mgr Grzegorz Stolarczyk
1
Ekonometria 1
BLOK 4
Weryfikacja liniowych modeli ekonometrycznych
Weryfikacja modelu liniowego szacowanego klasyczn
ą
metod
ą
najmniejszych kwadratów polega
na zbadaniu:
•
merytorycznej oceny sensowno
ś
ci ocen parametrów strukturalnych modelu,
•
dopasowania modelu do danych empirycznych,
•
istotno
ś
ci parametrów strukturalnych modelu,
•
własno
ś
ci składnika losowego
Przykład 1.
Na podstawie danych dotycz
ą
cych wydajno
ś
ci pracy prosz
ę
zweryfikowa
ć
model liniowy
26
9
,
0
8
,
4
3
2
^
+
⋅
−
⋅
=
x
x
y
Y
X
2
X
3
14
0,4
15
17
0,6
13
14,5
0,4
15
20
0,7
11
21,6
1
10
23
1,2
10
24,5
1
7
28
1,5
6
26,4
1,5
8
29
1,7
5
Rozwi
ą
zanie:
1. Badanie merytorycznej oceny sensowno
ś
ci ocen parametrów strukturalnych modelu
Sprawdzamy czy współczynnik korelacji pomi
ę
dzy zmiennymi Y, X
2
i X
3
i znak ocen parametrów s
ą
jednakowe.
R
yx2
= 0,972, R
yx3
= -0,985
Znaki parametrów:
a
1
= 4,8, a
2
= -0,9
Znaki si
ę
zgadzaj
ą
, wi
ę
c uzyskane szacunki parametrów modelu wskazuj
ą
kierunek zale
Ŝ
no
ś
ci
mi
ę
dzy zmienn
ą
obja
ś
nian
ą
a zmiennymi obja
ś
niaj
ą
cymi x
2
i x
3
zgodny z zale
Ŝ
no
ś
ci
ą
wynikaj
ą
c
ą
z danych empirycznych. Przechodzimy do nast
ę
pnego etapu weryfikacji.
mgr Grzegorz Stolarczyk
2
Ekonometria 1
2. Badanie dopasowania modelu do danych empirycznych
Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych ma na celu sprawdzenie, czy model ten
w wystarczaj
ą
co wysokim stopniu wyja
ś
nia kształtowanie si
ę
zmiennej obja
ś
nianej.
Obliczamy współczynnik zgodno
ś
ci ze wzoru:
∑
∑
=
=
−
=
n
i
n
i
Y
Y
e
1
2
1
2
2
)
(
ϕ
∑
=
n
i
e
1
2
= 1,24
Y
2
)
(
Y
Y
−
14
60,84
17
23,04
14,5
53,29
20
3,24
21,6
0,04
23
1,44
24,5
7,29
28
38,44
26,4
21,16
29
51,84
ś
rednia
21,8
suma
260,62
=
2
ϕ
004758
,
0
2
,
260
24
,
1
=
Liczymy współczynnik determinacji:
2
2
1
ϕ
−
=
R
=
2
R
1 - 0,004758 = 0,995242
Trzeci
ą
miar
ą
dopasowania jest współczynnik zmienno
ś
ci losowej, który wyra
Ŝ
a si
ę
wzorem:
%
100
⋅
=
Y
Se
We
gdzie:
Se
2
Se
=
- odchylenie standardowe składnika losowego
mgr Grzegorz Stolarczyk
3
Ekonometria 1
W naszym przykładzie wynosi on:
=
We
%
93
,
1
%
100
8
,
21
421
,
0
=
⋅
Z oblicze
ń
wynika,
Ŝ
e model jest bardzo dobrze dopasowany do danych empirycznych. Jak wynika
ze współczynnika determinacji ponad 99% zmienno
ś
ci zmiennej obja
ś
nianej została wyja
ś
niona
przez model.
Przykład 2.
