Zajęcia wyrównawcze z Podstaw Konstrukcji Maszyn 

 
 

Materiały pomocnicze do zajęć 

 

 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dr inż. Adam Cholewa 
dr inż. Krzysztof Psiuk 
 
 
 
 
 

Gliwice 2011 

 

1  Ze

stawienie podstawowych wzorów wytrzymałościowych 

Poniżej zestawiono podstawowe wzory wytrzymałościowe, które wykorzystywane są w obliczeniach 
inżynierskich  w  budowie  maszyn.  Wzory  zostały  pogrupowane  w  zależności  od  występującego 
stanu naprężeń. 

1.1 

Rozciąganie 

Naprężenia rozciągające wyznaczamy z zależności: 

 

r

nt

r

k

A

P







 

 

gdzie: 

r



  - 

nominalne naprężenia rozciągające

 

P

  - 

siła rozciągająca

 

nt

A

  -  pole przekroju poprzecznego netto 

r

k

  - 

naprężenia dopuszczalne na rozciąganie

 

 

1.2 

Ścinanie 

Naprężenia ścinające wyznaczamy z zależności: 

 

t

sr

k

A

T







 

 

gdzie: 

sr



  - 

nominalne naprężenia ścinające

 

T

  - 

siła tnąca

 

A

  -  pole przekroju poprzecznego 

t

k

  - 

naprężenia dopuszczalne na ścinanie

 

 

1.3 

Skręcanie 

Naprężenia skręcające wyznaczamy z zależności: 

 

s

s

k

W

M





0



 

 

gdzie: 



  - 

nominalne naprężenia skręcające

 

s

M

 - 

moment skręcający

 

0

W

  - 

wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie 

s

k

  - 

naprężenia dopuszczalne na skręcanie (dla materiałów plastycznych przyjmuje się 

r

s

k

k

6

,

0



)

 

 
 
 

 

 

1.4  Zginanie 

Naprężenia zginające wyznaczamy z zależności: 

 

g

g

g

k

W

M







 

 

gdzie: 

g



  - 

nominalne naprężenia zginające

 

g

M

 - 

moment gnący

 

W

  - 

wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie 

g

k

  - 

naprężenia dopuszczalne na zginanie

 

 

1.5 

Inne zależności 

Wydłużenie: 

 

EA

Pl





 

 

gdzie: 



  - 

wydłużenie

 

P

  - 

siła rozciągająca

 

E

  - 

moduł Young'a 

A

  -  pole przekroju poprzecznego

 

 
Wydłużenie względne: 

 

E

EA

P

l













 

 

gdzie: 



  - 

wydłużenie względne

 

 
Wydłużenie spowodowane przyrostem temperatury: 

 

l

t













 

 

gdzie: 



  - 

wydłużenie

 

t



  -  przyrost temperatury

 



  - 

współczynnik rozszerzalności liniowej 

 
 

 

2 

Połączenia śrubowe 

2.1 

Stan naprężenia połączeń śrubowych 

Obliczenia  wytrzymałościowe  połączeń  śrubowych  przeprowadza  się  w  zależności  od  rodzaju  i 
charakteru obciążeń. Można rozróżnić następujące przypadki obciążeń: 



 

połączenie  śrubowe  z  śrubami  bez  napięcia  wstępnego,  obciążone  tylko  siłą  osiową  stałą 
lub zmienną, 



 

połączenie śrubowe z śrubami napiętymi wstępnie, obciążona siłą osiową, 



 

połączenie  śrubowe  z  śrubami  bez  napięcia  wstępnego,  obciążone  siłą  osiową  oraz 
momentem skręcającym, 



 

połączenie śrubowe obciążone siłą poprzeczną. 

 
Uwaga!!! 
Podane poniżej zależności są ważne w granicach odkształceń sprężystych. 
 

2.1.1  P

ołączenie śrubowe z śrubami bez napięcia wstępnego 

 
W takim przypadku obliczenia przeprowadza się tylko ze względu na naprężenia rozciągające. 
 

r

r

c

r

c

r

k

d

Q

A

Q











2

4





 

 

 

 

 

(1) 

gdzie: 



r

 

– naprężenia normalne w śrubie, [MPa] 

A

r

 

– pole przekroju poprzecznego śruby, [mm

2

] 

d

r

 

– średnica rdzenia śruby, [mm] 

k

r

 

– naprężenia kryterialne w przypadku rozciągania, [MPa] 

Q

c

 

– siła osiowa, [N] 

 
Naprężenia dopuszczalne wyznacza się z zależności: 
 

X

R

k

e

r



 

 

 

 

 

 

(1) 

gdzie: 

Re 

– grania plastyczności, [MPa] 

X 

– liczba bezpieczeństwa, 

Dla obciążeń stałych przyjmuje się liczbę bezpieczeństwa X = 1,3 ÷ 2,5. 
Dla obciążeń zmiennych liczbę bezpieczeństwa przyjmuje się z przedziału X = 2,5 ÷ 5. 
 
 

 

2.1.2  P

ołączenie  śrubowe  z  śrubami  napiętymi  wstępnie  i  obciążonymi  siłą 

osiową 

Całkowite obciążenie śruby zależy od odkształceń śruby oraz elementów łączonych. 
 

s

k

p

w

c

c

c

Q

Q

Q









1

1

 

 

 

 

 

(2) 

gdzie: 
Q

w

 

– napięcie wstępne, [N] 

Q

p

 

– obciążenie robocze, [N] 

c

k

 

– sztywność elementów ściskanych, [N/m] 

c

s

 

– sztywność śruby, [N/m] 

 
a) 

Wyznaczenie sztywności elementów ściskanych i śruby 

 
Wyznaczenie  sztywności  elementów  złącza  jest  jednym  z  etapów  konstruowania  połączenia. 
Zależność (3) przedstawia ogólny wzór na sztywność. 

L

EA

c



 

 

 

 

 

 

(3) 

gdzie: 
E 

– moduł Young’a, [MPa] 

A 

– pole przekroju poprzecznego, [mm

2

] 

L 

– długość elementu (wymiar elementu wzdłuż działania siły), [mm] 

 
W  przypadku  złącza  śrubowego  wyznacza  się  sztywności  poszczególnych  jego  elementów 
(bierzemy pod uwagę te elementu na które działa obciążenie robocze – tzn. rozciągana cześć śruby 
i  ściskana  część  blach).  W  przypadku  śruby  dzieli  się  ją  na  dwie  części  –  gwintowaną  i 
niegwintowaną.  Dla  każdej  części  śruby  wyznacza  się  oddzielnie  sztywność.  W  kolejnym  kroku 
wyznacza  się  sztywności  zastępcze.  Sztywność  zastępczą  można  wyznaczyć  na  podstawie 
podatności zastępczej opisanej wzorem (4). 

 















N

i

i

i

i

N

i

i

A

E

L

c

c

1

1

1

1

 

 

 

 

 

(4) 

Stąd podatność zastępczą śruby można wyznaczyć (patrz rys.1a): 

2

2

1

1

1

A

E

L

A

E

L

c

s

s

s









 

 

 

 

 

(5) 

gdzie: 

4

2

1

r

d

A







 oraz 

4

2

2

d

A







 

d

r

 

– średnica rdzenia śruby, [mm] 

d 

– średnica śruby w części niegwintowanej, [mm] 

E

s

 

– moduł Younga tworzywa śruby, [MPa] 

 

L

1

,  L

2

 

– długości odpowiednio odcinka gwintowanego i niegwintowanego rozciąganej części śruby 

(Rys.1a)  
 
