Obwody I rzędu
zasilane źródłami napięć stałych
Obwody I rzędu
zasilane źródłami napięć stałych
Obwody I rzędu zasilane źródłami napięć stałych
Obwód RL
(rezystancyjno-indukcyjny)
R
L
U
Obwód: rezystor – indukcyjność (RL)
R
v
R
v
L
i
L
2
0
2
1
)
0
(
I
L
W
⋅
=
0
=
+
R
L
u
u
i
R
u
R
⋅
=
dt
di
L
u
L
⋅
=
0
=
⋅
+
⋅
i
R
dt
di
L
0
)
0
(
I
i
=
(7.1)
t
D
i
⋅
−
=
ττττ
1
ln
ττττ
t
e
D
i
−
⋅
=
(7.2)
K
t
i
+
⋅
−
=
ττττ
1
ln
D
K
ln
=
R
L
=
ττττ
0
1
=
⋅
+
i
dt
di
ττττ
0
)
0
(
I
i
=
ττττ
dt
i
di
−
=
K
dt
i
di
+
−
=
∫
∫
ττττ
Obwód: rezystor – indukcyjność (RL)
0
=
⋅
+
⋅
i
R
dt
di
L
0
)
0
(
I
i
=
(7.1)
lub
Obwód: rezystor – indukcyjność (RL)
D
I
=
0
ττττ
t
e
I
i
−
⋅
=
0
0
)
0
(
I
i
=
Stała D ma spełnia
ć
warunki pocz
ą
tkowe:
To prowadzi do równania
(7.3)
Podstawiaj
ą
c
(7.3)
do
(7.2)
ττττ
t
e
D
i
−
⋅
=
znajdujemy
(7.4)
Rys. 7.2
Zale
Ŝ
no
ść
(7.4)
jest nazwana odpowiedzi
ą
na zerowy sygna
ł
wej
ś
ciowy, poniewa
Ŝ
nie
wyst
ę
puje
sygnał
wej
ś
ciowy
w
obwodzie, a odpowied
ź
i(t)
wynikiem
pr
ą
du pocz
ą
tkowego
I
0
. Wykres funkcji
(7.4)
jest pokazany na rys. 7.2
Obwód: rezystor – indukcyjność (RL)
Taka sama krzywa jest otrzymana dla ka
Ŝ
dego obwodu z pocz
ą
tkowym
pr
ą
dem I
0
tak długo jak
ττττ
= L/R jest taka sama. Je
ś
li stała czasowa
ττττ
zostanie podwojona wtedy pr
ą
d pozostanie niezmieniony je
ś
li czas t
b
ę
dzie równie
Ŝ
podwojony.
ττττ
To oznacza,
Ŝ
e nowa krzywa zostanie otrzymana przez przesuni
ę
cie
(pomno
Ŝ
enie) razy dwa ka
Ŝ
dego punktu na krzywej pierwotnej . Wi
ę
c pr
ą
d
potrzebuje dłu
Ŝ
szego czasu do osi
ą
gni
ę
cia tej samej danej warto
ś
ci.
ττττ
2
Obwód: rezystor – indukcyjność (RL)
0
0
1
|
I
dt
di
t
⋅
−
=
=
ττττ
x
I
0
−
Wyznaczenie graficzne stałej czasowej
ττττ
:
narysowa
ć
prost
ą
styczn
ą
do krzywej dla
t = 0
i znale
źć
miejsce przeci
ę
cia si
ę
tej stycznej z osi
ą
czasu.
x
I
I
0
0
1
−
=
⋅
−
ττττ
x
=
ττττ
0
1
I
⋅
−
=
ττττ
a to prowadzi do
Jest to nachylenie prostej stycznej
przechodz
ą
cej przez punkt
(0, I
0
)
Pocz
ą
tkowa szybko
ść
zaniku pr
ą
du
i(t)
wynosi:
To nachylenie jest równe:
przyrównuj
ą
c mamy:
Obwód: rezystor – indukcyjność (RL)
0
1
0
368
.
