P O L I T E C H N I K A  G D A Ń S K A 

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI 

Katedra Elektroenergetyki 

 

 

 

Prof. dr hab. inŜ. 

Ryszard Zajczyk

  

 

 

 

Z

WARCIA W 

U

KŁADACH 

 

E

LEKTROENERGETYCZNYCH

 

 

 

 

 

 

(materiał do wykładu ) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gdańsk 2005 r. 

 

2 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 

Opracowano na podstawie: 

Marcin Kleindienst: Program do obliczeń zwarciowych w sieciach WN.  

Wydział Elektrotechniki i Automatyki Politechnika Gdańska Gdańsk 2002. Opiekun pracy 

prof. dr hab. inŜ. Ryszard Zajczyk.  

Zwarcia w układach elektroenergetycznych

 

3 

 

SPIS TREŚCI 

 

1

 

ANALIZA ZWARĆ W UKŁADACH ELEKTROENERGETYCZNYCH ........................................... 4

 

1.1

 

W

IADOMOŚCI WSTĘPNE

......................................................................................................................... 4

 

1.2

 

O

GÓLNA CHARAKTERYSTYKA PRĄDU ZWARCIOWEGO

.......................................................................... 6

 

2

 

SKŁADOWE SYMETRYCZNE – PRZEKSZTAŁCENIE 0, 1, 2.......................................................... 9

 

2.1

 

P

RĄDY I NAPIĘCIA W MIEJSCU ZWARCIA

.............................................................................................. 12

 

2.1.1

 

Zwarcia trójfazowe ........................................................................................................................ 12

 

2.1.2

 

Zwarcie dwufazowe ....................................................................................................................... 13

 

2.1.3

 

Zwarcie dwufazowe z ziemią ......................................................................................................... 15

 

2.1.4

 

Zwarcia jednofazowe ..................................................................................................................... 18

 

3

 

OBLICZANIE WIELKOŚCI ZWARCIOWYCH WEDŁUG ZALECEŃ NORMATYWNYCH..... 20

 

3.1

 

O

BLICZANIE PRĄDÓW ZWARCIOWYCH PRZY ZWARCIACH ODLEGŁYCH OD GENERATORÓW

................ 21

 

3.1.1

 

Zwarcie trójfazowe ........................................................................................................................ 22

 

3.1.2

 

Zwarcia niesymetryczne ................................................................................................................ 23

 

3.2

 

O

BLICZANIE PRĄDÓW ZWARCIOWYCH PRZY ZWARCIACH W POBLIśU GENERATORÓW

........................ 25

 

3.2.1

 

Zwarcie trójfazowe ........................................................................................................................ 26

 

3.2.2

 

Zwarcia niesymetryczne ................................................................................................................ 28

 

4

 

METODY MACIERZOWE OPARTE O ZWARCIOWE IMPEDANCJE WŁASNE I WZAJEMNE

 

29

 

4.1

 

W

YZNACZANIE IMPEDANCJI WŁASNYCH I WZAJEMNYCH METODĄ DOŁĄCZANIA GAŁĘZI

.................... 31

 

4.2

 

W

YZNACZANIE IMPEDANCJI WŁASNYCH I WZAJEMNYCH METODĄ FAKTORYZACJI MACIERZY 

ADMITANCYJNEJ

................................................................................................................................................ 35

 

5

 

MODEL SIECI DLA PROGRAMU PLANS .......................................................................................... 38

 

6

 

PRZYKŁAD OBLICZENIOWY.............................................................................................................. 41

 

6.1

 

S

CHEMAT UKŁADU ORAZ WYNIKI OBLICZEŃ ZWARCIOWYCH

.............................................................. 41

 

6.2

 

D

ANE DO PROGRAMU 

PLANS............................................................................................................. 42

 

6.3

 

W

YNIKI OBLICZEŃ  PROGRAMU 

PLANS.............................................................................................. 42

 

7

 

LITERATURA........................................................................................................................................... 54

 

 

 

4 

 

 

1 

ANALIZA ZWARĆ W UKŁADACH ELEKTROENERGETYCZNYCH

 

1.1  Wiadomości wstępne 

Zwarcie, to przypadkowe lub celowe połączenie przez względnie małą rezystancję lub 

impedancję, pomiędzy dwoma lub więcej punktami obwodu, które w normalnych warunkach 

mają róŜne potencjały [6]. 

Zwarciom poświęca się wiele uwagi, ze względu na duŜą częstotliwość występowania 

w  układach  elektroenergetycznych  oraz  na  skutki  zjawisk  im  towarzyszących  -  przepięć 

i przetęŜeń. Skutki występowania prądu zwarciowego moŜna pogrupować w następujący spo-

sób: 

 cieplne – zaleŜne od ilości ciepła wydzielonego w elementach układu podczas przepływu 

prądu zwarciowego, 

 dynamiczne  –  związane  z  siłami  dynamicznymi,  oddziałującymi  pomiędzy  sąsiednimi 

przewodami. 

Istnieje wiele przyczyn występowania zwarć i są one zróŜnicowane. MoŜna je podzie-

lić  na elektryczne  i  nieelektryczne.  Do  tych  pierwszych  naleŜą  np.  przepięcia  atmosferyczne 

i łączeniowe, pomyłki łączeniowe, długotrwałe przeciąŜenia elementów systemu; do drugich 

– starzenie się izolacji, zanieczyszczenie izolatorów, wady urządzeń, uszkodzenia mechanicz-

ne, wpływ warunków atmosferycznych oraz zwierząt. 

Charakter  zwarć  zaleŜy  od  róŜnych  czynników,  min.  od  ilości  miejsc  oraz  ilości  faz, 

które zostały zwarte między sobą lub z ziemią. Najczęstszy podział zwarć wygląda następują-

co: 

 pojedyncze  -  zakłócenie,  w  którym  występuję  tylko  jedno  zwarcie;  wielokrotne  

- co najmniej dwa zwarcia zlokalizowane w róŜnych miejscach, 

 symetryczne - zakłócenie, w którym wektory napięć i prądów tworzą układ symetryczny; 

niesymetryczne - pozostałe przypadki, do których naleŜą zwarcia jednofazowe, dwufazo-

we, dwufazowe z ziemią, 

 jednoczesne - zakłócenie, w którym zwarcia zachodzą w tym samym momencie; niejed-

noczesne - zwarcia nie zachodzące w tym samym momencie. 

 

Zwarcia w układach elektroenergetycznych

 

5 

 

g)

f)

e)

d)

c)

b)

a)

 

Rys.1.1. Rodzaje zwarć: a) trójfazowe symetryczne; b) trójfazowe symetryczne doziemne; c) trójfa-

zowe symetryczne doziemne; d) dwufazowe; e) dwufazowe doziemne; f) jednofazowe doziemne o 

sieci z uziemionym punktem zerowym; g) jednofazowe doziemne w sieci z izolowanym punktem ze-

rowym [9] 

 

Ze względu na prawdopodobieństwo wystąpienia, najczęściej analizuje się zwarcia po-

jedyncze.  Na  podstawie  światowych  statystyk  moŜna  przyjąć,  Ŝe  udziały  róŜnych  rodzajów 

zwarć przyjmują w przybliŜeniu wartości, jakie przedstawiono w tabeli 1.1. 

 

Rodzaj zwarcia 

Udział 

Jednofazowe 

65 % 

Podwójne z ziemią i dwufazowe z ziemią 

20 % 

Dwufazowe 

10 % 

Trójfazowe 

5 % 

Tabela 1-1  Procentowy udział poszczególnych rodzajów zwarć [2] 

 

 

6 

 

 

1.2  Ogólna charakterystyka prądu zwarciowego 

Pojawienie się zwarcia powoduje nagłe zmniejszenie impedancji obwodu zewnętrzne-

go względem źródeł energii. W efekcie powstaje stan przejściowy w obwodzie zwarciowym, 

którego uproszczony schemat (jednej fazy) przedstawiono na rysunku 1.2. 

U

Z=R+jX

W

 

Rys.1.2. Obwód elektryczny nieobciąŜony zwierany przez wyłącznik 

Obwód zasilany jest napięciem sinusoidalnym 

 

(

)

u

m

t

U

t

u

ψ

ω

+

=

sin

)

(

 

gdzie: 

U

U

m

2

=

 – wartość maksymalna napięcia, U – wartość skuteczna napięcia, 

f

π

ω

2

=

 

– pulsacja, f – częstotliwość, 

u

ψ

 – faza napięcia w chwili  t = 0. 

