Funkcje wielu zmiennych — cia

,

gÃlo´s´

c, r´

o˙zniczkowalno´s´

c

Podajemy tu kilka definicji i twierdze´

n (z dowodami, kt´ore w wie

,

kszo´sci zostana

,

pominie

,

te na wyk ladzie), kt´ore pozwola

,

m´owi´c o cia

,

g lo´sci i r´o˙zniczkowalno´sci funk-

cji wielu zmiennych. Z konieczno´sci jest to tylko przegla

,

d najwa˙zniejszych spo´sr´od

najbardziej podstawowych zagadnie´

n. Definicji kuli wielowymiarowej nie podam na

wyk ladzie, ale jest ono wygodne i powszechnie stosowane, wie

,

c je tu umieszczam.

Definicja 16.1 (kuli k –wymiarowej) *

Kula

,

otwarta

,

o ´srodku p i promieniu r > 0 nazywamy zbi´or

B(p, r) = {x ∈ IR

k

:

kx − pk < r} ,

kula

,

domknie

,

ta

,

o ´srodku p i promieniu r > 0 — zbi´or

B(p, r) = {x ∈ IR

k

:

kx − pk ≤ r} .

Jasne jest, ˙ze jednowymiarowa

,

kula

,

otwarta

,

o ´srodku w punkcie p ∈ IR i pro-

mieniu r > 0 jest przedzia l o ´srodku w punkcie p i d lugo´sci 2r . Jednowymiarowa

kula domknie

,

ta o´srodku w punkcie p i promieniu r > 0 to po prostu przedzia l

domknie

,

ty o ´srodku w punkcie p i d lugo´sci 2r . W tym wymiarze kula domknie

,

ta

r´o˙zni sie

,

od otwartej (o tym samym ´srodku i promieniu) jedynie dwoma punktami.

Jasne jest, ˙ze dwuwymiarowa

,

kula

,

otwarta

,

o ´srodku p ∈ IR

2

i promieniu r > 0 jest

ko lo o ´srodku p i promieniu r jednak bez punkt´ow „brzegowych”, tj. bez punkt´ow,

kt´orych odleg lo´s´c od p r´owna jest dok ladnie r . Kula domknie

,

ta o ´srodku p i pro-

mieniu r > 0 to ko lo z „brzegiem” o ´srodku p i promieniu r . Tr´ojwymiarowa kula

otwarta to po prostu kula bez punkt´ow brzegowych, a kula domknie

,

ta to kula z punk-

tami brzegowymi. Wida´c wie

,

c, ˙ze te nazwy motywowane sa

,

terminologia

,

stosowana

,

do przestrzeni tr´ojwymiarowej. Mimo, ˙ze mo˙ze sie

,

komu´s wydawa´c ´smiesznym nazy-

wanie przedzia lu kula

,

, to jednak warto zap laci´c taka

,

cene

,

za jednolita

,

terminologie

,

stosowana

,

w odniesieniu do przestrzeni r´o˙znych wymiar´ow, to u latwia formu lowanie

zar´owno twierdze´

n jak i ich dowod´ow.

Definicja 16.2 (zbioru otwartego w IR

k

)

Zbi´or G nazywamy otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego punktu p ∈ G

istnieje liczba dodatnia r taka, ˙ze B(p, r) ⊂ G , czyli gdy z tego, ˙ze kx − pk < r

wynika, ˙ze x ∈ G .

Jasne jest, ˙ze ca la przestrze´

n k –wymiarowa jest zbiorem otwartym, w tym kon-

kretnym przypadku mo˙zna przyja

,

´c np. r = 13 . R´ownie˙z zbi´or pusty jest otwarty.

*

angielskie s lowo: ball

1

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

Wynika to sta

,

d, ˙ze je´sli poprzednik implikacji jest fa lszywy (czyli p ∈ ∅ ), to z tej

nieprawdy ju˙z wszystko wynika w szczeg´olno´sci istnienie liczby r > 0 . Oczywi´scie

zn´ow to rozumienie s lowa wynika nie zawsze jest zgodne z potocznym, ale przyje

,

to

wynikanie w ten w la´snie spos´ob interpretowa´c. R´ownie˙z otwarta kula k –wymiarowa

w przestrzeni k –wymiarowej jest zbiorem otwartym: je´sli q ∈ B(p, r) , to przyj-

muja

,

c % = r − kq − pk , otrzymujemy B(q, %) ⊂ B(p, r) , bo je´sli kx − qk < % ,

to kx − pk ≤ kx − qk + kq − pk < % + kq − pk = r . Z tego ostatniego zdania

wynika, ˙ze przedzia l otwarty jest otwartym podzbiorem prostej. Natomiast odcinek

bez ko´

nc´ow otwartym podzbiorem p laszczyzny nie jest, bo przecie˙z ˙zaden jego punkt

nie jest ´srodkiem dwuwymiarowej kuli, czyli ko la zawartego w tym odcinku, bo od-

cinek w og´ole ˙zadnego ko la nie zawiera. Widzimy wie

,

c, ˙ze to czy zbi´or jest otwarty,

czy te˙z nie, zale˙zy nie tylko od samego zbioru, lecz r´ownie˙z od tego z jakiego punktu

widzenia jest on rozpatrywany! Czytelnik sprawdzi bez trudu, ˙ze p laszczyzna bez jed-

nego punktu, p laszczyzna bez sko´

nczenie wielu punkt´ow, p laszczyzna bez sko´

nczenie

wielu prostych sa

,

otwartymi podzbiorami p laszczyzny. Tr´ojka

,

t otwartym podzbiorem

p laszczyzny nie jest, bo ˙zadne ko lo o ´srodku w punkcie le˙za

,

cym na boku tr´ojka

,

ta za-

warte w tr´ojka

,

cie nie jest. Natomiast tr´ojka

,

t bez bok´ow i wierzcho lk´ow jest zbiorem

otwartym, bo ka˙zdy punkt nie le˙za

,

cy na boku tr´ojka

,

ta jest ´srodkiem ko la zawartego

w tr´ojka

,

cie bez bok´ow. Podobnie kwadrat nie jest otwartym podzbiorem p laszczyzny,

ale staje sie

,

otwarty po usunie

,

ciu bok´ow wraz z wierzcho lkami. Obszar nad parabola

,

y = x

2

, czyli zbi´or takich punkt´ow (x, y) , ˙ze y > x

2

jest otwartym podzbiorem

p laszczyzny. R´ownie˙z obszar z lo˙zony z takich punkt´ow (x, y) , ˙ze y < x

2

jest otwarty.

Analogiczne przyk lady mo˙zna rozwa˙zy´c w przestrzeni tr´ojwymiarowej, co pozosta-

wiamy czytelnikom w charakterze prostego ´cwiczenia.

Definicja 16.3 (zbioru domknie

,

tego w przestrzeni IR

k

)

Zbi´or F ⊂ IR

k

jest domknie

,

ty wtedy i tylko wtedy, gdy zbi´or R

k

\ F jest otwarty.

Podane poprzednio przyk lady zbior´ow otwartych daja

,

od razu przyk lady zbior´ow

domknie

,

tych: z tego, ˙ze ca la przestrze´

n IR

k

jest zbiorem otwartym wnioskujemy

natychmiast, ˙ze zbi´or pusty jest domknie

,

ty. Z tego, ˙ze zbi´or pusty jest otwarty

wynika, ˙ze ca la przestrze´

n jest zbiorem domknie

,

tym. Poniewa˙z kula otwarta jest

zbiorem otwartym, wie

,

c dope lnienie kuli otwartej jest zbiorem domknie

,

tym. Zbiory

sko´

nczone sa

,

domknie

,

te, prosta jest podzbiorem domknie

,

tym p laszczyzny, przestrzeni

tr´ojwymiarowej. Jasne jest te˙z, ˙ze k –wymiarowa kula domknie

,

ta jest podzbiorem

domknie

,

tym przestrzeni IR

k

. To stwierdzenie uzasadnimy. Niech q /

∈ B(p, r) , tzn.

2

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

kq − pk > r . Niech % = kq − pk − r . Oczywi´scie % > 0 . Niech x ∈ B(q, %) , tzn.

kx − qk < % = kq − pk − r . Sta

,

d wynika, ˙ze r < kq − pk − kx − qk ≤ kx − pk , co

oznacza, ˙ze x /

∈ B(p, r) , a wie

,

c B(q, %) ∩ B(p, r) = ∅ . Wykazali´smy wie

,

c, ˙ze kula

B(q, %) jest zawarta w dope lnieniu kuli B(p, r) , a poniewa˙z q oznacza tu dowolny

punkt dope lnienia kuli B(p, r) , wie

,

c dope lnienie to jest otwarte, zatem sama kula

B(p, r) jest zbiorem domknie

,

tym w IR

k

.

Zbiory otwarte maja

,

swoja

,

charakteryzacje

,

„wewne

,

trzna

,

” – nie ma konieczno´sci

badania dope lnienia zbioru. W podobny spos´ob mo˙zna scharakteryzowa´c zbioru do-

mknie

,

te. Przyda sie

,

nam do tego poje

,

cie granicy cia

,

gu punkt´ow.

Definicja 16.4 (granicy cia

,

gu punkt´

ow przestrzeni euklidesowej)

Cia

,

g (p

n

) jest zbie˙zny do granicy p wtedy i tylko wtedy, gdy lim

n→∞

kp

n

−pk = 0 .

Wida´c, ˙ze definicja ta r´o˙zni sie

,

od definicji cia

,

gu liczbowego bardzo nieznacznie:

w przypadku cia

,

gu wysta

,

pi la warto´s´c bezwzgle

,

dna r´o˙znicy wyrazu cia

,

gu i granicy,

w przypadku cia

,

gu punkt´ow przestrzeni m´owimy o odleg lo´sci wyrazu cia

,

gu od grani-

cy. Wida´c wyra´znie, ˙ze r´o˙znica obu definicji jest raczej kosmetyczna ni˙z merytoryczna

— warto´s´c bezwzgle

,

dna r´o˙znicy dwu liczb to przecie˙z odleg lo´s´c mie

,

dzy nimi, je´sli

o liczbach my´slimy jak o punktach prostej.

Twierdzenie 16.5 (charakteryzuja

,

ce zbiory domknie

,

te)

Zbi´or F jest domknie

,

ty wtedy i tylko wtedy, gdy z tego ˙ze punkty p

1

, p

2

, . . . nale˙za

,

do zbioru F oraz p = lim

n→∞

p

n

wynika, ˙ze r´ownie˙z p ∈ F .