W  przypadku  elementów  ściskanych  sytuacja  jest  bardziej  złożona.  Wszystkie  łączone  elementy 
rozpatruje  się  jako  pakiet  elementów  ściskanych.  Nie  ma  tu  problemu  na  ile  „części”  należy 
podzielić  ten  pakiet  –  jest  to  liczba  blach  (każda  blacha  ma  inną  sztywność  w  zależności  od 
grubości i tworzywa). Problem pojawia się przy określaniu niezbędnych do wyznaczenia sztywności 
wymiarów geometrycznych blach. Z uwagi na to, że połączenie śrubowe ma charakter zbliżony do 
punktowego,  na  stan  odkształcenia/naprężenia  złącza  wpływ  ma  tylko  część  blachy  w  jego 
najbliższym otoczeniu. Rzeczywisty wpływ siły ściskającej blachy na ich stan odkształcenia nie jest 
znany. W związku z tym w obliczeniach inżynierski zakłada się przybliżony kształt strefy naprężeń 
ściskających  w  elementach  łączonych.  Na  rysunku  1a  przedstawiono  przybliżony  kształt 
przyjmowany  w  obliczeniach.  Strefę  naprężeń  ściskających  stanowią  dwa  ścięte  stożki  złączone 
większymi podstawami. Kąt wierzchołkowy przyjmowany jest około 90º, wysokość każdego stożka 
jest równa grubości blachy a mniejsza średnica jest równa średnicy oporowej łba śruby lub nakrętki 
(średnica  powierzchni  oporowej  jest  jedną  z  wielkości  podawanych  w  normach).  Średnica  otworu 
osiowego w stożku jest równa średnicy otworu pod śruby d

0

. W celu ułatwienia dalszych obliczeń 

stożki te są zamieniane na walce drążone, których średnica wewnętrzna pozostaje bez zmian, zaś 
średnica zewnętrzna jest średnią średnic podstaw stożka (górna blacha – rys. 1 b, c , dolna blacha 
rys.  1  d,  e).  Rysunek  1f 

przedstawia  model  strefy  ściskania  blach  w  postaci  otrzymanych  dwóch 

drążonych walców. 
 
 

 

 

 
Sztywność  elementów  łączonych  wyznaczamy  przez  wyznaczenie  sztywności  poszczególnych 
walców  drążony  a  następnie  wyznaczenie  sztywności  zastępczej  analogicznie  jak  dla  śruby.  Na 
podstawie zależności (4) można wyrazić podatność zastępczą elementów łączonych: 

 

2

2

4

1

1

3

1

w

w

k

A

E

L

A

E

L

c









 

 

 

 

 

(6) 

gdzie: 





4

2

0

3

1

d

L

D

A

w











 oraz 





4

2

0

4

1

d

L

D

A

w











 

 

E

1

, E

2

 

– moduły Younga tworzyw poszczególnych elementów ściskanych, 

A

w1

, A

w2

 

– pole powierzchni walców drążonych  

 

L

1

 

L

2

 

L

3

 

L

4

 

90



 

L

3

 

D

 

D

 

D+2L

4 

D+2L

3 

L

4

 

L

3

 

D+L

4 

D+L

3 

L

4

 

a) 

b) 

d) 

c) 

e) 

f) 

Rys. 1. Modelowanie wpływu połączenia śrubowego na łączone elementy. 

 

2.1.3  P

ołączenie  śrubowe  z  śrubami  bez  napięcia  wstępnego,  obciążone  siłą 

osiową oraz momentem skręcającym, 

 
W takim przypadku wyznacza się obciążenie zastępcze: 

r

s

s

c

r

r

z

k

k

k





















2

,

2







  

 

 

 

(7) 

gdzie: 



z

 

– naprężenia zredukowane, [MPa] 



s

 

– naprężenia styczne, [MPa] 

k

r,c

 

– naprężenie kryterialne w przypadku rozciągania lub ściskania (dla stali k

r

 = k

c

 ), [MPa] 

k

s

 

– naprężenia kryterialne w przypadku skręcania, [MPa] 

 

2.1.4 

Połączenie śrubowe obciążone siłą poprzeczną 

 
W przypadku połączenia śrubowego obciążonego siłą poprzeczną rozpatruje się dwa przypadki: 



 

połączenie z śrubami luźnymi, 



 

połączenie z śrubami pasowanymi. 

 
 
a) P

ołączenie z śrubami luźnymi 

 
W  przypadku  połączenia  śrubowego  z  śrubami  luźnymi,  siła  poprzeczna  jest  przenoszona  za 
pośrednictwem  sił  tarcia,  powstałych  na  powierzchniach  styku  łączonych  elementów,  w  wyniku 
naciągu  wstępnego  śruby.  Siła  tarcia  powstała  w  ten  sposób,  powinna  zrównoważyć  siłę 
poprzeczną  obciążającą  połączenie.  Siła  napinająca  śrubę  nie  może  wywołać  w  śrubie  naprężeń 
większych  niż  wynikałoby  to  z  własności  wytrzymałościowych  tworzywa,  z  którego  śruba  jest 
wykonana.  Zazwyczaj  w  takim  przypadku  wyznacza  się  wymaganą  średnicę  śruby.  Można  ją 
wyznaczyć z zależności: 



















P

d

r

4

Q

T

Q

2

w

T

 

 

 

 

(8) 

gdzie: 
Q

T

 

– siła poprzeczna, [N] 

T 

– siła tarcia, [N] 



 

– liczba tarcia 

P 

– naciski powierzchniowe, [MPa] 

 
 
b) P

ołączenie z śrubami pasowanymi 

 

 

W  przypadku  połączeń  śrubowych  z  śrubami  pasowanymi,  obliczenia  przeprowadza  się  jak  dla 
połączenia  kształtowego.  W  takim  przypadku  obliczenia  przeprowadza  się  sprawdzając  dwa 
warunki wytrzymałościowe: 
- 

warunek na naprężenia tnące 

 

t

T

T

k

d

z

Q

A

z

Q













4

2

1





 

 

 

 

 

(1) 

gdzie: 



 

–  naprężenia styczne w śrubie(ścinanie), [MPa] 

T

Q

 

–  siła tnąca, [N] 

A

 

–  pole powierzchni ścinanej, [mm

2

] 

1

d

 

–  średnica trzpienia pasowanego śruby, [mm] 

z

 

–  liczba powierzchni ścinanych 

t

k

 

–  naprężenia kryterialne na ścinanie: 

 
Naprężenia dopuszczalne wyznaczamy z zależności: 









2

1

,

0

1











r

s

e

t

n

R

k



 

 

 

 

(2) 

gdzie: 

R

e

 

–  granica plastyczności tworzywa śruby, [MPa] 

δ

s

 

–  liczba bezpieczeństwa na ścinanie 

n

r

 

–  liczba rzędów śrub w połączeniu 

 
- warunek na naciski powierzchniowe 
 

dop

p

g

d

Q

p







1

 

 

 

(3) 

gdzie: 

p 

– 

naciski 

powierzchniowe  między  powierzchnią  boczną  śruby  a  powierzchnią  boczną  otworu, 

[MPa] 

Q 

– 

siła tnąca, [N] 

d

1

 

– 

średnica trzpienia pasowanego śruby, [mm] 

g 

– 

grubość blachy, [mm] 

p

dop

 

– 

naciski dopuszczalne, [MPa] 

 









2

1

,

0

1

8

,

0













r

d

e

dop

n

R

p



 

 

 

 

(4) 

gdzie: 

δ

d

 

–  liczba bezpieczeństwa na naciski 

 
Sprawdzeniu podlegają również łączone elementy (w przekroju osłabionym otworami pod śruby). 
 
 

 

2.1.5  Informacje dodatkowe 

 
Własności wytrzymałościowe śrub 
 
Własności  wytrzymałościowe  śrub  są  opisane  przez  klasę  wytrzymałości  takich  łączników.  Klasy 
wytrzymałości śrub określone są przez normę i opisane w postaci zapisu dwóch liczb rozdzielonych 
znakiem kropki. Wybrane klasy wytrzymałości śrub to: 4.8, 5.6, 6.8, 8.8, 10.9, 12.9. 
Symbol  ten  należy  odczytywać  następująco.  pierwsza  liczba  pomnożona  przez  100,  da  nam 
wartość wytrzymałości na rozciąganie Rm, natomiast pozostała część, podaje nam wartość ilorazu 
Re/Rm. Np. dla śruby o klasie wytrzymałości 5.6, otrzymamy: 









MPa

R

R

MPa

R

m

e

m

300

500

6

.

0

6

.

