Opis kształtu w

przestrzeni 2D

Mirosław Głowacki
Wydział Inżynierii Metali i
Informatyki Przemysłowej AGH

Krzywe Beziera



Pochodna z krzywej Hermite’a

 



 





 



4

2

1

2

4

2

1

2

2

3

1

4

3

6

6

6

6

'

R

t

t

R

t

t

P

t

t

P

t

t

t

Q























 



 





 



3

2

2

2

4

2

1

2

2

3

1

4

3

4

3

1

2

3

'

P

t

t

P

t

t

P

t

t

P

t

t

t

Q



























Krzywe Beziera



Prędkość wzdłuż krzywej
Beziera ma być stała. Stąd
druga pochodna z funkcji
Hermite’a powinna się
zerować (zerowe
przyspieszenie)

  

 







 





0

2

6

4

6

6

12

6

12

'

'

3

4

1

2

4

1



























P

P

t

P

P

t

P

t

P

t

t

Q

Krzywe Beziera



W przypadku tych krzywych wektory styczne w punkach

końcowych są określane bezpośrednio przez dwa punkt

pośrednie, które nie leżą na krzywej.



Wektory styczne początkowy i końcowy są określane przez

wektory 𝑃

1

𝑃

2

i 𝑃

3

𝑃

4

i są związane z 𝑅

1

i 𝑅

2

zależnościami:

𝑅

1

= 3𝑄

′

0 = 3 𝑃

2

− 𝑃

1

𝑅

4

= 3𝑄

′

1 = 3 𝑃

4

− 𝑃

3

Krzywe Beziera



W krzywych Bezier’a

wykorzystujących wielomiany

trzeciego stopnia

często korzysta sie

z faktu

, ze proste przechodzące przez

punkty:



początkowy i następujący po nim



końcowy i poprzedzający go

są prostymi stycznymi do krzywej.



Odcinki łączące punkt początkowy i

następujący po nim oraz punkt

końcowy i poprzedzający go często

nazywa sie kierownicami

Relacja pomiędzy macierzami
geometrii Hermite’a i Beziera



Krzywa Beziera

interpoluje

więc dwa końcowe

punkty kontrolne i

aproksymuje

dwa pozostałe.



Macierz geometrii Beziera wygląda następująco:
𝐆

𝐵

= 𝑃

1

, 𝑃

2

, 𝑃

3

, 𝑃

4



Macierzą łączącą reprezentacje Hermite’a i
Beziera jest macierz 𝐌

𝐻𝐵

.



Aby krzywe były identyczne bez względu na
reprezentację musi zachodzić warunek:
𝐆

𝐻

= 𝑃

1

, 𝑃

2

, 𝑅

1

, 𝑅

4

= 𝑃

1

, 𝑃

2

, 𝑃

3

, 𝑃

4

𝐌

𝐻𝐵

Relacja pomiędzy macierzami
geometrii Hermite’a i Beziera



Stąd:

𝑃

1

= 𝑃

1

, 𝑃

2

, 𝑃

3

, 𝑃

4

1, 0, 0, 0

𝑇

𝑃

4

= 𝑃

1

, 𝑃

2

, 𝑃

3

, 𝑃

4

0 0, 0, 1

𝑇

𝑅

1

= 3 𝑃

2

− 𝑃

1

= 𝑃

1

, 𝑃

2

, 𝑃

3

, 𝑃

4

−3, 3, 0, 0

𝑇

𝑅

4

= 3 𝑃

4

− 𝑃

3

= 𝑃

1

, 𝑃

2

, 𝑃

3

, 𝑃

4

0, 0, −3, 3,

𝑇



Równania te można zastąpić jednym macierzowym z
macierzą 𝐌

𝐻𝐵

o rozmiarze 4 × 4:

𝐆

𝐻

= 𝐆

𝐵

𝐌

𝐻𝐵

= 𝑃

1

, 𝑃

2

, 𝑃

3

, 𝑃

4

1 0 −3

0

0 0

3

0

0 0

0

−3

0 1

0

3

Relacja pomiędzy macierzami
geometrii Hermite’a i Beziera



W celu znalezienia macierzy bazowej Beziera M

B

korzystamy z równania: 𝐐 𝑡 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡

𝑇

=

𝐆

𝐻

𝐌

𝐻

𝐓 dla postaci Hermite’a i podstawiamy

𝐆

𝐻

= 𝐆

𝐵

𝐌

𝐻𝐵



Stąd

przy czym: 𝐌

𝐵

= 𝐌

𝐻𝐵

𝐌

𝐻

𝐐 𝑡 = 𝐆

𝐻

𝐌

𝐻

𝐓 = 𝐆

𝐵

𝐌

𝐻𝐵

𝐌

𝐻

𝐓 =

𝐆

𝐵

𝐌

𝐻𝐵

𝐌

𝐻

𝐓 = 𝐆

𝐵

𝐌

𝐵

𝐓

Relacja pomiędzy macierzami
geometrii Hermite’a i Beziera



Wykonując mnożenie:

𝐌

𝐵

= 𝐌

𝐻𝐵

𝐌

𝐻

=

−1

3

−3

−1

3

−6

3

0

−3

3

0

0

1

0

0

0



Zatem krzywa Beziera jest opisana równaniem:



Cztery wielomiany 1 − 𝑡

3

, 3𝑡 1 − 𝑡

2

, 3𝑡

2

1 − 𝑡 oraz

𝑡

3

, które są wagami powyższego równania są nazywane

wielomianami Bersteina.