Dow´

od. Za l´o˙zmy najpierw, ˙ze zbi´or F jest domknie

,

ty, czyli ˙ze zbi´or IR

k

\ F jest

otwarty. Niech p = lim

n→∞

p

n

i niech punkty cia

,

gu (p

n

) nale˙za

,

do zbioru F . Je´sli

p /

∈ F , to poniewa˙z zbi´or IR

k

\ F jest otwarty, wie

,

c istnieje taka liczba r > 0 , ˙ze

B(p, r) ⊂ IR

k

\ F . Wobec tego w kuli B(p, r) nie ma punkt´ow cia

,

gu (p

n

) , bo one

le˙za

,

w zbiorze F , a to oznacza, ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodzi nier´owno´s´c

kp

n

−pk ≥ r , wbrew temu, ˙ze lim

n→∞

kp

n

−pk = 0 . Za l´o˙zmy teraz, ˙ze zbi´or F spe lnia

warunek opisany w tre´sci zadania i nie jest domknie

,

ty, tzn. jego dope lnienie nie jest

otwarte. Istnieje wie

,

c punkt p ∈ IR

k

\ F taki, ˙ze ˙zadna kula o ´srodku p nie jest

zawarta w zbiorze IR

k

\ F . Niech p

n

∈ B(p,

1

n

) ∩ F . Mamy wie

,

c kp

n

− pk <

1

n

,

zatem lim

n→∞

kp

n

− pk = 0 , czyli lim

n→∞

p

n

= p i wobec tego musi te˙z by´c p ∈ F ,

wbrew uczynionemu za lo˙zeniu. Dow´od zosta l zako´

nczony.

Z twierdzenia tego wynika natychmiast, ˙ze np. zbi´or IR

2

\{(0, 0)} nie jest zbiorem

3

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

domknie

,

tym. Mamy bowiem lim

n→∞

(

1

n

, 0) = (0, 0) /

∈ IR

2

\ {(0, 0)} , chocia˙z oczywi´scie

(

1

n

, 0) ∈ IR

2

\ {(0, 0)} . W taki sam spos´ob mo˙zna wykaza´c, ˙ze zbi´or Q z lo˙zony ze

wszystkich liczb wymiernych nie jest domknie

,

tym podzbiorem prostej: ka˙zda liczba

niewymierna jest granica

,

cia

,

gu liczb wymiernych. Zauwa˙zmy, ˙ze zbi´or ten nie jest

r´ownie˙z otwarty, bo r´ownie˙z ka˙zda liczba wymierna mo˙ze przedstawiona jako granica

cia

,

gu liczb niewymiernych. Widzieli´smy wie

,

c, ˙ze istnieja

,

zbiory, kt´ore sa

,

jednocze´snie

otwarte i domknie

,

te ( IR

k

i ∅ ), istnieja

,

te˙z zbiory, kt´ore nie sa

,

ani otwarte ani do-

mknie

,

te!

Twierdzenie 16.6 (charakteryzuja

,

ce zbie˙zno´s´

c cia

,

g´

ow w IR

k

)

Cia

,

g (p

n

) punkt´ow przestrzeni k –wymiarowej jest zbie˙zny do punktu p ∈ IR

k

wtedy

i tylko wtedy, gdy lim

n→∞

p

i,n

= p

i

dla i = 1, 2, . . . , k , tu p

n

= (p

1,n

, p

2,n

, . . . , p

k,n

)

dla n = 1, 2, . . . i p = (p

1

, p

2

, . . . , p

k

) .

Dow´

od. Dla ka˙zdego i ∈ {1, 2, . . . , k} zachodzi nier´owno´s´c:

|p

i,n

− p

i

| ≤

p

|p

1,n

− p

1

|

2

+ |p

2,n

− p

2

|

2

+ · · · + |p

k,n

− p

k

|

2

= kp

n

− pk ,

z kt´orej wynika od razu, ˙ze je´sli lim

n→∞

p

n

= p , to lim

n→∞

p

i,n

= p

i

dla ka˙zdego i ∈

{1, 2, . . . , k} . W druga

,

strone

,

twierdzenie wynika natychmiast z definicji odleg lo´sci:

pod pierwiastkiem jest k sk ladnik´ow i ka˙zdy z nich da

,

˙zy do 0, co jest tre´scia

,

za lo˙zenia.

Dow´od zosta l zako´

nczony.

Twierdzenie to pozwala w istocie rzeczy sprowadza´c badanie zbie˙zno´sci cia

,

gu

punkt´ow przestrzeni k –wymiarowej do badania zbie˙zno´sci k cia

,

g´ow liczbowych.

Istotna

,

role

,

w przypadku cia

,

g´ow liczbowych gra lo twierdzenie Bolzano–Weierstrassa.

Gwarantowa lo ono mo˙zliwo´s´c wybierania podcia

,

g´ow zbie˙znych z cia

,

g´ow ograniczo-

nych. Twierdzenie to pozostaje w mocy w przypadku wielowymiarowym. Przed sfor-

mu lowaniem tego twierdzenia wypada powiedzie´c, ˙ze cia

,

g (zbi´or) nazywamy ogra-

niczonym, je´sli wszystkie jego wyrazy (elementy) znajduja

,

sie

,

w pewnej kuli. Przy-

pomnijmy, ˙ze w jednowymiarowym przypadku kulami sa

,

przedzia ly, wie

,

c ta defini-

cja to po prostu uog´olnienie definicji stosowanej w przypadku jednowymiarowym.

Warto od razu zauwa˙zy´c, ˙ze je´sli cia

,

g punkt´ow przestrzeni IR

k

jest ograniczony, to

r´ownie˙z cia

,

gi liczbowe: utworzony z jego pierwszych wsp´o lrze

,

dnych, utworzony z dru-

gich wsp´o lrze

,

dnych itd. sa

,

zbie˙zne. Czytelnik bez trudu stwierdzi, ˙ze je´sli wszystkie

cia

,

gi utworzone ze wsp´o lrze

,

dnych o ustalonym numerze sa

,

ograniczone, to r´ownie˙z

cia

,

g punkt´ow przestrzeni k –wymiarowej jest ograniczony. Twierdzenie to nie by lo

om´owione w czasie wyk ladu, tu jednak je zamieszczam w przekonaniu, ˙ze niekt´orym

studentom zapoznanie sie

,

z nim u latwi nauke

,

matematyki.

4

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

Twierdzenie 16.7 (Bolzano–Weiertrassa, przypadek wielowymiarowy)

Z ka˙zdego ograniczonego cia

,

gu (p

n

) punkt´ow przestrzeni IR

k

mo˙zna wybra´c podcia

,

g

zbie˙zny do pewnego punktu p ∈ IR

k

, tzn. istnieje ´sci´sle rosna

,

cy cia

,

g (n

j

) liczb

naturalnych taki, ˙ze zachodzi r´owno´s´c lim

j→∞

p

n

j

= p .

Dow´

od. Z poprzedniego twierdzenia wynika, ˙ze trzeba wybra´c cia

,

g (n

j

) w taki

spos´ob, by wszystkie cia

,

gi

p

1,n

j

,

p

2,n

j

,. . . , p

k,n

j

by ly zbie˙zne. Twierdzenie

Bolzano–Weierstrassa jest prawdziwe dla cia

,

g´ow liczbowych, zatem istnieje cia

,

g (n

j

)

taki, ˙ze cia

,

g (p

1,n

j

) jest zbie˙zny, ale nie wiemy nic o naste

,

pnych k − 1 cia

,

gach:

(p

2,n

j

) , (p

3,n

j

) , itd. Mo˙zemy jednak skorzysta´c z tego, ˙ze wszystkie podcia

,

gi cia

,

gu

zbie˙znego te˙z sa

,

zbie˙zne i to do tej samej granicy. Zasta

,

pimy wie

,

c cia

,

g wyj´sciowy (p

n

)

cia

,

giem (p

n

j

) (wie

,

c pierwsze wsp´o lrze

,

dne tworza

,

cia

,

g zbie˙zny) i z tego cia

,

gu wybie-

rzemy podcia

,

g (p

n

0

j

) w taki spos´ob, by cia

,

g (p

2,n

0

j

) by l zbie˙zny. Jest to mo˙zliwe, bo

cia

,

g (p

2,n

j

) jest ograniczony, wie

,

c mo˙zemy zastosowa´c jednowymiarowe twierdzenie

Bolzano–Weiertrassa. Uzyskamy wie

,

c w ten spos´ob cia

,

g (p

n

0

j

) , kt´orego pierwsze i

drugie wsp´o lrze

,

dne tworza

,

cia

,

gi zbie˙zne.* Wystarczy te

,

procedure

,

zastosowa´c jesz-

cze kolejno k − 2 razy, by uzyska´c podcia

,

g, kt´orego wszystkie wsp´o lrze

,

dne: pierwsze,

drugie, itd. tworza

,

cia

,

gi zbie˙zne, dzie

,

ki czemu r´ownie˙z sam podcia

,

g jest zbie˙zny.

Dow´od zosta l zako´

nczony.

Podamy teraz jedna

,

z najwa˙zniejszych definicji tej cze

,

´sci wyk ladu.

Definicja 16.8 (zbioru zwartego)

Zbi´or C nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy z ka˙zdego cia

,

gu punkt´ow

zbioru C mo˙zna wybra´c podcia

,

g zbie˙zny do punktu le˙za

,

cego w zbiorze C .

Zbiory zwarte moga

,

by´c definiowane w taki spos´ob w nieco og´olniejszej sytuacji

ni˙z rozpatrywana przez nas, moga

,

to by´c mianowicie podzbiory tzw. przestrzeni me-

trycznych. Podamy teraz twierdzenie, kt´ore w og´olnej sytuacji nie jest prawdziwe,

ale jest prawdziwe i bardzo u˙zyteczne w przypadku tych zbior´ow, kt´orymi zajmowa´c

sie

,

be

,

dziemy w tej przysz lo´sci.

Twierdzenie 16.9 (charakteryzuja

,

ce zbiory zwarte w przestrzeni IR

k

)

Zbi´or C ⊂ IR

k

jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknie

,

ty i ograniczony.

Dow´

od. Za l´o˙zmy, ˙ze zbi´or C ⊂ IR

k

jest zwarty. Je´sli C nie jest ograniczony, to dla

ka˙zdej liczby naturalnej n istnieje taki punkt p

n

∈ C , ˙ze p

n

/

∈ B(0, n) . Oznacza to,

˙ze kp

n

k ≥ n . Poniewa˙z C jest zbiorem zwartym, wie

,

c z cia

,

gu (p

n

) wybra´c mo˙zna

*

Pierwsze – bo podcia,g cia,gu zbie˙znego jest zbie˙zny, drugie – bo tak wybieramy.