0

500

100

5

















 

 
Moment dokręcenia w połączeniu śrubowym 
 
Siłę  wzdłużną  w  śrubie  wywołuje  się  przez  wprowadzenie  napięcia  wstępnego.  Powstaje  ono  w 
czasie  dokręcania  nakrętki,  w  czasie  montażu  połączenia  śrubowego.  W  wyniku  tego  na 
powierzchniac

h  styku  pomiędzy  nakrętką  i  elementem  łączonym,  oraz  pomiędzy  gwintem  śruby  i 

gwintem nakrętki powstają siły tarcia, które należy pokonać w czasie dokręcania nakrętki. Całkowity 
moment tarcia będzie równy: 
 

o

T

c

M

M

M





 

gdzie: 







w

s

o

w

s

T

Q

D

M

tg

Q

d

M

5

.

0

)

'

(

5

.

0







 

s

d

 

- 

średnica robocza gwintu, [mm], 



 

- 

kąt wzniosu linii śrubowej 

'



 

- 

pozorny kąt tarcia, 

s

D

  - 

średnica robocza powierzchni oporowej nakrętki. 

 
 

2.2 

Przykład rozwiązania zadania: 

 
Dobrać śruby łączące dwa wały obciążone momentem skręcającym  M

s

  =  600  Nm

. Do połączenia 

wałów  zaproponowano  sześć  śrub  pasowanych.  Tarcze  wałów  wykonane  są  ze  stali  45.  Liczba 
bezpieczeństwa na ścinanie δ

s

=1,5, a na naciski 

δ

d

=2. 

D

w

 = 110 mm 

D

0

 = 115 mm 

D

z

 = 200 mm 

n = 6 
n

r

 = 1 

 

 

 

Rys. 2. Połączenie śrubowe 

 
Momentowi  skręcającemu  M

s

  odpowiada  moment  oporowy  M

0,

 

równy  mu  co  do  wartości  ale  o 

przeciwnym  zwrocie.  Moment  oporowy  M

0

 

można  rozłożyć  na  sześć  równych  momentów 

składowych  (zakładamy  równy  rozkład  obciążenia  na  każdą  ze  śrub).  Każdy  z  tych  momentów 
można  zastąpić  iloczynem  siły  i  ramienia  (patrz  rysunek),  gdzie  siła  jest  przyłożona  w  środku 
ciężkości śruby, natomiast ramię jest promieniem koła, na którym rozmieszczone są śruby (D

0 

/ 2). 

Wówczas moment oporowy można wyrazić następująco: 

2

0

0

D

P

n

M







 

 

 

 

 

(3.1) 

stąd: 

2

0

0

D

n

M

P





 

 

 

 

 

 

(3.2) 

1. Naprężenia tnące w śrubie: 

t

k

d

P







4

2

1





 

 

 

 

 

(3.3) 

Zakładamy śruby klasy 5.6. 
 

R

m

 = 500 MPa 

  

R

e

 = 300 MPa 

 
wówczas: 









MPa

R

n

R

k

s

e

r

s

e

t

180

9

0

2

1

0

1





















,

,

 

 

 

(3.4) 

stąd: 

D

W

 

D

0

 

D

Z

 

M

0 

1
0 

1
0 

P

 

P

 

P

 

P

 

P

 

P

 

 

mm

k

D

n

M

k

P

d

t

t

51

,

3

8

4

0

0

1























 

 

 

 

(3.4) 

2. Naciski powierzchniowe: 

dop

p

d

g

P

p







1

 

 

 

 

 

 

(3.5) 

stal 45 

– R

e

 = 360 MPa 

Granica plastyczności tworzywa śruby jest niższa, dlatego na naciski powierzchniowe weryfikujemy 
śrubę. 









MPa

R

n

R

p

d

e

r

d

e

dop

132

88

,

0

2

1

,

0

1

8

,

0























   

 

(3.6) 

stąd: 

mm

p

g

D

n

M

p

g

P

d

dop

dop

32

,

1

2

0

0

1

















 

 

 

 

(3.7) 

 
Na podstawie zależności (3.4) oraz (3.7) dobrano śruby M8 o średnicy trzpienia pasowanego d

1

 = 9 

mm 
 

2.3  Zadania do 

samodzielnego rozwiązania: 

2.4  Zadanie 1 

Płaskownik  o  grubości  g  =  15  mm  zamocowany  przy  pomocy  trzech  śrub  pasowanych  obciążony  jest  siłą 
poprzeczną  P=20 000N. Obliczyć średnicę śrub i dobrać śruby  znormalizowane. Liczba bezpieczeństwa  na 
ścinanie δ

s

 = 2,5, a na naciski wynosi 

δ

d

 = 2

. Płaskownik wykonano ze stali 45. 

Dane: 
a = 50 mm 
l = 100 mm 
 

 

Rys. 3. Rysunek połączenia do zadania 1 

 
 

2.5  Zadanie 2 

Trzy płaskowniki połączono 2 śrubami pasowanymi jak na rysunku i obciążono siłą P = 30 000 N. 
Kierunek działania siły jest prostopadły do osi śrub. Skonstruować połączenie śrubowe. Wymiary i 

l 

5
a 

a 

y 

1.1.1

 

P

 

x 

 

tworzywo płaskowników są znane. Liczba bezpieczeństwa wynosi δ

s

=2

. Szerokość płaskowników b 

= 50 mm. 
 
Dane: 
Płaskownik 1: 
 

stal 25 
g

1

= 15 mm 

Płaskownik 2: 
 

stal 45 
g

2

= 10 mm 

Płaskownik 3: 
 

stal 35 
g

3

= 20 mm 

 

 

 

Rys. 4. Rysunek połączenia do zadania 2 

 

2.6  Zadanie 3 

Obliczyć  śruby  łączące  dwa  wały  obciążone  momentem  skręcającym  M

s

=600  Nm.  Sześć 

śrub założonych z luzem założono tak, że moment M

s

 przenoszony jest przez moment tarcia 

miedzy  powierzchniami  tarcz  ukształtowanych  na  wale.  Liczba  tarcia 



  =  0,15.  Liczba 

bezpieczeństwa wynosi δ = 2.6 
 
D

w

 = 110 mm 

D

0

 = 115 mm 

D

z

 = 200 mm 

n = 6 

 

Rys. 5. Rysunek połączenia do zadania 3 

 

D

W

 

D

0

 

D

Z

 

r 

d
A

1 

τ 

M

s 

P 

0,5
P 

0,5
P 

g

1

 

g

2

 

g

3

 

Powierzchnie 
ścinania śrub 

 

3 

Połączenia spawane 

3.1 

Wymagania dotyczące spoin. 

3.1.1 

Wymagania dla spoin czołowych. 

 
W  obliczeniach  połączeń  spawanych  ze  spoinami  czołowymi  przyjmuje  się,  że  grubość 
obliczeniowa  spoiny 

jest  równa  grubości  cieńszego  z  łączonych  elementów.  W  przypadku 

niepełnej  spoiny  czołowej  grubość  ta  jest  równa  głębokości  rowka  do  spawania 
pomniejszonej o 2 mm. 
Jeżeli połączone mają być blachy o różnych grubościach, to należy tak skonstruować złącze 
s

pawane,  aby  zapewnić  ciągłą  zmianę  przekroju. W  tym  celu  stosuje  się  pochylenie,  które 

powinno być nie większe niż: 
1 : 1 - 

w przypadku obciążeń statycznych, 

1 : 4 - 

w przypadku obciążeń dynamicznych. 

 

 

Rys. 6. Połączenie spawane czołowe 

 

3.1.2  Wymagania dla spoin pachwinowych. 

 
W przypadku spoin pachwinowych, zaleca się stosować spoiny nie większe niż wynika to z 
przeprowadzonych obliczeń, a ponadto zaleca się aby: 









mm

10

najwyzej

co

lecz

t

0,2

mm

2,5

wyjatkowo

mm

3

max

max

min

a

 

 









min

max

t

0,7

mm

16

min

a

 

gdzie: 
t

min

, t

max

 

grubość cieńszej i grubszej blachy 

 

3.2 

Weryfikacja połączeń spawanych – spoiny czołowe. 