 

Zamknięcie  wyłącznika  W    spowoduje  powstanie  przebiegu  przejściowego  w  obwo-

dzie, opisanego równaniem róŜniczkowym 

 

(

)

u

m

t

U

dt

di

L

Ri

ψ

ω

+

=

+

sin

 

gdzie  i  –  wartość  chwilowa  prądu.  Po  rozwiązaniu  równania  (przy  warunku  początkowym 

i = 0) otrzymuje się 

 

(

)

(

)

ϕ

ψ

ϕ

ψ

ω

−

−

−

+

=

−

u

t

L

R

m

u

m

e

Z

U

t

Z

U

t

i

sin

sin

)

(

 

gdzie: 

2

2

X

R

Z

+

=

 – impedancja obwodu, 













=

R

L

arc

ω

ϕ

ctg

 – kąt przesunięcia fazowego. 

Prąd zwarciowy jest zatem sumą dwóch prądów składowych 

 

DC

AC

i

i

t

i

+

=

)

(

 

gdzie składowa okresowa o stałej amplitudzie 

 

(

)

ϕ

ψ

ω

−

+

=

u

m

AC

t

Z

U

i

sin

)

0

(

 

a składowa nieokresowa 

Zwarcia w układach elektroenergetycznych

 

7 

 

 

(

)

)

0

(

sin

)

0

(

AC

u

t

L

R

m

DC

i

e

Z

U

i

=

−

−

=

−

ϕ

ψ

 

co oznacza, Ŝe obie składowe są równe pod względem wartości, lecz przeciwnie skierowane. 

Składowa nieokresowa ma charakter prądu stałego, zanikającego wykładniczo w czasie zgod-

nie ze stałą czasową   

R

L

=

τ

. 

Przebieg przejściowy prądu przedstawiono na rysunku 1.3. 

 

i

AC

i

AC

+i

DC

i

DC

u

i,u

t

ϕ

ψ

i

D

C

(0

)

i

A

C

(0

)

p

rz

y

 t

 =

 0

 

Rys.1.3. Przebieg przejściowy prądu dla obwodu z rys. 1.2 

 

Do  najwaŜniejszych  wielkości  charakteryzujących  nieustalony  przebieg  zwarciowy 

naleŜą: 

 prąd  zwarciowy  początkowy 

''

k

I

  –  wartość  skuteczna  składowej  okresowej  prądu  zwar-

ciowego  wyznaczona  dla  chwili  t = 0

+

,  zgodnie  z  oznaczeniami  z  rysunku  1.4 

2

2

0

''

A

BC

I

k

=

=

, 

 prąd  zwarciowy  udarowy  i

p

  –  maksymalna  wartość  chwilowa  obliczeniowego  prądu 

zwarciowego, 

DE

i

p

=

 (rys.1.4), 

 prąd zwarciowy wyłączeniowy symetryczny I

b

 – wartość skuteczna jednego pełnego okre-

su składowej okresowej obliczeniowego prądu zwarciowego w chwili rozdzielenia styków 

bieguna łącznika otwierającego się na skutek zwarcia, 

FG

I

b

=

 (rys.1.4), 

8 

 

 

 prąd  zwarciowy  ustalony  I

k

  –  wartość  skuteczna  prądu  zwarciowego  występującego  po 

wygaśnięciu zjawisk przejściowych, 

HI

I

k

=

 (rys.1.4), 

 prąd  zwarciowy  cieplny  I

th

  –  wartość  skuteczna  prądu  powodującego  takie  same  skutki 

cieplne, jak prąd zwarciowy podczas zwarcia trwającego T

k

 sekund, 

 prąd zwarciowy nieokresowy i

DC

 – wartość średnia między obwiednią górną i dolną prądu 

zwarciowego, malejąca od wartości początkowej do zera, 

 prąd zwarciowy wyłączeniowy niesymetryczny i

b  asym

 – prąd wyłączeniowy  symetryczny 

I

b

 uzupełniony o składową nieokresową i

DC

. 

 

 

 

Rys.1.4. Parametry charakterystyczne prądu zwarciowego 

 

 

Prąd zwarciowy początkowy   I

 

k

’’

i

t

D

0

A

B

E

Udar prądu zwarciowego   i

p

Obwiednia amplitudy prądu zwarciowego

Prąd zwarciowy nieokresowy   i

DC

Wartość skuteczna

 

C

Prąd zwarciowy wyłączeniowy    I

b

 

t

k

G

Prąd zwarciowy ustalony   I

k

I

H

F

Zwarcia w układach elektroenergetycznych

 

9 

 

2  S

KŁADOWE SYMETRYCZNE 

– 

PRZEKSZTAŁCENIE 

0, 1, 2   

Metoda składowych symetrycznych opiera się na idei liniowego przekształcenia ukła-

du  współrzędnych  fazowych  A,  B,  C  w  układ  współrzędnych  składowych  symetrycznych  

0,  1,  2  (0  –  składowa  zerowa,  1  –  zgodna,  2  –  przeciwna).  Zaletą  metody  jest  symetryzacja 

rozpatrywanych  wielkości  np.  wektorów  napięć  i  prądów,  co  pozwala  na  dalszą  łatwiejszą 

analizę zjawisk. 

Transformacja polega na sprowadzeniu wielkości fazowych określonych w układzie osi fa-

zowych  nieruchomych  do  trzech  układów  osi  fazowych.  Ilustrację  przekształcenia  pokazano 

na rys.2.1. 

a

0

W

B

W

A

W

C

ω

ω

W

0A

W

0B

W

0C

W

1A

W

1B

W

1C

W

2A

W

2B

W

2C

ω

ω

<=>

+

+

1

0

2

W

0

=

W

1

=

W

2

=

 

Rys.2.1. Ilustracja układu osi fazowych a,b,c i układu osi 

0,1,2

 

 

Macierze napięć i prądów w układzie osi fazowych (a,b,c)

 i osi składowych symetrycznych 

(0,1,2) określone są następująco:  





















=





















=





















=





















=

2

1

0

012

2

1

0

012

C

B

A

ABC

C

B

A

ABC

     

, 

     

,

 

     

,

 

I

I

I

U

U

U

I

I

I

U

U

U

I

U

I

U

 

Macierz przejścia 

S jest postaci: 

2

3

2

1

j

2

2

j

e

         

, 

1

1

1

1

1

3

2π

+

−

=

=





















=

a

a

a

a

a

S

 

Macierz odwrotna jest równa: 





















=

−

a

a

a

a

2

2

1

1

1

1

1

1

3

1

S

 

Wtedy: 

012

ABC

012

ABC

SU

U

SI

I

=

=

    oraz    

ABC

1

012

ABC

1

012

U

S

U

I

S

I

−

−

=

=

 

Prawo Ohma zapisane w postaci macierzowej przyjmuje następującą postać: 

10 

 

 

 

U

ABC

 = Z

ABC

I

ABC

 

lub 

 









































=





















C

B

A

CC

CB

CA

BC

BB

BA

AC

AB

AA

C

B

A

I

I

I

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

U

U

U

, 

gdzie:  Z

AA, 

Z

BB, 

Z

CC

 – to impedancje własne poszczególnych faz,  

 

Z

AB, 

Z

AC, 

Z

BA, 

Z

BC, 

Z

CA, 

Z

CB 

– impedancje wzajemne faz. 

Stosując odpowiednio dobraną macierz przekształcenia 

B

u

, która wraz z odwrotnością 

B

u

-1

 

diagonalizuje macierz impedancji 

Z, otrzymujemy 

012

ABC

012

SI

Z

SU

=

 

 

012

ABC

1

012

SI

Z

S

U

−

=

 

Zdiagonalizowana macierz impedancji składowych symetrycznych : 

 

Z

012

 = S

-1

Z

ABC

S 





















=

2

1

0

0

0

0

0

0

0

Z

Z

Z

. 

Schematy zastępcze elementu dla składowych fazowych i symetrycznych przedstawiono na 

rys.2.2. 

Składowe fazowe A, B, C 

Składowe symetryczne 0,1,2 

u

u

u

u

u

u

c

2

b2

a 2

c1

b1

a1

i

i

i

c

b

a

R

R

R

L

L

L

e

e

e

e

e

M

M

e

e

e

n

i

n

0

=

 

o

o

I

R

X

0)

U

(0)1

o

U

(0)2

1

1

I

R

X

1)

U

(1)1

1

U

(1)2

2

2

I

R

X

2)

U

(2)1

2

U

(2)2

 

Rys.2.2. Schemat zastępczy elementu we współrzędnych fazowych (a,b,c). ObciąŜenie syme-

trycznie. Schemat zastępczy elementu elektroenergetycznej w układzie składowych (0,1,2). 