5

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

podcia

,

g zbie˙zny (p

n

j

) do pewnego punktu p ∈ C . Sta

,

d wynika, ˙ze cia

,

g kp

n

j

− pk

jest zbie˙zny do 0, wie

,

c jest ograniczony. Zachodzi nier´owno´s´c kp

n

j

k ≤ kpk+kp

n

j

−pk ,

a z niej i ze zdania poprzedniego wynika, ˙ze cia

,

g p

n

j

jest ograniczony, co oczywi´scie

przeczy temu, ˙ze kp

n

j

k ≥ n

j

. Wykazali´smy wie

,

c, ˙ze podzbi´or zwarty przestrzeni IR

k

musi by´c ograniczony. Teraz wyka˙zemy, ˙ze musi by´c r´ownie˙z domknie

,

ty. Za l´o˙zmy, ˙ze

nie jest domknie

,

ty. Wtedy istnieje cia

,

g (p

n

) punkt´ow zbioru C zbie˙zny do punktu

p /

∈ C . Wszystkie podcia

,

gi cia

,

gu (p

n

) sa

,

oczywi´scie zbie˙zne do punktu p , wie

,

c nie

mo˙zna wybra´c z tego cia

,

gu podcia

,

gu, kt´orego granica nale˙za laby do C . Wobec tego

podzbi´or zwarty przestrzeni IR

k

musi by´c te˙z domknie

,

ty. Czas na dow´od implikacji

przeciwnej. Zak ladamy teraz, ˙ze zbi´or C ⊂ IR

k

jest domknie

,

ty i ograniczony. Niech

(p

n

) be

,

dzie cia

,

giem punkt´ow zbioru C . Na mocy twierdzenia Bolzano–Weierstrassa

mo˙zna ze´

n wybra´c podcia

,

g (p

n

j

) zbie˙zny do pewnego punktu p . Poniewa˙z zbi´or

C jest domknie

,

ty a wyrazy cia

,

gu (p

n

j

) sa

,

elementami zbioru domknie

,

tego C , wie

,

c

r´ownie˙z jego granica, czyli punkt p jest elementem zbioru C . Wykazali´smy wie

,

c,

˙ze z cia

,

gu punkt´ow zbioru C mo˙zna wybra´c podcia

,

g zbie˙zny do punktu le˙za

,

cego w

zbiorze C , a to oznacza, ˙ze C jest zbiorem zwartym. Dow´od zosta l zako´

nczony.

Interesuja

,

nas nie tylko zbiory, ale r´ownie˙z funkcje, w tym funkcje cia

,

g le. Defi-

nicja cia

,

gowa (Heinego) cia

,

g lo´sci funkcji przenosi sie

,

na przypadek wielowymiarowy

bez ˙zadnych zmian. Je´sli A ⊂ IR

k

i f : A −→ IR

l

jest funkcja

,

okre´slona

,

na zbiorze A ,

to f jest cia

,

g la w punkcie p ∈ IR

k

wtedy i tylko wtedy, gdy z tego, ˙ze lim

n→∞

p

n

= p ,

p

n

∈ A wynika, ˙ze lim

n→∞

f (p

n

) = f (p) . Mo˙zna r´ownie˙z przeformu lowa´c definicje

,

otoczeniowa

,

(Cauchy’ego): funkcja f : A −→ IR

l

jest cia

,

g la w punkcie p ∈ A wte-

dy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdej liczby ε > 0 istnieje taka liczba δ > 0 , ˙ze je´sli

q ∈ A i kq − pk < δ , to kf (q) − f (p)k < ε . Poniewa˙z definicje te nie r´o˙znia

,

sie

,

od podawanych w przypadku jednowymiarowym, wie

,

c dow´od ich r´ownowa˙zno´sci

pomijamy, zreszta

,

nie r´o˙zni sie

,

on od dowodu w przypadku jednowymiarowym niczym

istotnym. Warto te˙z doda´c, ˙ze je´sli funkcje f, g sa

,

cia

,

g le i odpowiednia operacja na

nich jest zdefiniowana, to cia

,

g le sa

,

r´ownie˙z funkcje f ± g , f · g (iloczyn skalarny),

f ×g (iloczyn wektorowy), f

−1

(np. je´sli warto´sciami funkcji sa

,

macierze odwracalne

i f (x)

−1

oznacza macierz odwrotna

,

do macierzy f (x) ), f ◦ g (z lo˙zenie funkcji f z

funkcja

,

g ). Natomiast funkcja odwrotna do funkcji cia

,

g lej mo˙ze nie by´c cia

,

g la: je´sli

f (t) = (2 + cos t) cos(t

√

2), (2 + cos t) sin(t

√

2), sin t

,

to funkcja f jest r´o˙znowarto´sciowa, wie

,

c ma funkcje

,

odwrotna

,

, ale ta funkcja odwrot-

na nie ma ani jednego punktu cia

,

g lo´sci.

6

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

Dzie

,

ki twierdzeniu Bolzano–Weierstrassa pozostaje te˙z w mocy

Twierdzenie 16.10 (Weierstrassa o osia

,

ganiu kres´

ow przez funkcje

,

cia

,

g la

,

)

Je´sli f : C −→ IR jest funkcja

,

cia

,

g la

,

w ka˙zdym punkcie zbioru zwartego C ⊂ IR

k

, to

istnieja

,

punkty p, q ∈ C takie, ˙ze dla ka˙zdego punktu x ∈ C zachodzi nier´owno´s´c

podw´ojna f (p) ≤ f (x) ≤ f (q) , czyli f (p) jest najmniejsza

,

warto´scia

,

funkcji f za´s

f (q) – najwie

,

ksza

,

.

Twierdzenie to ma kapitalne znaczenie. Pozwala ono stwierdza´c, ˙ze np. poszuki-

wana przez nas najwie

,

ksza warto´s´c funkcji istnieje, co zwalnia nas z obowia

,

zku prze-

prowadzania cze

,

sto k lopotliwych rozumowa´

n w konkretnych sytuacjach. Ju˙z w przy-

padku funkcji jednej zmiennej by ly podane przyk lady jego stosowania. Teraz mie´c

to be

,

dzie jeszcze wie

,

ksze znaczenie, bo trudniej w przypadku funkcji wielu zmien-

nych m´owi´c o jej monotoniczno´sci ni˙z w jednowymiarowym przypadku, zreszta

,

gdy

zbi´or jest skomplikowany, mo˙ze to by´c w og´ole niewykonalne ( w prostych sytuacjach

mo˙zna rozpatrywa´c dana

,

funkcje

,

wielu zmiennych kolejno jako funkcje

,

zmiennej x

1

,

potem jako funkcje

,

zmiennej x

2

, . . . ). Przyk lady pojawia

,

sie

,

nieco p´o´zniej.

Zajmiemy sie

,

teraz r´o˙zniczkowaniem funkcji wielu zmiennych. Zaczniemy od

poje

,

cia pochodnej cza

,

stkowej, bo jest ono najprostszym z tych, kt´orymi przyjdzie

nam sie

,

zaja

,

´c. W tym rozdziale, je´sli nie napiszemy wyra´znie, ˙ze jest inaczej, funk-

cja f : G −→ IR

l

be

,

dzie okre´slona na zbiorze otwartym G ⊂ IR

k

. Be

,

dziemy stara´c

sie

,

przenie´s´c twierdzenia u˙zyteczne dla optymalizacji funkcji o warto´sciach rzeczywi-

stych, czyli dla znajdowania ich warto´sci najmniejszych oraz najwie

,

kszych. W nie-

kt´orych przypadkach poje

,

cie pochodnej cza

,

stkowej nam wystarczy, a w niekt´orych

zmuszeni zostaniemy do u˙zycia poje

,

cia r´o˙zniczki funkcji, kt´ore zdefiniujemy p´o´zniej.

Definicja 16.11 (pochodnej cza

,

stkowej)

Pochodna

,

cza

,

stkowa

,

pierwszego rze

,

du odwzorowania f : G −→ IR

l

ze wzgle

,

du na

zmienna

,

x

i

, 1 ≤ i ≤ k , w punkcie p ∈ G , nazywamy granice

,

lim

h→0

f (p+he

i

)−f (p)

h

,

o ile istnieje; e

i

∈ IR

k

to wektor, kt´orego wszystkie wsp´o lrze

,

dne z wyja

,

tkiem i –tej

sa

,

r´owne 0 a i –ta r´owna jest 1: e

i

= (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) . Te

,

pochodna

,

cza

,

stkowa

,

oznaczamy symbolem

∂f

∂x

i

(p) .

Przyk lad 16.1

Niech f (x) = x

1

+ 2x

3

2

+ x

3

e

x

4

. Z definicji pochodnej cza

,

stkowej

wynika, ˙ze zachodzi naste

,

puja

,

cy wz´or:

∂f

∂x

1

(x) = lim

h→0

f (x + he

1

) − f (x)

h

= lim

h→0

f (x

1

+ h, x

2

, x

3

, x

4

) − f (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

)

h

=

7

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

= lim

h→0

x

1

+ h + 2x

3

2

+ x

3

e

x

4

− (x

1

+ 2x

3

2

+ x

3

e

x

4

)

h

= 1 .

Pochodna

,

∂f

∂x

1

funkcji f obliczamy traktuja

,

c x

1

jako argument funkcji f przy jed-

noczesnym traktowaniu zmiennych x

2

, x

3

, x

4

jako sta lych (parametr´ow). Oblicza-

ja

,

c analogicznie otrzymujemy jeszcze trzy r´owno´sci:

∂f

∂x

2

(x) = 6x

2

2

,

∂f

∂x

3

(x) = e

x

4

,

∂f

∂x

4

(x) = x

3

e

x

4

.

Przyk lad 16.2

Niech f



r

ϕ



=



r cos ϕ

r sin ϕ



– tym razem wsp´o lrze

,

dne punkt´ow

piszemy pionowo, co — jak sie

,

oka˙ze p´o´zniej — ma sens. Obliczymy pochodna

,

tej

funkcji wzgle

,

dem zmiennej r :

∂f

∂r



r

ϕ



= lim

h→0

f



r + h

ϕ



− f



r

ϕ



h

= lim

h→0



(r + h) cos ϕ

(r + h) sin ϕ



−



r cos ϕ

r sin ϕ



h

=

= lim

h→0



cos ϕ

sin ϕ



=



cos ϕ

sin ϕ



.

Teraz kolej na pochodna

,

wzgle

,

dem zmiennej ϕ :

∂f

∂ϕ



r

ϕ



= lim

h→0

f



r

ϕ + h



− f



r

ϕ



h

= lim

h→0



r cos(ϕ + h)

r sin(ϕ + h)



−



r cos ϕ

r sin ϕ



h

=

=





lim

h→0

r cos(ϕ+h)−r cos ϕ

h

lim

h→0

r sin(ϕ+h)−r sin ϕ

h



 =



−r sin ϕ

r cos ϕ



.

Widzimy wie

,

c, ˙ze w przypadku odwzorowania o warto´sciach w IR

2

otrzymali´smy

wektor, a nie liczbe

,

! Rezultat ten jest dok ladnie taki, jakiego nale˙za lo sie

,

spodziewa´c.

Je´sli funkcja o warto´sciach w przestrzeni IR

l

ma w punkcie pochodna

,

wzgle

,

dem jed-

nej ze swych k zmiennych, to ta pochodna cza

,

stkowa jest wektorem l –wymiarowym.

W la´sciwie na tym mo˙zna by sko´

nczy´c, ale warto jeszcze otrzymany rezultat zinter-

pretowa´c fizycznie.* Mo˙zna my´sle´c, ˙ze warto´scia

,

funkcji f jest punkt p laszczyzny od-

dalony o r od punktu



0
0



lub wektor zaczynaja

,

cy sie

,

w punkcie



0
0



i ko´

ncza

,

cy

sie

,

w punkcie f



r

ϕ



=



r cos ϕ

r sin ϕ



— traktujemy wie

,

c liczby r i ϕ jako tzw.

wsp´o lrze

,

dne biegunowe punktu p laszczyzny. Przy obliczaniu pochodnej wzgle

,

dem

*

Do przeczytania dalszej cze

,

´sci tego przyk ladu wystarczy rozumie´c poje

,

cie pre

,

dko´sci znane z

lekcji fizyki w szkole.

