2014-10-15
1
Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
Witold Jurek
Etapy budowy modelu
ekonometrycznego
Określenie zjawiska, które ma być opisane za pomocą
modelu ekonometrycznego
Dobór zmiennej objaśnianej i zmiennych objaśniających
Dobór typu zależności pomiędzy zmiennymi
Zebranie danych statystycznych (wartości zmiennych)
Oszacowanie modelu
Weryfikacja oszacowanego modelu ekonometrycznego
(merytoryczna i statystyczna)
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
2
Idea metody
najmniejszych kwadratów
Hipoteza teoretyczna
Dane statystyczne (wartości zmiennych)
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
3
2014-10-15
2
Idea metody
najmniejszych kwadratów
Hipoteza empiryczna (model oszacowany)
𝑦
𝑡
= 𝑏
1
𝑥
𝑡1
+ 𝑏
2
𝑥
𝑡2
+ ⋯ + 𝑏
𝐾
𝑥
𝑡𝐾
(𝑡 = 1,2, … 𝑇)
Kryterium dopasowania (minimalizacja sumy
kwadratów odchyleń):
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
4
Idea metody
najmniejszych kwadratów
Warunek konieczny istnienia ekstremum:
…
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
5
0
)
)(
...
(
2
)
(
2
2
2
1
1
2
t
tK
K
t
t
t
x
x
b
x
b
x
b
y
b
SKO
Idea metody
najmniejszych kwadratów
Układ równań normalnych
𝑏
1
𝑥
𝑡1
𝑥
𝑡1
+ 𝑏
2
𝑥
𝑡1
𝑥
𝑡2
+ ⋯ + 𝑏
𝐾
𝑥
𝑡1
𝑥
𝑡𝐾
= 𝑥
𝑡1
𝑦
𝑡
𝑏
1
𝑥
𝑡2
𝑥
𝑡1
+ 𝑏
2
𝑥
𝑡2
𝑥
𝑡2
+ ⋯ + 𝑏
𝐾
𝑥
𝑡2
𝑥
𝑡𝐾
= 𝑥
𝑡2
𝑦
𝑡
…
𝑏
1
𝑥
𝑡𝐾
𝑥
𝑡1
+ 𝑏
2
𝑥
𝑡𝐾
𝑥
𝑡2
+ ⋯ + 𝑏
𝐾
𝑥
𝑡𝐾
𝑥
𝑡𝐾
= 𝑥
𝑡𝐾
𝑦
𝑡
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
6
2014-10-15
3
Idea metody
najmniejszych kwadratów
Układ równań normalnych w zapisie macierzowym:
Rozwiązanie układu równań normalnych
Przypadek szczególny
– model z jedną zmienną objaśniającą:
– oceny (oszacowania) parametrów:
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
7
y
X
X
X
b
T
T
1
)
(
Przykład 1
Na całkowite koszty produkcji przedsiębiorstw przemysłu
owocowo-warzywnego, obok wielkości produkcji wpływają m.
in. warunki przechowywania surowców zależne od temperatury.
Wylosowano 7 przedsiębiorstw i stwierdzono, że koszty
całkowite, wielkość produkcji i temperatura przechowywania
surowców w okresie produkcji pewnego wyrobu kształtowały
się następująco:
(Liczby w tabeli są wyrażone w postaci odchyleń od wartości przeciętnych
zaobserwowanych w tym samym okresie roku poprzedniego).
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
8
Przykład 1
Dane statystyczne:
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
9
2014-10-15
4
Przykład 1
Obliczenia
Oszacowany model ekonometryczny:
𝑦
𝑡
= 1,5𝑋
𝑡1
+ 0,5𝑋
𝑡2
+ 1,0
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
10
𝐗
𝑻
𝐲 =
65
35
12
𝐛 =
1,5
0,5
1,0
Przykład 1.
Wykorzystanie Excela
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
11
Współcz
ynniki
Błąd
standard
owy
t Stat
Wartość-
p
Dolne
95%
Górne
95%
Przecięcie
1,0
1,43735
0,69573 0,52491 -2,99072 4,99072
Zmienna X 1
1,5
0,34359
4,36564 0,01201 0,54604 2,45396
Zmienna X 2
0,5
0,90906
0,55002 0,61157 -2,02395 3,02395
Przykład 1.
Wykorzystanie Excela
Funkcja: reglinp(znane_y; znane_x; [stała]; [statystyka])
Wprowadzanie funkcji: Ctrl+Shift Enter
Wyniki obliczeń:
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
12
0,5
1,5
1
Oceny parametrów
0,90906 0,34359 1,43735
Średnie błędy
0,90923
1,6298 #N/D!