 

Zwarcia w układach elektroenergetycznych

 

11 

 

ZaleŜności na napięcia i prądy po przekształceniu będą równe: 

 

U

012

 = S

-1

U

ABC

 

lub 

 

(

)

C

B

A

U

U

U

U

+

+

=

3

1

0

 

 

(

)

C

B

A

U

a

U

a

U

U

2

1

3

1

+

+

=

 

 

(

)

C

B

A

U

a

U

a

U

U

+

+

=

2

2

3

1

. 

Prądy: 

 

I

012

 = S

-1

I

ABC

 

lub 

 

(

)

C

B

A

I

I

I

I

+

+

=

3

1

0

 

 

(

)

C

B

A

I

a

I

a

I

I

2

1

3

1

+

+

=

 

 

(

)

C

B

A

aI

I

a

I

I

+

+

=

2

2

3

1

. 

Wzory transformujące napięcia oraz prądy z układu 0, 1, 2 do układu A, B, C przyjmują na-

stępującą postać: 

Napięcia: 

 

U

ABC

 = SU

012

 

lub 

 

2

1

0

U

U

U

U

A

+

+

=

 

 

2

1

2

0

U

a

U

a

U

U

B

+

+

=

 

 

2

2

1

0

U

a

U

a

U

U

C

+

+

=

 

prądy: 

 

I

ABC

 = SI

012

 

lub 

 

2

1

0

I

I

I

I

A

+

+

=

 

 

2

1

2

0

I

a

I

a

I

I

B

+

+

=

 

 

2

2

1

0

I

a

aI

I

I

C

+

+

=

 . 

12 

 

 

2.1  Prądy i napięcia w miejscu zwarcia 

2.1.1  Zwarcia trójfazowe 

Na rysunku 2.3 przedstawiono schemat zwarcia trójfazowego przez impedancję Z

Z

.  

W miejscu zwarcia wielkości fazowe spełniają warunki: 

U

A

 = Z

Z

I

A

 

U

B

 = Z

Z

I

B

 

U

C

 = Z

Z

I

C

  

oraz prądy I

A

, I

B

, I

C

 są symetryczne.

 

W efekcie wartości prądów i napięć składowych symetrycznych wynoszą: 

 

I

0

 = I

2

 = 0 

 

Z

Z

Z

E

I

+

=

1

1

 

oraz    

 

U

0

 = U

2

 = 0 ,

 

gdzie E – to wartość zastępczej siły elektromotorycznej, która jest równa napięciu fazowemu 

w rozpatrywanym węźle w chwili poprzedzającej zwarcie. 

 

Rys.2.3. Zwarcie trójfazowe przez impedancję Z

Z 

Prądy w układzie fazowym wynoszą: 

 

I

A

 = I

1

 

 

I

B

 = a

2

I

1

 

 

I

A

 = aI

1

 . 

Prąd zwarciowy początkowy ma wartość: 

 

Z

C

B

A

k

Z

Z

E

I

I

I

I

+

=

=

=

=

1

"

 .

 

I

A

 

I

B

 

I

C

 

Z

Z

 

Z

Z

 

Z

Z

 

U

B

U

C

U

A

A 

B

C

Zwarcia w układach elektroenergetycznych

 

13 

 

Schemat zastępczy obwodu zwarciowego dla składowych symetrycznych przedstawiono  

na rys. 2.4. 

 

Rys.2.4. Schemat zastępczy obwodu zwarciowego dla zwarcia trójfazowego 

2.1.2  Zwarcie dwufazowe 

 

Schemat zwarcia dwufazowego przez impedancję Z

Z

 faz B i C przedstawiono na ry-

sunku 2.5. W tym przypadku określone są następujące warunki brzegowe: 

 

I

A

 = 0 

 

I

B

 + I

C

 = 0 

 

U

B

 – U

C

 = Z

Z

I

B

 . 

 

Rys.2.5. Schemat zwarcia dwufazowego przez impedancję Z

Z

 faz B i C 

Składowe symetryczne prądu wynoszą: 

 

( )

0

1

1

3

1

0

=

−

=

B

I

I

 

 

(

)

B

B

I

j

I

a

a

I

3

1

3

1

2

1

=

−

=

 

 

(

)

1

2

2

3

1

I

I

a

a

I

B

−

=

−

=

 

Z warunku napięciowego wynika, Ŝe: 

 

(

) (

)

=

+

−

+

=

−

2

2

1

2

1

2

U

a

U

a

U

a

U

a

U

U

C

B

 

 

(

) (

)

=

−

−

−

=

2

2

1

2

U

a

a

U

a

a

 

U

B

  U

C

U

A

 

A 

B

C

I

A

 

I

B

 

I

C

 

Z

Z

 

I

1

 

Z

1

 

U

1

 

E 

Z

Z

 

14 

 

 

(

)

(

)

(

)

2

1

2

1

2

3

U

U

j

U

U

a

a

−

−

=

−

−

=

 . 

A więc: 

 

Z

Z

I

U

U

1

2

1

=

−

 . 

Wykorzystując dodatkowo równania: 

 

1

1

1

Z

I

E

U

−

=

 

 

2

1

2

2

2

Z

I

Z

I

U

=

−

=

 

otrzymujemy: 

 

Z

Z

Z

Z

E

I

I

+

+

=

−

=

2

1

2

1

 . 

Pozostałe wartości prądu w układzie 0, 1, 2 wynoszą: 

 

0

0

=

I

 

 

Z

Z

Z

Z

E

I

+

+

−

=

2

1

2

 

Wartości napięcia dla składowych zgodnych są następujące: 

 

0

1

=

U

 

 

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

E

Z

Z

Z

E

Z

E

Z

I

E

U

+

+

−

=

+

+

−

=

−

=

2

1

2

2

1

1

1

1

1

 

 

Z

Z

Z

Z

Z

E

Z

I

U

+

+

=

=

2

1

2

2

1

2

 . 

Wartości prądów i napięć w układzie A, B, C wynoszą: 

 

0

=

A

I

 

 

Z

C

B

Z

Z

Z

E

j

I

I

+

+

−

=

−

=

2

1

3

 

 

Z

Z

A

Z

Z

Z

Z

Z

E

U

U

U

U

+

+

+

=

+

+

=

2

1

2

2

1

0

2

 

 

Z

Z

B

Z

Z

Z

Z

Z

a

E

U

a

U

a

U

U

+

+

−

=

+

+

=

2

1

2

2

2

1

2

0

 

 

Z

Z

C

Z

Z

Z

Z

Z

a

E

U

a

U

a

U

U

+

+

+

=

+

+

=

2

1

2

2

2

1

0

 . 

Prąd zwarciowy początkowy ma wartość: 

 

Z

B

k

Z

Z

Z

E

I

I

+

+

=

=

2

1

"

3

 . 

Zwarcia w układach elektroenergetycznych

 

15 

 

Schemat zastępczy obwodu zwarciowego dla składowych symetrycznych przedstawiono  

na rys. 2.6. 

 

Rys.2.6. Schemat zastępczy obwodu zwarciowego dla zwarcia dwufazowego 

 

2.1.3  Zwarcie dwufazowe z ziemią 

 

Schemat zwarcia dwufazowego z ziemią przez impedancję Z

Z

 faz B i C przedstawiono 

na rysunku 2.5.  

 

Rys.2.7. Schemat zwarcia dwufazowego z ziemią przez impedancję Z

Z

 faz B i C 

 

Warunki graniczne w miejscu zwarcia przyjmują następującą postać: 

 

0

=

A

I

 

 

Z

Z

C

B

Z

I

U

U

=

=

 

 

C

B

Z

I

I

I

+

=

 . 

PoniewaŜ: 

 

2

1

0

I

I

I

I

A

+

+

=

 , 

 

0

2

1

I

I

I

−

=

+

 

 

2

1

2

0

I

a

I

a

I

I

B

+

+

=

 

 

2

2

1

0

I

a

I

a

I

I

C

+

+

=

 

zatem 

 

(

)

0

2

1

0

3

2

I

I

I

I

I

Z

=

+

−

=

 . 

I

1

 

Z

1

 

U

1

 

E 

Z

Z

 

I

2

=-I

1

 

Z

2

 

U

2

 

U

B

  U

C

U

A

 

A 

B

C

I

A 

I

B

 

I

C

 

Z

Z

 

16 

 

 

W układzie składowych symetrycznych napięcia wynoszą: 

 

(

) (

) (

)

Z

B

A

Z

Z

B

A

C

B

A

Z

I

U

U

Z

I

U

U

U

U

U

U

0

0

3

3

1

3

3

1

3

1

+

−

=

+

−

=

+

+

=

 

 

(

)

(

)

B

A

C

B

A

U

U

U

a

U

a

U

U

−

=

+

+

=

3

1

3

1

2

1

 

 

(

)

(

)

B

A

C

B

A

U

U

U

a

U

a

U

U

−

=

+

+

=

3

1

3

1

2

2

 . 