8

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

r traktujemy zmienna

,

ϕ jako sta la

,

. Mo˙zemy interpretowa´c zmienna

,

r jako czas.

Po zmianie czasu o h znajdujemy sie

,

w punkcie f



r + h

ϕ



=



(r + h) cos ϕ

(r + h) sin ϕ



.

Znale´zli´smy sie

,

wie

,

c w punkcie le˙za

,

cym na tej samej p´o lprostej wychodza

,

cej z punktu

(0, 0) , ale w innej odleg lo´sci od pocza

,

tku uk ladu wsp´o lrze

,

dnych. Zmiana odleg lo´sci

r´owna jest zmianie czasu. Wobec pre

,

dko´s´c skalarna powinna by´c r´owna 1 a wektor

pre

,

dko´sci powinien by´c r´ownoleg ly do p´o lprostej, po kt´orej porusza sie

,

punkt. Wektor



cos ϕ

sin ϕ



jest r´ownoleg ly do p´o lprostej wychodza

,

cej z punktu



0
0



i przechodza

,

cej

przez punkt



r cos ϕ

r sin ϕ



. Jego d lugo´s´c to 1. Jest to wektor r´owny pre

,

dko´sci wektorowej

poruszaja

,

cego sie

,

punktu. Podobnie mo˙zna zinterpretowa´c pochodna

,

wzgle

,

dem ϕ .

Tym razem r sie

,

nie zmienia, natomiast zmienia sie

,

ka

,

t jaki tworzy wektor o pocza

,

tku



0
0



i ko´

ncu



r cos ϕ

r sin ϕ



z osia

,

odcie

,

tych (pozioma

,

osia

,

uk ladu wsp´o lrze

,

dnych).

W tej sytuacji ϕ oznacza zar´owno czas jak i ten ka

,

t. Wobec tego ruch odbywa

sie

,

po okre

,

gu o ´srodku



0
0



i promieniu r . Chwilowa pre

,

dko´s´c wektorowa jest

wie

,

c wektorem stycznym do tego okre

,

gu. D lugo´s´c tego wektora to oczywi´scie r , bo

pre

,

dko´s´c ka

,

towa r´owna jest 1. Wektorowi

∂f

∂ϕ



r

ϕ



=



−r sin ϕ

r cos ϕ



przys luguja

,

obie

te w lasno´sci. Jest on wektorem pre

,

dko´sci chwilowej w tym ruchu w momencie ϕ .

Przyk lad 16.3

Niech f





r

ϕ
ψ



 =





r cos ϕ cos ψ

r cos ϕ sin ψ

r sin ϕ



 . Tym razem nale˙zy my´sle´c

o tzw. wsp´o lrze

,

dnych sferycznych: liczba r jest odleg lo´scia

,

od pocza

,

tku uk ladu

wsp´o lrze

,

dnych, ϕ — szeroko´scia

,

geograficzna

,

na sferze o ´srodku





0
0
0



 i promie-

niu r , za´s ψ – d lugo´scia

,

geograficzna

,

na tej sferze. Obliczamy pochodne cza

,

stkowe

wzgle

,

dem kolejnych zmiennych:

∂f

∂r





r

ϕ
ψ



 =





cos ϕ cos ψ

cos ϕ sin ψ

sin ϕ



 ,

∂f

∂ϕ





r

ϕ
ψ



 =





−r sin ϕ cos ψ

−r sin ϕ sin ψ

r cos ϕ



 ,

∂f

∂ψ





r

ϕ
ψ



 =





−r cos ϕ sin ψ

r cos ϕ cos ψ

0



 .

9

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

Pierwsza z nich,

∂f

∂r





r

ϕ
ψ



, to wektorowa pre

,

dko´s´c w ruchu jednostajnym po promie-

niu wychodza

,

cym z punktu





0
0
0



 i przechodza

,

cym przez punkt





r cos ϕ cos ψ

r cos ϕ sin ψ

r sin ϕ



 ;

druga z nich,

∂f

∂ϕ





r

ϕ
ψ



, to pre

,

dko´s´c wektorowa w ruchu po po ludniku z pre

,

dko´scia

,

ka

,

towa

,

1 (zachowujemy promie´

n sfery i d lugo´s´c geograficzna

,

, jedynie szeroko´s´c geo-

graficzna zmienia sie

,

); trzecia to

∂f

∂ψ





r

ϕ
ψ



, to pre

,

dko´s´c w ruchu po r´ownole˙zniku

z pre

,

dko´scia

,

ka

,

towa

,

1 (zachowujemy promie´

n sfery i szeroko´s´c geograficzna

,

, jedy-

nie d lugo´s´c geograficzna zmienia sie

,

). W pierwszym przypadku pre

,

dko´s´c skalarna

r´owna jest 1, bo czas r´owny jest odleg lo´sci od punktu





0
0
0



 , w drugim pre

,

dko´s´c

skalarna r´owna jest promieniowi po ludnika (bo pre

,

dko´s´c ka

,

towa jest r´owna 1) czyli

r , w trzecim natomiast pre

,

dko´s´c skalarna r´owna jest promieniowi r´ownole˙znika (bo

pre

,

dko´s´c ka

,

towa r´ownie˙z w tym przypadku r´owna jest 1) czyli r cos ϕ . Oczywi´scie te

pre

,

dko´sci skalarne r´owne sa

,

odpowiednio d lugo´sciom wektor´ow

∂f

∂r





r

ϕ
ψ



,

∂f

∂ϕ





r

ϕ
ψ





i

∂f

∂ψ





r

ϕ
ψ



.

Przyk lad 16.4

Niech f



x

y



=



0,

je´sli x = 0 = y;

xy

x

2

+y

2

, je´sli x 6= 0 lub y 6= 0. Funkcja ta nie

jest cia

,

g la w punkcie



0
0



, bowiem dla x 6= 0 mamy f



x
x



=

1
2

i jednocze´snie

f



0
0



= 0 6=

1
2

. Oznacza to, ˙ze je´sli zbli˙zamy sie

,

do punktu



0
0



we

,

druja

,

c wzd lu˙z

prostej o r´ownaniu y = x , to warto´sci badanej funkcji nie da

,

˙za

,

do 0 = f



0
0



.

Oczywi´scie jest to jedyny punkt niecia

,

g lo´sci tej funkcji. Zbadamy teraz kwestie

,

ist-

nienia pochodnych cza

,

stkowych funkcji f . We wszystkich punktach z wyja

,

tkiem

punktu



0
0



pochodne cza

,

stkowe istnieja

,

, co wynika od razu z twierdze´

n pozwa-

laja

,

cych na obliczanie pochodnej funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. R´ownie˙z w

10

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

punkcie



0
0



funkcja f ma pochodne cza

,

stkowe. Wyka˙zemy to. Mamy

lim

h→0

f



h

0



− f



0
0



h

= lim

h→0

0 − 0

h

= 0 .

Wykazali´smy, ˙ze

∂f
∂x



0
0



= 0 . W taki sam spos´ob wykazujemy, ˙ze

∂f

∂y



0
0



= 0 .

Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze je´sli x 6= 0 lub y 6= 0 , to

∂f
∂x



x

y



=

y

3

− x

2

y

(x

2

+ y

2

)

2

— wynika to

natychmiast z twierdzenia o pochodnej ilorazu dwu funkcji jednej zmiennej. Analo-

gicznie

∂f

∂y



x
y



=

x

3

− xy

2

(x

2

+ y

2

)

2

. Zache

,

camy czytelnika do samodzielnego sprawdzenia

tych wzor´ow oraz do sprawdzenia, ˙ze pochodne cza

,

stkowe, kt´ore w la´snie znale´zli´smy,

sa

,

niecia

,

g le w punkcie



0
0



.

Przyk lad czwarty pokazuje, ˙ze stwierdzenie istnienia pochodnych cza

,

stkowych

w jakim´s punkcie, a nawet w ca lej dziedzinie funkcji nie pozwala jeszcze zbyt wiele

na temat tej funkcji wywnioskowa´c – z istnienia pochodnych cza

,

stkowych nie wynika

nawet cia

,

g lo´s´c funkcji! Jasne jest, ˙ze potrzebne nam sa

,

w lasno´sci pozwalaja

,

ce na

stwierdzanie cia

,

g lo´sci funkcji i co wie

,

cej na stwierdzanie, ˙ze jej zachowanie w ma lym

otoczeniu punktu r´o˙zniczkowalno´sci jest w przybli˙zeniu takie jak funkcji liniowej. To

jest podstawowa idea w rachunku r´o˙zniczkowym. Stosowali´smy rozumowania oparte

na tej w la´snie idei wielokrotnie w przypadku funkcji jednej zmiennej. To one dopro-

wadzi ly nas do sformu lowania twierdze´

n pozwalaja

,

cych na ustalanie w jakich prze-

dzia lach funkcja r´o˙zniczkowalna jest monotoniczna, w jakich punktach mo˙ze mie´c

lokalne ekstrema itd. Podamy teraz definicje

,

r´o˙zniczkowalno´sci funkcji wielu zmien-

nych i warunek wystarczaja

,

cy dla r´o˙zniczkowalno´sci.

Definicja 16.12 (funkcji r´

o˙zniczkowalnej w punkcie)

Funkcja f : G −→ IR

l

okre´slona na zbiorze G otwartym w IR

k

jest r´o˙zniczkowalna

w punkcie p ∈ G wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka macierz L , ˙ze

lim

h→0

f (p+h)−f (p)−Lh

khk

= 0 .

Wtedy macierz L nazywamy r´o˙zniczka

,

funkcji f w punkcie p i oznaczamy symbo-

lem Df (p) lub df (p) lub f

0

(p) .

Pochodna cza

,

stkowa obliczana jest po to, by uzyska´c informacje o tym jak zmie-

nia sie

,

funkcja w kierunku jednej z osi uk ladu wsp´o lrze

,

dnych. R´o˙zniczke

,

, o ile ist-

nieje, obliczamy po to, by dowiedzie´c sie

,

jak zachowuje sie

,

funkcja w ca lym otoczeniu

11

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

punktu. Poje

,

ciem po´srednim jest pochodna kierunkowa.

Definicja 16.13 (pochodnej kierunkowej)

Pochodna

,

funkcji f : G −→ IR

l

w punkcie p , w kierunku wektora v nazywamy

granice

,

lim

t→0

f (p + tv) − f (p)

t

,

je´sli ta granica istnieje. Te

,

pochodna

,

oznaczamy symbolem f

0

v

(p) .

Jasne jest, ˙ze w la´snie uog´olnili´smy poje

,

cie pochodnej cza

,

stkowej:

∂f

∂x

i

(p) = f

0

e

i

(p) .

Pochodna kierunkowa w kierunku wektora v obliczana jest po to, by oceni´c tempo

zmian funkcji w otoczeniu punktu p na prostej przechodza

,

cej przez punkt p r´ow-

noleg lej do wektora v . W punktach r´o˙zniczkowalno´sci funkcji pochodna

,

kierunkowa

,

mo˙zna  latwo znale´z´c po obliczeniu r´o˙zniczki funkcji.

Twierdzenie 16.14 (Fermata)

Je´sli p jest punktem wewne

,

trznym dziedziny G funkcji f : G −→ R , f (p) jest

najwie

,

ksza

,

lub najmniejsza warto´scia

,

funkcji f i istnieje f

0

v

(p) , to f

0

v

(p) = 0 .