R2
s
#N/D!
20,0336
4 #N/D!
F
T-K
#N/D!
106,429
10,625 #N/D!
RSK
SKO #N/D!
2014-10-15
5
Wartości teoretyczne. Reszty
Wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej:
𝒚 = 𝐗𝐛
Reszty:
𝐞 = 𝐲 − 𝐲
Własności reszt (model dowolny):
Układ równań normalnych:
Z układu równań wynika, że:
𝐗
𝑇
𝐲 = 𝐗
𝑇
y
Reszty spełniają warunek:
𝐗
𝑇
e =
𝟎
(𝐾,1)
albo warunek:
𝐞
𝑇
𝐗 = 𝟎
(1,𝐾)
Z definicji wartości teoretycznych wynika, że
𝐞
𝑻
𝒚 = 𝐞
𝑻
𝐗𝐛 = 𝟎
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
13
Własności oszacowań otrzymanych
metodą najmniejszych kwadratów
Własności reszt z modelu z wyrazem wolnym
(w macierzy wartości zmiennych objaśniających X jest
kolumna jedynek):
◦
Suma reszt jest równa zeru:
◦
Suma wartości empirycznych = suma wartości teoretycznych
zmiennej objaśnianej:
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
14
Wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej
7
5
,
0
5
,
1
2
3
5
,
6
5
,
4
1
5
,
0
5
,
1
1
3
3
1
2
1
1
1
0
1
0
2
1
1
1
1
2
3
1
1
4
ˆ
Xb
y
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
15
2014-10-15
6
Przykład 1
Wektor reszt:
𝐞 = 𝐲 − 𝐲 =
−5,25
7,5
1
−2
3,25
1,5
6
−
−4,5
6,5
3
−2
1,5
0,5
7
=
−0,75
1
−2
0
1,75
1
−1
Szacowany model zawiera wyraz wolny. Można
zauważyć, że
◦
Suma reszt wynosi zero
◦
Suma wartości teoretycznych (12) jest równa sumie wartości
empirycznych (12) zmiennej objaśnianej
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
16
Przykład 1.
Wykorzystanie Excela
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
17
Obserwacja
Przewidy
wane Y
Składniki
resztowe
1
-4,5
-0,75
2
6,5
1,00
3
3,0
-2,00
4
-2,0
0,00
5
1,5
1,75
6
0,5
1,00
7
7,0
-1,00
Przykład 1
Reszty ortogonalne do kolumn macierzy X
𝐞
𝑇
X=
−0,75 1 −2 0 1,75 1 −1 X
X
−4 1 1
3
2 1
1
1 1
−2 0 1
0
1 1
−1 2 1
3
3 1
= 0 0 0
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
18
2014-10-15
7
Przykład 1
Reszty ortogonalne do wektora wartości teoretycznych
zmiennej objaśnianej
𝐲
𝐞
𝑇
𝐲 = −0,75 1 −2 0 1,75 1 −1 X
X
−4,5
6,5
3
−2
1,5
0,5
7
= 0
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
19
Sumy kwadratów
w modelu z wyrazem wolnym
Ogólna suma kwadratów:
Regresyjna suma kwadratów:
Suma kwadratów odchyleń:
Jeśli model zawiera wyraz wolny, to
OSK = RSK + SKO
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
20
Przykład 1
Sumy kwadratów
Obliczenia pomocnicze:
Sumy kwadratów:
OSK = 137,625 – 20, 5714 = 117,0536
RSK = 127,000 – 20,5714 = 106,4286
SKO = 137,625 – 127,000 = 10,625
(Można sprawdzić, że OSK = RSK + SKO)
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
21
2014-10-15
8
Ocena dopasowania oszacowanego
modelu do danych rzeczywistych
Współczynnik zbieżności:
Współczynnik determinacji:
Jeżeli szacowany model zawiera wyraz wolny, to
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
22
Ocena dopasowania oszacowanego
modelu do danych rzeczywistych
Współczynnik determinacji skorygowany
(ze względu na liczbę stopni swobody)
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
23
Przykład 1. Ocena dopasowania
oszacowanego modelu
Współczynnik zbieżności i determinacji:
Skorygowany współczynnik determinacji:
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
24
2014-10-15
9
Przykład 1.