Wynika z tego, Ŝe: 

 

Z

Z

I

U

U

U

0

0

2

1

3

−

=

=

 . 

Korzystając z zaleŜności: 

 

Z

Z

I

U

Z

I

Z

I

E

U

0

0

2

2

1

1

1

3

−

=

−

=

−

=

 

 

(

)

Z

Z

Z

I

U

3

0

0

0

+

−

=

 

otrzymujemy 

 

(

)

(

)

Z

Z

Z

Z

Z

I

I

Z

Z

Z

I

I

3

3

0

2

2

1

0

2

0

2

+

+

−

=

+

=

, 

czyli 

 

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

I

I

3

3

2

0

0

1

2

+

+

+

−

=

 . 

Prądy w układzie współrzędnych 0, 1, 2 wynoszą: 

 

(

)

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

E

I

3

3

2

0

0

2

1

1

+

+

+

+

=

 

 

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

E

I

3

0

2

1

2

1

2

+

+

+

+

=

 

 

(

)

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

E

I

Z

Z

Z

Z

I

3

1

3

0

2

1

1

1

2

0

2

0

+













+

+

=

+

+

=

 . 

Prąd zwarciowy początkowy ma wartość: 

 

(

)

Z

k

Z

Z

Z

Z

Z

E

I

I

3

1

3

3

0

2

1

1

0

"

+













+

+

=

=

 . 

 

Prądy w układzie fazowym wynoszą: 

Zwarcia w układach elektroenergetycznych

 

17 

 

 

0

=

A

I

 

 

(

)

1

2

0

0

2

2

3

3

I

Z

Z

Z

Z

Z

a

Z

a

I

Z

Z

B













+

+

+

+

−

=

 

 

(

)

1

2

0

0

2

2

3

3

I

Z

Z

Z

Z

Z

a

Z

a

I

Z

Z

C













+

+

+

+

−

=

 . 

Napięcia w układzie 0, 1, 2 przyjmują wartość: 

(

)

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

E

Z

I

Z

Z

Z

Z

Z

Z

I

U

3

1

3

0

2

1

1

0

1

2

0

0

2

0

0

0

+













+

+

=

+

+

=

−

=

 

 

(

)

(

)

(

)

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

E

Z

Z

I

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

I

U

3

1

3

3

3

0

2

1

1

0

1

2

0

0

2

2

2

1

+













+

+

+

=

+

+

+

=

−

=

 

 

1

2

U

U

=

 . 

Napięcia fazowe wynoszą: 

 

(

)

(

)

Z

Z

A

Z

Z

Z

Z

Z

E

Z

Z

U

U

U

U

3

1

6

3

0

2

1

1

0

2

1

0

+













+

+

+

=

+

+

=

 

 

(

)

Z

Z

Z

Z

B

Z

Z

Z

Z

Z

E

Z

Z

I

U

3

1

3

0

2

1

1

+













+

+

=

 

 

B

C

U

U

=

 

Schemat zastępczy obwodu zwarciowego dla składowych symetrycznych przedstawiono  

na rys. 2.8. 

 

Rys.2.8. Schemat zastępczy obwodu zwarciowego dla zwarcia dwufazowego z ziemią przez impedan-

cję Z

Z 

 

I

1

 

Z

1

 

U

1

 

E 

3Z

Z

 

I

2

 

Z

2

 

U

0

 

U

2

 

Z

0

 

I

0

 

18 

 

 

2.1.4  Zwarcia jednofazowe 

Schemat zwarcia dwufazowego z ziemią przez impedancję Z

Z

 faz B i C przedstawiono 

na rysunku 2.9.  

 

Rys.2.9. Schemat zwarcia jednofazowego przez impedancję Z

Z

 

Warunki graniczne w miejscu zwarcia opisane są następująco: 

 

Z

A

A

Z

I

U

=

 

 

0

=

=

C

B

I

I

 . 

W układzie współrzędnych 0, 1, 2 prądy przyjmują wartość: 

 

(

)

A

C

B

A

I

I

I

I

I

3

1

3

1

0

=

+

+

=

 

 

(

)

A

C

B

A

I

I

a

I

a

I

I

3

1

3

1

2

1

=

+

+

=

 

(

)

A

C

B

A

I

I

a

I

a

I

I

3

1

3

1

2

2

=

+

+

=

 

więc 

 

2

1

0

I

I

I

=

=

 . 

PoniewaŜ 

 

Z

A

A

Z

I

U

U

U

U

=

+

+

=

2

1

0

 

zatem: 

 

Z

A

A

Z

I

Z

I

Z

I

Z

I

E

U

=

−

−

−

=

0

0

2

2

1

1

 

 

(

)

Z

A

Z

I

Z

Z

Z

I

E

=

+

+

−

0

2

1

1

 

 

Z

A

Z

Z

Z

Z

E

I

3

3

2

1

0

+

+

+

=

 . 

Prądy w układzie składowych symetrycznych wynoszą: 

 

Z

A

Z

Z

Z

Z

E

I

I

I

I

3

3

1

2

1

0

2

1

0

+

+

+

=

=

=

=

 . 

U

B

  U

C

U

A

 

A 

B

C

I

A

 

I

B

 

I

C

 

Z

Z

 

Zwarcia w układach elektroenergetycznych

 

19 

 

Prąd zwarciowy początkowy ma wartość: 

 

Z

A

k

Z

Z

Z

Z

E

I

I

3

2

1

0

"

+

+

+

=

=

 . 

Składowe symetryczne napięcia w fazie A wynoszą: 

 

Z

Z

Z

Z

Z

Z

E

Z

I

U

3

2

1

0

0

0

0

0

+

+

+

−

=

−

=

 

(

)

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

E

Z

I

E

U

3

3

2

1

0

2

0

1

1

1

+

+

+

+

+

=

−

=

 

Z

Z

Z

Z

Z

Z

E

Z

I

U

3

2

1

0

2

2

2

2

+

+

+

−

=

−

=

 

Napięcia w układzie fazowym mają wartość: 

 

Z

Z

A

Z

Z

Z

Z

Z

E

U

U

U

U

3

3

2

1

0

2

1

0

+

+

+

=

+

+

=

 

 

(

) (

)

Z

Z

B

Z

Z

Z

Z

Z

a

Z

a

a

Z

a

E

U

a

U

a

U

U

3

3

1

2

1

0

2

2

2

0

2

2

1

2

0

+

+

+

+

−

+

−

=

+

+

=

 

 

(

)

(

)

Z

Z

C

Z

Z

Z

Z

Z

a

Z

a

a

Z

a

E

U

a

U

a

U

U

3

3

1

2

1

0

2

2

0

2

2

1

0

+

+

+

+

−

+

−

=

+

+

=

 . 

Schemat zastępczy obwodu zwarciowego dla składowych symetrycznych przedstawiono  

na rys. 2.10. 

 

Rys.2.10. Schemat zastępczy obwodu zwarciowego dla zwarcia jednofazowego przez impedancję Z

Z 

 

 

I

1

 

Z

1

 

U

1

 

E 

3Z

Z

 

I

2

 

Z

2

 

U

2

 

U

0

 

Z

0

 

I

0

 

I

1 

= I

0 

= I

2 

20 

 

 

3  O

BLICZANIE WIELKOŚCI ZWARCIOWYCH WEDŁUG ZALECEŃ NORMATYW-

NYCH

 

Metoda  obliczeniowa  przedstawiona  w  normie  jest  oparta  w  duŜej  mierze  na  twier-

dzeniu  Thevenina  [1].  Idea  tego  twierdzenia  została  schematycznie  zobrazowana  na  rysun-

ku 3.1. 

I

F

k

Sieć

Z

Z

Z

E

E

E

I

F

k

Sieć

+U

k0

-

U

k0

Z

Z

Z

E

E

E

E

Z

I

F0

 = 0

k

Sieć

+U

k0

Z

Z

E

E

Z

k

-

U

k0

I

F

Sieć

Z

Z

Z

k

-

U

k0

I

F

Sieć

Z

Z

Z

T

k

I

FT

E

T

 

Rys.3.1. Poglądowe wyjaśnienie zasady Thevenina [1] 

Koncepcja  twierdzenia  polega  na  zastąpieniu  danego  obwodu,  widzianego  od  strony 

wybranej  pary  zacisków,  równowaŜnym  schematem,  składającym  się  z  idealnego  źródła  na-

pięcia  o  sem  E

T

  równej  napięciu  stanu  jałowego  i  szeregowej  impedancji  zastępczej  Z

T

  wi-

dzianej z tych zacisków. 