Dow´

od. Poniewa˙z p le˙zy wewna

,

trz zbioru G , wie

,

c istnieje taka liczba δ > 0 , ˙ze

je´sli |t| < δ , to p+tv ∈ G . Poniewa˙z f (p) jest najwie

,

ksza

,

warto´scia

,

funkcji f , wie

,

c

dla ka˙zdej liczby t , dla kt´orej 0 < |t| < δ , zachodzi nier´owno´s´c f (p + th) ≤ f (p) .

Z niej wynika, ˙ze je´sli −δ < t < 0 , to

f (p+tv)−f (p)

t

≥ 0 oraz

f (p+tv)−f (p)

t

≤ 0 ,

gdy 0 < t < δ . Pierwsza nier´owno´s´c powoduje, ˙ze f

0

v

(p) ≥ 0 . Z drugiej wynika, ˙ze

f

0

v

(p) ≤ 0 .  La

,

cza

,

c obie otrzymujemy f

0

v

(p) = 0 .

Twierdzenie 16.15 (o istnieniu pochodnej kierunkowej w punktach

r´

o˙zniczkowalno´sci funkcji)

Je´sli funkcja f : G −→ IR

l

jest r´o˙zniczkowalna w punkcie p ∈ G , v ∈ IR

k

, to funkcja

f ma w punkcie p pochodna kierunkowa

,

w kierunku wektora v i zachodzi r´owno´s´c:

f

0

v

(p) = Df (p)v .

Dow´

od. Mamy

lim

t→0

f (p+tv)−f (p)

t

= lim

t→0



f (p+tv)−f (p)−Df (p)(tv)

ktvk

·

ktvk

t

+ Df (p)v



= Df (p)v

— skorzystali´smy tu z tego, ˙ze iloczyn wyra˙zenia

ktvk

t

, ograniczonego, i wyra˙zenia

da

,

˙za

,

cego do 0 ma granice

,

0 oraz z tego, ˙ze Df (p)(tv) = tDf (p)v i oczywi´scie z

12

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

tego, ˙ze f jest r´o˙zniczkowalna w punkcie p , z czego wynika od razu, ˙ze

lim

t→0



f (p + tv) − f (p) − Df (p)(tv)

ktvk



= 0 .

W ten spos´ob zako´

nczyli´smy dow´od tego twierdzenia.

Z tego twierdzenia wynika w szczeg´olno´sci, ˙ze przy ustalonym punkcie p po-

chodna f

0

v

(p) jest liniowa

,

funkcja

,

wektora v oczywi´scie pod warunkiem r´o˙zniczko-

walno´sci funkcji f w tym punkcie. Oznacza to, ˙ze f

0

αv+βw

(p) = αf

0

v

(p) + βf

0

w

(p)

dla dowolnych liczb rzeczywistych α, β i dowolnych wektor´ow v, w ∈ R

k

.

Czytelnik zechce sprawdzi´c, ˙ze je´sli f

0
0

= 0 i f

x
y

=

x

2

y

x

2

+y

2

, gdy przynajmniej

jedna z liczb x , y jest r´o˙zna od 0, to f

0

v

(0) = f (v) dla ka˙zdego wektora v ∈ IR

k

.

W tym przypadku pochodna w kierunku wektora v w punkcie 0 nie jest wie

,

c liniowa

,

funkcja

,

wektora v , a co za tym idzie funkcja f nie jest r´o˙zniczkowalna w punkcie 0 .

Zache

,

camy do sprawdzenia, ˙ze f jest w tym punkcie cia

,

g la.

Powt´orzmy: z r´o˙zniczkowalno´sci funkcji w punkcie wynika istnienie pochod-

nych kierunkowych w tym punkcie we wszystkich kierunkach, w szczeg´olno´sci ist-

nienie pochodnych cza

,

stkowych. Z istnienia pochodnych cza

,

stkowych nie wynika na-

wet cia

,

g lo´s´c funkcji — widzieli´smy to na przyk ladzie funkcji

xy

x

2

+y

2

. Mo˙zna poda´c

przyk lad funkcji kt´ora w pewnym punkcie ma pochodne kierunkowe we wszystkich

kierunkach i to r´owne 0 i jednocze´snie nie jest cia

,

g la w tym punkcie. Oznacza to,

˙ze zbadanie zachowania sie

,

funkcji na prostych przechodza

,

cych przez dany punkt

to jedynie wste

,

p do zbadania zachowania sie

,

tej funkcji w otoczeniu tego punktu.

Tych kwestii nie be

,

dziemy jednak dok ladnie analizowa´c, bo to wykracza znacznie

poza potrzeby wie

,

kszo´sci chemik´ow.

Definicja 16.16 (gradientu funkcji)

Wektor grad f (p) nazywamy gradientem funkcji f r´o˙zniczkowalnej w punkcie p ,

je´sli Df (p)v = grad f (p) · v dla ka˙zdego wektora v ∈ R

k

.

Z definicji wynika od razu, ˙ze grad f (p) =

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

∂f

∂x

1

(p),

∂f

∂x

1

(p), . . . ,

∂f

∂x

k

(p)

— r´o˙z-

nica mie

,

dzy gradientem i r´o˙zniczka

,

jest na tym etapie czysto formalna. R´o˙zniczka to

macierz (ewentualnie przekszta lcenie liniowe), a gradient to wektor.

Rozwa˙zmy teraz funkcje

,

f : G −→ IR r´o˙zniczkowalna

,

w punkcie p ∈ G . Niech v

i w oznaczaja

,

takie wektory, ˙ze kvk = k grad f (p)k i w = grad f (p) . Mamy wtedy

f

0

v

(p) = Df (p)v = v · grad f (p) = v · w ≤ kvk · kwk = kwk

2

= f

0

w

(p) .

Wykazali´smy wie

,

c

13

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

Twierdzenie 16.17 (o kierunku najszybszego wzrostu funkcji)

Pochodna funkcji f w kierunku gradientu funkcji w danym punkcie p jest najwie

,

ksza

,

spo´sr´od wszystkich pochodnych w tym punkcie w kierunku wektor´ow o d lugo´sci

k grad f (p)k .

Zwykle m´owimy, ˙ze gradient wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji, bo

pochodna mierzy tempo zmian funkcji, je´sli pochodna jest dodatnia to funkcja ro´snie.

Rozwa˙zanie jedynie wektor´ow o danej d lugo´sci jest konieczne, bo f

0

αv

(p) = αf

0

v

(p)

dla dowolnego punktu p , dowolnego wektora v i dowolnej liczby rzeczywistej α ,

a my chcemy por´ownywa´c tempo wzrostu funkcji wzd lu˙z prostych przechodza

,

cych

przez punkt p oczywi´scie przy za lo˙zeniu, ˙ze po ka˙zdej prostej poruszamy sie

,

z ta

,

sama

,

pre

,

dko´scia

,

— podany w tym zdaniu wz´or stwierdza po prostu, ˙ze zmiana pre

,

dko´sci

poruszania sie

,

po prostej przechodza

,

cej przez p powoduje wzrost pre

,

dko´sci zmian

funkcji w takim samym stosunku. W istocie rzeczy s lowo gradient nie jest niezbe

,

dne

w tym wyk ladzie, ale poniewa˙z jest ono u˙zywane powszechnie we wszystkich je

,

zykach,

wie

,

c my te˙z go unika´c nie be

,

dziemy.

Twierdzenie 16.18 (o r´

o˙zniczce z lo˙zenia dwu funkcji)

Za l´o˙zmy, ˙ze funkcja g jest r´o˙zniczkowalna w punkcie p a funkcja f w punkcie g(p)

oraz ˙ze z lo˙zenie f ◦ g jest zdefiniowane, tj. dziedzina funkcji f zawiera zbi´or warto´sci

funkcji g . Wtedy z lo˙zenie f ◦ g jest r´o˙zniczkowalne w punkcie p i zachodzi r´owno´s´c:

D(f ◦ g)(p) = Df (g(p)) · Dg(p) , tu kropka oznacza mno˙zenie macierzy.

Dow´

od. Niech r(h) =

g(p+h)−g(p)−Dg(p)h

khk

dla h 6= 0 i r(0) = 0 . Wobec tego

g(p + h) = g(p) + Dg(p)h + r(h) · khk . R´o˙zniczkowalno´s´c funkcji g w punkcie p to

po prostu cia

,

g lo´s´c funkcji r w punkcie 0 .

Analogicznie r´o˙zniczkowalno´s´c funkcji f w punkcie g(p) to cia

,

g lo´s´c funkcji % ,

zdefiniowanej za pomoca

,

r´owno´sci %(H) =

f (g(p)+H)−g(p)−Df ((p))H

kHk

i %(0) = 0 , w

punkcie 0 .

Mamy teraz

f (g(p + h)) = f (g(p)) + Df (g(p)) g(p + h) − g(p)

+

+ % g(p + h) − g(p)

·

g(p + h) − g(p)

 =

= f (g(p)) + Df (g(p)) Dg(p)h + r(h)khk

+

+ % Dg(p)h + r(h)khk

·

Dg(p)h + r(h)khk

 =

= f (g(p)) + Df (g(p))Dg(p)h +

+ khk · Df (g(p))r(h) + % Dg(p)h + r(h)khk

·

Dg(p)

h

khk

+ r(h)

.

Jasne jest, ˙ze wyra˙zenie

Dg(p)

h

khk

+ r(h)

 jest ograniczone oraz ˙ze zachodzi

14

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

r´owno´s´c lim

h→0

Df (g(p))r(h) + % Dg(p)h + r(h)khk

= 0 , a sta

,

d ju˙z  latwo wynika,

˙ze lim

h→0

Df (g(p))r(h) + % Dg(p)h + r(h)khk

·

Dg(p)

h

khk

+ r(h)

= 0 , czyli ˙ze

lim

h→0

f (g(p+h))−f (g(p))−Df (g(p))Dg(p)h

khk

= 0 , a to oznacza, ˙ze

D(f ◦ g)(p) = Df (p) · Dg(p) .

Dow´od zosta l zako´

nczony.

Je´sli studenci zechca

,

, to moga

,

zauwa˙zy´c, ˙ze ten dow´od w istocie rzeczy sugeruje,

˙ze mo˙zna (i w rzeczywisto´sci nale˙zy) my´sle´c o wydzielaniu cze

,

´sci sta lej ( f (g(p)) ),

a naste

,

pnie liniowej ( Df (g(p))Dg(p)h ) przekszta lcenia, gdy usi lujemy znale´z´c jego

r´o˙zniczke

,

w danym punkcie. Mo˙zna to prze´sledzi´c na jakim´s przyk ladzie, czego w

tym miejscu nie zrobimy, ale zache

,

camy czytelnik´ow do samodzielnego znalezienia co

najmniej jednej pochodnej w ten spos´ob.

Naste

,

pne twierdzenie podamy bez dowodu.