 
Nośność spoiny czołowej wyznacza się z zależności: 
 

 

d

f

































2

||

2









 

i) 

 

 













15

,

0

1

 

 
gdzie: 



, 



 

–  naprężenia w przekroju obliczeniowym połączenia, 





, 



||

 

– współczynniki wytrzymałości spoin, 

f

d

 

– wytrzymałość obliczeniowa stali (odczytywana z tablic dla danego tworzywa), 



 

– współczynnik stosunku naprężeń średnich do maksymalnych 

 
Sposób określania wartości współczynników 



||

 oraz 





 

określa norma. 

Poniżej  przedstawiono  wyciąg  z  normy  PN-90/B-03200  dotyczący  wyznaczania  wartości 
współczynników 



: 

 
 
Tablica 1 

Rodzaj spoiny 

Stan naprężeń w rozpatrywanej 

części lub wytrzymałość stali  

Re w MPa 

Współczynniki wytrzymałości spoin

1) 





 



||

 

Spoiny czołowe 

ściskanie lub zginanie 

1 

0,6 

(przy ścinaniu) 

rozciąganie  równomierne  (



=1)  lub 

mimośrodowe ((



<1)) 

1 - 0,15



 

2)

  

Spoiny 
pachwinowe 

Re 



 225 

0,9 

0,8 

255 < Re 



 355 

0,8 

0,7 

355 < Re 



 460 

0,7 

0,6 

1)

 

Podane wartości współczynników należy zmniejszyć: 

a)  o 10% - 

w przypadku spoin montażowych, 

b)  o 20% - 

w przypadku spoin pułapowych, 

c)  o 30% - 

gdy zachodzą jednocześnie obydwa przypadki a) i b) 

 

2)

 

Podana  zależność  dotyczy  spoin  normalnej  jakości,  kontrolowanych  zgrubnie: 



  - 

iloraz  naprężeń 

średnich do naprężeń maksymalnych. W przypadku przeprowadzenia kontroli defektoskopowej można 
przyjmować wartości 





 

= 1, przy czym klasa wadliwości złącza wg PN-87/M-69772 powinna wynosić 

najwyżej R4 - przy grubości łączonych części do 20 mm, R3 - przy grubości większej niż 20 mm, R2 - 
przy obciążeniach zmiennych. 

 

3.3 

Weryfikacja połączeń spawanych – spoiny pachwinowe 

W przypadku złożonego stanu naprężeń warunek wytrzymałościowy ma postać: 
 

 





























d

d

f

f











2

2

||

2

3

 

ii) 

 
gdzie: 

 



 

– współczynnik zależny od granicy plastyczności stali (określany wg normy w zależności od 

Re), 





, 





 

– naprężenia w kierunku prostopadłym do osi spoiny (patrz rysunek poniżej), 



||

 

– naprężenia w kierunku równoległym do osi spoiny (patrz rysunek poniżej), 

 

 























]

[

460

355

1

]

[

355

255

85

,

0

]

[

255

7

,

0

MPa

R

MPa

R

gdy

MPa

R

e

e

e



 

iii) 

 

 





 



||

 





 

a 



 

 

Rys. 7

. Składowe naprężeń w spoinie pachwinowej 

 
 

3.4 

Przykład rozwiązania zadania: 

 
Sprawdzić wytrzymałość spoiny czołowej łączącej blachę węzłową ze słupem, jak pokazano 
na rysunku. Zakłada się, że spoina nie ma kraterów końcowych i jest kontrolowana zgrubnie. 
Obciążenie połączenia jest  złożone i  obejmuje obciążenie siłą rozciągającą  N,  siłą tnącą V 
oraz momen

tem zginającym M. 

 
Dane: 
Tworzywo elementów: 

 

stal 18G2 

Wytrzymałość obliczeniowa:  

f

d

 = 305 [MPa] 

N 

= 

360 

[kN] 

V 

= 

270 

[kN] 

M 

= 

12 

[kNm] 

 
 

 

 

10 

300 

V 

N 

M 

 

Rozwiązanie: 
W  rozpatrywanym  przypadku  połączenia  spawanego  mamy  do  czynienia  ze  złożonym 
stanem  naprężeń.  Zgodnie  z  zależnością  i),  do  weryfikacji  połączenia  konieczne  jest 
określenie naprężeń normalnych oraz stycznych, występujących w tym połączeniu.  
 
1. Charakterystyki geometryczne spoiny 
W pierwszym kroku wyznaczamy charakterystyki geometryczne spoiny. 

 

10 

300 

V 

N 

M 

10 

300

 

x 

 

 
Na  rysunku  przedstawiono 

postać  i  wymiary  pola przekroju  poprzecznego spoiny  czołowej. 

Zgodnie z podanymi wymiarami spoiny, polem jest prostokąt o szerokości podstawy równej 
10 mm oraz wysokości 300 mm. 
 
Obliczenie pola przekroju poprzecznego spoiny: 

]

cm

[

30

]

mm

[

3000

300

10

2

2









s

A

 

 

Oblicze

nie wskaźnika wytrzymałości przekroju poprzecznego na zginanie względem osi x: 

]

cm

[

150

]

mm

[

150000

6

300

10

2

300

12

300

10

3

3

2

3















e

I

W

x

x

 

 
2. Składowe naprężeń 
Z obciążenia spoiny wynika, że naprężenia normalne występujące w spoinie będą pochodziły 
od siły normalnej oraz momentu zginającego, a naprężenia styczne będą pochodziły tylko od 
siły  tnącej.  Konieczne  jest  więc  wyznaczenie  naprężeń  cząstkowych  pochodzących  od 
poszczególnych sił obciążających spoinę. 
 
a) składowa naprężeń pochodząca od siły poosiowej N 
 

]

M Pa

[

120

3000

10

360

3









s

N

A

N



 

 
b) 

składowa naprężeń pochodząca od momentu zginającego M 

 

]

M Pa

[

80

10

150

10

12

3

3











x

M

W

M



 

 
Na rysunku poniżej przedstawiono wykresy obliczonych naprężeń (można je dorysować do 
istniejącego rysunku): 
 

 

10 

300 

V 

N 

M 

10 

300

 

x 



N

 



M

 



 

 

 
Całkowite  naprężenia  normalne  będą  złożeniem  naprężeń  pochodzących  od  siły 
rozciągającej i momentu zginającego. Maksymalne naprężenia normalne są równe: 
 

]

MPa

[

200

80

120











M

N







 

 

 
c) naprężenia styczne pochodzące od siły tnącej V 
 

]

M Pa

[

90

3000

10

270

3









s

A

V



 

 
3. Określenie współczynnika 





 

W  celu  określenia  wartości  współczynnika 





 

konieczne  jest  wyznaczenia  ilorazu  wartości 

naprężeń  normalnych  średnich  do  wartości  naprężeń  normalnych  maksymalnych. 
Maksymalne  naprężenia  normalne są równe 



.  Natomiast  naprężenia normalne  średnie są 

równe 



N

 (bo w tym przypadku 



M

 

są symetryczne i nie zmieniają wartości średniej). Stąd: 

6

,

0

200

120













N

 

 
Współczynniki wytrzymałości spoiny wynoszą: 

91

,

0

6

,

0

15

,

0

1

15

,

0

1



















 

6

,

0

||





 

 
4. Warunek nośności spoiny 
Po  wyznaczeniu  wszystkich 

koniecznych  wartości  należy  sprawdzić  warunek  nośności 

spoiny: 
 

d

z

z

d

z

f

f

















































































]

M Pa

[

8

,

275

6

,

0

90

91

,

0

200

2

2

2

||

2

 

 
Warunek został spełniony. 
 

 

3.5 

Zadania do samodzielnego rozwiązania: 

3.5.1  Zadanie 1 

Blachę  węzłową  połączono  z  słupem 
spoiną 

czołową. 

Sprawdzić 

wy

trzymałość  tego  połączenia,  jeżeli 

obciążone  jest  ono  jak  na  rysunku. 
Blacha wykonana jest ze stali St3S. 
Dane: 
P 

= 

40 

[kN] 

R 

= 

10 

[kN] 



 

= 

45

0

  

e

1

 

= 

60 

[mm] 

e

2

 

= 

90 

[mm] 

l

1

 

= 

350 

[mm]  

Tworzywo stal St3S 
R

e

  = 

235 

[MPa]  

f

d

 

= 

215 

[MPa]  



||

  = 

0,6 





  = 

1 

 

3.5.2  Zadanie 2 

Blachę  węzłową połączono z słupem 
spoiną 

pachwinową. 