Norma wprowadza pewne uproszczenia ze względu na fakt, iŜ najczęściej nie są znane 

warunki  napięciowe  U

k0

  w  chwili  poprzedzającej  zwarcie.  Napięcie  źródła  zastępczego  jest 

szacowane  według  wzoru: 

3

n

cU

.  Pomija  się  równieŜ  wszystkie  obciąŜenia  nie  wirujące 

oraz  admitancje  poprzeczne  elementów  sieci.  Skutki  tych  uproszczeń  są  rekompensowane 

poprzez współczynnik c oraz w przypadku zwarć w pobliŜu generatorów – korektę impedan-

cji wybranych elementów sieci. Wartość współczynnika c dobiera się w  zaleŜności, czy wy-

znaczany jest minimalny czy maksymalny prąd zwarciowy. Wartość: 

 minimalna prądu zwarcia – stanowi podstawę doboru nastawień zabezpieczeń, 

Zwarcia w układach elektroenergetycznych

 

21 

 

 maksymalna prądu zwarcia – określa wymagane parametry urządzeń elektrycznych. 

Wartości współczynnika c przyjmuje się według tabeli 3.1, przy załoŜeniu, Ŝe najwyŜsze na-

pięcie w sieci nie róŜni się przeciętnie więcej niŜ ok. 10% (sieci WN) od jej napięcia znamio-

nowego. 

 

Współczynnik napięciowy c w przypadku: 

Napięcie znamionowe U

n

 

Maksymalnego prądu zwarcia 

c

min 

Minimalnego prądu zwarcia 

c

max 

Niskie napięcie do 1000 V 

a)  230/400 V 

b)  inne napięcia 

 

1,00 

1,05 

 

0,95 

1,00 

Ś

rednie napięcia 

 1 < U

n

 

≤

 35 kV 

1,10 

1,00 

Wysokie napięcia 

 35 < U

n

 

≤

 220 kV 

1,10 

1,00 

Tabela 3-1  Dobór współczynnika c zastępczego źródła napięciowego [6] 

 

3.1  Obliczanie prądów zwarciowych przy zwarciach odległych od generatorów 

Zwarcie moŜna uwaŜać za odległe od generatora, jeŜeli reaktancja X

TLV

 transformatora 

zasilającego miejsce zwarcia jest ponad dwukrotnie większa od reaktancji zastępczej X

Qt

 sys-

temu przyłączonego do tego transformatora. Nie uwzględnia się wpływu silników na wartość 

prądu zwarciowego, który jest sumą: 

 składowej przemiennej o stałej amplitudzie w czasie trwania zwarcia, 

 składowej nieokresowej zanikającej do zera. 

Przebieg prądu zwarciowego przy zwarciu odległym od generatora przedstawiono  

na rysunku 3.2. 

22 

 

 

i

t

0

Prąd udarowy i

p

Obwiednia górna prądu zwarciowego

Prąd zwarciowy nieokresowy   i

DC

''

2

2

k

I

Obwiednia dolna prądu zwarciowego

Wartość początkowa składowej nieokresowej

''

2

2

2

2

k

k

I

I

=

 

Rys.3.2. Przebieg prądu zwarciowego przy zwarciu odległym od generatora 

3.1.1  Zwarcie trójfazowe 

Wartość prądu zwarciowego początkowego jest wyznaczana według wzoru 

 

k

n

k

k

n

k

Z

cU

X

R

cU

I

3

3

2

2

''

=

+

⋅

=

 

gdzie 

3

n

cU

  –  napięcie  źródła  zastępczego,  Z

k

  =  Z

1

  –  impedancja  obwodu  zwarciowego 

równa  impedancji  zastępczej  zgodnej  sieci  widzianej  w  miejscu  zwarcia,  według  oznaczeń 

z tabeli 3.2.  

Rodzaj zwarcia 

Połączenie sieci składowych i źródła zastępczego 

Zwarcie trójfazowe (symetryczne) 

A

B

C

''

3

k

I

 

(1)

I

1

Z

1

3

n

cU

1

1

3

Z

I

cU

n

=

0

0

2

=

=

I

I

 

Tabela 3-2  Oznaczenia i schemat zastępczy dla zwarcia trójfazowego [1] 

Rezystancje mogą być w obliczeniach pominięte, jeśli spełniony jest warunek: R

k

 < 0,3 X

k

. 

Wartość prądu udarowego jest wyznaczana według wzoru 

 

''

2

k

p

I

i

χ

=

 

a  wartość  współczynnika  udaru 

χ

,  uwzględniającą  zanikanie  składowej  nieokresowej    i

DC

, 

podano na rysunku 3.3. 

Zwarcia w układach elektroenergetycznych

 

23 

 

1,8

2,0

1,6

1,2

1,4

1,0

0,2

0,4

0,6

0

1,2

1,0

0,8

X

R

χ

1,8

2,0

1,6

1,2

1,4

1,0

1

2

5

0,5

50

20

10

R

X

100 200

χ

 

Rys.3.3. Współczynnik udaru 

χ

 dla obwodów szeregowych w zaleŜności od R/X oraz X/R 

Współczynnik 

χ

 moŜna równieŜ obliczyć z przybliŜonego wzoru 

 

X

R

e

3

98

,

0

02

,

1

−

+

=

χ

 

W sieciach zamkniętych o róŜnym stosunku R/X  poszczególnych gałęzi wartość współczyn-

nika udaru 

χ

  moŜna wyznaczyć jedną z metod przybliŜonych: 

Metoda  A.  Rozpatruje  się  tylko  gałęzie  sieci  najbardziej  obciąŜone  prądem  zwarcia,  które 

przewodzą łącznie co najmniej 80% prądu w miejscu zwarcia. Współczynnik 

χ

 przyjmuje się 

dla najmniejszej wartości R/X (największej wartości X/R) wszystkich gałęzi sieci. 

Metoda  B.  Dla  impedancji  zwarciowej  Z

k

  =  R

k

  +  jX

k

  wyznacza  się  współczynnik  udaru,  

po czym do obliczenia prądu udarowego przyjmuje się zwiększoną wartość 1,15

χ

. Zatem  

 

''

2

15

,

1

k

p

I

i

χ

=

 

Metoda C. Wprowadza się tzw. Częstotliwość zastępczą f

c

, która dla częstotliwości sieciowej 

f = 50 Hz wynosi f

c

 = 20 Hz. Dla tej częstotliwości oblicza się impedancję zastępczą Z

c

 = R

c

 

+ jX

c

, a następnie stosunek 

 

f

f

X

R

X

R

c

c

c

⋅

=

 

dla którego wyznacza się wartość współczynnika 

χ

. 

3.1.2  Zwarcia niesymetryczne 

Schematy  zastępcze  dla  róŜnych  rodzajów  zwarć  niesymetrycznych  oraz  oznaczenia 

przedstawiono w tabeli 3.3. 

Wartość  prądu  zwarciowego  początkowego    przy  zwarciu  dwufazowym  bez  udziału 

ziemi jest wyznaczana według wzoru 

 

1

2

1

''

2Z

cU

Z

Z

cU

I

n

n

k

=

+

=

 

 

przy Z

1

 = Z

2

 , 

24 

 

 

gdzie Z

1

 = Z

k

 jest impedancją zastępczą zgodną sieci widzianą w miejscu zwarcia, Z

2

 – impe-

dancją przeciwną. 

Ustalony prąd zwarciowy I

k2

 jest równy prądowi zwarciowemu początkowemu I

k2

’’

 

 

''

2

2

k

k

I

I

=

. 

 

 

Rodzaj zwarcia 

Połączenie sieci składowych i źródła zastępczego 

Zwarcie dwufazowe bez udziału ziemi 

A

B

C

''

2

k

I

 

(1)

I

0

 = 0

3

n

cU

(

)

2

1

1

3

Z

Z

I

cU

n

+

=

2

2

I

I

−

=

(2)

Z

1

Z

2

 

Zwarcie dwufazowe z ziemią 

A

B

C

''

2 E

kE

I

''

2 E

k

I

 

(1)

3

n

cU













+

+

=

0

2

0

2

1

1

3

Z

Z

Z

Z

Z

I

cU

n

(

)

0

2

1

I

I

I

+

−

=

(2)

Z

1

Z

2

(0)

Z

0

0

2

0

1

2

Z

Z

Z

I

I

+

−

=

0

2

2

1

0

Z

Z

Z

I

I

+

−

=

 

Zwarcie jednofazowe 

A

B

C

''

1

k

I

 

(1)

3

n

cU

(

)

0

2

1

1

3

Z

Z

Z

I

cU

n

+

+

=

0

2

1

I

I

I

=

=

(2)

Z

1

Z

2

(0)

Z

0

 

Tabela 3-3  Oznaczenia i schematy zastępcze dla róŜnych rodzajów zwarć [1] 

Prąd udarowy i

p2

 jest określony wzorem 

 

 

''

2

k

p

I

i

χ

=

 

gdzie współczynnik 

χ

 wyznaczany jest tak samo, jak dla zwarcia trójfazowego. 

