Interpolacyjnej funkcji sklejanej poszukiwać będziemy w postaci kombinacji liniowej 

 

                                              ,          
gdzie  ci są pewnymi liczbami rzeczywistymi, które należy wyznaczyć.  
Nakładamy warunki interpolacji:          s(xi) = yi ,   i = 0, 1, ... ,n. 

 

Funkcja s(x) jest interpolacyjną funkcją sklejaną dla  f, gdy (n+3) niewiadomych  
ci  (i = -1, 0, 1, ... , n+1)   spełnia następujący układ (n+1) 
ci-1 +4ci + ci+1 = yi ,    i = 0,1, ...., n 
Do powyższego układu należy dołączyć dwa równania, wynikające z nałożenia na  
funkcję sklejaną s dwóch dodatkowych warunków 
 -c-1 + c1 = h/3        i         -cn-1 + cn+1 = h/3     
Tak określony układ  (n+3) równań posiada jednoznaczne rozwiązanie. 
Uwaga. Z układu tego można łatwo wyeliminować współczynniki  c-1  i  cn+1 .  

 

TWIERDZENIE. Niech    = f ' (a)   i    = f ' (b). Jeżeli funkcja  f  jest klasy  C4([a,b]), 

to  dla 

 

 

                                                 

 

s x

( )

1



n 1



i

c

i



i x

( )











a

x



b



.



i x

( )

x



i

x

( )

d
d

x

i 2



0

0

x

i 1



1

3

h

x

i

4

0

x

i 1



1

3



h

x

i 2



0

0

























4

1

0

.

.

.

.

.

2

4

1

.

.

.

.

.

0

1

4

.

.

.

.

.

.

0

1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1

0

.

.

.

.

.

.

4

1

0

.

.

.

.

.

1

4

2

..

.

.

.

.

0

1

4













































c

0

c

1

.

.

.

.

c

n 1



c

n























































y

0



h

3





y

1

.

.

.

.

y

n 1



y

n



h

3

























































a

x



b



f x

( )

s x

( )



5 M4



384

h

4





Interpolacja funkcjami sklejanymi 

Niech w przedziale  [a,b]  danych będzie  (n+1) punktów  x0, x1, ... , xn , przy czym 
 
                                                     a =  x0  < x1 < ...  < x n-1 < xn  = b. 
 
Funkcję  s(x)  określoną na przedziale  [a,b] nazywamy funkcją sklejaną stopnia m , jeżeli 
 
     1) s(x) jest wielomianem stopnia co najwyżej  m na każdym podprzedziale  (xi , xi+1) , i = 0,1,... , n-1     
        
     2) s(x) jest funkcją klasy Cm-1([a,b]) . 
 
Punkty  xi nazywamy węzłami funkcji sklejanej.                                                                  
 
W najprostszym przypadku m = 1, funkcja sklejana jest łamaną. Także wielomiany na [a,b] 
są szczególnym przypadkiem funkcji sklejanej. 
 
Zbiór wszystkich funkcji sklejanych stopnia m o węzłach  xi  ( i = 0,1,...,n) oznaczymy  Sm . 
 
Funkcja sklejana stopnia m zależy od  n (m+1) - m (n-1) = n+m parametrów. 

Funkcję s(x)  z  Sm nazywamy interpolacyjną funkcją sklejaną stopnia m dla funkcji f , jeżeli 
 
                                                    s(xi) = yi ,    i = 0,1,...,n 
 
Na funkcję sklejaną zostało nałożone (n+1) warunków interpolacji. W najprostrzym przypadku  
interpolacyjnej funkcji sklejanej stopnia pierwszego, czyli łamanej, jest ona jednoznacznie  
wyznaczona przez te warunki. Dla  m > 1 interpolacyjna funkcja sklejana zależy od  (m-1)  
parametrów i należy na nią  nałożyć  dodatkowe warunki.  
 
Do najczęściej rozważanych funkcji sklejanych należą funkcje stopnia trzeciego. Interpolacyjna  
funkcja sklejana stopnia trzeciego zależy od dwóch parametrów, wobec czego nakładamy na nią  
dwa dodatkowe warunki. Warunki te najczęściej nakładamy w węzłach krańcowych a i b.  
Np. mogą mieć one postać 
           
                                               s'(a + 0) =     oraz       s'(b - 0) =   
 
gdzie  ,  są ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Jeżeli funkcja  f  ma pochodne w punktach a i b  
oraz znamy ich wartości, to możemy je przyjąć jako liczby występujące po prawych stronach powyższych warunków.  
Natomiast, jeżeli znamy tylko wartości funkcji  f  w węzłach - mogą to  

być przybliżenia pochodnych. 

TWIERDZENIE. Istnieje dokładnie jedna interpolacyjna funkcja sklejana stopnia trzeciego  
spełniająca podane wyżej dodatkowe warunki. 
 

Opracowano szereg algorytmów wyznaczających interpolacyjne funkcje sklejane. Postać funkcji  
sklejanej w dużym stopniu zależy od zagadnienia. Często wygodnie jest przedstawić poszukiwaną  
funkcję w  postaci kombinacji liniowej elementów bazy przestrzeni S3, która jest przestrzenią liniową 

 o wymiarze (n+3). 

Omówimy teraz wyznaczanie interpolacyjnej funkcji w postaci kombinacji liniowej elementów  
bazy S3, w  przypadku węzłów równoodległych 
 
                                    xi = x0 +ih,    h = (b-a)/n ,    i = 0,1, ... ,n 
 
Określamy (n+3) funkcje i =i(x) , i = -1, 0, 1, ... , n , n+1 , które stanowią bazę przestrzeni  
funkcji sklejanych trzeciego stopnia S3.