Sprawdzić 

wytrzymałość  tego  połączenia,  jeżeli 
obciążone  jest  ono  jak  na  rysunku. 
Blacha wykonana jest ze stali St3S. 
 
Dane: 
F 

= 

45 

[kN] 

Q 

= 

8 

[kN] 



 

= 

60

0

  

e

1

 

= 

50 

[mm] 

e

2

 

= 

90 

[mm] 

l

1

 

= 

360 

[mm] 

Wymiar charakterystyczny spoiny 
a 

= 

5 

[mm]  

Tworzywo stal St3S 
R

e

 

= 

235 

[MPa] 

f

d

 

= 

215 

[MPa] 



||

  = 

0,7 





  = 

0,8 

 
 

3.5.3  Zadanie 3 

 
Wysięgnik promieniowy o postaci przedstawionej na rysunku poniżej, obciążono siłą P. Pręty 
3  i  4 

połączono  z  prętem  1  poprzez  blachę  węzłową  przedstawioną  na  rys.  2.  Blachę 

węzłową  połączono  z  prętem  1  spoiną  czołową.  Sprawdzić  wytrzymałość  tego  połączenia. 
Wszystkie elementy wykonane są ze stali St3S. 

e

1

e2



P

R

x10

l

1

 

e

1

e2



F

Q

x10

l

1

 

 

Rys. 1 

Rys. 2 

1

2

3

4

5

6

7

P

 

x10

L

350

10



e

2

x10

L

350

10



 

Dane: 
P 

= 

40 

[kN] 



 

= 

30 

[

0

] 

e

2

  = 

90 

[mm] 

L 

=  350 

[mm]  

 

Tworzywo stal St3S 
R

e

  =  235 

[MPa]  

f

d

 

=  215 

[MPa]  



||

  = 

0,6 





  = 

1 

 

 
 

 

4 

Projektowanie przekładni mechanicznych 

4.1 

Projektowanie przekładni zębatych 

Zagadnienia dotyczące projektowania przekładni zębatych zostaną omówione na podstawie 
przekładni zębatych walcowych o zębach śrubowych, z zazębieniem ewolwentowym.  
 
Przełożenie przekładni: 

•  Przełożenie kinematyczne 

b

a

b

a

n

n

i









 

•  Przełożenie geometryczne 

1

2

1

2

lub

D

D

u

z

z

u





 

•  Dla przekładni o stałych osiach 

i

u



 

 

4.1.1 

Podstawowe wielkości geometryczne kół 

 
Wielkości charakterystyczne uzębienia mierzone są w dwóch płaszczyznach: 



 

płaszczyźnie normalnej, 



 

płaszczyźnie czołowej. 

 
Wielkości  mierzone  w  płaszczyźnie  normalnej  oznaczane  są  indeksem  n,  a  mierzone  w 
płaszczyźnie czołowej oznaczane są indeksem t. 
Na rysunku poniżej przedstawiono położenie płaszczyzny normalnej i czołowej. 
 

 

Rys. 4.1. 

Położenie płaszczyzny normalnej i płaszczyzny czołowej 

 

 

 

Rys. 4.2. 

Podstawowe cechy geometryczne uzębienia 

 
Podstawowe cechy geometryczne uzębienia przedstawiono na rys. 4.2 i opisano poniżej: 

d - 

średnica podziałowa, 

d

a

 - 

średnica wierzchołków, 

d

f

 - 

średnica stóp, 

h - 

wysokość zęba, 

h

a

 - 

wysokość głowy zęba, 

h

f

 - 

wysokość stopy zęba, 

p

t

 - 

podziałka podziałowa, 

s

t

 - 

grubość zęba, 

et - 

szerokość wrębu, 

b - 

szerokość zęba, 



 - 

kąt pochylenia linii zęba. 

 
Podstawowe zależności geometryczne pomiędzy tymi wielkościami: 
 
Moduł normalny: 



n

n

p

m



 

 



cos

n

t

m

m



 

Tabela modułów normalnych 
Szereg 

m [mm] 

1 

1 

1,25 

1,5 

2 

2,5 

3 

4 

5 

6 

8 

10 

12 

16 

20 

2 

1,125  1,375  1,75  2,25  2,75  3,5 

4,5 

5,5 

7 

9 

11 

14 

18 

22 

 
Podziałka: 



n

n

m

p



 

 



cos

n

t

p

p



 

 

Szerokość zęba: 

2

n

n

p

s



 

 



cos

n

t

s

s



 

Szerokość wrębu: 

2

n

n

p

e



 

 



cos

n

t

e

e



 

 

Dla kąta zarysu 





20

n



 

Koła o zębach prostych 

Koła o zębach śrubowych 

m

m

m

t

n





 



n

n

p

m



, 



cos

n

t

m

m



 

mz

d



 



cos

z

m

d

n



 

n

a

m

h



 

n

f

m

h

25

,

1



 

)

2

(





z

m

d

a

 

)

2

cos

(







z

m

d

n

a

 

)

5

,

2

(





z

m

d

f

 

)

5

,

2

cos

(







z

m

d

n

f

 

2

)

(

2

1

z

z

m

a

w





 



cos

2

)

(

2

)

(

2

1

2

1

z

z

m

z

z

m

a

n

t

w









 

2

f

a

d

d

h





 

2

d

d

h

a

a





 

2

f

f

d

d

h





 

 

 

 
 

4.1.2 

Weryfikacja wytrzymałościowa zębów 

 
Istnieje  wiele  metod  weryfikacji  wytrzymałościowej  uzębień  kół  zębatych.  W  celu  ich 
ujednolicenia  organizacje  normalizacyjne,  ISO,  DIN,  wprowadziły  zalecenia  dotyczące 
sposobu  obliczeń  wytrzymałościowych  uzębień.  Przedstawione  poniżej  zależności  zostały 
opracowane na podstawie norm DIN.  
Weryfikacja wytrzy

małościowa uzębień prowadzona jest w oparciu o dwa kryteria. Kryteria te 

dotyczą naprężeń gnących w przekroju stopy zęba oraz naprężeń stykowych na boku zęba.  

 

Warunek wytrzymałościowy dotyczący odporności na złamanie stopy zęba jest następujący: 

FP

F







 

 

FP

F

F

n

t

F

Y

Y

Y

K

bm

F













 

 





F

F

v

I

F

K

K

K

K

K



 

 

FX

S

F

F

FP

K

Y

S

min

lim







 

 
gdzie: 

F



 

- 

naprężenie w podstawie zęba od zginania [MPa], 

t

F

 

- 

nominalna siła obwodowa na walcu podziałowym [N], 

b

 

- 

szerokość koła [mm], 

F

Y

 

- 

liczba uwzględniająca kształt zęba, 



Y

 

- 

liczba uwzględniająca wpływ wskaźnika zazębienia, 



Y

 

- 

liczba uwzględniająca wpływ kąta pochylenia linii zęba, 

FP



 

- 

naprężenie dopuszczalne [MPa] 

I

K

 

- 

liczba określająca dodatkowe dynamiczne siły zewnętrzne, 

v

K

 

- 

liczba określająca dodatkowe dynamiczne siły wewnętrzne, 



F

K

 

-  liczba 

uwzględniająca rozkład obciążenia na pary zębów będące w zazębieniu, 



F

K

 

- 

liczba uwzględniająca rozkład obciążenia wzdłuż szerokości koła, 

lim

F



  - 

wytrzymałość trwała przy zginaniu [MPa], 

S

Y

 

-  liczb

a działania karbu, 

FX

K

  - 

liczba uwzględniająca wielkość koła, 

min

F

S

  - 

minimalna liczba bezpieczeństwa. 

 
Na tej podstawie można wyznaczyć liczbę bezpieczeństwa na złamanie: 

min

lim

F

F

F

v

I

F

t

FX

s

n

F

F

S

K

K

K

K

Y

Y

Y

F

K

Y

bm

S















 

 
Siłę 

t

F

 

obliczymy z zależności: 

d

M

F

s

t

2



 

gdzie: 

 

s

M

 

- 

moment skręcający, 

d

 

- 

średnica podziałowa. 