Twierdzenie 16.19 (o r´

o˙zniczce funkcji odwrotnej)

Za l´o˙zmy, ˙ze funkcja f : G −→ IR

l

jest r´o˙zniczkowalna w punkcie p zbioru otwartego

G ⊂ IR

k

, ˙ze jej zbi´or warto´sci jest otwarty w IR

l

, ˙ze r´o˙zniczka Df (p) jest macierza

,

odwracalna

,

oraz ˙ze funkcja f jest r´o˙znowarto´sciowa i funkcja odwrotna f

−1

jest

cia

,

g la w punkcie f (p) . Wtedy funkcja f

−1

jest r´o˙zniczkowalna w punkcie f (p)

i zachodzi r´owno´s´c D(f

−1

)(p) = (Df (p))

−1

.

Warto jedynie zaznaczy´c, ˙ze g l´ownym problemem w tym twierdzeniu jest istnie-

nie r´o˙zniczki przekszta lcenia odwrotnego. Sam wz´or jest konsekwencja

,

twierdzenia o

pochodnej z lo˙zenia dwu funkcji ( f i f

−1

).

Dwa ostatnie twierdzenia pokazuja

,

, ˙ze nale˙zy my´sle´c o pochodnej (r´o˙zniczce)

funkcji wielu zmiennych jako o macierzy. Doda´c nale˙zy, ˙ze twierdzenie o r´o˙zniczce

z lo˙zenia dwu funkcji to jedna z g l´ownych przyczyn, dla kt´orych mno˙zenie macierzy

jest zdefiniowane w la´snie w taki spos´ob.

Poka˙zemy jedno z licznych zastosowa´

n tego twierdzenia. Niech γ: (−1, 1) −→ R

k

be

,

dzie funkcja

,

r´o˙zniczkowalna

,

. Wtedy wektor γ

0

(t

0

) jest styczny w punkcie γ(t

0

) do

obrazu funkcji γ , czyli do krzywej z lo˙zonej ze wszystkich punkt´ow postaci γ(t) , gdzie

t ∈ (−1, 1) . Nale˙zy my´sle´c, ˙ze w chwili t poruszaja

,

cy sie

,

punkt materialny znajduje

sie

,

w miejscu γ(t) . W takiej sytuacji naturalnym pomys lem jest przyje

,

cie, ˙ze wek-

tor γ

0

(t) to wektor pre

,

dko´sci chwilowej w momencie t . Oczywi´scie pre

,

dko´s´c jest

styczna do drogi. Te kilka zda´

n to oczywi´scie agitacja, ale jedna z definicji wektora

15

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

stycznego do krzywej to w la´snie one (po opuszczeniu tre´sci fizycznej, kt´ora jest przy-

czyna

,

przyje

,

cia w la´snie takiej definicji wektora stycznego) . W szczeg´o ly wchodzi´c

nie be

,

dziemy z braku czasu.

Za l´o˙zmy, ˙ze f : R

k

−→ R i γ: (−1, 1) −→ R

k

sa

,

funkcjami r´o˙zniczkowalnymi

oraz ˙ze istnieje taka liczba c , ˙ze f γ(t)

= c dla t ∈ (−1, 1) . Wtedy

0 = (f ◦ γ)

0

(0) = Df γ(0)

· γ

0

(0) = grad f γ(0)

· γ

0

(0) .

Wykazali´smy, ˙ze wektory grad f γ(0)

i γ

0

(0) sa

,

prostopad le. Je´sli poprowadzi-

my przez punkt p := γ(0) wszystkie mo˙zliwe krzywe r´o˙zniczkowalne, to otrzymamy

wszystkie wektory styczne do „powierzchni” f (x) = c w punkcie p . Ka˙zdy z nich

jest prostopad ly do gradientu funkcji f w punkcie p . Oznacza to, ˙ze gradient jest

prostopad ly do „p laszczyzny”* Je´sli ten gradient jest niezerowy, to mo˙zemy znale´z´c

r´ownanie „p laszczyzny stycznej”.

Przyk lad 16.5

Niech f (x, y) = y − sin x i niech c = 0 . Zbi´or M zdefiniowany

r´ownaniem 0 = f (x, y) to wykres funkcji sinus. Niech p = (

π

6

,

1
2

) . Mamy wie

,

c

f (

π

6

,

1
2

) =

1
2

− sin

π

6

= 0 , czyli p ∈ M . Wektory styczne do zbioru M (czyli do

sinusoidy) w punkcie p sa

,

prostopad le do wektora

grad f (

π

6

,

1
2

) = (− cos

π

6

, 1) = (−

√

3

2

, 1) .

Je´sli punkt (x, y) le˙zy na stycznej do M w punkcie p , to

0 = (−

√

3

2

, 1) · (x −

π

6

, y −

1
2

) = −

√

3

2

(x −

π

6

) + (y −

1
2

) .

Czytelnik bez trudu rozpozna r´ownanie prostej stycznej do sinusoidy w punkcie

p = (

π

6

,

1
2

) , kt´ore poprzednio otrzymywali´smy nieco inaczej. Zauwa˙zy te˙z, ˙ze w przy-

padku wykresu dowolnej funkcji r´o˙zniczkowalnej otrzymany na opisanej teraz drodze

rezultat be

,

dzie identyczny z uzyskiwanym przez skorzystanie z definicji prostej stycz-

nej do wykresu funkcji podanej w pierwszym semestrze.

Przyk lad 16.6

Niech f (x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

i niech c = 14 . Niech M be

,

dzie

zbiorem z lo˙zonym z tych punkt´ow (x, y, z) , dla kt´orych zachodzi r´owno´s´c

14 = c = f (x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

.

Oczywi´scie p := (1, −2, 3) ∈ M . Zbi´or M jest sfera

,

, kt´orej ´srodkiem jest punkt

(0, 0, 0) i kt´orej promie´

n jest r´owny

√

14 . Znajdziemy p laszczyzne

,

Π styczna

,

do tej

sfery w punkcie p = (1, −2, 3) . Mamy grad f (1, −2, 3) = (2, −4, 6) .

Je´sli (x, y, z) ∈ Π , to

*

To nie zawsze jest p laszczyzna, np. zwykle wymiar r´

owny jest k−1 , wie,c dla k>3 m´owimy na og´o l

o przestrzeni stycznej do powierzchni f (x)=c .

16

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

0 = (x − 1, y + 2, z − 3) · (2, −4, 6) = 2(x − 1) − 4(y + 2) + 6(z − 3) .

Otrzymali´smy r´ownanie p laszczyzny stycznej do sfery M w punkcie (1, −2, 3) .

Przyk lad 16.7

Uk lad r´owna´

n y = 0 i (x − 7)

2

+ z

2

= 25 opisuje okra

,

g o ´srodku

w punkcie (7, 0, 0) i promieniu 5 le˙za

,

cy w p laszczy´znie wyznaczonej przez osie OX

i OZ . R´ownanie (x − 7)

2

+ z

2

= 25 mo˙zemy przepisa´c w postaci 14x = x

2

+ z

2

+ 24 .

Z tego r´ownania wynika, ˙ze 196x

2

= (x

2

+ z

2

+ 24)

2

przy czym to ostatnie r´ownanie

r´ownowa˙zne jest poprzedniemu przy za lo˙zeniu, ˙ze x ≥ 0 . Zaste

,

puja

,

c x

2

w r´ownaniu

196x

2

= (x

2

+ z

2

+ 24)

2

przez x

2

+ y

2

otrzymujemy r´ownanie powierzchni powsta lej

w wyniku obrotu okre

,

gu (x − 7)

2

+ z

2

= 25 le˙za

,

cego w p laszczy´znie y = 0 wok´o l osi

OZ — ta powierzchnia wygla

,

da jak napompowana de

,

tka, np. rowerowa; matematycy

zwa

,

ja

,

torusem. Tak otrzymane r´ownanie tej powierzchni ma posta´c

196(x

2

+ y

2

) = x

2

+ y

2

+ z

2

+ 24

2

.

 Latwo mo˙zna przekona´c sie

,

, ˙ze jednym z punkt´ow tej powierzchni jest p := (6, 8, 4) .

Niech f (x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

+ 24

2

− 196(x

2

+ y

2

) . Jasne jest, ˙ze r´ownanie torusa

mo˙zna zapisa´c jako f (x, y, z) = 0 . Zachodzi r´owno´s´c

grad f (x, y, z) = 2x(x

2

+y

2

+z

2

)−392x, 2y(x

2

+y

2

+z

2

)−392y, 2z(x

2

+y

2

+z

2

)

. Z

niej wynika, ˙ze grad f (6, 8, 4) = (−960, −1080, 928) . R´ownanie p laszczyzny stycznej

ma wie

,

c posta´c:

0 = (x − 6, y − 8, z − 4) · (−960, −1280, 928) = −960(x − 6) − 1280(y − 8) + 928(z − 4) .

Po podzieleniu przez 32 otrzymujemy −30(x − 6) − 40(y − 8) + 29(z − 4) , czyli

30x + 40y − 29z − 384 = 0 .

Uwaga 16.20 (na deser) Najprostsze funkcje to liniowe.

Je´sli f (x, y) = Ax + By + C , to grad f (x, y) = []A, B] . Wynika sta

,

d, ˙ze

wektor (A, B) jest prostopad ly do prostej stycznej zbioru opisanego r´ownaniem

0 = f (x, y) = Ax + By + C , czyli do prostej Ax + By + C = 0 .

Je´sli f (x, y, z) = Ax + By + Cz + D , to grad f (x, y, z) = (A, B, C) , wie

,

c wektor

(A, B, C) jest prostopad ly do p laszczyzny stycznej do zbioru opisanego r´ownaniem

0 = f (x, y, z) = Ax + By + Cz + D , wie

,

c do p laszczyzny Ax + By + Cz + D = 0 .

To akurat wiemy od dawna. Okaza lo sie

,

jednak, ˙ze jest to szczeg´olny przypadek

og´olniejszego twierdzenia.

Przyk lad 16.8

Niech f

x
y

=

xy

x

2

+y

2

. Znajdziemy kresy tej funkcji w zbiorze

IR

2

\ {0} . Zauwa˙zmy najpierw, ˙ze je´sli t 6= 0 , to f (tx) = f (x) dla dowolnego x 6= 0 ,

w lasno´s´c ta nazywana jest jednorodno´scia

,

stopnia 0 funkcji. Wynika sta

,

d, ˙ze w celu

17

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

znalezienia kres´ow funkcji f wystarczy rozpatrywa´c jej warto´sci w punktach dowol-

nie ustalonego okre

,

gu o ´srodku w punkcie 0 , np. okre

,

gu o promieniu 1. Okra

,

g ten jest

oczywi´scie zbiorem domknie

,

tym i ograniczonym, czyli zwartym. Wobec tego nasza

funkcja przyjmuje w jakim´s punkcie tego okre

,

gu swa

,

najwie

,

ksza

,

warto´s´c i w jakim´s

innym punkcie tego okre

,

gu swa

,

warto´s´c najmniejsza

,

. Wobec tego, ˙ze funkcja ta jest

jednorodna stopnia 0, ta najmniejsza warto´s´c jest najmniejsza

,

warto´scia

,

w ca lej

dziedzinie funkcji i przyjmowana jest nie tylko w jednym punkcie, ale we wszyst-

kich punktach prostej przechodza

,

cej przez ten punkt i 0 , z wyja

,

tkiem oczywi´scie

punktu 0 , w kt´orym funkcja nie jest zdefiniowana. To samo mo˙zna powiedzie´c o

warto´sci najwie

,

kszej.