Wykorzystanie Excela
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
25
Współcz
ynniki
Błąd
standard
owy
t Stat
Wartość-
p
Dolne
95%
Górne
95%
Przecięcie
1,0
1,43735
0,69573 0,52491 -2,99072 4,99072
Zmienna X 1
1,5
0,34359
4,36564 0,01201 0,54604 2,45396
Zmienna X 2
0,5
0,90906
0,55002 0,61157 -2,02395 3,02395
Statystyki regresji
Wielokrotność R
0,95354
R kwadrat
0,90923
Dopasowany R kwadrat
0,86384
Błąd standardowy
1,62980
Obserwacje
7
Klasyczna regresja liniowa
Hipoteza ekonometryczna – model
Charakterystyka wielkości występujących w modelu
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
26
Wielkości
Losowe
Nielosowe
Obserwowalne
Y
X
Nieobserwowalne
ε
β
Składnik losowy
modelu ekonometrycznego
Składnik losowy - zmienna losowa opisująca
(sumarycznie) wszystkie zakłócenia w obserwacji
opisywanego zjawiska i błędy poczynione w konstrukcji
modelu:
◦
zakłócenia czysto losowe
◦
błędy pomiaru zmiennych
◦
brakujące i „nietypowe” dane statystyczne
◦
nieuwzględnienie istotnej zmiennej objaśniającej
◦
uwzględnienie nieistotnej zmiennej objaśniającej
◦
przybliżenia funkcyjne
◦
zły typ funkcji wiążącej zmienne
◦
itd.
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
27
2014-10-15
10
Założenia dotyczące składnika
losowego
Hipoteza ekonometryczna zapisana dla danych
statystycznych (t = 1, 2, …, T) będących w dyspozycji
𝑦
𝑡
= 𝛽
1
𝑥
𝑡1
+ 𝛽
2
𝑥
𝑡2
+ ⋯ + 𝛽
𝐾
𝑥
𝑡𝐾
+ 𝜀
𝑡
Jest tyle składników losowych ile danych statystycznych
Każdy składnik losowy może powodować odchylenia
dodatnie i ujemne, ale średnia ze wszystkich
możliwych odchyleń wynosi zero
Rozproszenie składników losowych jest takie samo
Składniki losowe mają rozkład normalny
Składniki losowe dla różnych danych statystycznych są
niepowiązane ze sobą
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
28
Rozkład normalny
Funkcja gęstości
𝑓 𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
𝑒
−
(𝑥−𝜇)
2
2𝜎
2
Dystrybuanta
𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
−∞
Momenty
E(
𝑥) = μ
𝐷
2
𝑥 = 𝜎
2
Rozkład standaryzowany: E(
𝑥) = 0 , 𝐷
2
𝑥 = 1
29
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
Rozkład normalny
Funkcja gęstości (rozkład standaryzowany)
30
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
2014-10-15
11
Rozkład normalny
Dystrybuanta (rozkład standaryzowany)
31
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Założenia dotyczące składnika
losowego
Zerowa wartość oczekiwana (średnia):
𝐸 𝜀
𝑡
= 0 dla t = 1, 2, …, T
Jednakowa wariancja (jednakowe rozproszenie):
𝐷
2
𝜀
𝑡
= 𝜎
2
dla t = 1, 2, …, T
Zerowa kowariancja (brak powiązania):
𝑐𝑜𝑣 𝜀
𝑡
, 𝜀
𝑠
= 0 dla 𝑡 ≠ 𝑠
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
32
Macierz wariancji i kowariancji
wektora estymatorów
Oszacowanie wariancji składników losowych:
𝑠
2
=
𝑆𝐾𝑂
𝑇 − 𝐾
=
𝑒
𝑡
2
𝑇 − 𝐾
=
(𝑦
𝑡
− 𝑦
𝑡
)
2
𝑇 − 𝐾
Przykładowe oszacowanie wariancji składników
losowych
Odchylenie standardowe składników losowych
s = 1,6298
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
33
2014-10-15
12
Macierz wariancji i kowariancji
wektora estymatorów
Skoro zmienna objaśniana Y jest zmienną losową, to
estymator,
𝐁 = (𝐗
𝑇
𝐗)
−1
𝐗
𝑇
𝐘, jest zmienną losową
Jest to zmienna losowa K – wymiarowa, o macierzy
wariancji i kowariancji
𝐒
𝐁
= 𝑠
2
(𝐗
𝑇
𝐗)
−1
Przykładowe oszacowanie
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
34
70
40
10
40
28
7
10
7
4
90
1
65625
,
2
)
(
1
2
X
X
S
B
T
s
06597
,
2
18056
,
1
29514
,
0
18056
,
1
82639
,
0
20660
,
0
29514
,
0
20660
,
0
11806
,
0
Średnie błędy szacunku parametrów
Średnie błędy szacunku parametrów
(odchylenia standardowe estymatorów)
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
35
90906
,
0
82639
,
0
2
s
43735
,
1
06597
,
2
0
s
Przykład 1.