Wartość  prądu  zwarciowego  początkowego    przy  zwarciu  dwufazowym  z  ziemią  jest 

wyznaczana według wzoru 

Zwarcia w układach elektroenergetycznych

 

25 

 

 

0

1

1

0

2

''

2

2

1

Z

Z

Z

Z

a

cU

I

n

E

k

+

+

+

=

   

dla fazy B (rysunek w tabeli 3.3), 

 

0

1

1

0

''

2

2

1

Z

Z

Z

Z

a

cU

I

n

E

k

+

+

+

=

   

dla fazy C, 

gdzie Z

1

  jest impedancją zastępczą zgodną sieci widzianą w miejscu zwarcia, Z

2

 – impedan-

cją zerową, a = e 

j2

π

/3

 oraz a

2

 = e 

-j2

π

/3

  są operatorami obrotu. 

Prąd doziemny I

’’

kE2E

 wynosi 

 

0

1

''

2

2

3

Z

Z

cU

I

n

E

kE

+

=

 

Prądu udarowego i

p2E

 nie wylicza się, gdyŜ  

 

E

p

p

i

i

2

3

≥

 ewentualnie 

E

p

p

i

i

2

1

≥

. 

Wartość  prądu  zwarciowego  początkowego    przy  zwarciu  jednofazowym  jest  wyzna-

czana według wzoru 

 

0

1

0

2

1

''

1

2

3

3

Z

Z

cU

Z

Z

Z

cU

I

n

n

k

+

=

+

+

=

   

gdzie Z

1

, Z

2

, Z

0

  to kolejno impedancje zastępcze: zgodna, przeciwna i zerowa sieci widziane 

w miejscu zwarcia.. 

Ustalony prąd zwarciowy I

k1

 jest równy prądowi zwarciowemu początkowemu I

k1

’’

 

 

''

1

1

k

k

I

I

=

. 

Prąd udarowy i

p1

 jest określony wzorem 

 

''

1

2

k

p

I

i

χ

=

 

gdzie współczynnik 

χ

 wyznaczany jest tak samo, jak dla zwarcia trójfazowego. 

 

3.2  Obliczanie prądów zwarciowych przy zwarciach w pobliŜu generatorów 

Prąd zwarciowy przy zwarciu w pobliŜu generatora jest sumą: 

 składowej przemiennej o amplitudzie malejącej w czasie trwania zwarcia, 

 składowej nieokresowej malejącej do zera. 

Przebieg prądu zwarciowego przy zwarciu w pobliŜu generatora przedstawiono  

na rysunku 3.4. 

26 

 

 

i

t

0

Prąd udarowy i

p

Obwiednia górna prądu zwarciowego

Prąd zwarciowy nieokresowy   i

DC

''

2

2

k

I

Obwiednia dolna prądu zwarciowego

Wartość początkowa składowej nieokresowej

k

I

2

2

 

Rys.3.4. Przebieg prądu zwarciowego przy zwarciu w pobliŜu generatora 

Ze względu na zbyt duŜe przybliŜenie stosowane przy oszacowaniu źródła zastępczego na 

poziomie 

3

n

cU

 w stosunku do źródła rzeczywistego w stanie obciąŜenia, norma wprowadza 

w obliczeniach korektę wartości prądu początkowego 

''

k

I  (pośrednio – przez korektę impe-

dancji generatorów i transformatorów blokowych). 

Przy ocenie, czy dany przypadek zwarcia zakwalifikować do kategorii zwarć pobliskich,  

czy nie oraz, czy uwzględnić w obliczeniach wpływ silników, moŜna posłuŜyć się następują-

cymi wskazówkami: 

 zwarcie naleŜy traktować jako odległe od generatora, gdy reaktancja X

TLV

 transforma-

tora zasilającego miejsce zwarcia jest ponad dwukrotnie większa od reaktancji zastęp-

czej X

Qt

 systemu przyłączonego do tego transformatora, 

 wpływ silników moŜna pominąć, jeśli suma prądów znamionowych silników induk-

cyjnych jest mniejsza niŜ 1% prądu zwarciowego obliczonego bez udziału silników: 

∑

≥

⋅

rM

k

I

I

''

01

,

0

 

 wpływ silników moŜna pominąć, jeśli ich udział w wartości prądu zwarciowego 

''

k

I  

jest mniejszy niŜ 5%. 

 

3.2.1  Zwarcie trójfazowe 

Wartość prądu początkowego 

''

k

I  jest obliczana z uwzględnieniem korekty impedancji 

generatorów i transformatorów blokowych: 

–  dla generatorów przyłączonych bezpośrednio do sieci 

Zwarcia w układach elektroenergetycznych

 

27 

 

kG

n

kG

Z

U

c

I

⋅

=

3

max

''

 

gdzie 

''

d

G

G

G

G

kG

jX

R

K

Z

K

Z

+

=

⋅

=

,  w  którym  współczynnik  korekcyjny  K

G

  jest  okre-

ś

lony następująco: 

nG

d

nG

n

G

x

c

U

U

K

ϕ

sin

1

''

max

+

⋅

=

 

–  dla bloków generator – transformator 

PSU

n

kPSU

Z

U

c

I

⋅

=

3

max

''

 

gdzie 

(

)

THV

G

n

PSU

PSU

Z

Z

K

Z

+

=

2

ϑ

, w którym  

nG

T

d

n

f

PSU

x

x

c

K

ϕ

ϑ

ϑ

sin

)

(

1

''

max

2

2

−

+

⋅

=

 

przy czym c

max

  

– współczynnik napięciowy (tabela 3.1), 

 

 

U

n

  

– napięcie znamionowe sieci, 

 

 

U

nG

  

– napięcie znamionowe generatora, 

 

 

ϕ

nG

  

– przesunięcie fazowe między I

nG

 a U

nG

 generatora, 

 

 

Z

kG

  

– skorygowana impedancja generatora, 

 

 

Z

G

 

 

– impedancja generatora, 

''

d

G

G

jX

R

Z

+

=

 

 

 

''

d

x

  

– reaktancja podprzejściowa generatora (wartość względna), 

 

 

Z

THV

   – impedancja transformatora odniesiona do strony górnego napięcia, 

 

 

ϑ

n

  

– przekładnia znamionowa transformatora 

ϑ

n

 = U

nTHV 

/ U

nTLV

, 

 

 

ϑ

f

  

– umowna przekładnia transformacji 

ϑ

f

 = U

nQ

/ U

nG

, 

 

 

U

nQ

 

– napięcie znamionowe w miejscu zasilania, 

Wartość  prądu  udarowego  i

p

  jest  wyznaczana  według  wzorów  i  zasad  podanych 

w p. 3.1 (po uprzednim wyliczeniu prądu 

''

k

I

, uwzględniającego korektę impedancji). 

 

Ustalony  prąd  zwarciowy  I

k

  obliczany  jest  dla  dwóch  przypadków  (gdy  zwarcie  jest 

zasilane z jednej maszyny synchronicznej): 

 przy stałym wzbudzeniu generatora w stanie biegu jałowego – minimalny  ustalony prąd 

zwarciowy 

nG

k

I

I

⋅

=

min

min

λ

, 

28 

 

 

 przy  maksymalnym  wzbudzeniu  generatora  –  maksymalny  ustalony  prąd  zwarciowy 

nG

k

I

I

⋅

=

max

max

λ

, 

gdzie 

λ

min

 oraz 

λ

max

 określa się na podstawie rys. 3.5, I

nG

 – znamionowy prąd generatora. 

W przypadku zwarć zasilanych z bloku generator – transformator obliczenia wykonuje 

się podobnie jak dla zwarcia zasilanego bezpośrednio z generatora. 