Prosz
ę
na podstawie danych zbada
ć
dopasowanie modelu do danych empirycznych za pomoc
ą
współczynnika zgodno
ś
ci i determinacji:
Model ma posta
ć
:
1
^
48
,
0
87
,
111
X
y
⋅
−
=
Rozwi
ą
zanie:
Liczymy miary dopasowania modelu:
=
2
ϕ
0,90
=
2
R
0,10
Jak wida
ć
z oblicze
ń
model wyja
ś
nia zaledwie 10% zmienno
ś
ci zmiennej obja
ś
nianej i jest
ź
le
dopasowany do danych empirycznych.
Powinni
ś
my zatem zmieni
ć
posta
ć
analityczn
ą
modelu i poszuka
ć
modelu nieliniowego,
który by najlepiej opisywał badane zjawisko lub znale
źć
inne zmienne obja
ś
niaj
ą
ce liniowo powi
ą
zane
ze zmienn
ą
obja
ś
nian
ą
.
Y
X
1
99
1
107
2
115
2
113
3
116
4
117
5
109
7
107
9
101
14
mgr Grzegorz Stolarczyk
4
Ekonometria 1
Przykład 3.
Prosz
ę
na podstawie danych zbada
ć
dopasowanie modelu do danych empirycznych:
Y
X
1
X
2
10
6
8
10
6
8
16
10
12
16
10
12
12
8
8
14
10
8
20
12
14
20
12
16
20
12
16
22
14
18
Rozwi
ą
zanie:
Szacujemy parametry i otrzymujemy nast
ę
puj
ą
c
ą
posta
ć
modelu:
252
,
0
447
,
0
039
,
1
2
1
^
+
⋅
+
⋅
=
x
x
y
Obliczamy miary dopasowania modelu:
=
2
ϕ
0,011
=
2
R
0,989
=
We
3%
Model jest bardzo dobrze dopasowany do danych rzeczywistych. Wyja
ś
nia prawie 99% zmienno
ś
ci
zmiennej obja
ś
nianej.
3. Badanie istotno
ś
ci parametrów strukturalnych modelu
Przykład 1.
Sprawdzamy na podstawie modelu opisuj
ą
cego wydajno
ść
pracy czy parametry modelu istotnie
ró
Ŝ
ni
ą
si
ę
od zera, a tym samym czy zmienne obja
ś
niaj
ą
ce w sposób istotny wpływaj
ą
na zmienn
ą
obja
ś
nian
ą
.
Sprawdzamy istotno
ść
ze wzoru:
)
(
j
j
a
S
a
I
=
gdzie:
j
a -
warto
ść
szacunku j-tego parametru
)
(
j
a
S
- standardowy bł
ą
d szacunku j-tego parametru
mgr Grzegorz Stolarczyk
5
Ekonometria 1
Sprawdzamy istotno
ść
parametrów: a
1
i a
2
I
1
=
04
,
6
794
,
0
8
,
4
=
I
2
=
55
,
8
105
,
0
9
,
0
=
−
Warto
ść
krytyczna I* dla poziomu istotno
ś
ci
∝
= 0,05 i n-m stopni swobody wynosi I* = 2,365.
Obliczone I
1
i I
2
s
ą
wi
ę
ksze od warto
ś
ci krytycznej, wi
ę
c parametry istotnie ró
Ŝ
ni
ą
si
ę
od zera,
a tym samym zmienne obja
ś
niaj
ą
ce X
2
i X
3
w sposób istotny wpływaj
ą
na zmienn
ą
obja
ś
nian
ą
.
Przykład 2.
Prosz
ę
zbada
ć
istotno
ść
parametrów a
1
i a
2
modelu wiedz
ą
c,
Ŝ
e:
657
,
1
044
,
0
193
,
0
2
1
^
+
⋅
+
⋅
=
x
x
y
Y
X
1
X
2
1,8
2,2
2
2,1
2,5
5
2,3
3
7
2,8
3,4
5
2,8
4
8
3,4
4,6
9
3,2
5,3
10
3,6
6,1
10
3,5
6,9
9
3,7
7,9
12
3,8
9
14
4,2
9,5
15
4,8
12,3
22
Rozwi
ą
zanie:
Wyznaczamy standardowe bł
ę
dy szacunku parametrów:
S(a
1
) = 0,094
S(a
2
) = 0,056
Sprawdzamy istotno
ść
parametrów:
I
1
= 2,056
I
2
= 0,786
Warto
ść
krytyczna I* dla poziomu istotno
ś
ci
∝
= 0,05 i n-m stopni swobody wynosi I* = 2,228.