Wykorzystanie Excela
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
36
Współcz
ynniki
Błąd
standard
owy
t Stat
Wartość-
p
Dolne
95%
Górne
95%
Przecięcie
1,0
1,43735
0,69573 0,52491 -2,99072 4,99072
Zmienna X 1
1,5
0,34359
4,36564 0,01201 0,54604 2,45396
Zmienna X 2
0,5
0,90906
0,55002 0,61157 -2,02395 3,02395
Statystyki regresji
Wielokrotność R
0,95354
R kwadrat
0,90923
Dopasowany R kwadrat
0,86384
Błąd standardowy
1,62980
Obserwacje
7
2014-10-15
13
Wnioskowanie o istotności
parametrów modelu
Hipotezy:
Wartość statystyki testowej (statystyki o rozkładzie t
Studenta):
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
37
k
k
k
k
s
b
t
Wnioskowanie o istotności
parametrów modelu
Wartość krytyczna statystyki t Studenta: t(α, T-K):
◦
α – poziom istotności
◦
T – K – liczba stopni swobody (liczba danych – liczba
szacowanych parametrów)
Jeżeli , to nie ma podstaw do
odrzucenia hipotezy zerowej
Jeżeli , to hipotezę zerową należy
odrzucić na rzecz hipotezy alternatywnej
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
38
Funkcja gęstości rozkładu t Studenta
Wartości krytyczne dla α = 0,05; T - K = 4
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
39
0
0,1
0,2
0,3
0,4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
2,776
-2,776
0,95
0,025
0,025
2014-10-15
14
Przykład 1.
Istotność parametrów modelu
Wartości empiryczne statystyki t Studenta, przy
założeniu o prawdziwości
𝐻
0
𝑡
1
=
1,5
0,34359
= 4,36564
𝑡
2
=
0,5
0,90906
= 0,69573
𝑡
0
=
1,0
1,43735
= 0,55002
Wartość krytyczna t(α, T – K) = t(0,05; 4) = 2,776
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
40
Przedział ufności dla parametru
szacowanego modelu
Przedział ufności dla parametru:
𝑏
𝑘
− 𝑠
𝑘
𝑡 𝛼, 𝑇 − 𝐾 < 𝛽
𝑘
< 𝑏
𝑘
+ 𝑠
𝑘
𝑡 𝛼, 𝑇 − 𝐾
W przykładzie 1 przedziały ufności zostaną wyznaczone
przy poziomie ufności 1 – α = 0,95
przy liczbie stopni swobody równej T – K = 7 – 3 = 4
Wartość statystyki t Studenta
𝑡 0,05; 4 = 2,776
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
41
Przedziały ufności dla parametrów
szacowanego modelu
0,54604 < 𝛽
1
< 2,45396
−2,02395 < 𝛽
2
< 3,02395
−2,99072 < 𝛽
0
< 4,99072
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
42
776
,
2
9091
,
0
5
,
0
776
,
2
9091
,
0
5
,
0
2
2014-10-15
15
Przykład 1.
Wykorzystanie Excela
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
43
Współcz
ynniki
Błąd
standard
owy
t Stat
Wartość-
p
Dolne
95%
Górne
95%
Przecięcie
1,0
1,43735
0,69573 0,52491 -2,99072 4,99072
Zmienna X 1
1,5
0,34359
4,36564 0,01201 0,54604 2,45396
Zmienna X 2
0,5
0,90906
0,55002 0,61157 -2,02395 3,02395
Statystyki regresji
Wielokrotność R
0,95354
R kwadrat
0,90923
Dopasowany R kwadrat
0,86384
Błąd standardowy
1,62980
Obserwacje
7
Wnioskowanie o istotności regresji
Wnioskowanie odnosi się modelu z wyrazem wolnym
Wnioskowanie dotyczy wszystkich parametrów
będących składowymi wektora
𝛃
𝑏𝑒𝑧 𝑤𝑤
(jest to wektor
𝛃 bez wyrazu wolnego)
Hipotezy:
𝐻
0
: 𝛃
𝑏𝑒𝑧 𝑤𝑤
= 𝟎
𝐻
1
: 𝛃
𝑏𝑒𝑧 𝑤𝑤
≠ 𝟎
Statystyka:
𝐹 =
𝑅𝑆𝐾
𝐾 − 1
𝑆𝐾𝑂
𝑇 − 𝐾
=
𝑅𝑆𝐾
𝑆𝐾𝑂
𝑇 − 𝐾
𝐾 − 1
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
44
Wnioskowanie o istotności regresji.