W  sieciach  zamkniętych,  przy  zwarciach  zasilanych  z  wielu  źródeł,  prąd  zwarciowy 

ustalony jest równy 

''

kM

k

I

I

=

 

przy czym 

''

kM

I

 jest prądem zwarciowym początkowym bez udziału silników. 

a)

b)

0,4

1,6

1,2

2,0

0,8

0

2,8

2,4

0

2

4

6

8

1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2

x

dsat

λ

max

λ

min

nG

kG

I

I

''

0,4

1,6

1,2

2,0

0,8

0

2,8

2,4

0

2

4

6

8

1,2

1,4
1,6
1,8
2,0

2,2

x

dsat

λ

min

λ

max

nG

kG

I

I

''

λ

 

Rys.3.5. ZaleŜność współczynników 

λ

min

 i 

λ

max

 od 

nG

kG

I

I

''

 dla turbogeneratorów przy zwarciu trójfa-

zowym. Przyjęto najwyŜszy poziom wzbudzenia przy pracy w warunkach znamionowych, odpowiada-

jący następującym krotnościom znamionowego napięcia wzbudzenia: rys. a) 1,3; 

rys. b) 1,6 [6] 

3.2.2  Zwarcia niesymetryczne 

W zakresie zwarć niesymetrycznych, występujących w pobliŜu generatorów, obowiązu-

ją  wzory  przedstawione  przy  zwarciach  niesymetrycznych  odległych  od  generatorów,  przy 

czym  impedancja  zgodna  generatorów  i  bloków  energetycznych  jest  korygowana  zgodnie 

z opisanymi  ustaleniami.  Impedancje  zastępcze  przeciwne  i  zerowe  nie  są  korygowane,  po-

niewaŜ są one i tak określane w sposób przybliŜony. 

Zwarcia w układach elektroenergetycznych

 

29 

 

4  M

ETODY  MACIERZOWE  OPARTE  O  ZWARCIOWE  IMPEDANCJE  WŁASNE  I 

WZAJEMNE

 

W rozległej sieci wielokrotnie zamkniętej wygodnie jest opisywać jej stan zwarciowy 

stosując metodę potencjałów węzłowych, którą charakteryzuje ogólne równanie macierzowe: 

 

I = YU 

lub po rozwinięciu 

 

























































































=













































n

k

nn

nk

n

kn

kk

k

n

k

n

k

U

U

U

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

I

I

I

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1

1

1

1

1

11

1

 

gdzie: 

I – wektor zespolonych prądów węzłowych, 

 

U – wektor zespolonych napięć węzłowych, 

 

Y – macierz admitancyjna zwarciowa. 

Jest  to  liniowy  układ  n  równań  z  n  niewiadomymi.  Jego  rozwiązaniem  jest  prąd  zwarciowy  

w  węźle  k  oraz  napięcia  węzłowe,  na  podstawie  których  moŜna  obliczyć  rozpływ  prądów 

zwarciowych w poszczególnych gałęziach sieci. 

Macierz  admitancyjna  zwarciowa  jest  symetryczna.  Na  diagonali  tej  macierzy  znajdują  się 

admitancje zwarciowe własne węzłów, a poza nią – admitancje zwarciowe wzajemne węzłów 

sieci.  

 

Równanie  wykorzystywane  w  metodzie  potencjałów  węzłowych  moŜna  zapisać  rów-

nieŜ z uŜyciem macierzy impedancyjnej zwarciowej: 

 

U = Y

-1

I = ZI , 

gdzie 

Z = Y

-1

 – to macierz impedancyjna zwarciowa. 













































=

nn

nk

n

kn

kk

k

n

k

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1

1

1

1

11

 

30 

 

 

Elementy na diagonali macierzy, to impedancje zwarciowe własne węzłów, a pozostałe – im-

pedancje  zwarciowe  wzajemne  węzłów  sieci.  Macierz  impedancyjna  zwarciowa  jest  syme-

tryczna i pełna (bez elementów zerowych). 

 

 

Prąd zwarciowy w dowolnym węźle k rozpatrywanej sieci wynosi: 

 

kk

k

k

Z

U

I

=

 , 

gdzie:  Z

kk

 – zwarciowa impedancja własna węzła k, 

 

U

k

 – napięcie zastępcze w k-tym węźle, 

 

3

1

,

1

n

k

U

U

=

, U

n

 – znamionowe napięcie przewodowe sieci. 

Gdy  znana  jest  wartość  prądu  zwarciowego,  moŜna  wyznaczyć  napięcia  w  poszczególnych 

węzłach sieci na podstawie wzoru: 

 

k

ik

i

I

Z

U

=

 

gdzie Z

ik

 – odpowiednia impedancja wzajemna. 

Po  wyznaczeniu  napięć    w  węzłach  sieci,  obliczamy  rozpływ  prądów  w  gałęziach  i  oraz  j 

zgodnie z równaniem: 

 

k

ij

jk

ik

ij

j

i

ij

I

Z

Z

Z

Z

U

U

I

−

=

−

=

 , 

gdzie:  U

i

, U

j

 – napięcia odpowiednich węzłów, 

 

Z

ik

, Z

jk

 

– odpowiednie elementy impedancji węzłowych, 

 

Z

ij

 – impedancja gałęzi, w której obliczany jest prąd. 

 

Ze względu na prowadzenie obliczeń w obwodzie zastępczym i zastosowanie twierdze-

nia  Thevenina,  gdzie  zwarcie  w  węźle  zamodelowano  przez  doprowadzenie  do  niego  siły 

elektromotorycznej równej napięciu występującemu w węźle przed zwarciem (w rzeczywisto-

ś

ci  panuje  tam  napięcie  zerowe),  rozpływ  prądów  w  sieci  rzeczywistej  jest  róŜny  co  do  kie-

runku: 

  I

ij rz

 

= – I

ij

  

a w konsekwencji napięcia węzłowe w sieci rzeczywistej wynoszą: 

 

U

i rz

 = U

k

 – U

i

 . 

Zwarcia w układach elektroenergetycznych

 

31 

 

4.1  Wyznaczanie impedancji własnych i wzajemnych metodą dołączania gałęzi 

Metoda dołączania gałęzi (metoda El-Abiada [7]) polega na stopniowym rozbudowy-

waniu  macierzy  impedancyjnej  zwarciowej.  Odpowiada  to  włączaniu  kolejnych  gałęzi  sieci 

zgodnie z pewnymi załoŜeniami: 

 

pierwsza gałąź jest przyłączana do węzła odniesienia – jest to gałąź zasilająca, 

 

kaŜda następna – do węzła juŜ istniejącego lub węzła odniesienia. 

Macierz  zwarciowa  impedancji  własnych  i  wzajemnych  jest  macierzą  kwadratową  

o stopniu równym liczbie węzłów rozpatrywanego fragmentu sieci.  

Istnieją cztery przypadki dołączania gałęzi p–q o impedancji z

pq

 (p < q): 

I. 

Nowa  gałąź  jest  przyłączana  jednym  końcem  do  węzła  zerowego  (p  =  0)  –  rysunek 

4.1. Zwiększona zostaje liczba węzłów w układzie. 

 

Rys.4.1. Włączenie gałęzi promieniowej zasilającej [5] 

 

Gałąź ta zawiera wtedy źródło SEM i jest gałęzią zasilającą. Schemat pomocniczy do 

wyznaczenia impedancji własnych i wzajemnych przedstawiono na rysunku 4.2. Mo-

dyfikacja  macierzy  polega  na  dodaniu  q-tego  wiersza  i  kolumny.  Impedancja  własna 

węzła q wynosi: 

pq

q

q

qq

z

I

U

Z

=

=

 

 

 

a impedancje wzajemne: 

 

 

0

=

=

qi

iq

Z

Z

   

i = 1, 2, ..., q-1

 

Zmodyfikowana macierz impedancyjna wygląda następująco: 

 

[ ]





























=

qq

old

new

Z

Z

Z

.

.

0

.

.

0

 . 

q

0 

i j

1  ... 

z

pq

  

p

32 

 

 

 

Rys.4.2. Schemat pomocniczy do wyznaczenia impedancji własnych i wzajemnych przy włączaniu 

gałęzi zasilającej 

 

II. 

Nowa gałąź jest przyłączana jednym końcem do węzła p układu – rysunek 4.3. Zwięk-

sza się liczba węzłów  w układzie. 

 

Rys.4.3. Włączenie gałęzi promieniowej 

Modyfikacja  macierzy  polega  na  dodaniu  q-tego  wiersza  oraz  kolumny.  Zgodnie  ze 

schematem pomocniczym (rysunek 4.4), impedancja własna nowego węzła wynosi: 

 

pq

pp

q

q

qq

z

Z

I

U

Z

+

=

=

 

a impedancje wzajemne między węzłem q i pozostałymi wynoszą: 

 

ip

q

i

qi

iq

Z

I

U

Z

Z

=

=

=

  i = 1, 2, ..., q-1 . 

Zmodyfikowana macierz impedancyjna wygląda następująco: 

 

[ ]





























=

qq

qi

iq

old

new

Z

Z

Z

Z

Z

.

.

.

.

 

 

 

q

0

i j

1  ...

z

pq

 

p

U

q

 

I

q

 

q

0 

i j

1

...

z

pq

  

p

Zwarcia w układach elektroenergetycznych

 

33 

 

 

Rys.4.4. Schemat pomocniczy do wyznaczenia impedancji własnych i wzajemnych przy włączeniu 

gałęzi promieniowej 

 

III. 