Obliczone I
1
i I
2
s
ą
mniejsze od warto
ś
ci krytycznej, wi
ę
c parametry nieistotnie ró
Ŝ
ni
ą
si
ę
od zera,
a tym samym zmienne obja
ś
niaj
ą
ce X
1
i X
2
nie wpływaj
ą
w sposób istotny na zmienn
ą
obja
ś
nian
ą
.
mgr Grzegorz Stolarczyk
6
Ekonometria 1
Nale
Ŝ
y zmodyfikowa
ć
zestaw zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych i dobra
ć
takie, które b
ę
d
ą
silnie wpływa
ć
na zmienn
ą
obja
ś
nian
ą
.
4. Badanie własno
ś
ci składnika losowego
Przykład 1.
Procedur
ę
badania własno
ś
ci składnika losowego przeprowadzamy na podstawie wektora reszt.
Badanie przeprowadzamy na warto
ś
ciach wektora reszt z zadania dotycz
ą
cego wydajno
ś
ci pracy.
a. Badanie symetryczno
ś
ci
Weryfikacja hipotezy o symetryczno
ś
ci rozkładu odchyle
ń
losowych modelu ma na celu ocen
ę
trafno
ś
ci wyboru postaci analitycznej modelu.
Do sprawdzania symetryczno
ś
ci stosujemy test symetrii. Sprawdzamy ile w wektorze reszt
znajduje si
ę
reszt dodatnich:
e
-0,42
-0,18
0,08
0,54
-0,2
0,24
-0,00000000000034
0,2
0,4
-0,66
Mamy 5 reszt dodatnich. Wg tablic do testu symetrii dla n=10 liczba reszt dodatnich powinna
mie
ś
ci
ć
si
ę
w przedziale <2,8>. Mie
ś
ci si
ę
, wi
ę
c wektor reszt jest symetryczny.
Przykład 2.
Prosz
ę
zbada
ć
symetryczno
ść
wektora reszt.
e
0,40
-1,16
0,02
0,04
0,10
0,01
0,09
0,50
mgr Grzegorz Stolarczyk
7
Ekonometria 1
Mamy 7 reszt dodatnich. Wg tablic do testu symetrii dla n=8 liczba reszt dodatnich powinna mie
ś
ci
ć
si
ę
w przedziale <2,6>. Nie mie
ś
ci si
ę
, wi
ę
c wektor reszt nie jest symetryczny. Mo
Ŝ
e to by
ć
spowodowane niewła
ś
ciwym doborem postaci analitycznej modelu.
b. Losowo
ść
Weryfikacja hipotezy o losowo
ś
ci rozkładu odchyle
ń
losowych modelu ma na celu, tak jak
w przypadku symetryczno
ś
ci, ocen
ę
trafno
ś
ci wyboru postaci analitycznej modelu.
Do sprawdzania losowo
ś
ci wykorzystujemy test serii. Seria jest to ci
ą
g kolejnych reszt o tym
samym znaku.
Przykład 1:
e
-0,42
-0,18
1 seria
0,08
0,54
2 seria
-0,2
3 seria
0,24
4 seria
-0,00000000000034
5 seria
0,2
0,4
6 seria
-0,66
7 seria
Sprawdzamy czy liczba serii mie
ś
ci si
ę
w przedziale odczytanym z tablic do testu serii dla poziomu
istotno
ś
ci
∝
= 0,05.
Dolna granica przedziału odczytana z tablic to 3, a górna granica to 8 serii. Liczba serii w zadaniu
to 7, wi
ę
c wektor reszt ma charakter losowy.
mgr Grzegorz Stolarczyk
8
Ekonometria 1
Przykład 2.