 
Moment skręcający można wyznaczyć z zależności: 

]

[

9550

Nm

n

P

M

s



 

gdzie: 

P

 

-  moc 

przenoszona przez koło [kW], 

n

 

- 

prędkość obrotowa [obr./min]. 

 
Pozostałe parametry: 







1



Y

 

 
 















































































2

2

1

,

0

4

1

5

,

0

2

1

2

1

1

1



























dla

F

b

f

q

q

dla

q

dla

q

dla

q

K

t

w

pb

L

L

L

L

L

F

 

 
 



cos

pt

pb

f

f



 

 

120

1









Y

 

Jeżeli  promień  zaokrąglenia  głowy  narzędzia,  którym  zostało  wykonane  uzębienie  jest 
większy niż 0,25m

n

, to: 

1



S

Y

 

 
kolejnym  warunkiem  który  należy  sprawdzić  jest  warunek  wytrzymałościowy  dotyczący 
odporności na naciski powierzchniowe boku zęba. Wyznaczamy go w punkcie biegunowym 
C, gdzie 

obciążenie jest największe. Naprężenia stykowe są równe: 

 

HP

M

H

H

H

v

I

t

H

Z

Z

Z

u

u

bd

K

K

K

K

F

















1

 

 
 

 

v

R

HX

L

H

H

HP

Z

Z

K

K

S

min

lim







 

 
gdzie: 

t

F

 

- 

nominalna siła obwodowa na walcu podziałowym [N], 

b

 

- 

szerokość koła [mm], 

d

 

- 

średnica podziałowa [mm], 

u

 

- 

przełożenie geometryczne, 

I

K

 

- 

liczba określająca dodatkowe dynamiczne siły zewnętrzne, 

v

K

 

- 

liczba określająca dodatkowe dynamiczne siły wewnętrzne, 



H

K

  - 

liczba uwzględniająca rozkład obciążenia na pary zębów będące w zazębieniu, 



H

K

  - 

liczba uwzględniająca rozkład obciążenia wzdłuż szerokości koła, 

H

Z

 

- 

liczba uwzględniająca kąty 

tw

t

b







,

,

, 

M

Z

 

- 

liczba uwzględniająca własności sprężyste tworzyw, 



Z

 

- 

liczba uwzględniająca czołowy wskaźnik zazębienia, 

lim

H



  - 

wytrzymałość stykowa trwała [MPa], 

min

H

S

  -  minimalna 

liczba bezpieczeństwa, 

L

K

 

- 

liczba uwzględniająca wpływ smaru, 

HX

K

  - 

liczba uwzględniająca wpływ wielkości koła, najczęściej 

1



HX

K

, 

R

Z

 

-  liczba 

uwzględniająca wpływ chropowatości, 

v

Z

 

- 

liczba uwzględniająca wpływ prędkości obwodowej. 

 
Liczbę bezpieczeństwa na wykruszenie można obliczyć z zależności: 

min

lim

)

1

(

H

M

H

H

H

v

I

t

L

R

v

HX

H

H

S

Z

Z

Z

bdu

u

K

K

K

K

F

K

Z

Z

K

S















 

 
 
 
 

 

4.2 

Projektowanie przekładni pasowych 

 

Rys. 4.3. 

 

Rys. 4.4. 

 
Należy opracować konstrukcję układu napędowego przedstawionego na Rys. 4.3. 
 
Dane do zadania: 
N

2

 = 5 kW 



2

= 240 ± 10 rad/s 

L

H

 = 15 godz 

L

0

 

≤ 700 

 

d = 18j6 
l = 40 
h = 150 
b = 4h9 
c = 19,5 
 
Warunki pracy = lekkie. Liczba sztuk do wykonania = 2 szt. 
 
Zdecydowano  się  na  rozwiązanie  układu  napędowego  złożonego  z  silnika  elektrycznego  i 
przekładni paskowej z pasami klinowymi jak na Rys. 4.3. 
 
Etap 1: Dobór silnika 
Dobrano silnik indukcyjny trójfazowy klatkowy Sf-160M-1A. Parametry silnika: 



  moc 11 kW, 



 

prędkość obrotowa 2920 obr/min => prędkość kątowa 



1

 = 305,8 rad/s 

 
Etap 2: Obliczenie przełożenia przekładni 

2

1







i

 

27

,

1

240

8

,

305





i

 

 
Etap 3: O

kreślenie wielkości kół paskowych oraz typów pasków klinowych 



 

Wstępna wartość średnicy skutecznej mniejszego koła paskowego (najmniejsza ze 
znormalizowanych) 

– patrz tablica nr Tab 14 

 
d

p1

 = 63 mm 

 

 

 



 

Dla tej średnicy średnica równoważna wynosi 
 

1

1

k

d

D

p

e





 

gdzie k

1

 

to współczynnik, który jest zależny od przełożenia przekładni Dla i = 1,27 

współczynnik ten jest równy k

1

 = 1,10 (z tablicy Tab 19) 

3

,

69

10

,

1

63







e

D

mm  



 

Obliczenie prędkości pasa 
 

6

,

9

2

063

,

0

8

,

305

2

1

1











p

d

v



m/s 

 



  Sprawdzenie mocy przenoszonej przez 1 pas 

Z tablicy Tab 15 dla D

e

 = 69,3 mm i v = 9,6 m/s jeden pas typu Z przenosi moc N

1

 = 

0,74 kW 

 

 

 



 

Moc przenoszona przez zespół pasów 

T

L

k

k

k

N

z

N











1

 

gdzie  
z 

– liczba pasów 

k

L

, k



, k

T

 - 

współczynniki 

 

Zakładamy, że 

1





T

L

k

k

k



stąd 

14



z

 

 
WNIOSEK: 

Wyliczona liczba pasów jest zbyt duża. Należy dążyć do jej zmniejszenia. 

W związku z tym w kolejnym kroku iteracji należy zwiększyć średnicę skuteczną 
małego koła rowkowego 
 



  d

p1

 = 140 mm 

 



 

Dla tej średnicy średnica równoważna wynosi 

1

1

k

d

D

p

e





 

gdzie k

1

 

to współczynnik, który jest zależny od przełożenia przekładni  

Dla i = 1,27 współczynnik ten jest równy k

1

 = 1,10 (z tablicy Tab 19) 

154

10

,

1

140







e

D

mm 

 

 



 

Obliczenie prędkości pasa 
 

4

,

21

2

140

,

0

8

,

305

2

1

1











p

d

v



m/s 

 



  Sprawdzenie mocy przenoszonej przez 1 pas 

 
Z tablicy Tab 14 dla D

e

 = 154 mm i v = 21,4 m/s: 

o  jeden pas typu Z przenosi moc N

1

 = 1,84 kW 

o  jeden pas typu A przenosi moc N

1

 = 3,16 kW 

o  jeden pas typu B przenosi moc N

1

 = 3,75 kW 

 



 

Sprawdzenie liczby pasów 
 

 

o 

dla pasów typu Z liczba pasów z ≥ 6 

o 

dla pasów typu A liczba pasów z ≥ 4 

o 

dla pasów typu B liczba pasów z ≥ 3 
 
Przyjęto pasy typu A w liczbie z=4 
 



 

Obliczenie średnicy dużego koła paskowego 
 

1

2

p

p

d

i

d





 

8

,

177

140

27

,

1

2







p

d

mm 

W oparciu o tablicę Tab. 14 przyjęto średnicę znormalizowaną 

180

2



p

d

mm 

 

Etap 4: Wyznac

zenie przełożenia rzeczywistego 



 

























1

1

1

2

p

p

pc

pb

rz

d

d

d

d

i

     gdzie 



to miara poślizgu pasa (przyjęto 0,02) 

 





31

,

1

02

,

0

1

140

180









rz

i

 

 

Etap 5: Wyznaczenie rzeczywistej 

prędkości kątowej wału maszyny 



 

4

,

233

31

,

1

8

,

305

1

2







rz

rz

i





rad/s 

Etap 6: Wyznaczenie odległości międzyosiowej 





2

1

2

1

2

50

2

p

p

p

p

d

d

a

d

d













 





180

140

2

50

2

180

140













a

 

640

210





a

 

 
Wstępnie przyjęto a = 250 mm 
 

Etap 7: Wyznaczenie długości pasa 

Współczynniki pomocnicze j i k 
 

29

,

1

140

180

1

2







p

p

d

d

j

 

79

,

1

140

250

1







p

d

a

k

 

 

Na podstawie otrzymanych wartości z tablicy Tab 16 odczytano wartość m = 7,2.  
 