0
)
(
I
e
I
i
⋅
=
⋅
=
−
ττττ
Wi
ę
c w jednej stałej czasowej odpowied
ź
zmniejsza
si
ę
do 36.8 procenta warto
ś
ci pocz
ą
tkowej
0
4
0
0183
.
0
)
4
(
I
e
I
i
⋅
=
⋅
=
−
ττττ
Natomiast dla
t =
5
ττττ
:
0
0067
.
0
)
5
(
I
i
⋅
=
ττττ
Dla
t =
ττττ
otrzymamy:
Dla
t =
4
ττττ
mamy:
co oznacza
Ŝ
e warto
ść
odpowiedzi jest mniejsza ni
Ŝ
2% warto
ś
ci pocz
ą
tkowej
jest pomijaln
ą
cz
ęś
ci
ą
warto
ś
ci
pocz
ą
tkowej. Dlatego zwykle przyjmuje
si
ę
,
Ŝ
e po 5 stałych czasowych warto
ść
pr
ą
du jest ustalona.
Obwód: rezystor – indukcyjność (RL)
ττττ
t
R
e
I
R
i
R
p
2
2
0
2
−
⋅
⋅
=
⋅
=
2
0
2
0
0
2
2
0
0
2
1
2
I
L
R
I
dt
e
R
I
dt
p
W
t
R
R
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
∫
∫
∞ −
∞
ττττ
ττττ
i
R
v
R
v
L
L
Moc i energia w obwodzie
R
3
i
L
L
R
2
R
1
i
1
Obwód: rezystory – indukcyjność (RL)
Mo
Ŝ
emy do
ść
łatwo rozszerzy
ć
wyniki uzyskane dla tego prostego obwodu
RL do obwodu zawieraj
ą
cego jak
ąś
liczb
ę
rezystorów i jedn
ą
indukcyjno
ść
Rozwa
Ŝ
my przykład przedstawiony na rys. 7.6.
3
2
1
3
2
1
)
(
R
R
R
R
R
R
R
Z
+
+
+
⋅
=
Obwód: rezystory – indukcyjność (RL)
R
3
i
L
L
R
2
R
1
i
1
3
2
1
3
2
1
)
(
R
R
R
R
R
R
R
Z
+
+
+
⋅
=
gdzie
ττττ
t
L
L
e
i
t
i
−
⋅
=
)
0
(
)
(
Z
R
L
=
ττττ
R
Z
L
i
L
Układ rezystorów ze źródłem prądowym
3
2
1
3
2
1
)
(
)
(
R
R
R
R
R
R
t
i
u
L
L
+
+
+
⋅
⋅
−
=
3
2
1
3
2
1
1
)
(
R
R
R
R
R
t
i
R
u
i
L
L
+
+
+
⋅
−
=
=
Analizuj
ą
c ten obwód otrzymamy:
v
L
R
3
i
L
(t)
R
2
R
1
i
1
Obwód: rezystor – indukcyjność (RL)
wraz ze źródłem napięciowym V
Rozwa
Ŝ
my obwód zawieraj
ą
cy dodatkowo
ź
ródło napi
ę
ciowe U pr
ą
du stałego.
Mamy wi
ę
c rezystor R i indukcyjno
ść
L, z pr
ą
dem pocz
ą
tkowym i(0)=I
0
i
ź
ródło napi
ę
ciowe.
v
R
v
L
i
R
U
(7.5)
U
i
R
dt
di
L
=
⋅
+
⋅
0
)
0
(
I
i
=
L
U
i
dt
di
=
⋅
+
ττττ
1
R
L
=
ττττ
gdzie:
(7.7)
(7.6)
ττττ
i
R
U
dt
di
−
=
(7.8)
ττττ
dt
R
U
i
di
−
=
−
∫
∫
+
−
=
−
K
dt
R
U
i
di
ττττ
1
A
t
R
U
i
ln
ln
+
−
=
−
ττττ
gdzie
K
jest stał
ą
całkowania
ττττ
t
e
A
R
U
i
−
⋅
=
−
(7.9)
gdzie A jest stał
ą
, która mo
Ŝ
e by
ć
dodatnia lub ujemna.