Prosz
ę
zbada
ć
losowo
ść
wektora reszt.
Y
^
Y
3086,07 2901,313
3336,04 3177,106
3407,02 3452,898
3644,65 3646,897
3888,45 3987,356
4160,02 4239,379
4456,29 4637,861
4712,43 4930,781
5135,22 5254,113
5283,35 5519,422
5558,01 5842,754
6008,58 6329,672
6644,31 6799,464
7363,37 7187,463
8131,80 7510,795
8863,20 7912,079
9464,98 8323,848
9937,15 9389,962
10236,50
10169,8
10001,96 10319,06
9403,26 10251,59
8273,76 7984,427
7820,10 8234,373
8289,19 8854,465
8752,10 9000,925
Liczymy warto
ś
ci wektora reszt i sprawdzamy liczb
ę
serii:
e
184,76
158,94
-45,88
-2,25
-98,91
-79,36
-181,57
-218,35
-118,89
-236,07
-284,74
-321,09
-155,15
175,90
621,00
951,12
1141,13
mgr Grzegorz Stolarczyk
9
Ekonometria 1
547,19
66,70
-317,11
-848,33
289,33
-414,27
-565,28
-248,83
Dolna granica przedziału odczytana z tablic testu serii to 8, a górna granica to 16 serii. Liczba serii
w zadaniu to 6, wi
ę
c wektor reszt nie ma charakteru losowego. Nale
Ŝ
y zmieni
ć
posta
ć
analityczn
ą
modelu.
c. Stacjonarno
ść
Badanie stacjonarno
ś
ci odchyle
ń
losowych ma na celu sprawdzenie stało
ś
ci ich wariancji.
Badanie stacjonarno
ś
ci odnosi si
ę
modeli dynamicznych i polega na sprawdzeniu czy moduł wektora
reszt jest liniowo zale
Ŝ
ny od czasu.
Sprawdzamy statystyk
ę
na stacjonarno
ść
wg wzoru:
2
,
,
1
2
t
e
t
e
r
n
r
f
−
−
⋅
=
gdzie:
t
e
r
,
-
współczynnik korelacji pomi
ę
dzy modułem wektora reszt i czasem:
(
)
( )
(
)
( )
∑
∑
∑
=
=
=
−
−
−
−
=
n
t
n
t
t
n
t
t
t
e
t
t
e
e
t
t
e
e
r
1
1
2
2
1
,
Przypominamy,
Ŝ
e jest to statystyka pozwalaj
ą
ca bada
ć
istotno
ść
dowolnego współczynnika
korelacji liniowej.
mgr Grzegorz Stolarczyk
10
Ekonometria 1
Przykład 1.
Obliczamy współczynnik korelacji na podstawie obserwacji (dane z zadania z wydajno
ś
ci
ą
pracy):
t
e
t
0,42
1
0,18
2
0,08
3
0,54
4
0,2
5
0,24
6
0,00000000000034
7
0,2
8
0,4
9
0,66
10
t
e
r
,
=
0,241
=
f
2
241
,
0
1
2
10
241
,
0
−
−
⋅
= 0,701
Z tablic rozkładu Studenta odczytujemy dla poziomu istotno
ś
ci
∝
= 0,05 i n-2 stopni swobody
warto
ść
krytyczn
ą
f
*=
2,306. Jest ona wi
ę
ksza od obliczonej warto
ś
ci
f
, wi
ę
c wektor reszt jest
stacjonarny, czyli niezale
Ŝ
ny od czasu. Wariancja odchyle
ń
losowych jest tym samym stała w czasie.
Przykład 2.