Przykład
Wartość statystyki testowej
𝐹 =
106,4286
2
10,625
4
= 20,0336
Wartość krytyczna: F(0,05; 2; 4) = 6,944
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
45
2014-10-15
16
Przykład 1.
Wykorzystanie Excela
Analiza wariancji
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
46
df
SS
MS
F
Istotność
F
Regresja
2
106,4286
53,2143 20,0336
0,0082
Resztkowy
4
10,6250
2,6563
Razem
6
117,0536
Model z jedną zmienną objaśniającą.
Linia charakterystyczna
Notowania PKO bp względem WIG
(okres: 29 czerwca 2012 – 30 sierpnia 2012;
stopy zwrotu składane ciągle; 42 dane)
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
47
Model z jedną zmienną objaśniającą.
Linia charakterystyczna
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
48
df
SS
MS
F
Istotność F
Regresja
1
0,00465
0,00465 51,12197
0,00000
Resztkowy
40
0,00364
0,00009
Razem
41
0,00829
Statystyki regresji
Wielokrotność R
0,74902
R kwadrat
0,56103
Dopasowany R kwadrat
0,55005
Błąd standardowy
0,00954
Obserwacje
42
2014-10-15
17
Założenia, przy jakich stawiane są
prognozy
Założenia przyjmowane przy szacowaniu
◦
Zależność
𝑦
𝑡
= 𝛽
1
𝑥
𝑡1
+ 𝛽
2
𝑥
𝑡2
+ ⋯ + 𝛽
𝐾
𝑥
𝑡𝐾
+ 𝜀
𝑡
dla t =1,…,T
◦
Dana macierz X wartości zmiennych objaśniających
◦
Składniki losowe
𝜀
𝑡
mają zerową średnią, wariancję równą
𝜎
2
, są ze sobą niepowiązane
mają rozkład normalny N(0, σ)
Założenia przyjmowane przy prognozowaniu
◦
Zależność
𝑦
𝑁
= 𝛽
1
𝑥
𝑁1
+ 𝛽
2
𝑥
𝑁2
+ ⋯ + 𝛽
𝐾
𝑥
𝑁𝐾
+ 𝜀
𝑁
dla N > T
◦
Dany jest wektor
𝐱
𝑁
wartości zmiennych objaśniających
◦
Składnik losowy
𝜀
𝑁
ma zerową średnią, wariancję równą
𝜎
2
, jest niepowiązany z
𝜀
𝑡
ma rozkład normalny N(0, σ)
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
49
Prognozowanie na podstawie
modelu ekonometrycznego
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
50
Wektor wartości zmiennych objaśniających
Prognoza
Wariancja błędu prognozowania (pojedynczej wartości)
Przedział ufności dla przyszłej wartości zmiennej
objaśnianej
𝑦
𝑁
− 𝑠
𝑁
𝑡 𝛼, 𝑇 − 𝐾 < 𝑦
𝑁
< 𝑦
𝑁
+ 𝑠
𝑁
𝑡 𝛼, 𝑇 − 𝐾
𝑠
𝑁
2
= 𝑠
2
(1 + 𝐱
𝑁
(𝐗
𝑇
𝐗)
−1
𝐱
𝑁
𝑇
)
Prognozowanie na podstawie modelu
ekonometrycznego. Przykład 1
Jakich kosztów może się spodziewać przykładowe
przedsiębiorstwo przetwórstwa owocowo – warzywnego
w przyszłym roku, jeżeli – według planów – produkcja
będzie o 6 tys. t wyższa od produkcji tegorocznej a
temperatura przechowywania surowców o 4
o
C wyższa
od temperatury, w jakiej przechowywano surowiec w
bieżącym roku?
Wektor wartości zmiennych objaśniających
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
51
2014-10-15
18
Prognozowanie na podstawie modelu
ekonometrycznego. Przykład 1
Prognoza
Wariancja błędu prognozowania
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
52
64
,
14
)
90
406
1
(
65625
,
2
2
N
s
Prognozowanie na podstawie modelu
ekonometrycznego. Przykład 1
Średni błąd prognozowania
Przedział ufności dla przyszłej wartości zmiennej
objaśnianej
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
53
6
,
20
6
,
0
N
y