𝐐 𝑡 = 𝐆

𝐵

𝐌

𝐵

𝐓 =

= 1 − 𝑡

3

𝑃

1

+ 3𝑡 1 − 𝑡

2

𝑃

2

+ 3𝑡

2

1 − 𝑡 𝑃

3

+ 𝑡

3

𝑃

4

Wielomiany Bernsteina



Wielomiany
Bernsteina są

funkcjami
wagowymi

krzywych Beziera

Łączenie krzywych Beziera



Dwie krzywe Beziera łączące się w punkcie P4.
Punkty P3, P4, P5 są współliniowe

Łączenie krzywych Beziera



Jeżeli segment lewy oznaczymy przez 𝑥

𝑙

a prawy przez 𝑥

𝑟

to

warunki dla ciągłości C

0

i C

1

w punkcie połączenia są

następujące:



Stąd dla współrzędnej 𝑥 otrzymamy

𝑥

𝑙

1 = 𝑥

𝑟

0

𝑑𝑥

𝑙

𝑑𝑡

1 =

𝑑𝑥

𝑟

𝑑𝑡

0

𝑥

𝑙

1 = 𝑥

𝑟

0 = 𝑃

4

𝑥

𝑑𝑥

𝑙

𝑑𝑡

1 = 3 𝑃

4

𝑥

− 𝑃

3

𝑥

𝑑𝑥

𝑟

𝑑𝑡

0 = 3 𝑃

5

− 𝑃

4

𝑥

Krzywe Beziera



Typowy wynik
działania
programu
rysowania
krzywych
Beziera

Wymierne krzywe Beziera



Wymierna

krzywa Beziera to

rzut środkowy

wielomianowej

krzywej Béziera

zdefiniowanej we

współrzędnych

jednorodnych

na

płaszczyznę:

𝑊 = 1

Krzywe Beziera



Dowolny punkt krzywej wielomianowej jest dany jako

𝑃(𝑡) = 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 , … 𝑤 𝑡



Po przejściu na współrzędne kartezjańskie (rzucie środkowym
𝑃(𝑡) na płaszczyznę 𝑊 = 1 otrzymuje się 𝑘

wyrażeń

wymiernych

, a punkt na tej płaszczyźnie dany jest wzorem



Jeśli 𝑊(𝑡) = const to krzywa jest

wielomianowa

- mówiąc

nieformalnie krzywe wielomianowe, to specjalny przypadek
krzywych wymiernych

𝑃 𝑡 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 , … =

𝑥 𝑡

𝑤 𝑡

,

𝑥 𝑡

𝑤 𝑡

,

𝑥 𝑡

𝑤 𝑡

, …

Krzywe Beziera



Dowolny punkt krzywej wielomianowej we

wpółrzędnych

rzeczywistych

jest dany jako



𝑛 — liczba punktów kontrolnych minus 1 (punkty kontrolne
liczone są od zera)



𝑝

𝑖

— 𝑖 − ty punkt kontrolny



𝑤

𝑖

—

waga

𝑖 − tego punktu kontrolnego (dowolna

liczba

rzeczywista

) – jeśli 𝑤 = 0 punkt kontrolny nie jest brany pod

uwagę



𝐵

𝑖

𝑛

—

wielomiany bazowe Bernsteina

𝑃 𝑡 =

𝑤

𝑖

𝑃

𝑖

𝐵

𝑖

𝑛

𝑡

𝑛

𝑖=0

𝑤

𝑖

𝐵

𝑖

𝑛

𝑡

𝑛

𝑖=0

; 𝑡 ∈ 0, 1

Cechy krzywej Beziera



Krzywa ma nieskończenie wiele reprezentacji we współrzędnych

jednorodnych.



Konstrukcja krzywej jest

niezmiennicza

względem

przekształceń

afinicznych

, tzn. krzywa wyznaczona z przekształconych punktów

kontrolnych jest taka sama jak krzywa po tym przekształceniu.



Jeśli wszystkie wagi są

równe i niezerowe

, to krzywa jest

wielomianowa

.



Jeśli wszystkie

wagi są niezerowe

i tego samego znaku, to krzywa

spełnia własność

otoczki wypukłej

, tzn. punkt 𝑝(𝑡) leży w

otoczce

wypukłej

punktów kontrolnych .