Prosz
ę
sprawdzi
ć
stacjonarno
ść
wektora reszt
t
e
t
0,01
1
0,1
2
0,25
3
0,3
4
0,5
5
0,9
6
0,55
7
0,6
8
0,7
9
0,86
10
mgr Grzegorz Stolarczyk
11
Ekonometria 1
Rozwi
ą
zanie:
Liczymy współczynnik korelacji
t
e
r
,
:
t
e
r
,
= 0,886
Warto
ść
statystyki:
=
f
5,411
Z tablic rozkładu Studenta odczytujemy dla poziomu istotno
ś
ci
∝
= 0,05 i n-2 stopni swobody
warto
ść
krytyczn
ą
f
*=
2,306. Jest ona mniejsza od obliczonej warto
ś
ci
f
, wi
ę
c wektor reszt nie jest
stacjonarny, czyli jest zale
Ŝ
ny od czasu. Aby spróbowa
ć
wyeliminowa
ć
zjawisko stacjonarno
ś
ci mo
Ŝ
na
zastosowa
ć
inn
ą
metod
ę
estymacji parametrów modelu.
d. Autokorelacja
Jednym z warunków stosowalno
ś
ci KMNK jest zało
Ŝ
enie o niezale
Ŝ
no
ś
ci składników losowych.
Zjawisko takie ( istotna zale
Ŝ
no
ść
składników losowych z ró
Ŝ
nych momentów czasu) nazywamy
zjawiskiem autokorelacji
Badanie autokorelacji, tak jak w przypadku stacjonarno
ś
ci, odnosi si
ę
do modeli dynamicznych.
Jest to zjawisko niepo
Ŝą
dane.
Do badania autokorelacji stosujemy test Durbina – Watsona.
Obliczamy statystyk
ę
:
(
)
∑
∑
=
=
−
−
=
n
t
t
n
t
t
t
e
e
e
f
1
2
2
2
1
mgr Grzegorz Stolarczyk
12
Ekonometria 1
Przykład 1.
t
e
-0,42
1
−
t
e
(
)
1
−
−
t
t
e
e
(
)
2
1
−
−
t
t
e
e
-0,18
-0,42
0,24
0,0576
0,08
-0,18
0,26
0,0676
0,54
0,08
0,46
0,2116
-0,2
0,54
-0,74
0,5476
0,24
-0,2
0,44
0,1936
-0,00000000000034
0,24
-0,24
0,0576
0,2
-0,00000000000034
0,2
0,04
0,4
0,2
0,2
0,04
-0,66
0,4
-1,06
1,1236
-0,66
2,3392 suma
=
f
886
,
1
24
,
1
3392
,
2
=
Sprawdzamy warto
ś
ci krytyczne dla rozkładu statystyki Durbina – Watsona. Odczytany przedział z
tablic dla poziomu istotno
ś
ci
∝
= 0,05, n=10 i liczby zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych k=2 to <0,697, 1,641>.
Warto
ść
statystyki f jest wi
ę
ksza od górnej granicy przedziału, wi
ę
c autokorelacja nie wyst
ę
puje.
Przykład 2.
Prosz
ę
na podstawie danych zbada
ć
czy wyst
ę
puje autokorelacja wektora reszt.
t
e
3,362
3,660
0,661
-2,520
-3,383
-3,041
-0,864
2,126
mgr Grzegorz Stolarczyk
13
Ekonometria 1
Rozwi
ą
zanie:
Stosujemy test Durbina – Watsona.
Obliczamy statystyk
ę
do testu Durbina – Watsona:
t
e
t
e
2
3,362
1
−
t
e
(
)
1
−
−
t
t
e
e
(
)
2
1
−
−
t
t
e
e
11,302
3,660
3,362
0,298
0,089
13,392
0,661
3,660
-2,999
8,993
0,437
-2,520
0,661
-3,180
10,114
6,349
-3,383
-2,520
-0,863
0,745
11,444
-3,041
-3,383
0,341
0,117
9,250
-0,864
-3,041
2,177
4,740
0,747
2,126
-0,864
2,990
8,943
4,520
2,126
33,740 suma
57,440
=
f
587
,
0
440
,
57
740
,
33
=
Sprawdzamy warto
ś
ci krytyczne dla rozkładu statystyki Durbina – Watsona. Odczytany przedział
z tablic dla poziomu istotno
ś
ci
∝
= 0,05, n=8 i liczby zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych k=1 to <0,763, 1,332>.
