzne
.
Zależność między oczekiwanymi stopami dochodu pojedynczych akcji a
oczekiwana stopą dochodu pakietu składającego się z tych akcji można wyrazić
za pomocą następującego równania regresji:
e
specyficzn
ryzyko
-
pakietu
dochodu
stopa
oczekiwana
-
x
akcji
dochodu
stopa
oczekiwana
-
y
:
gdzie
)
(
ε
ε
+
=
x
f
y
W ramach pakietów ukształtowanych w racjonalny sposób zmienność
rezydualna stopy dochodu (ryzyko specyficzne)
może być wyeliminowana
całkowicie
- będzie się wzajemnie znosić (gorsze wyniki jednych firm
rekompensowane będą lepszymi wynikami innych firm).
Inwestorzy nie będą
zatem żądać z jego powodu dodatkowego wynagrodzenia
(wyższej
oczekiwanej stopy dochodu).
Zatem:
W warunkach efektywnego rynku kapitałowego tylko ryzyko systematyczne
będzie decydować o poziomie stopy dochodu żądanej przez inwestorów, czyli
wycenie aktywów o zmiennej stopie dochodu!
Ryzyko portfela i liczba papierów wartościowych
Ryzyko portfela i liczba papierów wartościowych
:
:
Liczba papierów wartościowych
W
ar
ia
n
cj
a
st
op
y
zw
ro
tu
z
p
or
tf
el
a
Ryzyko systematyczne
Ryzyko specyficzne
Współczynnik regresji β można wyrazić jako:
im
m
i
r
σ
σ
β
=
Współczynnik β wyraża relacje pomiędzy zmianami oczekiwanej stopy
dochodu pakietu rynkowego a zmianami stóp dochodu poszczególnych
akcji wchodzących w jego skład
, przy czym:
a) oczekiwane stopy dochodu akcji, dla których
β = 1
, wykazują taką samą
zmienność jak stopa dochodu pakietu rynkowego,
b) oczekiwane stopy dochodu akcji, dla których
β < 1
, są mniej wrażliwe na
zmiany ogólnej sytuacji gospodarczej,
c) akcje, dla których
β > 1
, są obarczonym większym ryzykiem niż pakiet
rynkowy, a zatem oczekiwania co do ich stopy dochodu będą wyższe.
Jeżeli rynek kapitałowy jest w stanie
równowagi, to oczekiwana stopa
dochodu oraz ryzyko (zmienność
oczekiwanej stopy dochodu mierzona
odchyleniem standardowym)
odpowiadają współrzędnym punktów
leżących na prostej
sml.
Wykorzystując powyższe obliczenia można przedstawić wykres obrazujący
zależności między analizowanymi zmiennymi
:
0 0,6 1,0 1
0 0,6 1,0 1
,4
,4
k
B
k
m
k
A
R
f
A
m
B
β
Dochód
C
D
sml
Współczynniki
β
i
zostały zdefiniowane jako miary ryzyka
systematycznego poszczególnych akcji (aktywów).
Współczynnik
β
p
portfela
składającego się z różnych akcji (różnych aktywów)
jest średnia ważoną współczynników
β
i
poszczególnych aktywów
(akcji):
∑
=
=
n
i
i
i
p
x
1
β
β
Jeżeli firmę potraktować jako zbiór wyodrębnionych
grup aktywów, to używając powyższych zależności
możemy obliczyć wpływ projektów inwestycyjnych
na współczynnik
β
firmy, a tym samym na:
•
ryzyko systematyczne,
•
koszt kapitału własnego, i
•
średni ważony koszt kapitału.