Mamy

∂f
∂x

x
y

=

y

3

−x

2

y

(x

2

+y

2

)

2

oraz

∂f
∂y

x
y

=

x

3

−xy

2

(x

2

+y

2

)

2

. Wida´c, ˙ze gradient jest wek-

torem zerowym wtedy i tylko wtedy, gdy x

2

= y

2

, czyli gdy x = ±y . Podsta-

wiaja

,

c x = ±y otrzymujemy f

x
x

=

1
2

oraz f

x

−x

= −

1
2

. Wynika sta

,

d, ˙ze naj-

wie

,

ksza

,

warto´scia

,

tej funkcji jest

1
2

za´s najmniejsza

,

−

1
2

. Szukanie kres´ow zosta lo

zako´

nczone.

Nadmieni´c wypada, ˙ze rozwia

,

zane przed chwila

,

zadanie mo˙zna rozwia

,

za´c nic

o pochodnych nie wiedza

,

c. Znajdziemy kres g´orny warto´sci funkcji. Mamy znale´z´c

najmniejsza

,

liczbe

,

k , taka

,

˙ze je´sli

x
y

6=

0
0

zachodzi nier´owno´s´c

xy

x

2

+y

2

≤ k , tzn.

kx

2

− xy + ky

2

≥ 0 . Oczywi´scie k ≥

1
2

=

1·1

1

2

+1

2

. Dla k =

1
2

nier´owno´s´c przybiera

posta´c: 0 ≤

1
2

x

2

− xy +

1
2

y

2

=

1
2

(x − y)

2

, wie

,

c jest prawdziwa. Sta

,

d od razu wynika,

˙ze liczba

1
2

jest kresem g´ornym funkcji

xy

x

2

+y

2

. Z r´owno´sci f

−x

y

= −f

x
y

wynika

natychmiast, ˙ze kresem dolnym funkcji f jest −

1
2

.

Uwaga: okaza lo sie

,

, ˙ze grad f

x
y

=

x

2

−y

2

(x

2

+y

2

)

2

−y

x

, wie

,

c ten wektor jest prostopad ly

do wektora

x
y

, wobec tego pochodna kierunkowa w kierunku wektora

x
y

i ka˙zdego

do niego r´ownoleg lego r´owna jest 0, zatem funkcja f jest sta la na p´o lprostej wycho-

dza

,

cej z 0 i przechodza

,

cej przez

x
y

— korzystali´smy z tego w rozwia

,

zaniu, a teraz

pokazali´smy inne, bardziej „uczone” uzasadnienie tego stwierdzenia.

Przyk lad 16.9

Niech f

x
y

=

xy

x

2

−2xy+9y

2

. Funkcja ta jest poprawnie okre´slona

w zbiorze IR

2

\ {0} , bo x

2

− 2xy + 9y

2

= (x − y)

2

+ 5y

2

= 0 wtedy i tylko wtedy,

gdy y = 0 = x − y , czyli gdy

x
y

=

0
0

. Znajdziemy kresy tej funkcji w zbiorze

IR

2

\ {0} . Podobnie jak w poprzednim przyk ladzie f (tx) = f (x) dla dowolnych

t 6= 0 i x 6= 0 , wie

,

c w celu znalezienia kres´ow funkcji f wystarczy rozpatrywa´c jej

warto´sci w punktach dowolnie ustalonego okre

,

gu o ´srodku w punkcie 0 , np. okre

,

gu

18

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

o promieniu 1. Okra

,

g ten jest oczywi´scie zbiorem domknie

,

tym i ograniczonym, czyli

zwartym. Wobec tego nasza funkcja przyjmuje w jakim´s punkcie tego okre

,

gu swa

,

najwie

,

ksza

,

warto´s´c i w jakim´s innym punkcie tego okre

,

gu swa

,

warto´s´c najmniej-

sza

,

. Ta najmniejsza warto´s´c jest najmniejsza

,

warto´scia

,

w ca lej dziedzinie funkcji i

przyjmowana jest nie tylko w jednym punkcie, ale we wszystkich punktach prostej

przechodza

,

cej przez ten punkt i 0 , z wyja

,

tkiem oczywi´scie punktu 0 , w kt´orym

funkcja nie jest zdefiniowana. To samo dotyczy warto´sci najwie

,

kszej.

Mamy

∂f
∂x

x
y

=

9y

3

−x

2

y

(x

2

−2xy+9y

2

)

2

oraz

∂f
∂y

x
y

=

x

3

−9xy

2

(x

2

−2xy+9y

2

)

2

. Wida´c, ˙ze gradient

jest wektorem zerowym wtedy i tylko wtedy, gdy x

2

= 9y

2

, czyli gdy x = ±3y .

Podstawiaja

,

c x = ±3y otrzymujemy f

3y

y

=

1
4

oraz f

3y

−y

= −

1
4

. Wynika sta

,

d, ˙ze

najwie

,

ksza

,

warto´scia

,

tej funkcji jest

1
4

za´s najmniejsza

,

−

1
8

. Szukanie kres´ow zosta lo

zako´

nczone.

Nadmieni´c wypada, ˙ze rozwia

,

zane przed chwila

,

zadanie mo˙ze rozwia

,

za´c liceali-

sta, kt´ory nic o pochodnych nie wie.

Znajdziemy kres g´orny warto´sci funkcji, czyli taka

,

najmniejsza

,

liczbe

,

k ∈ R , ˙ze

je´sli

x
y

6=

0
0

, to

xy

x

2

−2xy+9y

2

≤ k , tzn. kx

2

− (2k + 1)xy + 9ky

2

≥ 0 . Oczywi´scie

k ≥

1
8

=

1·1

1

2

−2·1·1+9·1

2

> 0 . Aby nier´owno´s´c kx

2

−(2k+1)xy+9ky

2

≥ 0 by la spe lniona

dla wszystkich liczb x przy ustalonych k i y , wyr´o˙znik tr´ojmianu kwadratowego nie

mo˙ze by´c dodatni:

0 ≥ ∆ = (2k + 1)

2

y

2

− 36k

2

y

2

= y

2

(2k + 1 − 6k)(2k + 1 + 6k) = y

2

(1 − 4k)(1 + 8k),

co oznacza, ˙ze 1 − 4k ≤ 0 , czyli k ≥

1
4

. Dla k =

1
4

nier´owno´s´c przybiera posta´c:

1
4

≥

xy

x

2

−2xy+9y

2

, czyli

♠

x

2

− 2xy + 9y

2

≥ 4xy , tzn. 0 ≤ x

2

− 6xy + 9y

2

= (x − 3y)

2

,

wie

,

c jest prawdziwa. Liczba

1
4

jest zatem kresem g´ornym funkcji

xy

x

2

−2xy+9y

2

.

Je´sli nier´owno´s´c

xy

x

2

−2xy+9y

2

≥ k zachodzi dla wszystkich

x
y

∈ R

2

\ {

0
0

} ,

to k ≤

(−1)·1

(−1)

2

−2(−1)·1+9·1

2

= −

1

12

< 0 , wie

,

c k musi by´c liczba

,

ujemna

,

. Nier´owno´s´c

xy

x

2

−2xy+9y

2

≥ k jest r´ownowa˙zna nier´owno´sci kx

2

− (2k + 1)xy + 9ky

2

≤ 0 ,a ta za-

chodzi dla wszystkich x ∈ R przy ustalonym y i k < 0 , gdy

0 ≥ ∆ = (2k +1)

2

y

2

−36k

2

y

2

= y

2

(2k +1−6k)(2k +1+6k) = y

2

(1−4k)(1+8k), wie

,

c

gdy 1 + 8k ≤ 0 , czyli gdy k ≤ −

1
8

. Nier´owno´s´c

xy

x

2

−2xy+9y

2

≥ −

1
8

jest r´ownowa˙zna

nier´owno´sci 0 ≤ x

2

+ 6xy + 9y

2

= (x + 3y)

2

, wie

,

c jest prawdziwa. Oznacza to, ˙ze

kresem dolnym funkcji

xy

x

2

−2xy+9y

2

jest liczba −

1
8

.

Przyk lad 16.10

Znajdziemy najmniejsza

,

i najwie

,

ksza

,

warto´s´c wyra˙zenia xy

2

z

3

♠ Mianownik jest dodatni: x

2

−2xy+9y

2

>0 , gdy

x 6= 0

lub

y 6= 0

19

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

za lo˙zywszy, ˙ze x, y, z ≥ 0 i x + y + z = 6 .

Niech C =

n

x

y
z



:

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z = 6

o

i f



x

y
z



= xy

2

z

3

.

Funkcja f jest cia

,

g la na IR

3

, wie

,

c r´ownie˙z na zbiorze C . Zbi´or C jest ograniczony,

bo je´sli punkt



x

y
z



znajduje sie

,

zbiorze C , to 0 ≤ x ≤ 6 , 0 ≤ y ≤ 6 , 0 ≤ z ≤ 6 . Jest

te˙z domknie

,

ty, to je´sli



x

n

y

n

z

n



∈ C , czyli x

n

≥ 0 , y

n

≥ 0 , z

n

≥ 0 , x

n

+y

n

+z

n

= 6 oraz

lim

n→∞



x

n

y

n

z

n



=



x

y
z



, to r´ownie˙z 0 ≤ x , 0 ≤ y , 0 ≤ z i x + y + z = 6 , czyli



x

y
z



∈ C .

Ograniczony i domknie

,

ty podzbi´or IR

3

jest zwarty, wie

,

c funkcja

,

cia

,

g la okre´slona

na tym zbiorze przyjmuje w jakim´s jego punkcie warto´s´c najmniejsza

,

i w jakim´s

punkcie warto´s´c najwie

,

ksza

,

. C oczywi´scie nie zawiera ˙zadnej kuli, wie

,

c nie mo˙zna

tu stosowa´c twierdzenia o zerowaniu sie

,

gradientu w punktach lokalnego ekstremum.

Mo˙zna natomiast wyznaczy´c jedna

,

z trzech zmiennych za pomoca

,

dwu pozosta lych,

np. x = 6−y−z i rozwa˙zy´c funkcje

,

dwu zmiennych: g

y
z

= (6−y−z)y

2

z

3

na zbiorze

D =



y
z

:

0 ≤ y, 0 ≤ z, y + z ≤ 6

. Zbi´or D , podobnie jak C , jest zwarty. Funk-

cja g jest cia

,

g la w ka˙zdym punkcie p laszczyzny, wie

,

c r´ownie˙z w punktach zbioru D

i wobec tego przyjmuje w jakim´s punkcie tego zbioru warto´s´c najmniejsza

,

i w ja-

kim´s punkcie — warto´s´c najwie

,

ksza

,

.  Latwo zauwa˙zy´c, ˙ze zbi´or D jest tr´ojka

,

tem

prostoka

,

tnym r´ownoramiennym kt´orego wierzcho lkami sa

,

punkty

0
0

,

6
0

i

0
6

.

Na brzegu tego tr´ojka

,

ta, czyli w punktach prostej y = 0 , w punktach prostej

z = 0 oraz w punktach prostej y + z = 6 funkcja g przyjmuje warto´s´c 0.