Warto
ść
statystyki f jest mniejsza od dolnej granicy przedziału, wi
ę
c autokorelacja wyst
ę
puje. Mo
Ŝ
e
to by
ć
spowodowane np. nieprawidłowym doborem postaci analitycznej modelu lub złym wyborem
zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych. W przypadku wyst
ą
pienia autokorelacji mo
Ŝ
na równie
Ŝ
zastosowa
ć
inn
ą
metod
ę
szacowania parametrów modelu.
Przykład 3.
Na podstawie danych prosz
ę
sprawdzi
ć
autokorelacj
ę
składnika losowego
830
,
1
005
,
1
3
^
−
⋅
=
x
y
Y
x
3
100
100
106,3
103,7
108,7
111,9
114,4
119,7
119,3
123,3
123,2
126,1
133,4
131,8
142,6
140,8
mgr Grzegorz Stolarczyk
14
Ekonometria 1
Rozwi
ą
zanie:
Wyznaczamy warto
ś
ci teoretyczne zmiennej obja
ś
nianej i wektora reszt.
^
Y
e
98,717
1,283
102,438
3,862
110,683
-1,983
118,525
-4,125
122,145
-2,845
124,960
-1,760
130,691
2,709
139,741
2,859
Obliczamy statystyk
ę
do testu Durbina – Watsona:
t
e
t
e
2
1,283
1
−
t
e
(
)
1
−
−
t
t
e
e
(
)
2
1
−
−
t
t
e
e
1,645
3,862
1,283
2,580
6,655
14,918
-1,983
3,862
-5,845
34,162
3,930
-4,125 -1,983
-2,143
4,591
17,017
-2,845 -4,125
1,280
1,639
8,093
-1,760 -2,845
1,085
1,177
3,098
2,709 -1,760
4,469
19,970
7,337
2,859
2,709
0,151
0,023
8,176
2,859
68,217
suma
64,215
=
f
062
,
1
215
,
64
217
,
68
=
Sprawdzamy warto
ś
ci krytyczne dla rozkładu statystyki Durbina – Watsona. Odczytany przedział
z tablic dla poziomu istotno
ś
ci
∝
= 0,05, n=8 i liczby zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych k=1 to <0,763, 1,332>.
Warto
ść
statystyki f mie
ś
ci si
ę
w przedziale, wi
ę
c test Durbina – Watsona nie rozstrzyga o tym,
czy autokorelacja wyst
ę
puje. Musimy w takim przypadku zastosowa
ć
test na istotno
ść
współczynnika
korelacji zgodnie ze wzorem:
2
,
,
1
1
1
2
−
−
−
−
⋅
=
t
t
t
t
e
e
e
e
r
n
r
f
gdzie:
1
,
−
t
t
e
e
r
- współczynnik korelacji pomi
ę
dzy wektorem reszt i wektorem reszt przesuni
ę
tym o jedn
ą
jednostk
ę
czasu
mgr Grzegorz Stolarczyk
15
Ekonometria 1
Obliczamy:
t
e
1,283
1
−
t
e
3,862
1,283
-1,983
3,862
-4,125 -1,983
-2,845 -4,125
-1,760 -2,845
2,709 -1,760
2,859
2,709
2,859
Współczynnik korelacji obliczony z cz
ęś
ci wspólnej tych dwóch wielko
ś
ci wynosi:
1
,
−
t
t
e
e
r
=
0,422
St
ą
d:
=
f
1,140
Z tablic rozkładu Studenta odczytujemy dla poziomu istotno
ś
ci
∝
= 0,05 i n-2 stopni swobody
warto
ść
krytyczn
ą
f *=
2,447. Jest ona wi
ę
ksza od obliczonej warto
ś
ci
f
, wi
ę
c współczynnik
korelacji jest nieistotny, co powoduje,
Ŝ
e autokorelacja nie wyst
ę
puje.
e. Rozkład normalny
Badanie normalno
ś
ci rozkładu odchyle
ń
losowych sprowadza si
ę
do porównania warto
ś
ci
empirycznych dystrybuanty wektora reszt z dystrybuant
ą
rozkładu normalnego.