Nowa  gałąź  jest  przyłączana  do  istniejących  juŜ  w  układzie  węzłów  –  rysunek  4.5. 

Stopień macierzy w tym przypadku pozostaje bez zmiany. 

 

Rys.4.5. Włączenie gałęzi typu oczkowego 

Przeliczeniu  ulegają  poszczególne  elementy  macierzy  impedancyjnej.  Chwilowo  

do macierzy dopisuje się wiersz i kolumnę L, które następnie zostaną zredukowane: 

[ ]





























=

LL

Li

iL

old

new

Z

Z

Z

Z

Z

.

.

.

.

 

 Zgodnie z rysunkiem 4.6 między punkty L oraz q dołączono źródło napięcia U

Lq

. 

 

Rys.4.6. Schemat pomocniczy do wyznaczenia impedancji własnych i wzajemnych przy włączeniu 

gałęzi oczkowej 

 

q 

0 

i j

1

... 

z

pq

 

p

U

q

 

I

q

 

U

i

 

0 

i j

1

...

z

pq

  

p

q

0 

i j

1

... 

z

pq

  

p

L 

U

Lq

 

q 

U

q

 

U

p

 

34 

 

 

Prąd  I

Lq

  płynący  w  tak  powstałym  obwodzie,  zastąpiono  dwoma  prądami  –  jednym 

wpływającym  do  węzła  p,  drugim  –  wypływającym  z  węzła  q  (rysunek  4.7a).  Zatem 

impedancja własna węzła L wynosi: 

 

Lq

q

L

LL

I

U

U

Z

−

=

 . 

 

Rys.4.7. Schemat zastępczy obwodu z rysunku 4.6 

Korzystając z równowaŜnego schematu obwodu (rysunek 4.7b) otrzymujemy: 

 

q

qq

q

qL

L

qL

L

LL

q

qq

Lq

L

qL

LL

Lq

q

L

LL

I

U

I

U

I

U

I

U

I

U

U

I

U

U

I

U

U

Z

+

−

−

=

−

−

−

=

−

=

 

Biorąc pod uwagę, Ŝe : 

 

pp

pq

L

LL

Z

z

I

U

+

=

, 

pq

L

qL

Z

I

U

=

, 

qq

q

qq

Z

I

U

=

, 

pq

q

Lq

Z

I

U

=

 

to impedancja własna węzła L wynosi: 

 

pq

qq

pp

pq

LL

Z

Z

Z

z

Z

2

−

+

+

=

 . 

Impedancje wzajemne dla kolejnych węzłów przyjmują wartość: 

I

Lq

=I

L 

0 

i j

1

... 

Z

pq

  

p

L 

q 

U

iL

  

U

qL

  

U

LL

  

I

q

= - I

Lq 

q 

0 

i j

1

... 

Z

pq

  

p

L 

U

Lq

  

U

iq

  

U

qq

  

I

Lq

=I

L 

0 

i j

1

... 

Z

pq

  

p

L 

q 

I

Lq

= - I

q 

a)

b)

Zwarcia w układach elektroenergetycznych

 

35 

 

 

q

iq

L

iL

Lq

i

Li

iL

I

U

I

U

I

U

Z

Z

−

=

=

=

 

a zatem 

iq

ip

Li

iL

Z

Z

Z

Z

−

=

=

 . 

Następnie  eliminuje  się  pomocniczy  węzeł  L  stosując  wzór  eliminacji  Gaussa.  Nowe 

elementy macierzy wynoszą: 

 

 

LL

Lj

iL

ij

ij

Z

Z

Z

Z

Z

−

=

'

 

i, j = 1, 2, ..., n . 

IV. 

Nowa gałąź łączy istniejący juŜ w układzie węzeł z węzłem odniesienia (p = 0) – ry-

sunek 4.8. Nie zmienia się wtedy wymiar macierzy, lecz przeliczone zostają wszystkie 

jej elementy. Elementy pomocnicze wynoszą: 

qq

pq

LL

Z

z

Z

+

=

 

iq

Li

iL

Z

Z

Z

−

=

=

 

 

Nowe elementy macierzy po redukcji obliczamy zgodnie ze wzorem: 

 

 

LL

Lj

iL

ij

ij

Z

Z

Z

Z

Z

−

=

'

 

i, j = 1, 2, ..., n . 

 

Rys.4.8. Włączanie gałęzi oczkowej zasilającej 

 

4.2  Wyznaczanie  impedancji  własnych  i  wzajemnych  metodą  faktoryzacji  ma-

cierzy admitancyjnej 

Faktoryzacja macierzy admitancyjnej zwarciowej, która jest macierzą rzadką, tzn., Ŝe 

przy odpowiednio wysokim stopniu macierzy – 95% jej elementów, to elementy zerowe, po-

lega na zredukowaniu macierzy wyjściowej 

Y stopnia n metodą krok po kroku do formy ma-

cierzy  jednostkowej.  Redukcji  tej  dokonuje  się  za  pomocą  lewo  i  prawostronnego  mnoŜenia 

macierzy 

Y przez macierze elementarne, tzw. faktory, oznaczone przez L oraz R (z ang. od-

0 

i j

1

... 

Z

pq

  

p

q 

36 

 

 

powiednio  left  i  right).  Macierze  te  składają  się  z  jedynek  na  diagonali  oraz  w 

L  występują 

niezerowe  elementy  tylko  w  jednej  kolumnie,  a  w  macierzy 

R  –  tylko  w  jednym  wierszu. 

Elementy  niezerowe  macierzy 

L  i  R  dobiera  się  w  ten  sposób,  Ŝeby  wyzerować  kolumnę  

i wiersz macierzy wyjściowej 

Y, a jej element diagonalny stał się jedynką. W pierwszym kro-

ku zatem otrzymujemy: 

A

(1)

 = 

L

(1)

 

Y

(0)

 R

(1)

 

lub w formie rozszerzonej: 

































































































=

































1

.

.

0

0

.

.

.

.

.

.

0

.

0

.

0

1

0

.

1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1

.

0

0

.

.

.

.

.

0

.

1

0

0

.

0

1

0

.

.

0

.

.

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0

0

.

.

0

1

1

13

12

1

31

22

21

1

13

12

11

1

31

21

11

)

1

(

)

1

(

2

)

1

(

2

)

1

(

22

n

nn

n

n

n

nn

n

n

r

r

r

y

y

y

y

y

y

y

y

y

l

l

l

l

y

y

y

y

 

 

Operację tę powtarza się jeszcze n - 1 razy, w  efekcie czego otrzymujemy  jednostkową ma-

cierz 

Y

(n)

. W dowolnym j-tym kroku redukcji wyraŜenie ogólne przyjmuje postać: 

A

(j)

 = 

L

(j)

 

Y

(j-1)

 R

(j)

 

lub w formie rozszerzonej: 

































































































=

































1

.

.

0

0

.

.

0

.

.

1

0

.

0

.

0

1

0

0

.

.

0

1

.

.

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1

0

0

.

.

0

1

1

.

0

0

.

.

.

.

.

0

0

.

0

.

0

1

0

0

.

.

0

1

.

0

0

.

.

.

.

.

.

.

.

0

.

.

1

0

0

.

.

0

1

)

(

)

(

)

(

)

(

jn

jk

nn

nj

jn

jj

nj

kj

jj

j

nn

j

nj

j

jn

j

jj

r

r

y

y

y

y

l

l

l

y

y

y

y

 

 

Elementy  zredukowanej  macierzy 

Y

(j)

  oraz  faktorów 

L

(j)

  i 

R

(j)

  są  obliczane  z  następujących 

wzorów (i, k = j + 1, ..., n): 

 

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

(

−

−

−

−

−

=

j

jj

j

kj

j

jk

j

ik

j

ik

y

y

y

y

y

 ; 

 

)

(

)

(

j

ji

j

ij

y

y

=

; 

 

 

1

)

(

=

j

jj

y

 

 

1

)

(

=

j

ik

l

  

dla i = k ; 

 

0

)

(

=

j

ik

l

 

dla i 

≠

 k  

 

)

1

(

)

1

(

)

(

−

−

−

=

j

jj

j

ij

j

ij

y

y

l

 ; 

 

 

0

)

(

=

j

jk

l

 ; 

 

 

)

1

(

)

(

1

−

=

j

jj

j

jj

y

l

 

 

1

)

(

=

j

ik

r

 

dla i = k ; 

 

0

)

(

=

j

ik

r

 

dla i 

≠

 k  

 

0

)

(

=

j

ij

r

 ; 

 

 

 

)

1

(

)

1

(

)

(

−

−

−

=

j

jj

j

jk

j

jk

y

y

r

 ; 

 

1

)

(

=

j

jj

r