 

 
W związku z tym można obliczyć długość pasa wg zależności: 
 

1

P

P

d

m

L





 

1008

140

2

,

7







P

L

mm 

 
Z tablicy Tab. 17 d

obrano najbliższą znormalizowaną wartość równą L

p

 = 1000 mm 

 

 

 

 

Etap 8: Przeliczenie odległości międzyosiowej 
 

14

,

7

140

1000

1







p

p

d

L

m

 

 

 

Z tablicy Tab. 14 dla wartości j=1,29 i m=7,14 odczytano wartość k=1,8 
 
Odległość międzyosiowa wynosi: 
 

252

140

8

,

1

1











p

d

k

a

mm 

 

Etap 9: Wyznaczenie liczby pasów 
 

T

L

k

k

k

N

z

N











1

 

 



  Z tablicy Tab 14 dla D

e

 = 154 mm i v = 21,4 m/s: 

o  jeden pas typu A przenosi moc N

1

 = 3,16 kW 

 



  Z tablicy Tab. 20 k

T

 = 1,1 



  Z tablicy Tab. 17 k

L

 = 0,89 



  Z tablicy Tab. 16 k



 = 0,98 dla 

16

,

0

252

140

180

1

2









a

d

d

p

p

 

Wymagana liczba pasów wynosi: 
 

99

,

3

1











k

k

k

N

N

z

L

T

  

przyjęto z = 4 

 

Etap 10: Wyznaczenie cech konstrukcyjnych wału 
 

 

 



  Moment obrotowy na wale silnika 

 

7

,

32

8

,

305

10000

1

1









N

M

Nm 

 
Siła obwodowa 
 

467

140

,

0

7

,

32

2

2

1

1











p

d

M

P

N 

 
Napięcie wstępne pasa 
 

z

F

S







0

0



 

 
gdzie: 
 

0



 - 

naprężenie wstępne pasa 

dla ciężkich warunków pracy 

0



=0,9 N/mm

2

 

dla średnich warunków pracy 

0



=1,2 N/mm

2

 

dla lekkich warunków pracy 

0



=1,5 N/mm

2

 

 
F 

– pole przekroju poprzecznego pasa 

dla pasów typu Z F = 47 mm

2

 

dla pasów typu Z A = 81 mm

2

 

 
z 

– liczba pasów 

 

486

4

81

5

,

1

0

0















z

F

S



N 

 
 



 

Wyznaczenie sił w pasach 
 

















0

2

1

2

1

2 S

S

S

P

S

S

 

720

2

467

486

2

0

1











P

S

S

N 

253

467

720

1

2











P

S

S

N 

 



 

Wyznaczenie kąta opasania 
 

 

07936

,

0

252

2

140

180

2

2

cos

2

1















a

d

d

p

p



 

'

27

85

2







 

'

54

170







 

 
Wypadkowa siła 
 

972

cos

2

2

1

2

2

2

1

















S

S

S

S

Q

N 

 



 

Do obliczeń wytrzymałościowych przyjmuje się siłę 
 

1458

972

5

,

1

5

,

1











Q

Q

N 

 

4.3 

Przykład rozwiązania zadania 

 

4.3.1  WYZNACZANIE 

CECH 

KONSTRUKCYJNYCH 

ZAZĘBIENIA 

ŚRUBOWEGO 

Przykład opracowany na podstawie materiałów  wewnętrznych Katedry  Podstaw Konstrukcji 
Maszyn przez przygotowanych przez Prof. dr hab. inż. Wojciecha Cholewę. 
 
OPIS POTRZEBY 
Dysponując  silnikiem  o  mocy  Ns  =  11  kW  i  prędkości  obrotowej  ns  =  975  obr/min  należy 
napędzać  wał  maszyny  z  prędkością  obrotową  nt  =  4  obr/s.  Dopuszczalna  odchyłka 
nominalnej prędkości wału maszyny wynosi 



n = 



0,15 obr/s. Zmienność oporów ruchu wału 

ur

ządzenia technologicznego opisana jest liczbą KI = 1,2. 

 
ZAŁOŻENIA 



 

Zastosować przekładnię walcową o uzębieniu śrubowym ewolwentowym. 



 

Do  wykonania  uzębienia  należy  zastosować  tworzywo  stal  ulepszona  cieplnie, 
umożliwiające  wykonanie  uzębień  o  twardości  boku  zęba  250  HB,  dla  którego  na 
podstawie  badań  uzębień  próbek  na  stanowisku  doświadczalnym  wyznaczono 
naprężenia krytyczne 





eH

eF

MN m

MN m

lim

lim

 

 

 

  oraz 

 

 

 





530

220

2

2

. 



 

Wymagane mi

nimalne liczby bezpieczeństwa 



F

 = 2, 



H

 = 1,5. 

 
Rozwiązanie: 
 
 

Obliczenia wstępne przeprowadza się przy przyjęciu, że przekładnia posiada uzębienie 

proste.  Dopuszczalne  obciążenie  zazębienia  prostego  jest  około  20%  mniejsze  od 
dopuszczalnego obciążenia podobnego zazębienia śrubowego. 
 
Zakłada  się,  że  przekładnia  może  przenieść  obciążenie  wynikające  z  mocy  nominalnej 
silnika: 

 

 

N

N

kW

kW

OBL WST

S









0 80

0 80 11

8 8

.

.

.

 

 
Prędkość kątowa zębnika i koła: 
 

s

rad

n

s

obr

n

s

rad

min

obr

n

n

s

/

1

.

25

4

2

2

/

4

/

1

.

102

30

/

975

/

975

2

2

2

1

1









































 

 
Przełożenie przekładni: 
 
 

i







 

1

2

102 1 25 1

4 068

/

. /

.

.

 

 
 
Moment działający na wał zębnika: 
 

Nm

N

M

WST

OBL

WST

OBL

2

.

86

1

.

102

/

8800

/

1

1









 

 
Naciski dopuszczalne 
 

k

MN m

H

e H

H











lim

/

/ .

/

530 1 3

408

2

 

 
Oszacowanie odległości międzyosiowej 
 

 

3

4

2

1

1

1

4400

i

i

k

M

a

H

Wst

Obl

w







 

 

 

(kryterium pittingu) 

 
Założenie: względna szerokość wieńca zębnika  

1

1

1





d

b

w



 









m

a

w

193

.

0

068

.

4

1

068

.

4

10

408

1

2

.

86

4400

3

4

2

6











 

 
Typoszereg odległości międzyosiowych wg PN - 68/M - 88508: 

68,  71,  80,  90,  100,  112,  125,  140,  160,  180,  200,  225,  250,  280,  315,  355,  400,  450, 
500, 560, 630 [mm]. 

 
Przyjęto: 

a

m

w



0 200

.

 

 
Szacowanie liczby zębów 
 
Zaleca się [3] następujące 

z

i max

 

ze względu na wytrzymałość stopy zęba 

Bok zęba 

  i =   1 

2 

3 

4 

5 

6 

250 HB  



=0 

94 

73 

64 

59 

57 

56 

250 HB  



>0 

110 

88 

78 

73 

69 

68 

300 HB 

 



=0 

75 

58 

51 

48 

46 

45 

300 HB 

 



>0 

94 

73 

64 

59 

57 

56 

 

58 HB 



=0 

37 

30 

26 

24 

23 

22 

58 HB 



>0 

48 

38 

32 

30 

29 

28 

 
Moduł 
 
 





1

2

2

1

,

2

z

i

z

z

z

a

m

w

t









 

 





73

0

,

250

,

4

max

1











HB

i

z

 

 

 





08

.

1

1

068

.