Badanie rozkładu normalnego jest szczególnie wa
Ŝ
ne w przypadku modeli przeznaczonych
do prognozowania. Do badania rozkładu wykorzystujemy test zgodno
ś
ci Hellwiga.
mgr Grzegorz Stolarczyk
16
Ekonometria 1
Przykład 1.
e
e'=
j
S
e
e' uporz
ą
dkowany F(e')
Cele
Cele puste
-0,42
-1,132
-1,778 0,038
[0 0,1)
-0,18
-0,485
-1,132 0,129 [0,1 0,2)
0,08
0,216
-0,539 0,295 [0,2 0,3)
0,54
1,455
-0,485 0,314 [0,3 0,4)
-0,2
-0,539
0,000 0,500 [0,4 0,5) pusta
0,24
0,647
0,216 0,585 [0,5 0,6)
-0,00000000000034
0,000
0,539 0,705 [0,6 0,7) pusta
0,2
0,539
0,647 0,741 [0,7 0,8)
0,4
1,078
1,078 0,859 [0,8 0,9)
-0,66
-1,778
1,455 0,927 [0,9 1,0]
Odchylenie
Standardowe - S
j
0,371
F(e') – warto
ść
dystrybuanty rozkładu normalnego liczona za pomoc
ą
funkcji dost
ę
pnej w Excelu
„Rozkład. Normalny. S.”
Liczba cel pustych wynosi K=2. Przedział z tablic testu Hellwiga wynosi <1,5>. Liczba cel pustych
K=2 mie
ś
ci si
ę
w przedziale, wi
ę
c wektor reszt ma rozkład normalny.
Przykład 2.
Prosz
ę
zbada
ć
normalno
ść
rozkładu wektora reszt:
e
0,1
0,1
0,15
1,4
0,5
3
0,7
0,9
1,4
-8,25
mgr Grzegorz Stolarczyk
17
Ekonometria 1
Rozwi
ą
zanie:
e
e'=
j
S
e
e' uporz
ą
dkowany
F(e')
Cele
Cele puste
0,1
0,033
-2,724
0,003
[0
0,1)
0,1
0,033
0,033
0,513
[0,1
0,2) pusta
0,15
0,050
0,033
0,513
[0,2
0,3) pusta
1,4
0,462
0,050
0,520
[0,3
0,4) pusta
0,5
0,165
0,165
0,566
[0,4
0,5) pusta
3
0,990
0,231
0,591
[0,5
0,6)
0,7
0,231
0,297
0,617
[0,6
0,7)
0,9
0,297
0,462
0,678
[0,7
0,8) pusta
1,4
0,462
0,462
0,678
[0,8
0,9)
-8,25
-2,724
0,990
0,839
[0,9
1,0] pusta
Odchylenie
Standardowe - S
j
3,029
Liczba cel pustych wynosi K=6. Przedział z tablic testu Hellwiga wynosi <1,5>. Liczba cel pustych
K=2 nie mie
ś
ci si
ę
w przedziale, wi
ę
c wektor reszt nie ma rozkładu normalnego. Nie dyskwalifikuje
to modelu, jednak w przypadku tworzenia na jego podstawie prognoz mog
ą
wyst
ą
pi
ć
ich zbyt du
Ŝ
e
bł
ę
dy i mo
Ŝ
liwo
ść
nie uzyskania prognozy dopuszczalnej.
Zadanie 1.