Wewna

,

trz tr´ojka

,

ta przyjmuje warto´sci dodatnie. Wobec tego jej najmniejsza

,

warto´scia

,

jest liczba 0, a warto´s´c najwie

,

ksza jest przyje

,

ta w pewnym punkcie we-

wne

,

trznym. W tym punkcie wewne

,

trznym gradient funkcji g jest r´owny 0 .

Mamy grad g



y
z



=



−y

2

z

3

+ 2yz

3

(6 − y − z)

−y

2

z

3

+ 3y

2

z

2

(6 − y − z)



. Obie wsp´o lrze

,

dne maja

,

by´c

r´owne 0, a poniewa˙z szukamy punkt´ow wewna

,

trz tr´ojka

,

ta D , wie

,

c y > 0 i z > 0 , za-

tem musza

,

by´c spe lnione r´owno´sci



−y + 2(6 − y − z) = 0,
−z + 3(6 − y − z) = 0,

czyli



3y + 2z = 12,
3y + 4z = 18.

Wynika sta

,

d, ˙ze z = 3 i y = 2 . Poniewa˙z warto´s´c najwie

,

ksza jest przyjmowana

w pewnym punkcie, a jedynym kandydatem jest punkt

2
3

, wie

,

c najwie

,

ksza

,

warto´scia

,

funkcji g na zbiorze D jest liczba g

2
3

= (6 − 2 − 3)2

2

3

3

= 108 .

Przyk lad 16.11

Niech f

x
y

= xy

2

e

−x−2y

. Znajdziemy kresy tej funkcji w pierw-

szej ´cwiartce uk ladu wsp´o lrze

,

dnych, tj. w zbiorze C =

n

x
y

:

x ≥ 0, y ≥ 0

o

. We

wszystkich punktach brzegu zbioru funkcja przyjmuje warto´s´c 0, wewna

,

trz warto´sci

20

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

sa

,

dodatnie. Kresem dolnym jest wie

,

c 0. Zajmiemy sie

,

kresem g´ornym. Zachodzi

r´owno´s´c grad f

x
y

=

y

2

(1−x)

xy(2−2y)

e

−x−2y

. Jedynym punktem zerowania sie

,

gradientu

funkcji f wewna

,

trz dziedziny jest punkt

1
1

. Warto´s´c funkcji w tym punkcie r´owna

jest e

−3

. Z wzoru e

t

= 1 + t +

t

2

2!

+ · · · wynika, ˙ze w pierwszej ´cwiartce uk ladu

wsp´o lrze

,

dnych zachodzi e

x+2y

≥

(x+2y)

4

4!

. Sta

,

d wynika, ˙ze

f

x
y

= xy

2

e

−x−2y

=

xy

2

e

x+2y

≤

4!xy

2

(x+2y)

4

≤

4!

x+2y

< e

−3

,

gdy x + 2y > 4!e

3

. Wobec tego kres g´orny funkcji w pierwszej ´cwiartce jest taki sam

jak w zbiorze

n

x
y

:

x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 4!e

3

o

. Ten ostatni zbi´or jest zwarty,

wie

,

c funkcja f , jako cia

,

g la, przyjmuje w jakim´s jego punkcie warto´s´c najwie

,

ksza

,

,

kt´ora jest oczywi´scie wie

,

ksza lub r´owna e

−3

. Wobec tego, ˙ze na brzegu tego zbioru

zachodzi co najmniej jedna z r´owno´sci: x = 0 , y = 0 , x + 2y = 4!e

3

, warto´s´c naj-

wie

,

ksza przyjmowana jest w punkcie wewne

,

trznym. W tym punkcie gradient musi

by´c wektorem zerowym. Wobec tego jest to punkt

1
1

. Wobec tego kresem g´ornym

tej funkcji jest liczba f

1
1

= e

−3

. Zadanie zosta lo rozwia

,

zane.

Drugi spos´ob znalezienia kresu g´ornego.

Do momentu znalezienia gradientu rozumujemy tak, jak poprzednio. Mamy wie

,

c

∂f
∂x

x
y

= y

2

(1 − x)e

−x−2y

. Je´sli wie

,

c potraktujemy y jako sta la

,

, to wraz ze wzrostem

x funkcja f ro´snie na przedziale [0, 1] i maleje na p´o lprostej [1, +∞) . Wobec tego

jej najwie

,

ksza

,

warto´scia

,

jest f

1
y

= y

2

e

−1−2y

.

Teraz znajdujemy najwie

,

ksza

,

warto´s´c funkcji y

2

e

−1−2y

na p´o lprostej [0, ∞) .

Pochodna

,

jest funkcja

∂f
∂y

1
y

= 2y(1−y)e

−1−2y

, kt´orej warto´sci sa

,

dodatnie na prze-

dziale (0, 1) , a ujemne na p´o lprostej (1, ∞) . Wobec tego funkcja y

2

e

−1−2y

ro´snie

na przedziale [0, 1] , a na p´o lprostej [1, ∞) — maleje. Jej najwie

,

ksza

,

warto´scia

,

jest

wie

,

c liczba f

1
1

= e

−3

.

To zadanie mo˙zna od razu sprowadzi´c do poszukiwania warto´sci najwie

,

kszych i naj-

mniejszych funkcji jednej zmiennej, bo interesuja

,

ca nas funkcja jest iloczynem dwu

funkcji nieujemnych: funkcji xe

−x

zmiennej x oraz funkcji y

2

e

−2y

zmiennej y, ta

obserwacja oczywi´scie upraszcza rozwia

,

zanie!

Przyk lad 16.12

Niech f

x
y

= (x + 3y)e

−x

2

−3y

. Znajdziemy kresy tej funkcji

w pierwszej ´cwiartce uk ladu wsp´o lrze

,

dnych, tj. w zbiorze C =



x
y

 

: x ≥ 0, y ≥ 0

.

Zauwa˙zmy, ˙ze we wszystkich punktach zbioru C warto´sci funkcji sa

,

liczbami nie-

ujemnymi przy czym tylko w punkcie

0
0

warto´scia

,

jest 0, w pozosta lych punktach

warto´sci sa

,

dodatnie. Wynika sta

,

d od razu, ˙ze kresem dolnym funkcji jest liczba 0.

21

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

Znajdziemy kres g´orny funkcji f . Rozpoczniemy od znalezienia gradientu funkcji:

grad f

x
y

=

1−2x(x+3y)

1−x−3y

· e

−x

2

−3y

. Gradient ten r´owny jest 0 wtedy i tylko wtedy,

gdy x =

1
2

i jednocze´snie y =

1
6

. Warto´scia

,

funkcji w tym punkcie jest e

−3/4

.

Z wzoru e

t

= 1 + t +

t

2

2!

+ · · · wynika, ˙ze je´sli x, y ≥ 0 , to e

x

2

+3y

≥

(x

2

+3y)

2

2!

. Sta

,

d

f

x
y

= (x + 3y)e

−x

2

−3y

≤

2!(x+3y)

(x

2

+3y)

2

=

2x+6y

x

4

+6x

2

y+9y

2

≤

√

2

2

+6

2

√

x

2

+y

2

x

4

+6x

2

y+9y

2

=

√

40

√

x

2

+y

2

x

4

+6x

2

y+9y

2

.

Mianownik jest suma

,

sk ladnik´ow stopnia 2 lub wie

,

kszego, wobec tego dla „du˙zych”

argument´ow powinien by´c du˙zo wie

,

kszy od licznika. Za l´o˙zmy, ˙ze x + y > 10 , x ≥ 0

oraz y ≥ 0 . Wyka˙zemy, ˙ze wtedy zachodzi nier´owno´s´c x

4

+ 6x

2

y + 9y

2

≥ x

2

+ y

2

:

x

4

+ 6x

2

y + 9y

2

− (x

2

+ y

2

) = x

4

+ (6y − 1)x

2

+ 8y

2

≥

≥ x

4

+ 6(10 − x) − 1

x

2

= x

2

(x

2

− 6x + 59) = x

2

(x − 3)

2

+ 50

≥ 0 .

Wobec tego f

x
y

≤

√

40

√

x

2

+y

2

x

2

+y

2

=

√

40

√

x

2

+y

2

. Je´sli x + y > 100, x ≥ 0, y ≥ 0 , to

x

2

+ y

2

≥

1
2

(x + y)

2

> 5000 ,

wie

,

c f

x
y

≤

√

40

√

5000

<

1

10

<

1
4

= 1 −

3
4

≤ e

−3/4

.

Wobec tego kres g´orny funkcji f w zbiorze C jest r´owny kresowi g´ornemu tej funkcji

w zbiorze D =

n

x
y

:

x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 100

o

. D jest zbiorem zwartym, wie

,

c

kres g´orny funkcji f jest jej warto´scia

,

w pewnym punkcie tego zbioru. Mo˙ze to by´c

punkt wewne

,

trzny, w kt´orym gradient jest r´owny 0 lub te˙z punkt z brzegu tego

zbioru. W punktach brzegu musi zachodzi´c jedna z trzech r´owno´sci x = 0 , y = 0 ,

x + y = 100 . Ostatni przypadek nie jest interesuja

,

cy, bo ju˙z wykazali´smy, ˙ze w ta-

kich punktach warto´sci funkcji sa

,

mniejsze ni˙z f

1/2
1/6

= e

−3/4

. Za l´o˙zmy wie

,

c, ˙ze

y = 0 . Mamy teraz do czynienia z wyra˙zeniem xe

−x

2

, kt´orego pochodna r´owna jest

(1 − 2x

2

)e

−x

2

, wie

,

c jest dodatnia w przedziale (0,

1

√

2

) natomiast w ka˙zdym punkcie

p´o lprostej (

1

√

2

, +∞) pochodna ta jest ujemna. Wynika sta

,

d, ˙ze wyra˙zenie xe

−x

2

przyjmuje swa

,

najwie

,

ksza warto´s´c w punkcie x =

1

√

2

. Ta

,

najwie

,

ksza

,

warto´scia

,

jest

1

√

2

e

−1/2

. Liczba ta jest mniejsza ni˙z e

−3/4

, mo˙zna to sprawdzi´c bez u˙zycia sprze

,

tu

elektronicznego podnosza

,

c obie liczby do pote

,

gi 4 i korzystaja

,

c z nier´owno´sci e < 4 .

Musimy jeszcze zbada´c wyra˙zenie ye

−3y

. Jego pochodna to (1 − 3y)e

−3y

, jest ona

dodatnia na przedziale (0,

1
3

) , ujemna – na p´o lprostej (

1
3

, +∞) , zatem wyra˙zenie to

przyjmuje swa

,

warto´s´c najwie

,

ksza

,

w punkcie y =

1
3

i warto´s´c ta jest r´owna

1
3

e

−1

i

jest ona mniejsza ni˙z e

−3/4

. Wykazali´smy w ten spos´ob, ˙ze kresem g´ornym funkcji

f w zbiorze C jest liczba e

−3/4

= f

1/2
1/6

.

Drugi spos´ob znalezienia kresu g´ornego.

Podobnie jak w poprzednim przyk ladzie mo˙zemy znale´z´c kres g´orny funkcji f ba-

22