A
R
U
I
=
−
0
ττττ
t
e
R
U
I
R
U
t
i
−
⋅
−
+
=
0
)
(
Dla t = 0 oraz i(0) = I
0
równanie (7.9) przyjmuje posta
ć
:
ττττ
t
e
A
R
U
i
−
⋅
=
−
(7.9)
(7.10)
podstawiaj
ą
c (7.10) do (7.9) mamy:
Obwód: rezystor, indukcyjność, źródło napięciowe
(7.11)
Kiedy t
→
→
→
→ ∞
∞
∞
∞
drugi człon prawej strony
( )
R
U
i
=
∞
równania (7.11) zanika; zatem:
Wtedy mo
Ŝ
emy napisa
ć
:
(
)
ττττ
t
e
i
i
i
t
i
−
⋅
∞
−
+
∞
=
)
(
)
0
(
)
(
)
(
(7.12)
R
U
R
L
=
ττττ
gdzie
i
(
∞
∞
∞
∞
) jest warto
ś
ci
ą
ustalon
ą
i(t)
dla t =
∞
∞
∞
∞
, równ
ą
oraz
- pierwszy człon
i
w
= i(
∞
∞
∞
∞
)
jest odpowiedzi
ą
stałego
ź
ródła i jest nazywana
odpowiedzi
ą
wymuszon
ą
,
ττττ
t
n
e
A
i
−
⋅
=
n
w
i
i
i
+
=
Wi
ę
c, odpowied
ź
zawiera dwa człony:
(
)
ττττ
t
e
i
i
i
t
i
−
⋅
∞
−
+
∞
=
)
(
)
0
(
)
(
)
(
(7.12)
Obwód: rezystor, indukcyjność, źródło napięciowe
- drugi człon
Zatem odpowied
ź
i(t)
jest sum
ą
odpowiedzi wymuszonej
i
w
oraz odpowiedzi naturalnej
i
n
nazywany jest odpowiedzi
ą
naturaln
ą
.
(7.13)
Obwód: rezystor, indukcyjność, źródło napięciowe
(
)
)
(
)
0
(
1
|
0
∞
−
⋅
−
=
=
i
i
dt
di
t
ττττ
(7.14)
Pocz
ą
tkowa szybko
ść
zaniku:
(
)
x
i
i
)
(
)
0
(
∞
−
−
(7.15)
przyrównuj
ą
c
(7.14)
i
(7.15)
mamy zale
Ŝ
no
ść
:
(
)
(
)
)
(
)
0
(
1
)
(
)
0
(
1
∞
−
−
=
∞
−
−
i
i
x
i
i
ττττ
x
=
ττττ
R
V
i
=
∞
)
(
Wyznaczenie graficzne stałej czasowej
ττττ
:
narysowa
ć
prost
ą
styczn
ą
do krzywej dla
t = 0
i znale
źć
miejsce przeci
ę
cia
si
ę
tej stycznej z poziom
ą
linia przechodz
ą
c
ą
przez punkt (0,
i(
∞
∞
∞
∞
)
)
Przykład obwodu:
rezystory, indukcyjność, źródło napięciowe
t = 0
R
2
v
L
i
V
R
1
Wył
ą
cznik jest otwarty a
Ŝ
stan ustalony pr
ą
du w obwodzie b
ę
dzie
dominował i nast
ę
pnie zostaje zamkni
ę
ty; zakładaj
ą
c,
Ŝ
e
zamkni
ę
cie wył
ą
cznika wyst
ą
pi w t = 0 szukamy jak zmienia si
ę
i(t)
(
)
ττττ
t
e
i
i
i
t
i
−
⋅
∞
−
+
∞
=
)
(
)
0
(
)
(
)
(
(7.12)
2
R
L
=
ττττ
(7.16)
(7.17)
Dla t = 0, oznaczonego 0
-
wył
ą
cznik jest jeszcze otwarty, zatem:
W obwodzie płynie ustalony stały
pr
ą
d, zatem spadek napi
ę
cia na
indukcyjno