Prosz
ę
zweryfikowa
ć
model liniowy:
82
,
2310
97
,
408
77
,
23
3
1
^
−
⋅
+
⋅
=
x
x
y
Y
X
1
X
3
3086,07
104
6,7
3336,04
107
7,2
3407,02
110
7,7
3644,65
113
8
3888,45
117
8,6
4160,02
119
9,1
4456,29
122
9,9
4712,43
124
10,5
5135,22
129
11
5283,35
135
11,3
5558,01
140
11,8
6008,58
145
12,7
6644,31
151
13,5
7363,37
157
14,1
8131,80
162
14,6
8863,20
172
15
9464,98
179
15,6
9937,15
186
17,8
10236,50
193
19,3
10001,96
201
19,2
9403,26
193
19,5
8273,76
163
15,7
mgr Grzegorz Stolarczyk
18
Ekonometria 1
7820,10
189
14,8
8289,19
191
16,2
8752,10
192
16,5
S(a
1
)
12,26
S(a
2
)
100,74
S(a
0
)
670,35
Zadanie 2.
Prosz
ę
na podstawie danych zbada
ć
stacjonarno
ść
wektora reszt.
055
,
83
136
,
0
2
^
+
⋅
=
x
y
e
3,362
3,660
0,661
-2,520
-3,383
-3,041
-0,864
2,126
Zadanie 3.
Prosz
ę
na podstawie danych zbada
ć
dopasowanie modelu do danych empirycznych
oraz symetryczno
ść
i losowo
ść
składnika losowego.
Y
X
1
X
2
10
6
8
10
6
8
16
10
12
16
10
12
12
8
8
14
10
8
20
12
14
20
12
16
20
12
16
22
14
18
252
,
0
447
,
0
039
,
1
2
1
^
+
⋅
+
⋅
=
x
x
y
mgr Grzegorz Stolarczyk
19
Ekonometria 1
Zadanie 4.
Dane s
ą
warto
ś
ci wektora reszt:
e
2,4
3,5
0,4
-1,5
-2,3
0,1
-0,1
-2,4
-1,5
1,3
2,3
0,5
-3
1,6
2,2
-0,5
-3
Prosz
ę
sprawdzi
ć
czy wektor reszt ma rozkład normalny.
Zadanie 5.
Do opisu PKB w Polsce w latach 1990 – 2003 zaproponowano wst
ę
pnie nast
ę
puj
ą
ce zmienne
obja
ś
niaj
ą
ce:
X1 – ko
ń
cowa produkcja rolnicza
X2 – zbiory zbó
Ŝ
w mln ton
X3 – produkcja
Ŝ
ywca w tys. ton
X4 – skup produktów rolnych
X5 – produkcja sprzedana przedsi
ę
biorstw
X6 – wielko
ść
inwestycje
X7 – warto
ść
ś
rodków trwałych
PKB
Ko
ń
cowa produkcja
rolnicza
Zbiory zbó
Ŝ
w
mln t
Pr.
Ŝ
ywca w
tys. ton
Skup
pr. rol.
Pr.
sprzedana
przedsieb.
Wielko
ść
inwestycji
Warto
ść
ś
r.
Trwałych
100
100
24,1
3325
100
100
100
100
93
98,4
23,7
3348
82,8
92
97,2
100,9
95,4
87,9
17,1
3211
74,9
94,6
95,4
102,1
99
94,9
19,9
2954
71,9
100,7
96,1
103,8
104,1
84,7
18,5
2694
65,4
112,8
116
106,7
111,4
98,5
21,8
2959
74,9
123,7
133,3
107
118,1
97,6
21,4
3105
78,1
134
160,1
113,5
126,1
99,4
20,8
3021
83,6
149,4
182,2
117,6
mgr Grzegorz Stolarczyk
20
Ekonometria 1
132,2
104,6
22,3
3242
91,5
154,7
202,6
121,4
137,6
100,4
21,2
3296
96,5
160,3
193,1
125,8
143,1
97,2
18,3
3119
99,1
171
170,1
130
144,5
105,6
21,5
3119
100,4
172
163
133,1
146,5
105,7
21
3339
110,3
173,9
150
136,4
152,1
108,3
17,9
3640
117,9
188
159,5
139,1
Prosz
ę
dobra
ć
zmienne obja
ś
niaj
ą
ce do modelu, oszacowa
ć
parametry i przeprowadzi
ć
weryfikacj
ę
modelu.