Przemnożenie wszystkich wag przez tę samą liczbę różną od zera

nie zmienia krzywej.

Cechy krzywej Beziera



Ponadto w stosunku do krzywych wielomianowych,

wymierne krzywe Béziera mają następujące zalety:



mogą reprezentować wszystkie

krzywe

stożkowe

(co

ma znaczenie w zastosowaniach

CAD

);



rzut perspektywiczny

krzywej

wymiernej

jest zawsze

krzywą

wymierną

, podczas gdy rzut perspektywiczny

krzywej

wielomianowej

nie

musi być krzywą

wielomianową (co ma znaczenie w grafice

komputerowej);



wagi 𝑤

𝑖

pozwalają na lepszą kontrolę nad kształtem

krzywej.

Krzywe stożkowe



Jeśli dane są trzy

niewspółliniowe

punkty kontrolne krzywej 𝑝

0

, 𝑝

1

, 𝑝

2

i

wagi

𝑤

0

= 𝑤

2

= 1

, to waga w

1

określa rodzaj krzywej:



𝑤

1

> 1 — łuk

hiperboli



𝑤

1

= 1 — łuk

paraboli



0 < 𝑤

1

< 1 — krótszy łuk

elipsy

lub

okręgu



𝑤

1

= 0 — sparametryzowany

odcinek pomiędzy 𝑝

0

i 𝑝

2



− 1 < 𝑤

1

< 0 — dłuższy łuk

elipsy

lub

okręgu



𝑤

1

= − 1 —

dwa

łuki

paraboli



𝑤

1

< − 1 —

dwa

łuki

hiperboli

Krzywe stożkowe

Okrąg zbudowany z

dwóch

krzywych tworzących

dłuższy

i

krótszy

łuk

okręgu (po lewej); czterech krzywych tworzących

cztery krótsze

łuki okręgu

(po prawej)

Algorytm de
Casteljau



Algorytm de Casteljau

opracowany przez Paula de

Casteljau pozwala na

wyznaczenie punktów na

wielomianowej krzywej

Béziera,

czyli obliczanie wartości

wielomianów w

bazie

wielomianów Bernstaina

.



Dana jest dowolna

łamana

zdefiniowana przez 𝑛 + 1

wierzchołków oraz liczba

𝑡 ∈ 0, 1 .



Każdy odcinek łamanej jest

dzielony w stosunku 𝑡/(1 − 𝑡),

czego wynikiem jest 𝑛

wierzchołków, które wyznaczają

nową łamaną.

 

 

 

 

 

 

 

 

 









 

)

(

,

,

,

,

0

1

1

1

0

1

1

1

2

1

1

1

0

0

0

3

0

2

0

1

0

0

t

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

n

n

n

n

n















𝑝

1

2

𝑝

2

2

Algorytm de
Casteljau



Proces

powtarzany

jest do

chwili, aż zostanie jeden

punkt 𝑝(𝑡), co wymaga

wykonania n kroków.



Ostatecznie otrzymuje się

𝑛 + 1 ciągów punktów

(indeks górny oznacza krok

algorytmu):



Punkt 𝑝 𝑡

𝑛

leży na

krzywej Béziera, której

łamaną kontrolną

tworzą

wyjściowe punkty.



Wykonując algorytm dla

wielu 𝑡 z przedziału 0,1

otrzymywane są punkty

krzywej Béziera.

 

 

 

 

 

 

 

 

 









 

)

(

,

,

,

,

0

1

1

1

0

1

1

1

2

1

1

1

0

0

0

3

0

2

0

1

0

0

t

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

n

n

n

n

n















𝑝

1

2

𝑝

2

2

Algorytm de Casteljau

𝑝

1

2

𝑝

2

2

Algorytm de Casteljau



Za pomocą algorytmu de Casteljau można również:



Wyznaczyć punkty kontrolne dwóch krzywych, tak aby

połączyć je z zadaną ciągłością geometryczną –

krz

ywa B-

sklejana

.



Podzielić krzywą na dwie krzywe w punkcie 𝑝(𝑡).



Łamane kontrolne są wyznaczane przez punkty leżące na

brzegach przedstawionego wyżej

trójkąta

punktów

-

łamaną kontrolną pierwszej krzywej opisują punkty:



a drugą:



Obie krzywe są tego samego stopnia co dzielona krzywa.

𝑝

𝑛

0

, 𝑝

𝑛−1

1

, 𝑝

𝑛−2

2

, … , 𝑝

1

𝑛−1

,

𝑝

0

𝑛

𝑝

0

0

, 𝑝

0

1

, 𝑝

0

2

, … , 𝑝

0

𝑛−1

,

𝑝

0

𝑛

Dopasowanie krzywych do zbioru
punktów



Znak przedstawiony w postaci cyfrowej



Oryginalny kształt, dopasowana krzywa i punkty
kontrolne Beziera