ś
ci wynosi zero, bo:
dt
di
L
u
L
⋅
=
2
1
)
0
(
R
R
u
i
L
+
=
−
Dla t = 0, wył
ą
cznik zostaje zamkni
ę
ty,
z wła
ś
ciwo
ś
ci prawa ci
ą
gło
ś
ci zapiszemy:
2
1
)
0
(
)
0
(
R
R
U
i
i
L
L
+
=
=
−
(7.18)
Dla t =
∞
∞
∞
∞
, stan ustalony,
u
L
= 0 płyn
ą
cy pr
ą
d:
2
)
(
R
U
i
=
∞
(7.19)
Przykład obwodu:
rezystory, indukcyjność, źródło napięciowe
Podstawiaj
ą
c (7.18) i (7.19) do 7.16) otrzymamy rozwi
ą
zanie na pr
ą
d:
ττττ
t
L
e
R
U
R
R
U
R
U
t
i
−
⋅
−
+
+
=
2
2
1
2
)
(
(7.20)
2
R
V
2
1
R
R
V
+
Obwody I rzędu zasilane źródłami napięć stałych
2
0
2
1
)
0
(
U
C
W
⋅
=
Obwód: rezystor – indukcyjność (RL)
Obwód: rezystor – pojemność (RC)
Obwód rezystor – pojemność (RC)
bez źródła zasilania
i
R
v
R
v
C
C
U
Q
C
=
U
C
q
⋅
=
i
dt
dq
=
dt
dU
C
i
⋅
=
Udq
dW
=
dU
C
dq
⋅
=
∫
⋅
=
u
C
Udu
C
W
0
2
2
1
U
C
W
C
⋅
⋅
=
Obwody I rzędu zasilane źródłami napięć stałych
Obwód RC
(rezystancyjno-pojemnościowy)
R
C
U
0
=
+
R
C
u
u
i
R
u
R
⋅
=
dt
du
C
i
⋅
=
(8.2)
0
=
⋅
+
dt
du
RC
u
C
c
0
)
0
(
U
u
C
=
(8.1)
Obwód rezystor – pojemność (RC)
i
R
v
R
v
C
C
(8.4)
Obwód rezystor – pojemność (RC)
(8.2)
0
=
⋅
+
dt
du
RC
u
C
c
0
)
0
(
V
v
C
=
0
1
=
⋅
+
C
C
u
dt
du
ττττ
(8.3)
C
R
⋅
=
ττττ
0
1
=
⋅
+
i
dt
di
ττττ
ττττ
t
C
e
U
t
u
−
⋅
=
0
)
(
0
)
0
(
U
u
C
=
Dla
Rys. 8.2
Napi
ę
cie na okładkach kondensatora
powoduje przepływ energii z pojemno
ś
ci
do rezystora, na którym jest tracona w
postaci ciepła
(8.4)
ττττ
t
C
e
U
t
u
−
⋅
=
0
)
(
0
)
0
(
U
u
C
=
∞
→
t
napi
ę
cie u
C
osi
ą
ga zero
Dla czasu t = 0 mamy warunek pocz
ą
tkowy
Obwód rezystor – pojemność (RC)
Widzimy,
Ŝ
e całkowita energia pocz
ą
tkowa zgromadzona na
pojemno
ś
ci jest rozpraszana na rezystorze w postaci ciepła
Obwód rezystor – pojemność (RC)
Zale
Ŝ
no
ść
pomi
ę
dzy moc
ą
i energi
ą
elektryczn
ą
w obwodzie
R
e
U
R
u
R
u
P
t
C
R
R
ττττ
2
2
0
2
2
−
⋅
=
=
=
2
2
0
0
2
2
0
0
ττττ
ττττ
⋅
=
⋅
=
⋅
=
∫
∫
∞ −
∞
R
U
dt
e
R
U
dt
P
W
t
R
R
(8.5)
(8.6)
C
R
⋅
=
ττττ
2
0
2
1
U
C
W
R
⋅
⋅
=
Równanie (8.8) jest podobne do
równania (7.6) opisuj
ą
cego obwód RL
Podstawmy za RC