4

73

200

2

1

2

max

1













i

z

a

m

w

t

 

 
W świetle kryteriów technologicznych przyjęto: 

m

n



3

. 

 
Kąt pochylenia kierunku linii zęba 
 
Z warunku stałej długości linii zęba będącego w przyporze wynika: 













b

m

w

n

sin

, , , ...

1 2 3

 

 
z założenia 

 





mm

i

a

b

w

w

93

.

78

068

.

4

1

200

2

1

1

2

1

1

1

























 

 
przyjęto 

b

mm

w



80

 

 



 







 







 





















 

  













 

  













 

  









1

1

3 80

0 1178097

6 76572

2

2

3 80

0 2356195

13 62814

3

3

3 80

0 3534292

20 69722

m b

m b

m b

n

w

n

w

n

w

.

.

.

.

.

.

 

 
Przyjęto: 







13 62814

.

 

 
Moduł czołowy 
 
 

mm

m

m

n

t

08691

.

3

62814

.

13

cos

3

cos











 

 

 





01

.

104

57

.

25

068

.

4

57

.

25

068

.

4

1

08691

.

3

200

2

1

2

1

2

1























z

i

z

i

m

a

z

t

w

 

 
Przyjęto następujące względnie pierwsze liczby zębów: 

z

z

1

2

25

104





,

 

 
Przełożenie rzeczywiste przekładni: 
 

i

z

z







2

1

104 25

4 16

.

 

 
Prędkość obrotowa wału wyjściowego przekładni: 
 

n

n i

obr

obr s

2

1

975 4 16 234 375

3 906







.

.

/ min

.

/

 

 
Jest spełniony warunek 

 

n

n

n

t

2

  

 

poniewa

ż 

3 906

4 00 0 15

.

.

.

/





obr s

 

 
Odległość osi zerowa 
 









mm

z

z

m

a

t

1057

.

199

104

25

08619

.

3

5

.

0

5

.

0

2

1













 

 
Kąt zarysu czołowy 
 















53465

,

20

3745145

,

0

62814

,

13

cos

/

20

cos

/

t

n

t

tg

tg

tg









 

 
Kąt pochylenia linii zęba na walcu zasadniczym 
 



















79186

,

12

975180

,

0

53165

,

20

cos

/

20

cos

62814

,

13

cos

cos

/

cos

cos

cos

b

t

b











 

 
Kąt przyporu czołowy (w płaszczyźnie czołowej) 
 















20518

,

21

9322911

,

0

200

/

53165

,

20

cos

1057

,

199

/

cos

cos

tw

w

t

tw

a

a







 

 
Przesunięcie zarysu 
 











2942947

.

0

53165

.

20

2

104

25

0161695

.

0

0178783

.

0

2

0178783

.

0

3701002

.

0

20518

.

21

3701002

.

0

20518

.

21

0161695

.

0

3582449

.

0

53165

.

20

3582449

.

0

53165

.

20

2

1

2

1



























































tg

tg

z

z

inv

inv

x

x

x

tg

tg

inv

rad

tg

tg

inv

rad

t

t

tw

t

t

t

tw

tw

tw

tw

t

t

t

t























 

Przyjęto rozdział przesunięcia zarysu: 
 

x

x

x

x

x

x

t

t

t

n

t

n

1

2

1

1

2

0 2943

0

0 2943

13 62814

0 3028

0











 



.

;

cos

.

cos

.

.

;



 

 
Pozorna odległość osi 
 









0141

.

200

0

.

3

0

3028

.

0

1057

.

199

2

1

















n

n

n

p

m

x

x

a

a

 

 
Sprawdzenie zmniejszenia luzu wierzchołkowego 
 



y

a

a

mm

p

w











200 0141 200 0

0 0141

.

.

.

 

 

 

Ponieważ 



y

m

mm

n





 

0 1

0 1 3

0 3

.

.

.

 

nie istnieje konieczność skracania wysokości głowy zęba. 
 
 
 
Średnice toczne 
 

 





mm

d

i

d

mm

i

a

d

w

w

w

w

4806

.

322

5194

.

77

16

.

4

5194

.

77

16

.

4

1

200

2

1

2

1

2

1























 

Średnice podziałowe 
 

d

m z

mm

d

m z

mm

t

t

1

1

2

2

3 08691 25

77 1728

3 08691 104

321 0386



 















.

.

.

.

 

 
Średnice zasadnicze 
 

d

d

mm

d

d

mm

b

t

b

t

1

1

2

2

77 1728

20 53165

72 2706

321 0386

20 53165

300 6458









 









 

cos

.

cos

.

.

cos

.

cos

.

.





 

 
Wysokości głów  i stóp podziałowych 
 

















mm

m

x

h

h

mm

m

x

h

h

n

a

n

a

0000

.

3

0

.

3

0

.

0

1

9084

.

3

0

.

3

3028

.

0

1

2

*

2

1

*

1





















 

















mm

m

x

c

h

h

mm

m

x

c

h

h

n

f

n

f

7500

.

3

0

.

3

0

.

0

25

.

0

1

8416

.

2

0

.

3

3028

.

0

25

.

0

1

2

*

*

2

1

*

*

1





























 

 
Średnice wierzchołków i podstaw 
 

d

d

h

mm

d

d

h

mm

a

a

a

a

1

1

1

2

2

2

2

77 1728 2 3 9084

84 9896

2

321 0386 2 3 0000

327 0386







 









 



.

.

.

.

.

.

 

d

d

h

mm

d

d

h

mm

f

f

f

f

1

1

1

2

2

2

2

77 1728 2 2 8416

71 4896

2

321 0386 2 3 7500

313 5386







 









 



.

.

.

.

.

.

 

 
Luzy wierzchołkowe  (sprawdzenie poprawności obliczeń) 
 

















mm

d

d

a

c

mm

d

d

a

c

f

a

w

f

a

w

7359

.

0

4896

.

71

0386

.

327

5

.

0

0

.

200

5

.

0

7359

.

0

5386

.

313

9896

.

84

5

.

0

0

.

200

5

.

0

1

2

2

2

1

1

































 

 
Luz wymagany 
 









mm

m

c

n

75

.

0

45

.

0

0

.

3

25

.

0

15

.

0

25

.

0

15

.

0













 

 

 

Długość odcinka przyporu (Odcinka wzębiania gf, wyzębiania ga): 









]

[

03

,

6

20518

,

21

sin

4086

,

322

6458

,

300

0386

,

327

5

,

0

sin

5

,

0

2

2

2

2

2

2

2

mm

d

d

d

g

tw

w

b

a

f



























 





]

[

34

,

8

sin

5

,

0

1

2

1

2

1

mm

d

d

d

g

tw

w

b

a

a















 

a

f

g

g

g







 

 

 
Podziałka przyporu: 

p

m

et

t

t

  







cos

,

9 0818

 

 
Czołowa liczba przyporu 











g

p

et

1 58

,

 

 
Skokowa liczba przyporu: 



 









b

tg

m

w

t

2 00

,

 

 
 

Weryfikacja geometrycznych cech konstrukcyjnych zazębienia 

 
Moment 

skręcający przekazywany z silnika na zębnik (wielkość nominalna): 

M

N

Nm

s

1

1

107 7







,

[

]

 

Siła obwodowa: 

F

M d

N

b





2

2791

1

1

[

]

 

 
Jednostkowe obciążenie obwodowe boku zęba: 

3

,

1

]

)

2

(

1

[

4

,

0

]

[

10

6

i

dokladnosc

 

Klasa

]

[

4

6

,

1

]

[

400

200

1

0

>

350

<

HB

]

[

96

,

3

1

,

102

0771728

,

0

2

=

v

6

2

,

1

2

1

1













































































t

w

pe

l

n

pe

V

I

F

b

f

q

m

mm

m

mm

d

f

s

m

d

i

dokladnosc

klasa

K

K







 

Uwaga:  Dla  wyznaczenie  gL  podstawić  [fpe]=



m,  [bwe]=mm,  [Ft]=kG.  Obliczoną  wartość  ql 

ogranicza się do zakresu [0,1]  -  przyjęto gL=1gL 

Z

b





 





cos

,

0 786