ττττ
i podzielmy to równanie przez
ττττ
v
C
i
C
v
R
R
V
C
Obwód rezystor – pojemność (RC) wraz
ze źródłem napięciowym U
U
u
dt
du
C
R
C
C
=
+
⋅
⋅
(8.7)
U
u
dt
du
C
C
⋅
=
⋅
+
ττττ
ττττ
1
1
(8.8)
L
U
i
dt
di
=
⋅
+
ττττ
1
(7.6)
Całkowite rozwi
ą
zanie jest sum
ą
dwóch odpowiedzi: naturalnej i wymuszonej
St
ą
d, ogólnym rozwi
ą
zaniem jest :
Zale
Ŝ
no
ść
wykładnicza (8.9)
jest rozwi
ą
zaniem równania
(8.3)
Obwód rezystor – pojemność (RC) wraz
ze źródłem napięciowym U
( )
ττττ
t
n
C
e
A
u
−
⋅
=
(8.9)
- naturalnej:
- wymuszonej:
( )
U
u
u
w
C
=
∞
=
)
(
(8.10)
ττττ
t
C
C
e
A
u
t
u
−
⋅
+
∞
=
)
(
)
(
(8.11)
0
1
=
⋅
+
C
C
u
dt
du
ττττ
C
R
⋅
=
ττττ
(8.3)
Obwód rezystor – pojemność (RC) wraz
ze źródłem napięciowym U
A
u
u
C
C
+
∞
=
)
(
)
0
(
Do wyznaczenia stałej A napiszemy równanie (8.11) dla czasu t = 0
a st
ą
d:
)
(
)
0
(
∞
−
=
C
C
u
u
A
Ostatni
ą
zale
Ŝ
no
ść
podstawimy do równania (8.11):
(
)
ττττ
t
C
C
C
C
e
u
u
u
t
u
−
⋅
∞
−
+
∞
=
)
(
)
0
(
)
(
)
(
(8.12)
Podstawiaj
ą
c za u
C
(0)=U
0
i za u
C
(
∞
)=U równanie (8.12) przyjmuje posta
ć
:
Obwód rezystor – pojemność (RC) wraz
ze źródłem napięciowym U
(
)
ττττ
t
C
C
C
C
e
v
u
u
t
u
−
⋅
∞
−
+
∞
=
)
(
)
0
(
)
(
)
(
(8.12)
(8.13)
(
)
ττττ
t
C
e
U
U
U
t
u
−
⋅
−
+
=
0
)
(
Obwód rezystor – pojemność (RC) wraz
ze źródłem napięciowym U
Wykres zale
Ŝ
no
ś
ci (8.13) dla przypadku U>U
0
v
c
(
∞
∞
∞
∞
)=v
Obwód rezystor – pojemność (RC) wraz
ze źródłem napięciowym U
Wykres zale
Ŝ
no
ś
ci (8.13) dla przypadku U<U
0
dt
t
du
C
t
i
C
C
)
(
)
(
⋅
=
(8.14)
Pr
ą
d i
C
(t) mo
Ŝ
e by
ć
obliczony
u
Ŝ
ywaj
ą
c wyra
Ŝ
enia:
Podstawiaj
ą
c za u
C
(t) wyra
Ŝ
enie (8.13) a za
τ
=RC mamy :
(8.15)
(
)
ττττ
ττττ
ττττ
t
t
C
e
R
U
U
e
U
U
C
t
i
−
−
⋅
−
=
⋅
−
−
=
0
0
)
1
(
)
(
v
c
(
∞
∞
∞
∞
)=v
Stosuj
ą
c II prawo Kirchhoffa mo
Ŝ
emy zapisa
ć
:
Obwód rezystor – pojemność (RC) wraz
ze źródłem napięciowym U
(8.16)
A stosuj
ą
c prawa Ohma mamy:
(8.17)
ττττ
ττττ
t
t
C
R
e
U
U
e
U
U
U
U
u
u
u
−
−
⋅
−
=
⋅
−
+
−
=
−
=
)
(
)
(
(
0
0
ττττ
t
R
C
e
R
U
U
R
u
i
−
⋅
−
=
=
0